10.3 频率与概率-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

、第十章概率 10.3 频率与概率 素养目标 1.理解频率与概率的含义及关系； 2.通过对现实生活中的“抛币”“游戏的公平性”“彩票中奖”等问题的探究，感知应用数学 知识解决数学问题的方法，培养学生数学建模和逻辑推理的核心素养. 核心素养达标夯实基础 一、选择题 A.游戏1和游戏3 1.抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件A=“正 B.游戏1 面向上”，则下列说法正确的是() C.游戏2 A.抛掷硬币10次，事件A必发生5次 D.游戏3 B.抛掷硬币100次，事件A不可能发生50次 4.规定：投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少 C.抛掷硬币1000次，事件A发生的频率一 两次投中8环以上为优秀.根据以往经验某 定等于0.5 选手投掷一次命中8环以上的概率为手，现 D.随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生 采用计算机做模拟实验来估计该选手获得 的频率逐渐稳定在0.5附近 优秀的概率：用计算机产生0到9之间的随 2.(多选)“今天北京的降雨概率是80%，上海的 机整数，用0、1表示该次投掷未有8环以 降雨概率是20%”，下列说法正确的是( ) 上，用2、3、4、5、6、7、8、9表示该次投掷在8 A.北京今天一定降雨，而上海一定不降雨 环以上，经随机模拟试验产生了如下20组 B.上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨 随机数： C.北京和上海都可能没降雨 907966 191 925 271932812 D.北京降雨的可能性比上海大 458 569 683 3.下面有三个游戏，其中不公平的游戏是( 031 257 393 527 556 488730 取球方式 结果 313537 989 有3个黑球和1个 取出的2个球同色 据此估计，该选手投掷1轮，可以拿到优秀 游戏1 白球，游戏时，不放 →甲胜；取出的2个 的概率为( ) 回地依次取2个球 球不同色→乙胜 有1个黑球和1个 取出的球是黑球→ A是 B号 c品 游戏2白球，游戏时，任取 甲胜；取出的球是白 5.手机支付已经成为人们常用的付费方式，某 1个球 球→乙胜 大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机 有2个黑球和2个 取出的2个球同色 抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理 游戏3白球，游戏时，不放 →甲胜；取出的2个 如下， 回地依次取2个球 球不同色→乙胜 20 ·数学· 课时夯基过关练， 顾客年 20岁 70岁 这个游戏规则公平吗？ （填“公平” 「20,30)厂30,40)40,50)厂50,60)厂60,70 龄（岁） 以下 及以上 或“不公平”). 手机支 3 12 14 9 5 2 0 付人数 其他支付 0 13 27 12 方式人数 从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客 9.在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往 年龄在[40,60)内且未使用手机支付的概率 往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查 为( 方法.调查人员设计了一个随机化装置，在 A.1o B号 c号 其中装有形状、大小、质地完全相同的50个 6.在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概 黑球和50个白球，每个被调查者随机从该 率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只 装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实 豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出 回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到 [0,9]之间整数值的随机数，指定1,2,3,4 白球则如实回答问题二：你是否在考试中做 表示被感染，5,6,7,8,9,0表示没有被感 过弊.若100人中有52人回答了“是”，48人 染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 回答了“否”.则问题二“考试是否做过弊”回 192907966925271932812 答“是”的百分比为（以100人的频率估计概 458569683 率) 257393 127 556 488 730 113 三、解答题 537989431 10.近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概 理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和 率为( 其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾 A.0.25 B.0.4 箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现 C.0.6 D.0.75 随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000 7.设两个相互独立事件A,B都不发生的概率 吨生活垃圾，数据统计如下表（单位：吨）： 为)，则A与B都发生的概率的取值范围是 “厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 ( ) 可回收物 30 240 30 A[o,】 B.[o.9] 其他垃圾 20 20 60 c[] D.[o.] (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误的概率. 二、填空题 8.玲玲和倩倩下象棋，为了确定谁先走第一 步，玲玲对倩倩说：“拿一个飞镖射向如图所 示的靶中，若射中区域所标的数字大于3，则 我先走第一步，否则你先走第一步.”你认为 ·数学 121 、第十章概率 11.用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出 (3)事件C(d>6.96)的频率； 100个逐个进行直径检验，结果如下： (4)事件D(d≤6.89)的频率. 直径 个数 直径 个数 6.88<d≤6.89 1 6.93<d≤6.94 6.89<d≤6.90 2 6.94<d≤6.95 15 6.90<d≤6.91 10 6.95<d6.96 8 6.91<d≤6.92 17 6.96<d≤6.97 6.92<d≤6.93 17 6.97<d≤6.98 2」 从这100个螺母中任意抽取一个，求： (1)事件A(6.92<d≤6.94)的频率； (2)事件B(6.90<d≤6.96)的频率； 核心素养培优 拓展提升 1.有一匹马，参加了100场赛马比赛，赢了20 D.抛掷6000次，朝上的点数为2的次数大 场，输了80场.在这100场比赛中，有30场 约为1000次 是下雨天，70场是晴天，在30场下雨天的比 4.一个游戏包含两个随机事件A和B,规定事 赛中，赢了15场.如果明天下雨，该马获胜 件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜。 的概率是 ( 判断游戏是否公平的标准是事件A和B发 A号 B.d C.z 生的概率是否相等. 在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各 2.天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的 胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300 概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计 次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不 这三天中恰有两天下雨的概率.用1,2,3,4， 公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁 5,6表示下雨，用计算机产生了10组随机数 的结论？为什么？ 为180,792,454,417,165,809,798,386， 196,206.据此估计这三天中恰有两天下雨 的概率近似为() A号 B号 c D 3.(多选)小明将一枚质地均匀的正方体骰子 连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2， 则下列说法正确的是() A.朝上的点数是2的概率和频率均为1 B.若抛掷30000次，则朝上的点数是2的 频率约为0.17 C.抛掷第31次，朝上的点数一定不是2 122 ·数学·10.解：(1)设A=“甲答对”，B=“乙答对”， 的事件，根据独立性假定，得 则PA)=号，P(B)=号，P()=号， pA)-号×+号×号-合PA) P(B)=是，“甲、乙两往同学格有一个 号×号 39 人答对”的事件为ABUAB,且AB与 P(B)-号×号-P(B,)=是× 3 AB互斥，由三人答题互不影响，知A, B互相独立，则A与B,A与B,A与B均 +×是- 相互独立，则P(A BUAB)=P(AB)十 记事件B=“甲答对的题数比乙多”，则 P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)= B=A1B。UA2B。UA2B1,且A1B0, 号×号+号×号=是所以甲，乙两位同 A2B。,A2B1两两互斥，A1与B,A2与 B。,A2与B1分别相互独立，所以 学格有一个人参对的概摩为是 P(B)=P(A:B)+P(A2Bo)+ (2)设C=“丙答对”，则P(C)=p, P(A2B1)=P(A1)P(B)+P(A2)· P(C)=1一，设D=“甲、乙、丙三个人 P(B)+PA,)P(B)-音×G+告× 中至少有一个人答对”，由(1)知， P(D)=1-P(D)=1-P(A)P(B)· 6+号×-号 89 PC)=1-号×号×1-p)=器解得 因此，甲答对的题数比乙多的概率为 p=7,所以p的值为2 9 核心素养培优·拓展提升 11.解：(1)记3道选择题的题号为1,2,3,2 道填空题的题号为4,5， 1.D 2.D 3.D 4.BD5. 则试验的样本空间2={(1,2)，(1,3)， 6.解：(1)事件“恰有一人正确解答”可表示 (1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5) 为AB+AB, (3,4),(3,5),(4,5)}, 因为AB,AB互斥，A与B相互独立， 共有10个样本点，且每个样本点是等 所以P(AB+AB)=P(AB)十 可能发生的，所以这是一个古典概型. P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)= 记事件A=“甲至少抽到1道填空 0.2×0.7+0.8×0.3=0.38. 题”，则 (2)该同学错误在于事件A,B不互斥， A={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5), 而用了互斥事件的概率加法公式 (3,4),(3,5),(4,5)}, 正确的解答过程如下： 所以，n(A)=7, “问题被解答”也就是“甲、乙二人中至少 所以，P(A)=n(A)=7 n(2)10 有一人正确解答了问题”， 因此，甲至少抽到1道填空题的概率为 可以表示为AB+AB十AB,且AB,AB, AB两两互斥，A与B相互独立， 10 所以P(AB+AB+AB)=P(AB)+ (2)设A1,A2分别表示甲答对1道题， P(AB)+P(AB) 2道题的事件， =P(A)P(B)+P(A)P(B)+ B。,B1分别表示乙答对0道题，1道题P(A)P(B)=0.2X0.7+0.8X0.3+ 195 0.8×0.7=0.94. 1L.解：(1)事件A的频率f(A)=17+26 100 或者P(A十B)=1-P(AB)=1-P(A)· P(B)=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94. 0.43. 7.解：(1)因为甲同学能答对A类中问题的 (2)事件B的频率f(B)= 概率为，能答对B夹中问题的概率为 10+17+17+26+15+8=0.93. 100 司所以PA)-1-是-号，PA) (3)事件C的颜率f(C)=2+2=0.04. 100 ×(1-2)=0PA)=×号-品 (④)事件D的频率f(D)=100=0.01 2=10 (2)设“乙同学答对1个，2个问题”分别 核心素养培优·拓展提升 记为事件B1,B2, 1.C2.B3.BD 因为乙同学能答对A类中问题的概率 4.解：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频 率都为0.5；当游戏玩了1000次时，甲 为号，能答对B类中问题的概率为， 获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为 可得P(B)=号×(1-)= 0.7.根据频率的稳定性，随着试验次数 的增加，频率偏离概率很大的可能性会 越来越小，相对10次游戏，1000次游戏 设事件C表示“星队能进入决赛”， 时的频率接近概率的可能性更大，因此 可得P(C)=P(A1B2)+P(A2B1)+ 我们更愿意相信1000次时的频率离概 P(AB2)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)+ 率更近.而游戏玩到1000次时，甲、乙 P(A2)P(B2) 获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大 =品×+品x号+品×号-0 差距，所以有理由认为游戏是不公平的. 因此，应该支持甲对游戏公平性的判断 所以“星队“能选入决赛的栀率为易 专题集训突破练 10.3频率与概率 专题1事件 核心素养达标·夯实基础 例1解：(1)这个试验的样本空间2 1.D2.BCD3.D4.A5.C6.D {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1, 7.D8.不公平9.54% 6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5), 10.解：(1)厨余垃圾投放正确的概率为 (2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3, “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量= 400 5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4), 厨余垃圾总量 400+100+100 (4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5, =2 31 4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3)， (2)设“生活垃圾投放错误”为事件A, (6,4),(6,5),(6,6)}. 则A的概率为“厨余垃圾”箱里可回收 (2)这个试验包含36个基本事件. 物量和其他垃圾量、“可回收物”箱里厨 求试验的样本空间主要是通过观察，分析、 余垃圾量和其他垃圾量、“其他垃圾”箱 模拟试验，列举出各个样本点。对于样本 里厨余垃圾量和可回收物量的总和除 名师 点个数的计算，要保证列举出的试验结果 以生活垃圾总量，即P(A)= 不重不漏.写祥本空间时应注意两大问题： 30+20+100+20+100+30=0.3. 一是抽取的方式是否为不放回抽取；二是 1000 试验结果是否与顺序有关。 196 跟踪训练1ABC解析：因为记第一枚 骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点 数之差为5，所以第一枚掷出5点，第二 枚掷出2点时，=5一2=3，第一枚掷出 3点，第二枚掷出3点时，=3一3=0，第 一枚掷出1点，第二枚掷出2点时，= 1一2=一1，第一枚掷出6点，第二枚掷 出2点时，=6一2=4，所以{>3}表示 的随机事件不可能是A,B,C,可能是D. 故选ABC 例2ABC解析：由事件A1,A2,A3不一 定两两互斥，所以P（A1UA2)= P(A1)+P(A2)-P(A1A2)≤0.5， P(A2UA3)=P(A2)+P(A3)- P(A2A3)≤0.8，且P[(A1UA2)U A3]≤1，所以(A1UA2)UA3不一-定是 必然事件，无法判断A1UA2与A3是不 是互斥或对立事件，所以A,B,C中说法 错误.故选ABC 1.进行率件的运算时，一是要紧扣运算的 定义，二是要全面考虑同一条件下的试 验可能出现的全部结果，必要时可列出 全部的试验结果进行分析.也可类比集 合的关系和运算，用Venn图分析事件. 2.辨析互斥事件与对立率件的思路 辨析互斥事件与对立事件，可以从以下 几个方面入手： 名师 (1)从发生的角度看： ①在一次试验中，两个互斥事件有可能 都不发生，也可能有一个发生，但不可能 同时发生； ②两个对立事件必有一个发生，但不可 能同时发生.即两事件对立，必定互斥， 但两事件互斥，未必对立.对立事件是互 斥事件的一个特例. (2)从事件个数的角度看互斥的概念适 用两个或多个事件，但对立的概念只适 用两个事件， 跟踪训练2AB解析：对于A,因为 P(A)=号，所以P(不)=1-P(A)=1- 日-号故A正确