练案9 第二章 第四讲 幂函数与二次函数-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习练案

练案[9] 第四讲 幂函数与二次函数 的A组基础巩固 二、多选题 9.下列关于幂函数的论述正确的是 一、单选题 A.若α=0，则幂函数y=x“的图象是一条直线 1.若f代x)=x2-ax+1有负值，则实数a的取值范围是 B.若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个 函数一定相同 A.(-0,-2] C.若幂函数为奇函数，则图象一定经过点(-1，-1) B.（-2,2) D.幂函数的图象一定经过点(1,1)，且一定不经过点 C.（-0,-2)U(2,+0) (1,-1) D.(1,3) 10.（2024·浙江衢州月考)已知幂函数∫(x)= 2.已知函数f(x)=(m-1)x2-2mx+3是偶函数，则在 91 （-0,0)上此函数 (m+号)“，则下列结论正确的有 A.单调递增 B.不是单调函数 A.f-32)=i6 C.单调递减 D.不能确定 B.f(x)的定义域是R 3.幂函数y=f(x)的图象经过点(3,5)，则f(x)是（ C.f(x)是偶函数 A.偶函数，且在区间(0，+0)内是增函数 D.不等式f(x-1)≥(2)的解集是[-1,1)U(1,3] B.偶函数，且在区间(0，+∞)内是减函数 11.已知函数y=x2-4x+1的定义域为[1，]，在该定义 C.奇函数，且在区间(0，+∞)内是减函数 域内函数的最大值与最小值之和为-5，则实数t的 D.非奇非偶函数，且在区间(0，+∞)内是增函数 值可以为 4.(2025·天津模拟)已知幂函数f(x)=(m2-3m+3) A.1 B.2 C.3 D.4 ·xm+1为偶函数，则m= 三、填空题 A.1 B.2 12.(2024·大庆模拟)已知函数f(x）=(m2-m-1)· C.1或2 D.3 x+3是幂函数，且在(0，+∞)上单调递增，则f(2)= 5.已知函数f(x)=3x2-12x+5在区间[0，n]上的最大 值为5，最小值为-7，则n的取值范围是 ( 13.已知二次函数的图象过点(-3,0)，(1,0)，且顶点到 A.[2,+∞) B.[2,4] x轴的距离等于2，则二次函数的表达式为 C.（-∞，2] D.[0,2] 6.函数f(x)=ax2+2x+1与g(x)=x“在同一直角坐标14.已知函数fx)=x“+2x(a≠0)，且f4)=10,则a= 系中的图象不可能为 ,若f(m)>f(-m+1),则实数m的取值范 围是 四、解答题 15.已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求)在-分引上的最大值： (3)若函数f(x)在区间[2a,a+1]上不单调，求实数 a的取值范围. 7.已知函数f(x)=x3,若a=f(0.60.6),b=f(0.604), c=f(0.406),则a,b,c的大小关系是 ( A.a<c<b B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 8.（2025·山东模拟)已知f(x)=-2x2+bx+c,不等式 f(x)>0的解集为(-1,3).若对任意的xe[-1,0], f(x)+m≥4恒成立，则m的取值范围是 A.(-0,2] B.[4,+∞) C.[2,+o) D.(-∞，4] -295 B组能力提升9 6.已知二次函数f(x)的最小值为3，且f(1)=f(3)=5. (1)求f代x)的解析式； 1.已知幂函数y=x(p,9∈N,9>1且p,9互质)的图 (2)若y=f(x)的图象恒在直线y=2x+2m+1的上 象如图所示，则 方，求实数m的取值范围. A.P,9均为奇数，且卫>1 9 B.g为偶数，p为奇数，且卫>1 9 C.9为奇数，p为偶数，且卫>1 9 D.g为奇数，p为偶数，且0<卫<1 2.已知函数f(x)=x2-2(a-1)x+a,若对于区间[-1， 2]上任意两个不相等的实数x1,x2,都有f(x:)≠ f八x2),则实数a的取值范围是 () A.(-0,0] B.[0,3] C.(-0,0]U[3,+o)D.[3,+∞) 3.已知函数f(x)=(m2-m-5)xm-6是幂函数，对任意 C组拓展应用（选作）男 ∈(0，+∞)，且1≠2，满足）-八) >0,若 x1-X2 已知函数f(x)=x2-alx-11-1(a∈R). a,beR,且a+b>0,则f八a)+fb)的值 (1)若f(x)≥0在x∈R上恒成立，求实数a的取值 A.恒大于0 B.恒小于0 范围； C.等于0 D.无法判断 (2)求f(x)在[-2,2]上的最大值M(a). 4.函数f(x)满足下列性质：①定义域为R,值域为[1， +∞)；②图象关于直线x=2对称；③对任意x1,x,∈ （-0,0),且布≠，都有）-<0.请写出函 x1-X2 数f(x)的一个解析式： (只要写 出一个即可). 5.已知幂函数f(x)=(m2-2m+1)xm-的图象过点(4,2). (1)求f(x)的解析式； (2)判断f(x)的单调性，并进行证明； (3)若f(a+1)>f(2a-3),求实数a的取值范围. -296练案[9] :11.BC函数y=x2-4x+1是开口向上，对称轴为直线x=2的抛 物线， A组基础巩固 因为函数的定义域为[1，t], 1.C·f(x)=x2-ax+1有负值，.△=a2-4>0,则a>2或a< 所以当x=1时，y=-2,当x=2时，y=-3 -2 因为在[1，t]内函数的最大值与最小值之和为-5， 2.A因为函数f代x)=(m-1)x2-2mx+3是偶函数，所以函数图 所以当y=-2时，x=1或x=3,所以2≤t≤3 象关于)轴对称，即m”=0,解得m=0所以)=-+3 为开口向下的抛物线，所以在(-∞，0)上函数单调递增，故 选A. 3.D设幂函数)=，则3)=3”=厅解得a=分 -=-2 则f代x)=xz=,是非奇非偶函数，且在区间(0，+)内是增 函数 12.21 由题意可知厂m-m-1=1, 4m+3>0. 4.A因为f(x)=(m2-3m+3)xm+1为幂函数，所以m2-3m+3 解得m=2,所以fx)=x"f代2)=2" =1,解得m=1或m=2.当m=2时，f(x)=x3,函数f(x)不是 偶函数，舍去；当m=1时，f(x)=x2,函数f代x)是偶函数. 1y=+-或)分2-+ 3 3 因为二次函数的图象 5.B因为函数f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7,所以函数fx) 过点(-3,0)，(1,0)， 图象的对称轴为直线x=2,且函数f代x)的最小值为f(2)=-7. 所以可设二次函数为y=a(x+3)(x-1)(a≠0)， 令f(x)=5,解得x=0或4，因为f代x)在区间[0，n]上的最大值 展开得y=ax2+2a.x-3a, 为5，最小值为-7，所以n的取值范围是2≤n≤4，故选B. 6.B对于A,二次函数的图象开口向下，所以a<0,此时g(x)= 顶点的纵坐标为-12a-4a 4a =-4a x“在(0，+∞)上单调递减，与图中符合： 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2. 对于B,二次函数的图象开口向上，所以a>0,此时g(x)=x在 所以1-4al=2,即a=±分 (0,+∞)上单调递增，与图中不符合； 对于C,二次函数的图象开口向上，所以a>0,此时g(x)=x“在 所以二次函数的表达式为y=分+x-多或y=宁：- (0,+∞)上单调递增，与图中符合； 对于D,二次函数的图象开口向上，所以a>0,此时g(x)=x 在(0，+∞)上单调递增，与图中符合 7.B因为0.406<0.66<0.6.4，又y=fx)=x-3在(0，+∞)上 14(分4)=4+2×4=10，即4-2，所以a= 单调递减，所以b<a<c. 所以f(x)=x之+2x=E+2x,其定义域为[0，+∞)，且f(x)在 8.B因为f代x)>0的解集为(-1,3)，所以-2x2+bx+c=0的两 [0,+o)上是增函数.由f(m)>f(-m+1)可得 rm≥0， 2 -=-1×3 个根为-1,3，所以 得b=4令g(x)=x)+ -m+1≥0.解得}<m≤1，放实数m的取值范固为（分，小 b lc=6. m>-m+1, [2 =-1+3, 15.[解析](1)f0)=f2)=3, m,则g(x)=-2x2+4x+6+m=-2(x-1)2+8+m.当x∈ ∴.二次函数f代x)的对称轴为x=1 [-1,0]时，g(x)mn=m,因为g(x)≥4在[-1,0]上恒成立，所 设函数fx)=a(x-1)2+1(a>0), 以m≥4.故选B. 则f0)=a+1=3, 9.CD由题意利用幂函数的定义和性质，逐一判断各个选项是否 解得a=2. 正确，从而得出结论.若a=0,则幂函数y=x“的图象是一条直 故f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3. 线上去掉点(0,1)，故A错误；若两个幂函数的图象至少有三个 (2). 公共点，则这两个函数不一定相同，例如函数y=x和y=x有3 分-小房- 个交点，分别为(1,1)、(0,0)、(-1，-1)，故B错误；幂函数的 w)=(-)=2×(31)）+1= 图象都过点(1,1)，幂函数为奇函数，.图象关于原点对称 故它的图象一定经过点(-1，-1)，故C正确；对于幂函数y= 即八)在[-分，引上的最大值为} x的图象，令x=1,可得1“=1，故它的图象一定经过点(1,1)， (3):函数f(x)在区间[2a,a+1]上不单调， 且一定不经过点(1，-1)，故D正确.故选CD. ∴.2a<1<a+1, 1QACD因为函数是幂函数，所以m+号=1，得m=-号，即 4 解得，0<a< 1 0=x-2)=[(-2)]=(-2)=6放4正 故实数a的取值范围为(0，分) 确：函数的定义域是xx≠0；，故B不正确；代-)=f(x),B组能力提升 所以函数是偶函数，故C正确；函数f代x)=x青在(0，+。)是 1.D由幂函数的图象关于y轴对称，可知该函数为偶函数，所以 减函数，不等式f代x-1)≥f(2)等价于Ix-1|≤2，解得-2≤x p为偶数，则q为奇数.因为幂函数y=x的图象在第一象限内 -1≤2，且x-1≠0，得-1≤x≤3，且x≠1，即不等式的解集是 [-1,1)U(1,3],故D正确.故选ACD. 向上凸起，且在(0，+∞)上单调递增，所以0<卫<1. q 570 2.C二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+a图象的对称轴为直线 x2-1 x=a-1, 当x≠1时，(*)可变形为a≤-i :对于任意x1,x2∈[-1,2]且x1≠x2,都有f代x)≠fx2), x2-1 「x+1,x>1, 即f代x)在区间[-1,2]上是单调函数 令m()=x-i{-x-1,x<1: .a-1≤-1或a-1≥2， ②当x>1时，m(x)>2,a≤2； .·.a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(-0,0]U[3,+∞). ③当x<1时，m(x）>-2,a≤-2. 3.A函数f代x)=(m2-m-5)xm2-6是幂函数，m2-m-5= 综上，实数a的取值范围是(-o,-2]: 1,解得m=-2或m=3.对任意x1,x2e(0,+）,且x1≠x2, (2)x)=-am+a-l,1≤x≤2， 满足x）->0,函数f(x)在(0，+0)上单调递增， 1x2+ax-a-1,-2≤x≤1， X1-2 得f1)=0,f2)=3-a,f(-2)=3-3a m2-6>0,.m=3,f(x)=x2.若a,beR,且a+b>0,则 ①当a≥3时， a>-b,….fa)>f(-b)=-f代b),∴.f(a)+fb)>0.故选A. :f-2)<f2)≤f1)=0,M(a)=0: 4.f代x)=x2-4x+5(答案不唯一)由二次函数的对称性、值域及 ②当0≤a<3时， 单调性可得f(x)的解析式可以为f(x)=(x-2)2+1,此时fx) .f(-2)≤f2),f(1)<f(2)=3-a, 图象的对称轴为直线x=2,开口向上，满足②，：对任意x1,x .M(a)=3-a; ③当a<0时， (-0,0),且≠，都有）-<0等价于fx)在 X1-x2 .·f(1)<f2)<f(-2)=3-3a, (-∞，0)上单调递减，∴f(x)=(x-2)2+1满足③，又f(x)= ∴.M(a)=3-3a. (x-2)2+1≥1，满足①，故fx)的解析式可以为fx)=x2-4x r0,a≥3 +5. ∴.M(a)=3-a,0≤a<3, 5.[解析](1)由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值 3-3a,a<0. 可得结论 练案[10] 幂函数f(x)=(m2-2m+1)x0-立的图象过点(4,2)，.m2- :A组基础巩固 2m+1=1,4m-受=2，求得m=2, 1.B对于A,根据分数指数幂的运算法则，可得a子·a是=a亭+是 故有f代x)=x =是，当a=1时，器=a,当a≠1时，a器≠a,故A错误： (2)f(x)=x在其定义域[0，+0)上单调递增. 对于B,m8=2,故m=±2，故B正确； 证明：设x2>x1≥0，即x2-x1>0, 对于C,a+a1=3,则(a7+a乞)2=a+a1+2=3+2=5,因 则)-f)=石-压=考>0，即f()> 为a>0,所以a立+a之=5，故C错误： +x fx1), 对于D,(2-)了=12-πl=m-2,故D错误. 故函数f(x)在其定义域[0，+∞)上单调递增， 2c2=9.2-6则4-2-(-是 (3)由题意利用函数的单调性的定义、函数的定义域，求得a的3.D由题意得22-5a+3=1,2m-5a+2=0a=2或a= 范围 若f(a+1)>f2a-3),则√a+1>/2a-3,a+1>2a-3≥ 分当a=2时，)=2在(0，+0)上单调递增，符合题意：当 0,求得子≤0<4 a=2时)=（分） 在(0，+∞)上单调递减，不符合题意， 实数a的取值范图为[子4） a=2 -09 6.[解析](1)根据题意得二次函数f代x)的顶点坐标为(2,3)， 4D因为6=1.2=1，c=(兮) =309 设f(x)=a(x-2)2+3,然后把点(3,5)代入得a=2,所以f(x) 且y=3为增函数，1.2>0.9>0. =2(x-2)2+3=2x2-8x+11. 所以32>309>3°=1，即a>c>b. (2)y=f(x)的图象恒在直线y=2x+2m+1的上方台f(x)- 5.B函数y=3-1的值域为[0，+o); (2x+2m+1)>0恒成立， 函数y= 1 令g(x)=2x2-8x+11-(2x+2m+1)=2x2-10x+10-2m, 3 的值域为(0，+0)； 即g(x)=2ax2-10x+10-2m>0恒成立， 则4=(-10)2-4×2×(10-2m)<0, 函数y=√-（兮） 的值域为[0,1)； 解得m天一 函数y=3的值域为(0,1)U(1,+0.故选B. 6.A由函数f代x)=3+b的图象经过第一、三、四象限，可得b< 即实数m的取值范图为(-0，子） -1,所以g6)=f6)-f6-1)=3-3-=3·（1-写) C组拓展应用（选作） [解析](1)由题意可得x2-1≥alx-1I(*)对xeR恒 子·3<子×3=号，又因为号·3>0，所以6)=) 成立， ①当x=1时，(*)显然成立，此时aeR; 6-)的取值范围为(0，号）故选A 571