练案15 第三章 第一讲 导数的概念及运算-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习练案

练案[15] 第三章 导数及其应用 第一讲 导数的概念及运算 A.2f'(2)<f(4)-f(2)<2f'(4) A组基础巩固 B.2f'(4)<2f'(2)<f(4)-f(2) 一、单选题 C.2f'(2)<2f'(4)<f(4)-f2) 1.(2025·北京海淀期中)已知x)=m,则∫（牙 D.f(4)-f(2)<2f'(4)<2f'(2) 7.（2024·宣城模拟)若曲线y=anx+x2(a>0)的切线 = A.1 B.2 的倾斜角的取值范围是[胥，），则α= () C.-1 D.-2 3 .24 B. 2.函数f(x)=x(e-1)+lnx的图象在点(1，f(1))处 的切线方程是 ( C.3 D.3 A.y=2ex -e-1 B.y=2ex -e+1 8.（2024· 全国甲卷)设函数)=+2s,则曲线y C.y=2ex +e-1 D.y=2ex +e+1 1+x2 3.(2024·浙江绍兴二模)函数f(x)=x+alnx在点(1， =∫(x)在(0,1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的 1)处的切线与直线y=2x平行，则a= ( 面积为 () A.1 B.2 B.I 1 C.2 02 C.-1 D.-2 二、多选题 4.(2024·河北保定三模)曲线f(x)=e-3x在点(0 9.(2023·珠海调考改编)下列求导运算不正确的是 (0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ( B. A(+》=1+ 6 1 c B.(log2x)'=- xIn 2 C.(3r)'=3·log3e 5.(2025·江西景德镇质检)过点A(0,1)且与曲线f(x) D.cos x)'=-2xsinx =x3+2x-1相切的直线方程是 ( 1 A.y=5x+1 B.y=2x+1 10.若直线y=2+b是函数f八x)图象的一条切线，则 C.Y=x+1 D.y=-2x+1 函数f(x)可以是 6.函数y=f(x)的图象如图所示，f'(x)是函数f(x)的导 Ax)=1 B.f八x)=x4 函数，则下列数值排序正确的是 C.f(x)=sin x D.f(x)=e 11.(2022·新高考8省联考)已知函数f八x)=xln(1+x), 则 ( A.f(x)在(0，+∞)上单调递增 B.f(x)有两个零点 —309 C曲线y=)在点(-7-2)处的切线的斜 A.0<f'(2)<f'(3)<f3)-f2) B.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2) 率为-1-ln2 C.0<f'(3)<f3)-f(2)<f'(2) D.f(x)是偶函数 三、填空题 D.0<f(3)-f2)<f'(2)<f'(3) 12.(2025·北京师大附中月考)曲线f(x)=xe+2在点 4.(2024·山东枣庄期中)若点P是曲线y=x2-nx上 (0f(0)处的切线方程为 任意一点，则点P到直线y=x-4的最小距离为 13.(2025·陕西适应性检测)若直线y=-2x+号与曲 ( A.1 B.2 线y=分-ax相切，则a= C.22 D.42 14.（2024·贵州模拟)过点P(1,-3)作曲线y=2x3-5.(2024·河北邢台二模)已知函数f(x)=x2+2x的 3x的切线，请写出切线的方程 或 图象在A(x1(x),B(x2(x2))两个不同点处的切 线相互平行，则下面等式可能成立的是 () 15.(2025·辽宁期中）已知直线y=x+t是曲线y= A.x1+x2=2 B+5=9 ln(x-1)和y=ax2-3x的公切线，则a+t的值为 10 C.x1x2=2 D.x12=3 B组能力提升 6.(2024·山东潍坊模拟)阅读材料： 求函数y=e的导函数， 1.(2024·广西开学考试)曲线f(x)=nx+2x+3在A 解：因为y=e,所以x=lny,所以x'=(lny)',所以1 点处的切线与直线x+3y-2=0垂直，则切线方程为 ·y',所以y'=y=e. A.x+3y+2=0 B.3x-y-1=0 借助上述思路，曲线y=(2x-1),xe(3,+∞在 C.x-3y+2=0 D.3x-y+2=0 点(1,1)处的切线方程为 2.(2024·湖南长沙二模)已知m>0,n>0,直线y=2 A.y=4x-3 B.y=4x+3 C.y=2x-3 D.y=2x+3 卡m与曲线y=2nx-n+4相切，则二+的最小值 7 是 的C组拓展应用（选作）男 A.4 B.3 C.2 D.1 (2025·安微鼎尖教育联盟期中联考)已知曲线f(x) 3.(2023·四川名校联考)已知函数f(x)的图象如图所 =em-1-ln(x+1),(x>-1)在点(0，f(0))处的切 示，∫'(x)是(x)的导函数，则下列数值排序正确的是 线与直线x+2y+5=0垂直，则a的值为() A.1 B.-1 C.3 D.-3 0123 —3104t,0≤t<1, ·当9≤x<e3时，P'(x)>0,P(x)单调递增， 3.AD由函数图象可知y= 当x>e时，P'(x)<0,P(x)单调递减， 当x=e3时，P(x)取得最大值为P(e)=11-lne3-1=7(万元)， 当t=1时，y=4, …7>3， 即（分 1 =4,解得a=3, ∴.当x=e≈20时，P(x)的最大值为7万元. “当年产量约为20万件时，方同学的A产品所获得的年利润最 r4t,0≤t<1, 大，最大年利润为7万元. y= 1-3 故A正确： C组拓展应用（选作） C设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为α，设当学 药物刚好起效的时间，当4=0.125，即4=2 生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了x天， 药好失效的时洞()广：01西。 由题意得a(1+0.01)=2a,即(1+0.01)=2，由于lg101≈ 2.0043,故1g1.01=lg00≈0.0043，则xg1.01=lg2,x= 解得t=6, 1g20.3010 放药物有效时长为6-立=5动（小时）. 1g1.010.0043=70(天)，故选C 注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时， 练案[15] 故B错误，D正确； A组基础巩固 注射该药物g小时后每毫升血液含药量为4× 8=0.5(微 1B因为f)=0所以f'()-立= 克)，故C错误 cos'x cs所以 4.D由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为 f(平)= -=2,故选B rg2-80x+5040e[120,l4) S= 2-20+8000e[14,501. 2.A由函数f代x)=x(e-1)+lnx知f1)=e-1,f'(x)=e-1 1 +e+,所以切线的斜率=f"(1)=2e,在点(1,1)处的 当x∈[120,144)时， 切线方程是y-(e-1)=2e(x-1),化简得y=2ex-e-1.故 s=3-80r+5040=(-120)2+240. 选A 当x=120时，S取得最小值240， 3.Af(x)=1+,则f(1)=1+a,因为函数x)在点(1,1)处 当xe[144,500]时， 的切线与直线y=2x平行，所以f'(1)=1+a=2,解得a=1,故 =分+00-a0≥2、 21x.80000-200=200■ 选A. 当且仅当}-00，即=40时版等号，此时5取得最小值 .C由fx)=e-3x,得f'(x)=e-3,则f代0)=1，f'(0)=-2, 所以曲线f代x)=e-3x在点(0，f(0)处的切线方程为y=-2x 200,综上，当每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低 +1.令y=0,得=令=0，得)=1，放该切线与两坐标轴 为200元，故选D. 5.[解析](1)因为产品售价为5元，则x万件产品销售收入为 所围成的三角形的面积为分×分×1=子故选C 5x万元. 5.Af'(x)=3x2+2,点A不在曲线上，由已知可求得切线过点 依据题意得，当0<x<9时，P(x)=5x- (+6-8-1=7 （-1,-4),得直线方程为，y=5x+1,故选A. 6.A先由f(x)的图象，确定f(x)的单调性，再根据图象斜率的变 (任+ 化情况，判断f'(x)的单调性，最后由函数的凹凸性进行判断， 当≥9时，P()）=5x-(5x+n+g-12）-1=1-1n 即可得到答案.由函数fx)的图象可知，当x≥0时f(x)单调递 增，所以f'(2)>0f'(4)>0,f(4)-f(2)>0,由此可知，f'(x)》 在(0，+∞)上恒大于0，因为直线的斜率逐渐增大，所以f'(x) 单调递增，所以f'(2)<f'(4),则2f'(2)<2f'(4),因为f'(2) 7-(生+0<<9 <4)2<'(4),所以2f'(2)<f4)-f(2)<2f"(4).故 所以P(x)= x∈N 4-2 1-lnx-g,x≥9， 选A. (2)当0<x<9时，P(x)=7-(生+，因为是+≥ 7B因为y=anx+(a>0),所以'=是+2x≥22a,因为 2√任=A(多且仅当兰=，即x=2时取等号），所以P叫 曲线的切线的倾斜角的取值范围是[号，），所以斜率k≥万， =7-(生+小s3。 因为后=2，所以a号 即当x=2时，P(x)取得最大值为P(2)=3(万元)， 8.Af'(x）=(e+2os)+e+2sin）2x,则fr(0)= (1+x22 当9时，)=-h-是P心) (e'+2c0s0)(1+0)-(e°+2sim0)×0=3,即该切线方程为 (1+0)2 -579- y-1=3x,即y=3x+1,令x=0,则y=1,令y=0,则x=- 1B组能力提升 3 放该切线与两坐标轴所固成的三角形面积S=子×1× 1.D由x)=nx+2x+3,得()=+2，x>0,设A(,n1+ -号=石故选 21+3),>0,则f()=+2,由题意可得，直线x+3y-2=0 9ACD因为(x+=1-之，所以选项A不正确：因为 的斜率为-写，所以曲线f(x)在过点A处的切线的斜率为3， 所以了()=+2=3，解得=1，则可得切点4(1,5)，所以切 (g)'=n2,所以选项B正确；因为(3)'=3h3,所以选项 线方程为y-5=3(x-1),即3x-y+2=0.故选D, C不正确：因为(cos x)'=2 xcos x-x sin x,所以选项D不正 确.故选ACD. 2.D由于直线y=名x+m与曲线y=2加x-n+4相切，设切点 10BCD直线y=子+b的斜率k=之f)=的导数为 为(%)，且=名，所以名=2，则切点的横坐标=e,则 f'(x)=-马，即切线的斜率小于0，故A不正确(x)=x的 2+m=2-n+4,即m+n=4又m>0,>0,所以(m+0(月 导数为f(x)=4x2,令4x= 号解得x=子故B正确)= +)=2+只+兴≥2+2√偏×只=4，即品+≥1，当且 smx的导数为f()=osx,而cs=方有解，放C正确： 仅当m=n=2时取等号，所以+上的最小值为1.故选D. m n 八)=e的导数为了()=e,令。=解得x=-1h2,故D 3.C设f"(3),3)-f2)=3》-2) Y 正确.故选BCD. 3-2 11.ACf代x)=xn(x+1),所以当x>0时，f'(x)=n(x+1)+ f'(2)分别表示直线n,m,l的斜率，数形 +>0,所以x)在(0，+∞)上单调递增，所以A正确： 结合知0<f'(3)<f3)-f2)<f'(2), 故选C 0123x 令xn(x+1)=0,所以x=0或ln(x+1)=0,所以x=0,故4.C直线y=x-4的斜率k=1,函数y=x2-nx定义域为(0， f代x)只有1个零点0，所以B不正确； +o),点P是曲线y=x2-nx上任意一点，设P(x,y)(x>0), f()=h(x+1)+年，所以f'(-）=n分-1= 1 由y=2x-(x>0),令y=2x-=1,解得x=1或x=-号 -1-ln2,所以C正确： 定义域不关于原点对称，所以f(x)不是偶函数，所以D不正 (舍去)，x=1,此时y=1,.曲线上与直线y=x-4平行的切线 确.故选AC. 的切点为P(1,1),所以曲线y=x2-lnx上点P到直线y=x- 12.x-y+2=0因为曲线fx)=xe*+2,所以f'(x)=e+xe,将 4的最小距离，为点P。(1,1)到直线y=x-4的距离d= x=0带入曲线中可得f(0)=2,带人导函数中可得f'(0)=e° 1-1-41=22.故选C =1,所以曲线f(x)=xe+2在点(0,2)处的切线方程为y-2 2 =x,即x-y+2=0. 133设直线=-2x+号与曲线y=行2-a相切于点(， 5.B因为)=2+2n>0所以f()=2+2x>0.又 因为f(x)在A(1f(x)),B(:2x2)两个不同点处的切线相 子号-a）,由y=了2-a得=2-a,号-a=-2a 互平行，所以f)=)32,+层=2+号义 =后+2.又分-=-2+子分-（+2） 所以x2=1,故CD错误；因为x1>0,2>0且x1≠2，所以x 2 -2x+3,解得x0=-1,a=1+2=3. +>2=2,放A不成立：当名=号名=3时，+= 14.3x+y=021x-2y-27=0设切点为(a,2a3-3a),而f'(x) 9故B成立放选B =6x2-3,所以切线的斜率k=f'(a)=6a2-3,故切线方程为 y-(2a3-3a)=(6a2-3)(x-a),因为切线过点(1，-3)， 6.A解法一：因为y=(2x-1)+1,所以lny=(x+1)n(2x-1), .∴.-3-(2a-3a)=(6a-3)(1-a),化简可得a=0或a= 所以·Y=h(2-1)+2,所以y 子，则切点为(0.0)或（子，？），则代人得切线方程为：3x+ y=0或21x-2y-27=0. [2-0+22-1当x=1时y=4,所以 150令)=n(x-),则了()=因为直线y=+1是 /1 线y=(2x-1),x∈（2，+∞)在点(L,1)处的切线方程为 1 曲线y=血(x-1)的切线，所以由旷'()=x-=1解得x=2, y-1=4(x-1),即y=4x-3. 解法二：观察过点(1,1)的切线只有A选项，所以选A 此时f2)=ln1=0所以fx)在(2,0)处的切线为y=x-2,所 C组拓展应用（选作】 以t=-2,又y=x-2是y=ax2-3x的切线，联立 [=:2,得a㎡-4x+2=0,令4=16-8a=0解得a=2, C)=e-1-h(x+10)=ae“中i则f0)=a Iy=ax2-3x. -1,曲线fx)在点(0，f(0))处的切线与直线x+2y+5=0垂 所以a+t=0. 直，所以a-1=2,解得a=3. 580