练案18 第三章 第三讲 第一课时 导数与不等式的证明-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习练案

练案[18] 第三讲导数的综合应用 第一课时导数与不等式的证明 %A组基础巩固 3.已知函数f(x)=e,当x>-2时，求证：f(x)>ln(x+ 2). 1.（2025·河北保定期中)已知函数f(x)=e+sinx- 2x,g(x）=2-c0sx. (1)已知直线x-y+a=0是曲线y=g(x),x∈[0，π]的 切线，求实数a的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)求证：(x)≥g(x)恒成立. 2.当x>y>e-1时，求证：e1ln(y+1)>eln(x+1). 4.（2022·北京卷节选)已知函数f(x)=e1n(1+x). (1)设g(x)=∫'(x),讨论函数g(x)在[0，+∞)上的 单调性； (2)证明：对任意的s,t∈(0，+∞)，有f(s+t)>f(s) +f(). —315— B组能力提升 的C组拓展应用（选作）身 1.（2025·陕西适应性检测)已知函数f(x)=e-1-x (2023·新课标I卷)已知函数f(x)=a(e+a)-x. -ax2. (1)讨论f(x)的单调性； (1)当a=0时，求fx)的单调区间； (2)证明：当a>0时x)>2ha+号 (2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的 取值范围； (3)若x>0,证明：(e-1)ln(x+1)>x2. 2.(2024·乌鲁木齐市实验学校高三月考)函数f(x)= e*-x-a,aER. (1)求函数y=f(x)的单调区间及极值； (2)若x1,x2是函数y=f(x)的两个不同零点，求证： ①x1+x2<0;②x1+x2>2(1-a). —316—当x>-1时，h'(x)>0, 练案[18] 即有h(x)在(-2，-1)上单调递减，在(-1，+∞）上单调 A组基础巩固 递增， 1.[解析](I):g'(x)=simx,xe[0,π]， 于是当x=-1时，h(x)n=h(-1)=0, g(x)=simx=1,解得x=受…切点为（受，2 因此x+1≥n(x+2)(当且仅当x=-1时取等号)，所以当x> -2时，f(x)>n(x+2). 7-2+a=0,a=2-受 4[解折]()图为()=()=心[h(1+)++] (2)f'(x)=e+cosx-2, 当xe（-o,0]时，e≤1，cosx≤1，∴.f'(x)≤0f(x)单调递减， 当xe[0,+o)时，f"(x)=e-sinx,e*≥1，sinx≤1， "(x)≥0，f'(x)单调递增， 令h(x)=ln(1+)+1+x(1+x)2 21 f'(x)≥f'(0)=0,fx)单调递增. 2 2 x+1 综上所述，f(x)在(-∞，0]上单调递减，在[0，+∞)上单调 则h'(x)=1+1++1+1+>0, 递增. h(x)在[0，+o)上单调递增， (3)证明：f(x)≥g(x)恒成立e+sinx-2x+cosx-2≥0， .h(x)≥h(0)=1>0, 恒成立→i血x+csx-2x-2+1≥0恒成立 ∴g'(x)>0在[0，+∞)上恒成立， ∴.g(x)在[0，+∞）上单调递增. 令hx）=mx+csx-2x=2+L, (2)证明：原不等式等价于f(s+t)-f(s)>f(t)-f(0), e ()=(cos x-sin -2)-(sin +cos x-2x-2)_2(x-sin x) m(x)=f(x+t)-f(x),(x,t>0), 即证m(x)>m(0), e .m(x)=f(x+t)-f(x)=e*"In(1+x+t)-e'ln(1+x), 令m(x)=x-sinx,则m'(x)=1-cosx≥0， .m(x)单调递增， a=心n1++)土en+切a 又.m(0)=0, t)-g(x), ·当xe(-,0]时，m(x)≤0，即h'(x)≤0，h(x)单调递减； 当xe[0,+o)时，m(x)≥0，即h'(x)≥0，h(x)单调递增； 由(2)知g(x)=f(x)=e(n(1+)+十)在[0，+)上单 ∴.h(x)≥h(0)=0,.f代x)≥g(x)恒成立. 调递增， 2.[证明]x>y>e-1,.x+1>y+1>e, .g(x+t)>g(x), 即ln(x+1)>ln(y+1)>1, .m'(x）>0, 欲证eln(y+1)>eln(x+1) ∴.m(x)在(0，+o)上单调递增，又因为x,t>0, 明证明n e .m(x)>m(0),所以命题得证 B组能力提升 e 令g(x)=n(x+1) 1.[解析](1)由题意可知，当a=0时， fx）=e-1-x,xeR, 则g'(x)= [a(+)- 则f(x)=e-1,令f'(x)=0,则x=0,当x>0时， n2(x+1) f'(x)>0;当x<0时f'(x)<0, 显然函数h(x)=ln(x+1)- +在(e-l,+0)上单调递增， 所以f(x)在(-0,0]上单调递减，在[0，+∞)上单调递增. (2)由条件得f'(x)=e-1-2ar, h(x)>1-1>0,即g(x)>0, 令h(x)=e-1-2ax,则h'(x）)=e-2a, e g(x)在(e-1,+0)上单调递增， ①当2a≤1，即a≤7时，在[0，+]上小()≥0， :x>y>e-1时，g(x)>g(y), 即h(x)单调递增， er 即n+1)之n(y+ 所以h(x)≥h(0),即f'(x)≥f'(0)=0, f代x)在[0，+∞)上为增函数，∴fx)≥f(0)=0, .当x>y>e-1时，eln(y+1)>eln(x+1)成立. 3.[证明]设g(x)=f(x)-(x+1)=e-x-1(x>-2) a≤了时满足条件。 则g'(x)=e-1, ②当2a≥1时，令h'(x)=0, 当-2<x<0时，g'(x)<0; 解得x=ln2a,在[0，n2a]上，h'(x)<0,h(x)单调递减， 当x>0时，g'(x)>0, ∴.当xe[0,ln2a]时，有h(x)<h(0)=0, 即g(x)在(-2,0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 即f'(x)<f'(0)=0,则f代x)在(0，ln2a)上为减函数， 于是当x=0时，g(x)mim=g(0)=0, ∴f(x)<f(0)=0,不合题意 因此f代x)≥x+1(当且仅当x=0时取等号)， 令h(x)=x+1-ln(x+2)(x>-2), 综上，实数a的取位范国为(-0，] 【卡壳点】利用x+1作为中间量，进行放缩 则h'(x)=1-1=x+1 (3)证殇：由(2)得，当a=弓且x>0时，e>1++号 x+2x+2' 则当-2<x<-1时，h'(x)<0, 即e-1>+号2 2· 586 要证不等式(e-1)n(x+1)>x2, (2)证明：由(1)得 只需证明e-1>1n(x+D x2 f(x)in =f(-In a)=a(e-a+a)+In a=1+a2+In a, 要证>2na+2,即证1+d2+na>2a+2 3 只需证明+2： x2 a 2>n(x+1)1 只香证+>杂 即证。2-分-ha>0恒成立， 设r)=lh(x+）-2年(e>0. xg(a)=a--]-Ina(a>0) 1 4 则g'(a)=2a- 1-2a-1 则F()=x中x+2+lx+27x>0. a 所以当x>0时，F'(x)>0恒成立，故F(x)在(0，+∞)上单调 令ga)c0.则0<a9:令g>0. 递增， 又F(x)=0.F(x)>0恒成立，原不等式成立. 2.[解析](1)f(x)=e-x-a定义域为R,f"(x)=e-1, 令f'(x)>0,则x>0,令f'(x)<0,则x<0, 所以)在(0，号)上单润遵减，在（受，+）上单调递指。 f(x)递减区间为(-0,0)，递增区间为(0，+∞)， f代x)根小位=f代0)=1-a,无极大值. 所以&a)=g(9)=(停)'-3-h=n2>0, (2)证明：由(1)知x→-∞时fx)→+∞+0时f(x)→+0， 则g(a)>0恒成立， 要使f代x)有两个不同零点x1,x2,则f0)=1-a<0即a>1, 不妨设x1<0<x2, 所以当a>0时)>2ha+子恒成立.证毕 ①令g(x)=f(x)-f-x)=e'-e-2x(x>0), 练案[19] 则g'(x)=f'(x)+f'(-x)=e+e-2, 由于e+e>2(x≠0)，故g'(x)>0, A组基础巩固 g(x)在(0，+∞)上单调递增，而x2>0, 1.[解析](1)因为f'(x)=x(2lnx+1),x>0, .g(x2）>g(0)=0, 令f(x)=0,解得x=ez, .f(x2)-f(-x2)>0即f(x2)>f-x2), fx)=f代x2)=0,.f代x1）>f代-x2), 当xe0,e立）时f'(x)<0f(x)单调递减， :1,-2e（-0,0)且f八x)在(-∞，0)上单调递减， 1<-2,即1+x<0. 当xee之，+o时f(x)>0f(x)单调递增， ②令F(x)=x·e2-2r+x(x>1), 则fx)的单调递减区间为(0，e宁)，单调递增区间为(。宁 下面先证明F(x)>2,F"(x)=(1-2x)e2-x+1,令h(x)=(1 -2x)e2-2r+1, +的）片 x>1,h'(x)=(4x-4)e2-2>0,F(x)在(1，+0)上单调递增， .F'(x)>F'(1)=0,∴.F(x)在(1，+o)上单调递增， (2)依题意，存在x>0,使得a≥xnx, .F(x)>F(1)=2, 令g(x)=xnx,则g'(x)=lnx+1, 即x·e2-2r+x>2在x>1总成立， 当x∈(0，)时g()<0,g)单调递减。 fx2)=e2-x2-a=0,a=e2-x, 又f[2(1-a)-2]=e2-m-2-(2-2a-2）-a=e2.e2-2n 当∈（日，+）时，g()>0,8()单调境增， +e2-2, :e2>1,由F(x)>2知e2·e2-2e2+e2>2, 故m=s(日）=，因此a≥ e 则f[2(1-a)-x32]>0=f(x), 又a>1,2(1-a)-x2<0且x1<0及f(x)在（-0,0)上单调 故a的取位范图为{aa≥-日} 递减， 2.[解析]由题意知f'(x)-x)≥0恒成立， 2(1-a)-x2<x1,即1+x2>2(1-a) 廊号-min≥0恒成立号≥mln(x>0。 C组拓展应用（选作） [解析](I)因为fx)=a(e*+a)-x,定义域为R, 【易错点】注意自变量的取值范围 所以f'(x)=ae*-1, x2 当x=1时，2≥ml血x恒成立， 当a≤0时，由于e*>0,则ae≤0， 故f(x)=ae*-1<0恒成立， 当x>1时2im≥m: 所以f代x)在R上单调递减； 当a>0时，令f'(x)=ae-1=0,解得x=-lna, 当0<x<1时，2imx≤m 当x<-lna时f'(x)<0,则fx)在(-o,-lna)上单调递减； 【卡壳点】分离参数，构造函数 当x>-lna时，f'(x)>0,则f(x)在(-lna,+o)上单调递增； x2 综上：当a≤0时，f(x)在R上单调递减； 令8)=2则g()=2, 2(Inx)2, 当a>0时f(x)在(-o，,-lna)上单调递减，f(x)在(-na, 当0<x<1时， +∞)上单调递增. g'(x)<0,g(x)单调递减且g(x)<0, 587