练案19 第三章 第三讲 第二课时 导数与不等式恒（能）成立-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习练案

练案[19] 第二课时导数与不等式恒（能）成立 的A组基础巩固男 3.已知函数f(x)=ln(x+1)+mx2,m>0. 若g(x)=f(x)-simx,x=0是g(x)的极大值点，求实 1.（2025·福建泉州模拟)已知函数f(x)=xlnx 数m的取值范围. (1)求f(x)的单调区间； (2)若存在x>0,使得f(x)≤ax成立，求实数a的取 值范围。 2.已知函数)=号-(m+1)+mih+me为函 4.(2025·衡水检测)已知函数f(x)=x-alnx+么在 x=1处取得极值. 数f八x)的导函数，若f'(x)-f(x)≥0恒成立，求m (1)若a>1,求函数f(x)的单调区间； 的取值范围 (2)若a>3,函数g(x)=ax2+3,若存在m1,m2∈ [22,使得m,)-g(m,)1<9成立，求a的取 值范围。 一317 B组能力提升月 3C组拓展应用（选作） 1.（2023·河北辛集中学模拟)已知函数∫(x)=2x3+ (2024·广东汕头三模)已知函数f(x)=lnx-ax, 5x2+4x,g(x)=x2+2x-m-7(xeR). （1)求f(x)的单调区间； 8()=2 ,a≠0 (2)若Hx1∈[-3,3]，3x2∈[-3,1]，使得g(x)= (1)求函数f(x)的单调区间； f(x2),求m的取值范围. (2)若f(x)≤g(x)恒成立，求a的最小值. 2.（2025·江苏淮安调研节选)已知函数∫(x)=x3- ax-. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)≥lnx恒成立.求实数a的取值范围. —318一要证不等式(e-1)n(x+1)>x2, (2)证明：由(1)得 只需证明e-1>1n(x+D x2 f(x)in =f(-In a)=a(e-a+a)+In a=1+a2+In a, 要证>2na+2,即证1+d2+na>2a+2 3 只需证明+2： x2 a 2>n(x+1)1 只香证+>杂 即证。2-分-ha>0恒成立， 设r)=lh(x+）-2年(e>0. xg(a)=a--]-Ina(a>0) 1 4 则g'(a)=2a- 1-2a-1 则F()=x中x+2+lx+27x>0. a 所以当x>0时，F'(x)>0恒成立，故F(x)在(0，+∞)上单调 令ga)c0.则0<a9:令g>0. 递增， 又F(x)=0.F(x)>0恒成立，原不等式成立. 2.[解析](1)f(x)=e-x-a定义域为R,f"(x)=e-1, 令f'(x)>0,则x>0,令f'(x)<0,则x<0, 所以)在(0，号)上单润遵减，在（受，+）上单调递指。 f(x)递减区间为(-0,0)，递增区间为(0，+∞)， f代x)根小位=f代0)=1-a,无极大值. 所以&a)=g(9)=(停)'-3-h=n2>0, (2)证明：由(1)知x→-∞时fx)→+∞+0时f(x)→+0， 则g(a)>0恒成立， 要使f代x)有两个不同零点x1,x2,则f0)=1-a<0即a>1, 不妨设x1<0<x2, 所以当a>0时)>2ha+子恒成立.证毕 ①令g(x)=f(x)-f-x)=e'-e-2x(x>0), 练案[19] 则g'(x)=f'(x)+f'(-x)=e+e-2, 由于e+e>2(x≠0)，故g'(x)>0, A组基础巩固 g(x)在(0，+∞)上单调递增，而x2>0, 1.[解析](1)因为f'(x)=x(2lnx+1),x>0, .g(x2）>g(0)=0, 令f(x)=0,解得x=ez, .f(x2)-f(-x2)>0即f(x2)>f-x2), fx)=f代x2)=0,.f代x1）>f代-x2), 当xe0,e立）时f'(x)<0f(x)单调递减， :1,-2e（-0,0)且f八x)在(-∞，0)上单调递减， 1<-2,即1+x<0. 当xee之，+o时f(x)>0f(x)单调递增， ②令F(x)=x·e2-2r+x(x>1), 则fx)的单调递减区间为(0，e宁)，单调递增区间为(。宁 下面先证明F(x)>2,F"(x)=(1-2x)e2-x+1,令h(x)=(1 -2x)e2-2r+1, +的）片 x>1,h'(x)=(4x-4)e2-2>0,F(x)在(1，+0)上单调递增， .F'(x)>F'(1)=0,∴.F(x)在(1，+o)上单调递增， (2)依题意，存在x>0,使得a≥xnx, .F(x)>F(1)=2, 令g(x)=xnx,则g'(x)=lnx+1, 即x·e2-2r+x>2在x>1总成立， 当x∈(0，)时g()<0,g)单调递减。 fx2)=e2-x2-a=0,a=e2-x, 又f[2(1-a)-2]=e2-m-2-(2-2a-2）-a=e2.e2-2n 当∈（日，+）时，g()>0,8()单调境增， +e2-2, :e2>1,由F(x)>2知e2·e2-2e2+e2>2, 故m=s(日）=，因此a≥ e 则f[2(1-a)-x32]>0=f(x), 又a>1,2(1-a)-x2<0且x1<0及f(x)在（-0,0)上单调 故a的取位范图为{aa≥-日} 递减， 2.[解析]由题意知f'(x)-x)≥0恒成立， 2(1-a)-x2<x1,即1+x2>2(1-a) 廊号-min≥0恒成立号≥mln(x>0。 C组拓展应用（选作） [解析](I)因为fx)=a(e*+a)-x,定义域为R, 【易错点】注意自变量的取值范围 所以f'(x)=ae*-1, x2 当x=1时，2≥ml血x恒成立， 当a≤0时，由于e*>0,则ae≤0， 故f(x)=ae*-1<0恒成立， 当x>1时2im≥m: 所以f代x)在R上单调递减； 当a>0时，令f'(x)=ae-1=0,解得x=-lna, 当0<x<1时，2imx≤m 当x<-lna时f'(x)<0,则fx)在(-o,-lna)上单调递减； 【卡壳点】分离参数，构造函数 当x>-lna时，f'(x)>0,则f(x)在(-lna,+o)上单调递增； x2 综上：当a≤0时，f(x)在R上单调递减； 令8)=2则g()=2, 2(Inx)2, 当a>0时f(x)在(-o，,-lna)上单调递减，f(x)在(-na, 当0<x<1时， +∞)上单调递增. g'(x)<0,g(x)单调递减且g(x)<0, 587 x-0时，20x0m≥0 又g(2）=4+3>0, 当x>1时，令g'(x)=0,得x=E, “(x)>)在[分，2]上恒成立， .当1<x<E时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 当x>e时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 若存在mme[分2 .g(x)≥g(Ve)=e,.m≤e. 使得lf代m)-g(m2)1<9成立， 综上知0≤m≤e,故实数m的取值范围是[0，e]. 3.[解析]由题意知g(x)=ln(x+1)+m2-sinx, 只需要6（兮）-）<9，即子+3-(2-a)<9,解得-8< 则g0)-0,g(到=+2mr-ms,g(0）=-0 a<4. 由于a>3,所以实数a的取值范围是(3,4). 令h(x)=g(,则h()=2m-1++sim B组能力提升 1.[解析](1)f'(x)=6x2+10x+4=(x+1)(6x+4). h'(0)=2m-1. ①若0<m<分，因为当x(-1,受）时，=a中及y= 在(-，-10(-子+如）上()>0)单调造塔 snx单调递增，所以h'(x)在(-1，）上单调递增 在(-1，-子)上'(x)<0x)单调递减 又h(0)=2m-1<0,h(）=2m+1- 综上x)的单调递增区间为(-”，-1)利(-子，+)，单调 5>0 遵减区同为-1，-号) 所以存在∈(0，受），使得N'()=0 (2)由(1)可知x)在[-3，-1)和(-子，]上单调递增，在 所以当x∈（-1，xo)时，h'(x)<0, 所以g'(x)在(-1，xo)上单调递减 (-1,-号)上单拥递减 又g'(0)=0,所以当xe(-1,0)时，g'(x)>0,当xe(0,） 时，g'(x)<0, 又-3)=-21-0=1(-号）=器=山 所以g(x)在(-1,0)上单调递增，在(0，x)上单调递减， 所以在[-3,1]上，-21≤fx)≤11. 此时x=0是g(x)的极大值点. 又g(x)=x2+2x-m-7=(x+1)2-m-8. ②若m≥7，当xe(0,受）时，(x)=2m (1+)7+sinx≥1 1 所以在[-3,3]上，g(x)n=g(-1)=-m-8,g(x)m=g(3) =-m+8. 1+x+smx>0,所以A(x)在(0，）上单调遂增。 1 即-m-8≤g(x)≤-m+8. 因为Hx1e[-3,3],3x2e[-3,1],g(x)=fx2), 所以g()>g(0)=0,所以g()在(0，受）上单调递增。 所以-m-8≥21解得-3≤m≤13. l-m+8≤11， 因此x=0不可能是g(x)的极大值点。 故m的取值范围是[-3,13] 综上，实数m的取值范围为(0,2) 2.[解析](1)f'(x)=3x2-2ax=(3x-2a)x 4.[解析](1)fx)的定义域为(0，+∞)， 当a=0时f'(x)=3x2≥0（当且仅当x=0时取“=”），f(x) 且f'(x)=1-a-b 在R上单调递增 xx 当a<0时(x)的单调递增区间为(-如，号），(0，+0)， 由题意f'(1)=1-a-b=0,得b=1-a. 则f'(x)=1-a-1-0--ax-(1- xx +2 x)的单调逻减区间为（号，0）小· =x-1)[x-(a-1)】 当a>0时x)的单增区间为(-，0).(，+)： x 令f'(x)=0,得x1=1,2=a-1. 单调递减区间为(0，号)】 若1<a<2,则函数f(x)的单调递增区间为(0，a-1),(1, +o),单调递减区间为(a-1,1)； (2)①由x3-ax2≥lnx恒成立 若a=2,则函数f代x)无单调递减区间，单调递增区间为(0，+∞)； 若a>2,则函数f(x)的单调递减区间为(1，a-1),单调递增区 s()） 间为(0,1)，(a-1,+∞). In x 令g(x)=x- 2, (2)若a>3时，)在[2，小上单词递增，在(1,2)上单调 g'(x)=1--2nx-2+2nx-1 x 递减， 所以f(x)的最大值为f1)=2-a<0. 令p(x)=x+2nx-1,p(x)在(0，+∞)上单调递增， 注意到p(1)=0,当0<x<1时，p(x)<0, 易知g()在[，2]小上单调道塔 g'(x)<0,g(x)单调递减； 则到=(分）月 当x>1时，p(x)>0,g(x)>0,g(x)单调递增， g(x）mn=g(1）=1,.a≤1， -588- 实数a的取值范围为(-o,1]. C组拓展应用（选作） y=f(x) [解析](1)f"(x)=-a= -a(a≠0)， 当a<0时，由于x>0,所以f(x)>0恒成立，从而f(x)在(0， +∞)上递增； 当a>0时0<<日f(x)>0:>日(<0， 由图象可得函数f(x)的零点个数为2.故选C. 从而)在(0，)上递增，在（仔，+）递减： 2Bc因为)=-点所以f()-,令f()<0,得< 1;令f'(x)>0,得x>1,所以f(x)在(-0,1)上单调递减；在 综上，当a<0时，f(x)的单调递增区间为(0，+0)，没有单调 (1,+∞)上单调递增.可知f代x)在x=1处取得唯一极小值，也 递减区间： 是f代x)的最小值，所以f(x)的极值点为x=1,故A错误，B正 当a>0时，(x)的单调递增区间为(0，。) ,单调递减区间为 确：肉为2=会/2)=所以)在=2处的切线方 (六，+)月 14 程为+冬专红-2.即中故C正确因为0 e (2)令M)=)-g)=h-忌要使s)≤8) =01)=-上<0，结合fx)在(-0,1)上的单调性，可知 e 成立， x=0是f(x)在(-0,1)上的唯一零点；当x>1时，e>0恒成 只要使h(x)≤0恒成立，也只要使h(x)≤0. he)=士-a+2=-a+a=2 立，故x)=-言<0恒成立，所以()在（山，+）上没有零 ax 点；综上：fx)只有一个零点，故D错误.故选BC. 若a>0,x>0,所以ax+1>0恒成立， 函数y=xnx-mr2有两个极值点， 当0<x<2时，h(x)>0,当2<x时，h'(x)<0, f'(x)=lnx-2mx+1有两个零点， 可知4()在(0，子)内单调造谐，在（层+以）内单调漫演。 解法一f'(x)=lnx-2mx+1=0e2m=血x+山 所以()=h(）=h-3≤0， 令g(x)=血x+1,则g(x)=n=0,得x=1, a 解得a≥2 由g'(x)>0得0<x<1,由g'(x)<0得x>1, ∴.g(x)在区间(0,1)上递增，在区间(1，+∞)上递减 可知a的装小管为子 y=g(x)图象如图所示： .0<2m<1, 若a<0,x>0,所以ax-2<0恒成立， 即0<m<2 1 当0<<-时，6()<0，当-<x时，h(>0, 解法二：f'(x)=l1nx-2mx+1有两个 可知()在(0，-日）内单调递减。 零点→函数y=nx与y=2mx-1的图象有两个交点， 又直线y=2mx-1的图象过定点(0，-1)， 在(-。，+如）内单调递增。 当直线y=2mx-1与y=lnx的 y=x-1 图象相切时，设切点为(， y=2mx-1 所以h(x)在(0，+∞)内无最大值，且当x趋近于+∞时， In xo), 1=1nx h(x)趋近于+∞，不合题意； y=,则切线的斜率为上 除上所运a的最小金为号 x 所以切线方程为 练案[20] y-ln0=(x-), A组基础巩固 将点(0，-1)代入得-1-1nx=-1,解得x=1, 1.C f'(x)sin x +xcos x -sin x =xcos x, 即切线的斜率为1，即2m=1,所以m=分 当xe(-受0)时()<0)单调递减。 由图可知，当0<m<2时，y=lnx与y=2mx-1的图象有两个 当xe(0,受）时，f(x)>0)单调递增。 交点，则实数m的取值范围是(0，） 当xe(受，m）时f(x)<0x)单调递减。 由题意知f'(x)=me+x 又(-号）=受-1>00)=0（受）=受-1>0m)= =3有三个不同的根 -2<0, 即m=3-有三个不同的根。 er 则fx)=xsin x+cosx-1的草图如下： 令g(x)=3-x2 er, -589