【单元易错八02】 实数章末复习易错提分50题（专项训练）2025-2026学年数学八年级上册【北师大版2024】

第二章 实数章末复习易错提分50题 【易错核心要点归纳】 混淆平方根与算术平方根 错误原因：对概念理解不清晰，常将“平方根”等同于“算术平方根”。 示例：求4的平方根时，正确应写为±2（两个解），但错误写成2（只记算术平方根）。 避免建议：记住平方根有正负两个值，算术平方根只取非负值；符号表示算术平方根（a≥0）。 忽视负数没有实数平方根 错误原因：忽略平方根定义中“被开方数必须非负”，在计算时误以为负数有实数平方根。 示例：求解，错误认为结果是-2，但实数范围内无解（因为−4<0）。 避免建议：先确认被开方数是否非负；遇到负数直接注明“无实数解”。 无理数与有理数的区分错误 错误原因：对无理数特征不熟悉，如π、等无限不循环小数，常误归为有理数。 示例：将误认为无理数（其实=2，是有理数），或将0.1010010001...（有规律但不循环）误判为有理数。 避免建议：有理数包括整数、分数和有限/循环小数；无理数不能写成分数形式。 实数运算中的符号错误 错误原因：运算规则模糊，如开方后忽略符号，或在加减乘除中混淆正负号。 示例：计算 + 时，错误得出3 + 3 = 6（正确是 + = 3 + 9 = 12，因为(−9)2 = 81）。 避免建议：先化简表达式，注意运算法则（如 = |a|，需考虑绝对值）。 实数大小的比较错误 错误原因：对负数、绝对值或小数的大小关系理解不足，尤其涉及无理数时。 示例：比较−和−2时，错误认为− > −2（实际− ≈ −1.732 > −2）；或比较和3时，误以为<3（正确≈2.828<3）。 避免建议：负数比较时，绝对值大反而小；无理数可近似估算或用数轴辅助。 忽略实数的分类和性质 错误原因：在分类时将实数、有理数、无理数、整数等层级混淆。 示例：错误认为“所有无理数都是无限小数”（对，但反之不成立）；或将0.3（循环小数）归为无理数。 避免建议：复习实数分类图：实数分为有理数和无理数，有理数包括整数和分数。 【备考策略】 重点通过练习题巩固定义（如平方根性质），多使用具体数值验证。易错点多出在概念混淆和运算细节，建议制作思维导图梳理知识体系。如果您有具体问题场景（如某习题的困惑）。 【易错实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一、单选题【共20小题】 1．在，，0，，中，无理数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数就是无限不循环小数是解题的关键． 根据无理数是无限不循环小数逐个判断即可． 【详解】解：， 所以无理数为，，，有3个． 故选：D． 2．在比小的数中，最大的整数是（      ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的估算，估算出的范围即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴在比小的数中，最大的整数是：1， 故选：C． 3．如图，在数轴上标注了四段范围，则表示点落在（　　） A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，根据无理数的估算方法可证明，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴表示点落在第③段， 故选；C． 4．如图，数轴上 、 两点表示的数分别是 1 和 ，点 关于点 的对称点是 ，则点 所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴的关系，数轴上两点之间的距离计算，准确计算是解题的关键． 先求出，根据对称可得，然后求出点C到原点的距离，即可得到点C表示的数； 【详解】∵数轴上A ，B两点表示的数分别为1和， ∴， ∵点 关于点 的对称点是 ， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； 故选D． 5．下列说法正确的是（   ） A． B．任何数都有算术平方根 C．立方根等于本身的数只有 D．的立方根是 【答案】A 【分析】本题主要考查立方根和平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据立方根和平方根的定义进行作答即可． 【详解】解：A．，故本选项符合题意； B.负数没有算术平方根，故本选项不符合题意； C.立方根等于本身的数有、、，故本选项不符合题意； D.的立方根是，故本选项不符合题意． 故选：A． 6．下列判断正确的是（   ） A． B．与最接近的整数是7 C．的平方根是 D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，无理数的估算，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，即，则，故该选项符合题意； B、∵，则，∵更接近，∴与最接近的整数是6，故该选项不符合题意； C、，则的平方根是，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A． 7．已知，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的非负性和代数式求值，正确求出的值是解题的关键． 先根据算术平方根的非负性得到，求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．已知，则（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根．根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 9．若，则、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的加法，将原方程化简，合并同类项后，分离无理数部分和有理数部分，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴， 故选：C． 10．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式的定义，解题的关键是将二次根式化为最简二次根式后，判新被开方数是香相同． 将每个选项中的二次根式化为最简二次根式，再比按被开方数是香相同，从而确定是香为同类二次根式． 【详解】解：A、；．两者最简二次根式的被开方数都是2，属于同类二次根式； B、；．被开方数分别为3和2，不是同类二次根式； C、；．被开方数分别为和，不是同类二次根式； D、（已是最简）；，被开方数分别为和，不是同类二次根． 故选：A． 11．一个正数的两个平方根分别是和，则a的值为（   ） A．4 B．8 C． D．64 【答案】A 【分析】本题考查了平方根的定义，根据一个正数有两个平方根，且互为相反数，列出方程计算即可得出答案， 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， 故选：A， 12．若等腰三角形的两条边长分别为和，则这个三角形的周长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是二次根式的化简和计算，三角形的三边关系及分类讨论的思想，掌握二次根式的加法运算的方法是解此题的关键． 腰长分为和两种情况讨论，由三角形三边关系判断等腰三角形是否存在，再计算周长即可，注意二次根式要化为最简二次根式． 【详解】解：腰长为时，， ，故此三角形不存在； 腰长为时，三角形的周长为． 故选：B． 13．下列说法：①无理数包括正无理数、0、负无理数；②无理数与无理数的和仍然是无理数；③若一个数的平方等于它的算术平方根，则这个数是0或1；④正实数和负实数统称为实数；⑤有理数与数轴上的点一一对应．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的分类，实数与数轴，算术平方根等知识，根据各自的定义和性质一一判断即可得出答案． 【详解】解： ①无理数包括正无理数、负无理数；则原说法错误； ②无理数与无理数的和不一定是无理数，例如，0是有理数，则原说法错误； ③若一个数的平方等于它的算术平方根，则这个数是0或1，说法正确． ④正实数和负实数以和0统称为实数；则原说法错误． ⑤实数与数轴上的点一一对应，则原说法错误； 综上，正确的有③， 故选：B 14．如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入的值为32，那么输出的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查程序设计与实数运算，求立方根，求算术平方根． 根据程序框图，将代入，按照运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的算术平方根为， ∴输出的值为． 故选：C． 15．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值是（    ） A．0 B．6 C． D．5 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 16．已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过对等式进行变形，凑成完全平方的形式，根据非负数的性质求出和的值，进而计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， 解得，， ∴ ， 故选：D． 17．实数a、b在数轴上的位置如图：则化简的结果是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简二次根式和计算立方根，根据数轴可得到，则，据此计算立方根和化简二次根式并合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故答案为：A． 18．有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．其中错误的是（　） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根的定义和性质，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①根据立方根的定义，负数有立方根，该选项错误，符合题意； ②0的立方根是0，0既不是正数也不是负数，该选项错误，符合题意； ③该选项正确，不符合题意； ④的立方根是，该选项错误，符合题意； 故错误的选项为①②④， 故选：B． 19．如图，从一个大正方形中裁去面积为和48 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A．78 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的实际应用，求出大正方形的边长，分割法求出余下部分的面积即可． 【详解】解：∵两个小正方形的面积为和， ∴两个小正方形的边长为和， ∴大正方形的边长为， ∴余下部分的面积为， 故选：D． 20．定义新运算：加法运算法则： ， 其中，， ， 为实数．若， 则下列结论正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：根据题意得，， ，． 故选：A ． 二、填空题【共18小题】 21．比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解本题的关键．由，可得，再利用不等式的性质可得答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为： ． 22．比较大小： ．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、实数比较大小，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先分母有理化，然后根据负数比较大小的方法进行比较即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴，即， 故答案为：． 23．一个正数a的两个平方根是和，则的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查正数的平方根的性质，求一个数的算术平方根，解题关键是知道一个正数的两个平方根互为相反数． 根据一个正数的平方根互为相反数，将和相加等于0，列出方程，解出b，再将b代入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数a，将算出后，求算术平方根即可． 【详解】解：∵和是正数a的平方根， ∴， 解得， 将b代入， ∴正数， ∴， 则的算术平方根是， 故答案为：． 24．已知，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数为非负数，可得，从而得到，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8 25．已知，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为零，则它们都为零，求平方根；由非负数的性质求得，，的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 26．若，则的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性、算术平方根，根据平方的非负性、绝对值的非负性可得：，，从而可得：，因为的算术平方根是，所以的算术平方根是． 【详解】解： ， ，， 解得：，， ， 的算术平方根是， 的算术平方根是. 故答案为：． 27．若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义、已知平方根求这个数等知识点，理解平方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义求出a的值，进而确定这个正数的两个平方根，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为和， ∴，解得：， 当时，，， ∴这个数为． 故答案为：． 28．若一个直角三角形的其中两边的长分别为，且满足，则该直角三角形的第三边的长为 ． 【答案】或5 【分析】本题考查的是勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．同时考查了非负数的性质．先由非负数的性质求出，，由于题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 即这个直角三角形的两边长分别为3和4． 分以下两种情况讨论： ①当4是此直角三角形的斜边时，则由勾股定理可得另一边为：； ②当4是此直角三角形的直角边时，则由勾股定理可得另一边为：． 故答案为：或5． 29．正数x的平方根为和，则x的值是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了平方根，根据平方根的性质可得，解方程可得a的值，进而得到这个数的平方根，然后再算出这个数即可． 【详解】解：∵正数x的平方根为和， ∴， 解得：， 则，， ∵16的平方根是， ∴这个数是16． 故答案为：16． 30．已知实数满足，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件及平方根，熟练掌握二次根式有意义的条件及平方根是解题的关键；由题意得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为； 故答案为． 31．定义，计算 ． 【答案】35 【分析】本题考查新定义下的有理数混合运算．解题的关键是理解新定义运算，根据新定义运算法则，进行计算．根据新定义可得，据此求出的值； 类似的方法再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：35. 32．记，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的加法运算，根据新定义运算分别求出和，再相加即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 33．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 34．若最简二次根式与可以合并成一个二次根式，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了同类二次根式，解题关键是理解什么叫做同类二次根式．利用同类二次根式的定义即可得出，解出方程求出a的值即可，注意解出的a值要满足根号的式子是大于等于0的． 【详解】解：根据题意可得：， 解得； 故答案为：6． 35．已知，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键．先把化成，再把代入求值即可． 【详解】解：， ， 故答案为：2025． 36．如图将边长分别为1和2的两个正方形剪拼成一个较大的正方形，则大正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，解题时要熟练掌握并能根据题意求出大正方形的面积是关键． 依据题意，先求出该正方形的面积为5，从而可以计算得解． 【详解】解：由题意，小正方形边长分别为1和2， 拼成的大正方形的面积为， 拼成的大正方形的边长为 故答案为： 37．把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分别为、、，则图中的阴影部分的周长＝ ． 【答案】14 【分析】此题考查了算术平方根的应用和长方形的周长公式，关键是认真观察图形，表示出阴影部分水平的边长之和．根据题意阴影部分所有竖直的边长之和和所有水平的边长之和，然后进行整理即可得出答案． 【详解】解：如图，标注字母如下： 则， ∴， ∴， ∴． 则阴影部分所有竖直的边长之和， 所有水平的边长之和， 则阴影部分的周长， 故答案为：14． 三、解答题【共12小题】 38．计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，根据有理数乘方、负整数指数幂、绝对值的意义、二次根式的性质及零指数幂将原式化简，再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则、性质、公式及运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ． 39．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．正数a有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根． （1）根据算术平方根的定义求解即可； （2）先算算术平方根，再取其相反数，求解即可； （3）根据性质求解即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式． 40．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根、立方根解方程的知识，掌握平方根、立方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 两边同除以9，得：， 两边开平方，得：， 即，； （2）解：， 移项，得：， 则， ． 41．计算下列各式 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，求一个数的算术平方根，绝对值，零指数次幂，完全平方公式和平方差公式等知识点，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）先进行二次根式的乘法和化简二次根式，再进行加减即可； （2）利用求一个数的算术平方根，零指数次幂，二次根式的乘法运算法则进行计算即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式进行化简，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 42．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，立方根和算术平方根等知识点，正确化简计算是解题的关键． （1）分别计算乘方，算术平方根，绝对值，再进行加减计算； （2）分别计算乘方，算术平方根，立方根，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 43．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查分式化简求值，分母有理化，解题的关键是熟练运用分式的运算法则． 根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解： ， 将代入得，原式 ． 44．如图，小丽有一块长方形硬纸片，周长是，假设长为，宽为． (1)请用含x的式子表示y，则__________； (2)小丽沿虚线剪下一个面积为的正方形，请求出y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，求一个数的算术平方根． （1）根据长方形周长公式计算即可； （2）根据正方形面积公式求出x的值，代入计算即可． 【详解】（1）∵小丽有一块长方形硬纸片，周长是，假设长为，宽为， ∴， 即， 故答案为：； （2）∵小丽沿虚线剪下一个面积为的正方形， ∴， 即， ∴． 45．如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为4、16． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_____． 【答案】(1)20； (2)4． 【分析】本题考查实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，掌握算术平方根的意义及相应的运算法则． （1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积． 【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为4、16， 小正方形的边长为，大正方形的边长为， ，， 长方形的周长为； （2）解：， 即图中两块阴影部分的面积之和为4． 46．对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了新定义有理数的运算，求一个数的绝对值，数轴上两点之间的距离，相反数， （1）根据新定义要求计算即可； （2）先求出x，y值，再根据新定义解答. 【详解】（1）解：； （2）解：∵点A，点B在数轴上表示的数分别为，且A，B两点的距离是7， ∴或. ∵y是的相反数， ∴. 当时，； 当时，. 所以的值为或. 47．今年，漯河市精心打造“小而美”口袋公园，利用“碎片”土地提升幸福感．下图是该市园林部门将两块紧挨的正方形小绿地整合成一个“口袋公园”矩形．已知正方形区域准备种植绿植，正方形区域准备种植花卉，矩形区域打算设置体育健身器材．已知正方形的面积为，正方形的面积为． (1)求矩形健身区域的周长； (2)求矩形口袋公园的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是正确求出正方形和长方形的边长以及掌握二次根式的运算法则． （1）先求出正方形，正方形的边长，即可得到矩形健身区域的长和宽，即可求解周长； （2）求出矩形口袋公园的长和宽，即可求解面积． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为，正方形的面积为 ∴正方形，正方形的边长分别为，， ∴矩形健身区域的宽，长， ∴矩形健身区域的周长为； （2）解：矩形口袋公园的长，宽为， ∴面积为 48．阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如（，为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭：如的共轭复数为． (1)填空： ①________； ②________； (2)若是的共轭复数，求的值． 【答案】(1)①17；② (2)32 【分析】本题主要考查了实数的新定义运算，准确理解所给定义式是解题的关键． （1）①根据平方差公式展开计算即可； ②根据完全平方公式展开计算即可； （2）先算出，再根据共轭复数的定义确定出，的值，代入求值即可． 【详解】（1）， ， 原式； 故答案是． ， ， 原式； 故答案是． （2）． 是的共轭复数， ，． ． 49．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)若，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)4，． (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，熟知无理数的估算方法是解题的关键． （1）估算出，可确定的整数部分，进而可确定的小数部分 （2）估算出，则，据此可确定的小数部分和整数部分，进而可得x、y的值，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴的整数部分是4， ∴的小数部分是， 故答案为：4，． （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴的整数部分是10，小数部分是， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数为：． 50．小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差和完全平方公式，正确进行分母有理化是解题的关键． （）直接进行分母有理化即可得出答案； （）将要求的式子各项进行分母有理化，再进行二次根式加减即可得出答案； （）根据题意得出的值，再把要求的式子变形为，再代入计算得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数章末复习易错提分50题 【易错核心要点归纳】 混淆平方根与算术平方根 错误原因：对概念理解不清晰，常将“平方根”等同于“算术平方根”。 示例：求4的平方根时，正确应写为±2（两个解），但错误写成2（只记算术平方根）。 避免建议：记住平方根有正负两个值，算术平方根只取非负值；符号表示算术平方根（a≥0）。 忽视负数没有实数平方根 错误原因：忽略平方根定义中“被开方数必须非负”，在计算时误以为负数有实数平方根。 示例：求解，错误认为结果是-2，但实数范围内无解（因为−4<0）。 避免建议：先确认被开方数是否非负；遇到负数直接注明“无实数解”。 无理数与有理数的区分错误 错误原因：对无理数特征不熟悉，如π、等无限不循环小数，常误归为有理数。 示例：将误认为无理数（其实=2，是有理数），或将0.1010010001...（有规律但不循环）误判为有理数。 避免建议：有理数包括整数、分数和有限/循环小数；无理数不能写成分数形式。 实数运算中的符号错误 错误原因：运算规则模糊，如开方后忽略符号，或在加减乘除中混淆正负号。 示例：计算 + 时，错误得出3 + 3 = 6（正确是 + = 3 + 9 = 12，因为(−9)2 = 81）。 避免建议：先化简表达式，注意运算法则（如 = |a|，需考虑绝对值）。 实数大小的比较错误 错误原因：对负数、绝对值或小数的大小关系理解不足，尤其涉及无理数时。 示例：比较−和−2时，错误认为− > −2（实际− ≈ −1.732 > −2）；或比较和3时，误以为<3（正确≈2.828<3）。 避免建议：负数比较时，绝对值大反而小；无理数可近似估算或用数轴辅助。 忽略实数的分类和性质 错误原因：在分类时将实数、有理数、无理数、整数等层级混淆。 示例：错误认为“所有无理数都是无限小数”（对，但反之不成立）；或将0.3（循环小数）归为无理数。 避免建议：复习实数分类图：实数分为有理数和无理数，有理数包括整数和分数。 【备考策略】 重点通过练习题巩固定义（如平方根性质），多使用具体数值验证。易错点多出在概念混淆和运算细节，建议制作思维导图梳理知识体系。如果您有具体问题场景（如某习题的困惑）。 【易错实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一、单选题【共20小题】 1．在，，0，，中，无理数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．在比小的数中，最大的整数是（      ） A． B．0 C．1 D．2 3．如图，在数轴上标注了四段范围，则表示点落在（　　） A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段 4．如图，数轴上 、 两点表示的数分别是 1 和 ，点 关于点 的对称点是 ，则点 所表示的数是（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A． B．任何数都有算术平方根 C．立方根等于本身的数只有 D．的立方根是 6．下列判断正确的是（   ） A． B．与最接近的整数是7 C．的平方根是 D． 7．已知，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 8．已知，则（      ） A． B． C． D． 9．若，则、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 10．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 11．一个正数的两个平方根分别是和，则a的值为（   ） A．4 B．8 C． D．64 12．若等腰三角形的两条边长分别为和，则这个三角形的周长为（   ） A． B． C．或 D．或 13．下列说法：①无理数包括正无理数、0、负无理数；②无理数与无理数的和仍然是无理数；③若一个数的平方等于它的算术平方根，则这个数是0或1；④正实数和负实数统称为实数；⑤有理数与数轴上的点一一对应．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入的值为32，那么输出的值为（   ） A． B．2 C． D． 15．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值是（    ） A．0 B．6 C． D．5 16．已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 17．实数a、b在数轴上的位置如图：则化简的结果是（   ） A． B． C．0 D． 18．有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．其中错误的是（　） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 19．如图，从一个大正方形中裁去面积为和48 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A．78 B． C． D． 20．定义新运算：加法运算法则： ， 其中，， ， 为实数．若， 则下列结论正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 二、填空题【共18小题】 21．比较大小： ．（填“”“”或“”） 22．比较大小： ．（填“”“ ”或“”） 23．一个正数a的两个平方根是和，则的算术平方根是 ． 24．已知，则 ． 25．已知，则的平方根为 ． 26．若，则的算术平方根是 ． 27．若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 ． 28．若一个直角三角形的其中两边的长分别为，且满足，则该直角三角形的第三边的长为 ． 29．正数x的平方根为和，则x的值是 ． 30．已知实数满足，则的平方根为 ． 31．定义，计算 ． 32．记，则 ． 33．计算： 34．若最简二次根式与可以合并成一个二次根式，则 ． 35．已知，则代数式的值为 ． 36．如图将边长分别为1和2的两个正方形剪拼成一个较大的正方形，则大正方形的边长是 ． 37．把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分别为、、，则图中的阴影部分的周长＝ ． 三、解答题【共12小题】 38．计算：． 39．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 40．解方程： (1) (2) 41．计算下列各式 (1) (2) (3) 42．计算： (1) (2) 43．先化简，再求值：，其中． 44．如图，小丽有一块长方形硬纸片，周长是，假设长为，宽为． (1)请用含x的式子表示y，则__________； (2)小丽沿虚线剪下一个面积为的正方形，请求出y的值． 45．如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为4、16． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_____． 46．对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 47．今年，漯河市精心打造“小而美”口袋公园，利用“碎片”土地提升幸福感．下图是该市园林部门将两块紧挨的正方形小绿地整合成一个“口袋公园”矩形．已知正方形区域准备种植绿植，正方形区域准备种植花卉，矩形区域打算设置体育健身器材．已知正方形的面积为，正方形的面积为． (1)求矩形健身区域的周长； (2)求矩形口袋公园的面积． 48．阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如（，为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭：如的共轭复数为． (1)填空： ①________； ②________； (2)若是的共轭复数，求的值． 49．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)若，其中x是整数，且，求的相反数． 50．小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算：； (3)若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $