练案8 第二章 第三讲 函数的奇偶性与周期性-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习练案

练案[8] 第三讲 函数的奇偶性与周期性 二、多选题 A组基础巩固 9.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中 一、单选题 为奇函数的是 () 1.（2024·上海春考)下列函数是偶函数的是 ( ) A.y=f(lxl) B.y=f代-x) A.y=sinx B.y cos x C.y=f(x) D.Y=f(x)+x C.y=x3 D.y=3 10.设函数f(x)=2-1+2,则下列说法错误的是() 2.(2024·东北三省三校第一次联合模拟)已知函数 A.f(x)在(0，+∞)上单调递增 y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)= 1 B.f八x)为奇函数 +是若3)=-8，则a= ( C.f八x)的图象关于直线x=1对称 D.f(x)的图象关于点(1,0)对称 A.-3 c 1 B.3 D.-3 11.(2024·恩施模拟)定义在R上的函数f(x),f(x+1) 3.（2025·河南名校联盟模拟)若函数f(x)是定义在R 的图象关于点(-1,0)对称，恒有f(x-1)=f(3- 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)=4,则 x),且f(x)在[1,2]上单调递减，则下列结论正确的 (-)+2)等于 ( 是 () A.直线x=1是f(x)的图象的对称轴 A.0 B.2 C.4 D.-2 B.周期T=2 4.已知函数fx)=sinx+++3,若(a)=-1,则 C.函数f八x)在[4,5]上单调递增 D.f5)=0 f(-a)= ( 三、填空题 A.3 B.5 C.6 D.7 5.已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x+1)= 12.若y=(x-1)2+ar+sin(x+牙)为偶函数，则a= -f(x),且f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，则 f八-6.5)，f(-1)f(0)的大小关系是 ( 13.设f(x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时，f(x)=2x A.f0)<f八-6.5)<f(-1) +3,则f(8)= ·-2≤x≤0时，f(x)= B.f(-6.5)<f0)<f(-1) C.f(-1)<f(-6.5)<f(0) 14.已知函数f(x),对Hx∈R满足f(1-x)=f(1+x), D.f(-1)<f0)<f-6.5) 6.(2024·浙江金丽衢十二校第二次联考)若函数f(x) f八x+2)=-f(x),且f0)=1,则f(26)= =ln(e+1)+ax为偶函数，则实数a的值为( ) 15.若函数f(x)=e-e-,则不等式f(lnx)+f(lnx- 1)>0的解集是 B.0 c D.1 的B组能力提升男 7.(2025·甘肃天水一中阶段测试)已知函数f(x)=e +x2(e为自然对数的底数)，且f(3a-2)>f(a-1),1.设f(x)是R上的偶函数，且在(0，+o)上是减函数， 则实数a的取值范围是 ( 若x1<0且x1+x2>0,则 A(分，+ A.f(-x1)>f-x2) B.f(-x)=f(-x2) B(-,2 C.f(x)<f(-x2) D.f八-x)与f(-x2)的大小不能确定 c(-,u(子+】 2.若函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，则 (o,u(子+x A.f八x+1)为偶函数 B.f(x-1)为偶函数 C.f(x+1)为奇函数 D.f八x-1)为奇函数 8.(2023·宁德模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函 数，且对任意的x∈R都有f(x+2)=-f(x),当x∈ 3设函数代)-十则下列函数中为奇函数的是 [0,2]时f(x)=x2+ax+b,则a+b等于() ( A.0 B.-1 A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.-2 D.2 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 -293 4.(多选题)函数f(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数，6.定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足下面三个条件： f(x+1)是偶函数，则 ①对任意正数a,b,都有f(a)+f(b)=f(ab); A.f(0)=1 ②当x>1时，f(x)<0; B.f(x)是周期函数 ③f2）=-1. C.f(x+3)为奇函数 (1)求1)和(4)的值： D.f(x+5)为偶函数 5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关 (2)试用单调性定义证明：函数f(x)在(0，+∞)上是 于直线x=1对称. 减函数. (1)求证：f(x)是周期为4的周期函数； (2)若f(x)=x(0<x≤1)，求当x∈[-5，-4]时，函 数f代x)的解析式 C组拓展应用（选作） (多选题)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+4)- f八x)=2f(2),若y=f(x-1)的图象关于直线x=1对 称，且对任意的x1,x2∈(0,2)，且x≠x2,都有 f)-八x)>0,则下列结论中正确的是 () x1-x2 A.f八x)是偶函数 B.f(x+4)=f(x) C.f(22)=0 D.f八x)在(-4，-2)上单调递减 —29416.[解析](1)f(x)=1x1(x-2)= fx) (2)证明：任取x1,2e(0,+∞)，且x1>x2, 了2-2x,≥0，作出函数图象，如图 -x2+2x,x<0, 则>1，由于当x>1时fx)<0, 所示。 (2)由图可得函数的单调递增区间为 所以f(）<0,即)-)<0， (-∞，0)，[1，+∞)，单调递减区间为[0,1). 因此fx)<f2), (3)因为函数在x∈[0,1]上单调递减，所以f(x)m=f0)=0 所以函数f(x)在区间(0，+∞)上是减函数， fx）min=f1)=-1. (3)因为函数f(x)在(0，+)上单调递减， 17.[解析](1)解法一：任取x1,2e[1,2],且<2， 所以不等式f(2x+1)>f代2-x)等价于 风， 2x+1>0, 2-x>0, 解得-<x< =(出-3)-x(2-3) 2x+1<2-x, (x2-3)(x1-3) 故原不等式的解美方{-弓<x<兮} =-)[1出-3(+x2)] (2-3)(x1-3) C组拓展应用（选作】 =6-)[(-3)(g-3)-9] A因为函数f代x)=x2-4x+2图象的对称轴为直线x=2, (2-3)(:1-3) 所以函数y=f代x)在区间(-∞，2]上是减函数， x1,x2e[1,2], 又当x≤2且x≠0时，=x 2-4 -2≤2-3≤-1，-2≤x1-3≤-1， 1≤(x2-3)(x1-3)≤4，(x1-3)(x2-3)-9<0. 令g(0)=x+2-4(x≤2且x≠0)， 又x2-x1>0,(x2-3)(x1-3)>0, 则g(x)在(-∞，-√2]和[2,2]上单调递增， ✉-4)[33)-91<0. (x2-3)(x1-3) 故f(x)的“可变区间”1为(-0，-2]和[2,2]. 即f代2)<fx) 练案[8] f(x)在[1,2]上为减函数： A组基础巩固 联九到兰 1.B对于B,因为cos(-x)=cosx,所以函数y=cosx为偶函数， f'(x)=2x(x-3)-x=x(x-6) 故B正确；对于A,因为sin(-x)=-sinx,所以函数y=sinx (x-3)2 (x-3)2 为奇函数，故A不正确；对于C,因为(-x)3=-x,所以函数 1≤x≤2，f(x)<0,fx)在[1,2]上为减函数。 y=x为奇函数，故C不正确；对于D,因为3= (2)由(1)知fx)在[1,2]上为减函数， 3,所以函数 4 y=3为非奇非偶函数，故D不正确.综上所述，选B 六fx)m=f2)=2-3=-4, 2.B因为f代x)是奇函数，所以f(3)=-f代-3)=-8，故f-3) fx)m=f1)=-3=-交 1 1 =8,放-3)=(-3)2+3=8，解得a=3.故选B. B组能力提升 3.D因为f代x)是定义在R上的奇函数， 1.AC由题查知)在0，十x)上是减丽数，A中，)=士满 所以f0)=0,又f(x)在R上的周期为2， 所以f2)=f0)=0, 足要求：B中，f(x)=(1-x)2在(0,1]上是减函数，在(1，+∞) 上是增函数；C中，f(x)=e-是减函数；D中，f(x)=n(x+I) -3)--）3）-4-2 是增函数.故选AC. 所以f(-3）+2)=-2 2.C已知易得3t>0,即-1<x<3,又0<0.5<1心f八) 4.D函数f代x)=simx+x+1+3,f(-x)+f(x)=sim(-x)十 在(1,3)上单调递增.故选C 3.AB当x≤1时f(x)=x+2是增函数，则此时f代x)≤f1)=3, (-x)-+3+sinx+x+3=-sinx-tinx+ 当x>1时，x)=-x2+3为减函数，则此时f(x)<-1+3=2 综上fx)的最大值为3，故A正确； x2+1+6=6,若fa)=-1,则f(-a)=6-f代a)=6-(-1) f代0)=0+2=2，故B正确： =7. 当x≤1时，由fx)=-1时，得x+2=-1,此时x=-3≤1，成5.A由f代x+1)=-（x),得f代x+2)=-f(x+1)=f(x),函 立，故C错误： 数fx)的周期是2.函数f代x)为偶函数，f(-6.5)= 当x≤1时，f(x)=x+2是增函数，故D错误.故选AB. f-0.5)=f0.5)f(-1)=f1).:f(x)在区间[0,1]上是单 4.[-3,+∞)当x≤0时，fx)=2+2x-1=(x+1)2-2≥ 调递增的，.f(0)<f0.5)<f(1),即f(0)<f(-6.5) -2,当x=-1时，取得最小值-2，当x>0时，fx)=3+m递 <f-1). 增，可得f代x)>1+m,由题意可得1+m≥-2，解得m≥-3. 6.Af(x)=n(e+1)+ax的定义域为R,f-x)=n(e+1) 5.[解析](1)令1=x2>0, -@x=IetI-ax=I(e'+1)-x-ax. 代入得f1)=fx1)-f(x1)=0, 故f(1)=0. 因为f代x)=ln(e+1)+ax为偶函数，所以f代-x)=ln(e+1) 568 -(1+a)x=ln(e+1)+ax=fx)→(1+2a)x=0, :B组能力提升 故1+2a=0,a=-分，故选A 1.A因为x1<0且x1+x2>0,所以x2>-x1>0,又因为f(x)在 (0,+∞)上是减函数，且f孔x)是R上的偶函数，所以f代-x)= 7.C显然f(x)为偶函数且在[0，+∞)上单调递增，f(3a-2) f(x2)<f(-x1) >fa-1)台13a-21>1a-1台(3a-2)2>(a-1)'台a>32.C因为函数x)的图象关于点(1,0)对称，所以将f(x)的图 4 象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称，即f(x+ 或a<,故选C 1)是奇函数 =中1，为保证函数变换之后 8C因为)是定义在R上的奇函数，且xE[0,2]时x)=3.Bf)=2-》=2 +ax+b,所以f(0)=b=0,f(-x）=-f(x).又对任意的x∈R 为奇函数，需将函数y=f(x)的图象向右平移一个单位长度，再 都有f代x+2)=-f(x),所以f(x+2)=f(-x),所以函数图象 向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y=孔x-1) 关于直线x=1对称，所以-号-1，解得a=-2,所以a+6= +1. -2 :4.BD因为f代x+1)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于x=1对 9.BD由奇函数的定义f(-x)=-f(x)验证，A项，f(I-xI)= 称，即f代-x)=f(2+x),又函数f代(x)是定义在R上的奇函数， fIx),为偶函数；B项，f[-(-x)]=f(x)=-f(-x),为奇函 所以f(-x)=-f(x),f代0)=0，于是f(2+x)=-f(x),即有 数；C项，-f(-x)=-x·[-f(x)]=(x),为偶函数；D项， f4+x)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的一个周期为4，故 f(-x)+(-x)=-[f(x)+x],为奇函数.可知B,D正确。 A错误，B正确；设g(x)=f(x+3),则g(-x)=f(-x+3)= 10.ABDf代x)=2-1+21-, f代-1+x)=f(x+3),即g(x)=g(-x),所以fx+3)为偶函 f2-x)=22--1+2-(2-=2-+2-1=f(x),即f(x) 数，C错误；设h(x)=f(x+5),则h(-x)=f(-x+5)=f(x =f(2-x), 3)=f(x+5),即h(x)=h(-x),所以f(x+5)为偶函数，D正 即f(x)的图象关于直线x=1对称，故C正确，A、D错误； 确.故选BD f代-1)≠-f1),f代x)不是奇函数，故B错误 5.[解析](1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x=1对称， 11.AC因为f(x-1)=f(3-x), 有f(x+1)=f(1-x),即在f(-x)=f代x+2). 所以直线x=1是f(x)的图象的对称轴，故选项A正确： 又函数f代x)是定义在R上的奇函数， 因为f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称， 故有f(-x)=-f代x).故f(x+2)=-f(x). 所以函数f(x)的图象关于点(0,0)对称， 从而f(x+4)=-f(x+2)=f代x), 又因为f(x)的对称轴为x=1, 所以f代x)是周期为4的周期函数： 所以f(x)的周期T=4,故选项B错误； (2)由函数f代x)是定义在R上的奇函数，有f(0)=0. 直线x=1是f(x)的对称轴，且函数f(x)在[1,2]上单调递减， 当xe[-1,0)时， 所以函数f(x)在[0,1]上单调递增， 即-xe(0,1]fx)=-f-x)=-√一x. 又f(x)的周期T=4, 故xe[-1,0]时fx)=--x. 所以函数(x)在[4,5]上单调递增，故选项C正确： 当xe[-5,-4]时，x+4e[-1,0], 因为f(x)的周期T=4,f(4)=f代0)=0， f(x)=fx+4)=-/-x-4. 则f(5)>f(4)=0,故选项D错误 从而，xe[-5,-4]时，函数fx)=-一x-4 2.2根据题意，设f)=(x-1)P+ax+simx+受）=2-2x6[解析]()令a=b=1得1)=f1)+f1),则f(1)=0,而 ax+1 cosx, f4)=2)+2)=-1-1=-2,f4)+f4）=f1)=0。 若f(x)为偶函数，则f代-x)=x2+2x-ax+1+cosx=x2-2x +ax+1+cosx=f八x), 则f(4)=2 变形可得(a-2)x=0在R上恒成立，必有a=2. 13.72x+9因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)=f(2)= (2)证明：取定义城中任意的1，k,且0<x1<心点>1， 2×2+3=7.当-2≤x≤0时，fx)=f(x+3)=2(x+3)+3= 2x+9. 当x>1时)<0f(经)<0， 14.1fx+2)=-f(x), (x)的周期为4， )-)=(·空)-f)=)+(年）f) .∴.f26)=f2). ·对Hx∈R有f(1-x)=f(1+x) =f)0, .f(x)的图象关于x=1对称， 即f2)<f代x),f(x)在(0，+o)上是减函数 .f(2)=f(0)=1,即f26)=1 C组拓展应用（选作） 15.(e,+o)因为f(x)=e-e,定义域为R ABC由y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称，则f(1+x-1) 且f代-x)=-(e-e)=-f代x),故其为奇函数 =f(1-x-1),即f(-x)=f(x),故f(x)是偶函数，故选项A正 又y=e,y=-e均为增函数，故f代x)为R上的增函数， 确；由f(x+4)-f(x)=2f(2),令x=-2,可得f(2)=0,则f八x 则原不等式等价于fnx)>f1-lnx), +4)=f(x),则f(x)的周期T=4,故选项B正确；f代22)=f(4× 即nx>1-lnx,整理得hx>2 1 5+2)=f(2)=0,故选项C正确；又f(x)在(0,2)上单调递增， 在(-2,0)上单调递减，因为周期T=4,则f(x)在(-4，-2)上 解得x>,故不等式的解集为(E,+∞) 单调递增，故选项D错误，故选ABC. -569—