第三章 高考大题规范解答——函数与导数-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习学案

高考大题规范解答一 函数与导数 命题动向：函数是中学数学的核心内容，而导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重 点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性（求函数的单调区间），求极值、最值、切线方程、函数的零点或方 程的根，求参数的范围及证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归等， 中、高档难度均有 例1.(15分)(2023·北京高考题，20)设函数)三 所以函数g(x)的单调递增区间为(-∞，0)，(3 x-x3er+,曲线y=f(x)在(1，(1))处的切线方 5,3+√5)，单调递减区间为(0,3-5)，(3+5， 程为y=-x+1. +0). (8分) (1)求a,b的值； (3)第1步：根据函数g(x)的单调性及零点存在 (2)设函数g(x)=∫'(x),求g(x)的单调区间； 定理确定函数f(x)在x∈[0,3+√5]时的极值点情况 (3)求(x)的极值点个数. 当0≤x≤3+3时，因为g(x)=1+e+x2(x- [解题思路](1)根据曲线y=f(x)在(1，f(1) 处的切线方程为y=-x+1可得∫'(1)=-1及f(1) 3),所以g(0)=1>0,g(3+√3)=1+e2-5(3+5)2 =0,根据f'(1)=-1及f(1)=0求出a,b的值；(2) ×5>0,g(1)=-1<0,因为g(x)在(0,3-5)上单 首先对函数g(x)求导，然后确定g'(x)>0和g'(x)< 调递减，所以g(3-5)<g(1)<0.（另解：g(3-√5) 0时的x的取值范围，最后写出函数g(x)的单调区间； -1+-B(265.5-25+18,周为2-5 (3)求函数f(x)的极值点个数，即求g(x)=∫'(x)=0 e2-月 e2万 变号根的个数，根据g(x)的单调性、极值及函数g(x) 082 图象的变化趋势确定g(x)=∫'(x)=0的变号根的 <,所以e2-6<e<2,所以e2-F-12万+18<2 个数 125+18=20-125=√400-√432<0，所以g(3 [解析](1)第1步：对函数(x)求导 -3)<0)》 (10分) 年 因为f(x)=x-x3em+6,所以f'(x）=1-3x2er+b 又函数g(x)在(0,3-√3)上单调递减，在(3 度 axear+b=1-ea+b(ax3+3x2), (1分) 创 5,3+√5)上单调递增，所以由零点存在定理，得存在 新 第2步：根据曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线 唯一的a∈(0,3-√5)，Be(3-√5,3+5)，使得g(a) 方程得∫'(1)及f(1)的值 计 =g(B)=0,所以当x∈(0，a)时，g(x)=f'(x)>0, 因为曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y 衡 f(x)单调递增；当x∈（a,B)时，g(x)=∫'(x)<0,f(x) =-x+1, m 所以∫'(1)=-1，f1)=0 (2分) 单调递减；当xe(B,3+3)时，g(x)=f'(x)>0,f(x) 学 案 第3步：根据f'(1)及f(1)的值列方程组，求出a, 单调递增.所以x=a:是函数f(x)的极大值点，x=B是 b的值 函数(x)的极小值点.（注：若想说明x=x,是函数 》- (x)的一个极值点，一要说明∫'(x)=0,二要说明函 、，解得4，(4分)是 数f(x)在x=x0两侧的导函数值异号)(12分) (2)第1步：对函数g(x)求导 第2步：确定函数f(x)在xe(3+√5，+0)时的 因为a=-1,b=1,所以g(x)=f'(x)=1-e+1 极值点情况 .（-x3+3x2)=1+ex+1(x3-3x2), 当x>3+5时，g(x)=1+e+lx2(x-3)>0恒 所以函数g(x)的定义域为R,g'(x)=-e+(x 成立，即当x>3+3时，方程g(x)=∫'(x)=0无实数 -3x2)+e+1(3,x2-6x)=-er+1(x3-3x2-3x2+ 根，所以x∈(3+5，+∞)时，函数f八x)无极值点. 6x)=-e+'x(x2-6x+6)=二e+x(x-3+5)( (13分) -3-5).(题眼》 第3步：根据函数g(x)的单调性及零点存在定理 第2步：确定g'(x)>0和g'(x)<0时的x的取 确定函数f(x)在x∈(-∞，0)时的极值点情况 值范围 当x<0时，因为g(-2)=1+4×(-5)e3=1 20e3<0,函数g(x)在(-∞，0)上单调递增，所以由零 令g'(x)=0,解得x=0或x=3+3或x=3-√3 点存在定理可知，存在唯一的y∈(-2,0)，使得g(y) (6分) =0,所以x<r时，g(x)=∫'(x)<0,f(x)单调递减；当 令g'(x)>0,得x<0或3-√5<x<3+5;令 y<x<0时，g(x)=∫'(x)>0f(x)单调递增.所以x= g'(x)<0,得0<x<3-√5或x>3+5. (7分) y是函数f(x)的极小值点. (14分) 第3步：写出函数g(x)的单调区间 综上，函数f(x)的极值点个数为3. (15分) 冲关策略：利用导数主要研究函数的单调性、极 冲关策略：(1)恒成立问题可以转化为我们较为 值、最值，已知(x)的单调性，可转化为不等式∫'(x)熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以 ≥0或∫'(x)≤0在单调区间上恒成立问题；求函数的将参数看成常数直接求解. 极值、最值问题是高考解答题的基础和常见题型，解此 (2)证明不等式，通常转化为求函数的最值问题. 类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此对于较复杂的不等式，要先用分析法进行适当的转化. 时要注意结合导函数图象的性质进行分析 3.(17分)(2025·湖南沅澧共同体联考)已知 2.(17分)(2025·广东调研)已知函数f(x)=f(x)=e-ar+1,a∈R,e是自然对数的底数. e*-1-xln x. (1)讨论函数y=f(x)的单调性； (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若关于x的方程f(x)-1=0有两个不等实 (2)证明：f(x)>0. 根，求a的取值范围； [解析](1)f(1)=e-1-ln1=1, (2分) ()=e-(nx+1),则k=()=0,5分)证：+<2. (3)当a=e时，若满足f(x)=f(x2)(x1<x2),求 曲线y=f(x)在点(1，∫(1))处的切线方程为y三 (6分) [解析](1)函数f(x)=e-ax+1的定义域 (2)证明：证法一：定义域为(0，+0). (7分)为R, ①当0<x<1时，e-1>e1,xlnx<0,则e-I>xlnx, 求导得f'(x)=e-a, (2分) 即f(x)>0; (8分) 当a≤0时，恒有f'(x)>0,则函数f(x)在R上单 ②当x≥1时，f'(x)=e-l-(lnx+1)=e-l-调递增； (3分) In x 1. 当a>0时，由f'(x)<0,得x<lna;由f'(x)>0, 设=()g()=e-g(x)在[1， 得x>lna, (4分) 即函数f(x)在(-o,lna)上单调递减，在(lna, +∞)上单调递增，g'(1)=0,所以g'(x)≥0，(11分) +∞)上单调递增， 所以g(x)在[1，+∞)上单调递增，g(1)=0, 所以当a≤0时，函数f(x)的递增区间为(-∞， g(x)≥0， +∞)； 即f'(x)≥0， (14分) 当a>0时，函数f(x)的递减区间为(-∞，lna), 所以f(x)在[1，+0)上单调递增，(1)=1， 递增区间为(lna,+o). (5分) 则e-l-xlnx≥l, (16分) (2)方程f(x)-1=0台e-ax=0, (6分) 总 综上所述，f(x)>0. (17分) 证法二：定义域为(0，+0). (7分) 当x=0时，方程不成立，则。=号令g)Q 要证八x)>0,只需证e>血，只蜀证 (7分) 学 依题意，方程f八x)-1=0有两个不等实根， In x (10分) 即直线y=a与y=g(x)的图象有2个交点， 083 28(x)=血x 令h(x)=。 求导得g(x)=-c,当x<0成0<x<1时， (x)=e·2-e1·2x=e-(x-22 g'(x)<0,当x>1时，g'(x)>0, x x3 函数g(x)在(-0,0)，(0,1)上单调递减， 当x∈(0,2)，h'(x)<0,h(x)单调递减； 在(1，+0)上单调递增， (9分) 当x∈(2，+o),h'(x)>0,h(x)单调递增， 而当x<0时，g(x)<0,当x>0时，g(x)>0, h(x)≥h(2)= e 且当x=1时，g(x)取得极小值g(1)=e, 22=4, (13分) 作出函数y=g(x)的图象，如图： 1 g'(x)=* n x 1 Inx x 当x∈(0，e),g'(x)>0,g(x)单调递增； 当x∈(e,+),g'(x)<0,g(x)单调递减， g(x)≤g(e)=ne=1 ee (16分) 综上所述，h(x)≥4>。≥名()，也就是e二 e 1 观察图象，当a>e时，直线y=a与函数y=g(x) 的图象有2个交点， 即f(x)>0. (17分) 所以a的取值范围为(e,+o) (11分) (3)证明：当a=e时，f(x)=e-ex+1,求导得 由g'(x)<0,解得-na<x<1, f'(x)=e-e, 所以函数g(x)在(0，-na)和(1，+o)上单调 由(1)知，函数f(x)在(-∞，1)上单调递减， 递增， 在(1，+∞)上单调递增， (13分) 在(-lna,l)上单调递减； (7分) 由x1<x2,且f(x1)=f八x2),得x1<1<x2, 当a=时，由g(x)≥0，得函数g(x)在(0， 令函数h(x)=f(x）-f(2-x),x<1, e 求导得h'(x)=f'(x)+f'(2-x)=e-e+e2-- +0)上单调递增； (8分) e>2√e·e2-x-2e=0, (15分) 当a≥1时，由g'(x)>0,解得x>1;由g'(x)<0, 则函数h(x)在(-∞，1)上单调递增，有h(x)< 解得0<x<1, h(1)=0, 所以函数g(x)在(1，+∞)上单调递增，在(0,1) 于是f(x)<f(2-x), 上单调递减， (9分) 而x1<1,因此f(x)<f(2-x), 综上，当0<a<时，函数g(x)的单调增区问为 即fx2)<f2-x),又2-x1>1,x2>1, 函数∫(x)在(1，+∞)上单调递增，从而x2< (0,1)和(-lna,+o),减区间为(1，-lna); 2-x1, 当1<a<1时，函数g(x)的单调增区间为(0， 所以x1+x2<2. (17分) -na)和(1，+o),减区间为(-lna,1); 4.(17分)(2025·江西萍乡期中)已知函数f(x) b1 当a=1时，函数g(x)的单调递增区问为(0， e +0),无减区间； (1)证明：(x)的图象与x轴相切； 当a≥1时，函数g(x)的单调增区间为(1，+o), 084 (2)设g(x)=x)+e-1(aeR). 减区间为(0,1). (10分) ①当a>0时，求函数g(x)的单调区间； ②g(x)≤1-x-1在(1，+)上恒成立可转化 22 ②若g(x)≤1-x-上在(1，+0)上恒成立，求实 为a≤nx-x+1)x 年 e 数a的取值范围， 设h(x)=(血x-x+1)x [解析]()证明：x)=--nx+1的定义 e 设 计 域为(0，+∞)， (1分) 则'(x)=血x-x+2)1-x (12分) e 衡 所以了()=是是令()=0，怒得 令(x)=nx-x+2(x>1),则p'(x)=1- 学 x=1, (2分) <0, 当0<x<1时，f'(x)>0,f(x)单调递增； 所以函数p(x)在(1，+∞)上单调递减， 当x>1时，∫'(x)<0,f(x)单调递减， (3分) 又p(e)=3-e>0,p(e2)=4-e2<0, 又f(1)=0,所以曲线f(x)在(1，f(1))处的切线 则函数p(x)在(e,e2)内存在唯一的零点xo, 方程为y=0, 即f(x)的图象与x轴相切. (4分) 当xe(1,x)时，p(x)>0,h'(x)<0,h(x)单调 递减； (2)①g(x)=f(x)+e-1=-1-hx+ue 当xe(xo,+o)时，p(x)<0,h'(x)>0,h(x)单 g'(x)=e(x-1)+↓-1=(ae-1)(x-1) 调递增， (14分) 又(x)=lnx0-x0+2=0,得x0=e0-2 (x>0) (5分) 则h(x)m=h()=血。-+1)多 当0<4<1时，由g(x)>0,解得0<x<1或x> e 1 -In a; -e”=e (16分) 由g'(x)<0,解得1<x<-lna, 所以函数g(x)在(0,1)和(-na,+∞)上单调 所以a≤点，即实爱。的取位范国为(-0， 递增， (17分) 在(1，-lna)上单调递减； (6分) 当<a<1时，由g'(x)>0,解得0<x<-lna 温馨提示：复习至此，请完成练案[21 或x>1;