第三章 第一讲 导数的概念及运算-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习学案

例2：② 10 变式训练 3 由散点图的走势，知模型①不合适， 令t=A(t≥0)，则A=t,所以D=at-t子= 、1 曲线过点(4，了)，则后三个模型的解析式分别为2y=弓+ -（-+子所以当1=，即4=时，D取得最 1 1s,③y=宁+了④y=万+号，当：=1时，代入④中，得y 大值 =号，与图不符，易知拟合最好的是②， 2B因为R。=3.28,T=6,R,=1+7,所以r=328-1=038, 6 将1=8代入②式，得y=写+hg:8=(米) 所以1(t)=e”=e.,设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病 例数增加1倍需要的时间为i1天，则ea8+)=2e3,所以 考向2 。=2所08=h2.所以=836-8818天，故 例：B由题可知，函数y=60×0.9+20(t≥0)， 选B 令60x09+20=0则0.9=号 名师讲坛·素养提升 两边同时取对可得：g0.9=g子， .2 变式训练 C设矩形场地的长为x米，则宽为1000米，W=(x+ 即s品=4(2%3-1）=e2-l63, 4)(000+4）=4x+00+10016≥2√4.400+ m4=品-号88-8 =4.5min.故选B. 10016=10816,当且仅当4=4000，即x=100时，等号成立 变式训练 B由题意知X。=0.1,Xn=10,令10=0.1×1.6“，得1.6 所以平整这块场地所需的最少费用为1×10816=10816元.故 选C. 2 10,取以10为底的对数得mlg1.6=2,所以n=g,610.故 第三章导数及其应用 选B 考向3 第一讲导数的概念及运算 角度1 知识梳理·双基自测 例：[解析](1)由题意知，当0≤x≤8时， 知识梳理 =06x+0214-)-方2=六2+号+片， .2.14 知识点 当8<x≤14时， 2.瞬时变化率m fx+△x)-fx) △x y=0.6x+0.2(14-)-3x+8=1 1010x+2, 3.0nx"-1 m-ins c'lna。 12 2 20t+ 5 +片0≤≤8， 4.f'(x）±g(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)Gf'(x) 即y= f()g(x)=((g(x)≠0) L8(x)]2 1 x+2,8<x≤14. 5.y′=y'·u1 2)当0≤x≤8时y=0+2x+4=」 =-20(x-4)2+ 知识点二 5 5 y-yo=f'(xo)(x-x》 8 所以当x=4时，ym=5 双基自测 1.(1)×(2)V(3)×(4)×(5)×(6)× 当8<x≤14时，y=10+2, [解析](1)曲线y=fx)在点P(xo,o) 所以当x=14时，y=了 17 处的切线，点P在曲线上，而过点P(x, )的切线，点P可以在曲线外. 因为号>号，所以当=4时= (2)如图所示，切线可以与曲线有多个公 共点 所以当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为3.6万元， (3)如图所示，直线与曲线只有一个公共点，但不是切线， 角度2 例：C设石片第n次“打水漂”时的速率为"， 则vm=100×0.90-1. 由100×0.90"-1<60，得0.90"-1<0.6， 则(n-1)n0.90<ln0.6, 4(m）=(}=0 甲a-1>出8号三847则>5 (5)(2)'=2n2. (6)[n(-x)]'=- x(-)=,(”=士，但它们定义 故至少需要“打水漂”的次数为6. 域不同 -449- 2D根据求导公式，结合选项判断即可对于A,()= 考点2 角度1 -子，故A错误；对于B,(s血)'=cs,故B错误；对于C, 例1：C因为2f代x)=f代-x)+3e,所以2f代-x)=f代x)+3e,联 立可解得f代x)=e+2e,所以f代0)=3，所以f(x)=-e y[(2)]'=×2=,放C错误：对于D,(ey=6+ +2e*,f'(0)=1.所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线 xe=(1+x)e,故D正确.故选D. 方程为y-3=x,故所求的切线方程为y=x+3.故选C. 3.1-巨f(x)=-f'(平）simx-cosx,令x=平，得f'(平） 例2y=合xy=-合先求当x>0时，曲线y=nx过原点的 ()号解得r(）1-5 切线方程，设切点坐标为(，)，则由y=1,得切线斜率 4C由y=云1可得少期=分南线在点 为号·又切线的斜率为号 所以片=上，解得0=1， （1,号处的切线方程为y-气=异(x-),即y=年x+导，故 代人y=lnx,得x=e, 选C. 5.n2由y=e+x得y'=e+1,ylx=o=e°+1=2，故曲线y=e 所以切线斜率为】，切线方程为y=二x +x在(0,1)处的切线方程为y=2x+1;由y=ln(x+1)+a得 同理可求得当x<0时的切线方程为y=-。 -本设切线与曲线y=lh(x+1)+a相切的切点为(6 1 0+=2,解得0 血(o+I)+a),由两曲线有公切线得y=1 综上可知，两条切线方程为y=,y=-。 角度2 子则切点为(-弓a+n),切线方程为y=2(x+号） 例：B设函数f(x)=lnx-x2与直线x+y=0相切于点A(xo, +a+血2即y=2x+1+a-h2,根据两切线重合，所以a 0,直线+y=0的斜率为-1f()=子-2，所以头-2 =-1,所以。=1.故选B. ln2=0,解得a=ln2. 角度3 考点突破·互动探究 例：A将点(3,1)代人直线y=x+2的方程得3k+2=1,得k 考点1 -号，所以f'(3)=长=-分，由于点(3，）在函数y=)的 例1：BD根据题意，依次计算选项中函数的导数，即可得答案 (2024)'=20241n2024,A错误；(x224+log2x)'=(x24)' 图象上，则f(3)=1,对函数g(x)=f(x)求导得g'(x)=f(x) +f'(x),.g'(3)-3f'(3)=f3)=1,故选A +(g)=2024@+d2B正确：()= 角度4 血，：品C错误：(29y 云子，=1时y=1-a,所以曲线y=nx+ 例1：C易知y=上-9， sin'x (x2)·3+x2×(3)'=2x3+x23*ln3,D正确 是在点(1，a)处的切线方程为：y-a=(1-a)(x-1)→y= 例2：[解析](1)y'=(2)'sinx+2(sinx)' (1-a)x+2a-1,显然有2a-1=-3,即a=-1.故选C. =2xsin x+cos x. 例2：(-∞，-4)U(0,+∞)考查导数的几何意义（理性思维、 (2=(n+)=h+()=- 数学探索)因为y=(x+a)e,所以y'=(x+a+1)e.设切点 为A(xo,(x+a)eo),0为坐标原点，依题意得，切线斜率k (3):y=xsim(2x+}s(2x+） =y1,o=(6+a+）e0-西+@)c化简，得G+a,-a -2xsin(x+)=-xsin 4x, =0.因为曲线y=(x+a)e有两条过坐标原点的切线，所以 y=-m4-4s4=-分n4k-2as4 关于x的方程名+ax。-a=0有两个不同的根，所以△=a +4a>0,解得a<-4或a>0,所以a的取值范围是(-0， (4)f'()=2x(2x+1D -4)U(0,+0) 2√/2x+I 变式训练 南票 1 1B由()=子-m知r(受）=子×受-如受-平 例3：-兰[分析】先求出f(山)得出导函数的解析式，再把x 1,所以曲线y=(x)在点（受（罗）)处切线的斜率为平 =3代入导函数解析式得f'(3) 1.故选B. [解折】对x)求晕，得f'()=-2(1)+3,所以2.C因为切线1过点(-2.0)和0，-2)，所以W(-1)=9是品。 =-1,所以切线l的方程为y=-x-2,令x=-1,则y=-1, f(1)=1-2"(1)+3,解得f')=号，所以f'()= 1 即f-1)=-1,所以f'(-1)+-1)=-1-1=-2,故选C. 号+3，将=3代入f(),可得f(3)=-号 3.Afx)=x3+(a-1)x2+a心，.f'(x)=3x2+2(a-1)x+a. 又f代x)为奇函数，f代-x)=-f代x)恒成立，即-x23+(a-1)x2 450 -ax=-x3-(a-1)x2-ax恒成立，a=1,f'(x)=3x2+1,令 [解析](1)有可能f'(x)=0,如f(x)=x,它在(-∞，+∞) 3x后+1=1，得xo=0,fx）=0,切点P(xof(xo)的坐标为 上为增函数，但f'(x)=x2≥0. (0,0).选A. (2)因为y=f代x)若为常数函数，则一定有f'(x)=0满足条件， 4.B函数f代x)=lnx+a的图象存在与直线2x-y=0平行的切 但不具备单调性 线，即f'(x)=2在(0，+∞)上有解. (3)f'(x)=0在(a,b)内有限个不影响y=f(x)的单调性，故 所以f(x)=士+a=2在(0，+0)上有解，则a=2- 正确. (4)如果函数f代x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则此函数f代x) 因为x>0,所以2-1<2，所以a的取值范围是(-0,2). 在这个区间内为常数函数，则函数(x)在这个区间内没有单 调性. 名师讲坛·素养提升 1.求两条曲线的公切线 (5)y=品定义域为(0,1U(1,+0),因比它的减区间为(0， [引申] 1)和(1，+0). y=2x+1-n2k==2,公切线方程为y=2x+1-ln2. 2.C在区间(4,5)上f'(x)>0恒成立， ∴f(x)在区间(4,5)上单调递增，故选C. 变式训练 y=ex或y=x+1设l与f(x)=e的切点为(x1,y),则1= 3.B求导得f'()=2-h2·0,令f'(x)>0,即可得出答案 2 e1,f'(x)=e,所以f'(x1)=e1,所以切点为(x1,e1),切线斜 f()=2x2-22足.2-n22=x2-ln2.令 率k=e1,所以切线方程为y-e=e1(x-x),即y=e1·x- (2)2 2 2 xe1+e①，同理设l与g(x)=lnx+2的切点为(x3,乃)，所以 '(x)>0,得>0， 或∫x<0, 解得0<x<2log2e 为=ln+2,g()=,所以g()=,切点为(，1n名+ 2-n2·x>0,2-ln2·x<0, 或无解故选B. 2),切线斜率k=士，所以切线方程为y-(m:2+2)=士(x- 4.Df'(x)=1-cosx,当x∈(0，T]时，f'(x)>0,所以f(x)在 X2 (0,π]上是增函数，所以f(π)>f3)>f2).故选D. ),即y=·x+n名+1②，由题意知，①与②相同，所5.C:f(x)在(1,2)内单调递增f(x)≥0在(1,2)内恒成立， 以=6=e0. 即f”(x)=ae-1≥0(1<x<2)…a≥(1<x<2). xe 【-xe+e1=lnx32+1④， 令g(x)=xe(1<x<2),则g'(x)=(x+1)e>0, g(x)在(1,2)内单调递增，g(x)∈(e,2e2), 把③代入④有-x,e1+e1=-x1+1,即(1-x1)(e1-1)=0, 解得x1=1或x1=0,当x1=1时，切线方程为y=x;当：1=0 亡品甘)。≥。即e的最小值为，故这C 时，切线方程y=x+1,综上，直线I的方程为y=ex或y=x+1. 考点突破·互动探究 2.由公切线求参数 变式训练 考点 分f)=m+子g()-2-m,假 1 考向1 y=8(x /人=fx) 设两曲线在同一点(x。,y)处相切，则 例：[解析](1)定义城为xx≠0了'(x)=8x-, 「m+=2。-m, 令f'()>0,得8x->0,即2>日 30 可得1-lnxo= mxo +In xo =%o -mxo .x> 01 x后，即x后+lnx-1=0,因为函数y=x +nx-1单调递增，且x=1时y=0,所以。=1，则m=2,此 令f()<0,得x<分且x≠0， 时两面线在(1，弓)处相切，根据曲线的变化趋势，若m>之， 1 )的单调递增区间为（宁+）】片 则两曲线相交于两点，不存在公切线，如图，所以m的最大值 单调递减区同为(-四，0)，(0，) 为 (2)定义域为(0,1)U(1,+∞). x-x 第二讲导数在研究函数中的应用 f'(x)= x In x-1 (lnx)2(lnx)月 由f'(x)>0,解得x>e 第一课时导数与函数的单调性 由f'(x)<0,解得0<x<e,且x≠1. 知识梳理·双基自测 ∴fx)的单调递增区间是(e,+o), 知识梳理 fx)的单调递减区间是(0,1)，(1，e) 知识点 (3)f()=(2+cos x)cos x-sin (-sin)2c0s+1 (2+cos x)2 1.可导> (2+cos x) 2.定义域><f(x)>0f(x)<0 令f>0,得m>-分 双基自测 1.(1)×(2)×(3)V(4)V(5)× 即2hm-2<<2m+keZ): 451第三章 导数及耳应用 考情探究 考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养 利用导数研究不等式， 数学运算 逻辑思维 2024新课标I,18 图象的对称性 求最值、求取值范围 运算求解 综合性 直观想象 逻辑推理 利用导数研究函数零 逻辑思维 数学运算 2024新课标Ⅱ，11 点，极值及图象的对 求值、判断函数对称性 运算求解 综合性 直观想象 称性 逻辑推理 数学运算 利用导数研究函数的 求切线的方程、求参数的取值 逻辑思维 2024新课标Ⅱ，16 综合性 直观想象 切线、极值 范围 运算求解 逻辑推理 2023新课标1,19； 利用导数研究函数的 讨论函数的单调性；由单调性 逻辑思维 2023新课标Ⅱ，6 单调性 求参数的取值范围 运算求解 综合性 逻辑推理 数学运算 总 2023新课标Ⅱ，11,22 利用导数研究函数的 由函数的极值求参数范围 逻辑思维 逻辑推理 极值、最值 运算求解 综合性 数学运算 2022新高考1,7 利用导数研究函数的 单调性 比较大小 逻辑思维 综合性 数学运算 运算求解 逻辑推理 2022新高考1,22： 2021新高考Ⅱ，22； 利用导数研究函数的 逻辑思维 创新性 数学运算 求值；研究不等式 2024新课标I,10 零点问题 运算求解 逻辑推理 逻辑思维 利用导数证明不等式 数学运算 2022新高考Ⅱ，22 由不等式恒成立求取值范围 综合性 运算求解 逻辑推理 利用导数研究函数的 运算求解 数学运算 2022新高考1,10 研究极值点、零点个数 综合性 极值、最值 逻辑思维 逻辑推理 2022新高考I,15 导数的概念和运算 由切线条数求取值范围 运算求解 综合性 数学运算 2021新高考I,7; 导数的概念和运算 2022新高考Ⅱ，14 求切线方程 运算求解 创新性 数学运算 2024新课标I,13 利用导数研究切线 求值 运算求解 综合性 数学运算 数学运算 2021新高考I,22 利用导数证明不等式 求解函数的单调性、极值点的 逻辑思维 综合性 直观想象 偏移问题 逻辑推理 【命题规律与备考策略】 本章内容为高考必考内容，多集中于考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式的证明等问题， 常结合函数的零点、最值等问题综合考查，诸如含参函数单调性问题、恒成立问题等. 复习时，重点把握导数的应用，加强导数与函数的单调性、导数与函数的极值、导数与函数的最值的认知， 理解化归与转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用 第一讲 导数的概念及运算 知识梳理·双皇自测 知识梳理 知识点二 导数的几何意义 函数f(x)在x=xo处的导数就是曲线y=f(x)在 知识点一导数的概念与导数的运算 点P(xof(x)处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点 1.函数的平均变化率 P(xo,(xo))处的切线的斜率k=∫'(xo),切线方程 般地，已知函数y=f(x),把式子)-八) 为 x2-x1 称为函数y=八x)从x1到x2的平均变化率，还可以表 归纳拓展 示为Ay-)-x) 1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周 △x X2-X1 期函数的导数还是周期函数 056 2.导数的概念 2.熟记以下结论： (1)f(x)在x=x处的导数就是f(x)在x=x处的 ,记作：y'1x=或∫'(x),即f'(xo)= 年 f(xo+△x）-f(o) lim (2)()'= 1 △x0 △x 新 (2)当把上式中的x看作变量x时∫'(x)即为f(x) 的导函数，简称导数，即y'=∫'(x)= 3.基本初等函数的导数公式 (4)[a(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x. 衡 (1)C'= (C为常数)； 3.函数y=f(x)的导数∫'(x)反映了函数f(x)的瞬时 学 (2)(x")'= (nEQ); 变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小 (3)(sinx)'= f'(x)I反映了变化的快慢，∫'(x)I越大，曲线在这 (4)(c0sx)'= 点处的切线越“陡” (5)(a)'= 双基自测 (6)(e)'= (7)(log。x)'= 题组一 走出误区 (8)(lnx)'= 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V√”或 4.导数的运算法则 “×”) (1)[f(x)±g(x)]'= (1)在曲线y=f(x)上某点处的切线与曲线y=f(x) (2)[f(x)·g(x)]'= 过某点的切线意义相同， () 特别地：[C·fx)]'= (C为常 (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点 数) ( 8- (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切 线。 5.复合函数的导数 ( 复合函数y=f[g(x)]的导数和函数y=f(u),u= (4)(sn3/=co g(x)的导数间的关系为 ·即y对x (5)(2)'=x·2-1. ( 的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. (6)[ln(-x)]'=(lnx)' ( 题组二走进教材 题组三走向高考 2(选择性必修2P,改编)下列函数的求导正确的4(2023·全国甲卷)曲线y=千在点，号)处的切 是 (安 线方程为 B.(sinx)′=-cosx A.y- B.y=2* e c[n(2)r= D.(xe)'=(1+x)e C-4 e 3.(选择性必修2P!习题T6改编)已知函数f(x)满足 n-分+￥ 5.(2024·新课标I卷)若曲线y=e+x在点(0,1)处 x)=f"(母）os-sinx,则f(母） 的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a= 考点突破·互动探究 点 3.若函数f(x)=lnx-∫'(1)x2+3x-4,则f'(3) 导数的基本运算一自主练透 例.（多选题）下列求导数运算正确的是 名师点拔：导数计算的原则和方法 A.(2024)'=x2024- 1.原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公 B.(x2024+logx)'=2024x2m+1 式求导的函数的和、差、积、商再求导. 'xln 2 2.方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形 c(} sin'x -cosx sinx 式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化 D.(x23)'=2x3+x231n3 为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数 2.求下列函数的导数. 形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先 (1)y=x2sin x; 化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利 (2)y=lnx+元 用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(6)复 合函数：由外向内，层层求导， 总 (3)y=xin(2x+)cos(2x+) 春点己 导数的几何意义一多维探究 (4)fx)=√2x+1. 角度！求切线的斜率或切线方程 擊 例1、(2025·湖南名校联考联合体摸底)已知定义在 R上的函数f(x)满足2f(x)=f(-x)+3e,则曲 05 线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 A.y=3x+3 B.y=3x-3 C.y=x+3 D.y=x-3 2.(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=nlx|过坐标原 点的两条切线的方程为 名师点拨：求曲线的切线方程的两种类型 1,在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求 曲线在点P(xo,yo)处的切线方程和求曲线过点P(x, yo)的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切 点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不 定是切点 2.在点P处的切线方程为y-f(xo)=∫'(xo)(x x0). 3.求过点P的曲线的切线方程的步骤为： 第一步：设出切点坐标P(x1(x,))； 第二步：写出过P'(x1,∫(x)的切线方程为y f(x1)=f'(x)(x-x1); 第三步：将点P的坐标(xo,yo)代入线方程，求 2.（2022·新高考I卷)若曲线y=(x+a)e有两 出x 条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 第四步：将x的值代入方程y-f(x,)=∫'(x1)(x -x,)可得过点P(xo,y)的切线方程. 【变式训练】 注：也可利用'(x)=x）-o） =k物求切点 1.（角度1)(2025·天津五区县重点校期中联考)已知 x1-x0 坐标(x1,y),有几组解就有几条切线. 函数∫(x)= 子+os,则曲线y=f(x)在点 角度2，求切点坐标 例投，南情质的成长身与白 (Ξ() 处切线的斜率为 () A I A.T+1 B.T-1 B.1 C.2 D.e 4 4 名师点拨：求切点坐标的方法 c n罗1 已知切线方程（或斜率）求切点的一般思路是先2.（角度2）曲线y=f(x)在点P(-1,f(-1)处的切 求函数的导数，然后让导数等于切线的斜率，从而求出 线1如图所示，则∫'(-1)+f(-1)= 切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的 4 纵坐标 角度3导数的几何意义 例公 g'(x)是g(x)的导函数，则g(3)-3f'(3)=() 058 A.2 B.1 y=f(x) C.-2 D.-1 y=kx+2 3.(角度3)(2022·贵阳模拟)设函数f八x)=x3+(a- 1)x2+ax,若f(x)为奇函数，且曲线y=f(x)在点 年 P(xf(x))处的切线与直线x+y=0垂直，则切点 P((x)的坐标为 （) 设 A.1 B.0 C.2 D.4 A.(0,0) B.(a,1) 角度4求参数的值（或范围） C.(1,1) D.(-1,2) 衡 例1.(2025·河北石家庄质检、湖北部分学校期中)4.（角度4）(2023·开封市第-次模拟考试)函数x) 中 =lnx+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切 学 已知曲线y=lnx+在点(1，a)处切线在y轴上 线，则实数a的取值范围是 () 的截距为-3，则a的值为 ( A.(-∞，-2] B.（-0,2) A.1 B.0 C.-1 D.-2 C.(2,+∞) D.(0,+o) 名师讲近·素美提升 RVAR2A2AA22EKK1K11K11A1/4111/11/1/11/11/41114//4211/1/41/4/4444424444R425444R45458458525882822222422/R2/41/1/1111121/11AA1A1A11/1/A1A11/A/A1141/4/44144/444/44444 公切线问题的模型本解 曲线的公切线问题是高考的热点题型之一.其中单一曲线的切线问题相对简单，但对于两条曲线的公切线 问题的求解，就比单一曲线的切线问题要复杂.方法更灵活，具体的求解方法如下： 方法一：利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解； 方法二：设公切线1在曲线y=f(x)上的切点为P,(x1,f(x)),在曲线y=g(x)上的切点为P2(x2,g(x2) 则f'(x)=g'(x2)= (x)-(),再解决相关间题 X1-X2 1.求两条曲线的公切线 [答案]C 例的见典交工京产哈你表装燕值终 [解析]设y=x+b与y=lnx+2和y=ln(x+I) 的切点分别为(x1,lnx1+2)和(x2,ln(x2+1)). ln(x+1)的切线，则b= ( 则切线分别为y-1nx1-2=上(x-), A.1 C.1-In 2 D.1-2ln2 y-n*)3-》 化简得y=上x+nx+l,y= 将y=2x+2代入y=x2+a,得x2-2x+a-2=0. 2+1x~ x2+1 由切线与曲线y=g(x)相切，得△=(-2)2-4(a +ln(x2+1), 2)=0. 1 解得a=3. x1x2+1’ 依题意， 解得x (2)由f(x)=x-x,得∫'(x)=3x2-1,所以切线 nx1+1=- +1+ln(g+1), 2 斜率k=∫'(x)=3x-1, 所以切线方程为y-(x-x1)=(3x2-1)（x- =分，从而6=n+1=1-h2故选C x1),即y=(3x2-1)x-2x2 [引申]本例中两曲线公切线方程为 将y=(3x2-1)x-2x代入y=x2+a,得x2- (3x-1)x+a+2x=0. 名师点拨： 由切线与曲线y=g(x）相切，得△=(3x2-1)2 同时和曲线y=f(x)、y=g(x)都相切的直线称为4(a+2x)=0, 两曲线的公共切线.设直线与曲线y=f(x)切于(x1, 整理，得4a=9x-8x-6x+1 f(x1)与曲线y=g(x)切于(x2g(x2)),则切线方程 令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,则h'(x)=36x3- 为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),即y=f'(x1)x+f(x1)-24x2-12x=12x(3x+1)(x-1), f'(x1)x1:同理y=g′(x2)x+g(x2)-g(x2)x2 由h'(x)=0,得x= 3,0,1, f'(x）=g'(x2), 解出x1、x2, h(x),h'(x)随x的变化如下表所示： f(x)-f'(x1)x1=g(x2)-g'(x2)x2, 从而可得切线方程.由此可知两曲线公切线的条数即 o,- (-) 0 (0,1) (1,+9》 为上述方程组解的个数. h'(x) 0 + 0 0 + 高 【变式训练】 h(x) 授小值 极大值￥极小值入 已知f(x)=e(e为自然对数的底数)，g(x)=lnx+ 由上表知，当x= 轮 2,直线1是f(x)与g(x)的公切线，则直线1的方程 3 时，h(x)取得极小值 总 为 ) 2.由公切线求参数 例(2022·全国甲卷)已知函数)=-x,g(x) 当x=1时，h(x)取得极小值h(1)=-4, 学 =x2+a,曲线y=f(x)在点(x,f(x)处的切线 易知当x→-o时，h(x)→+o,当x→+o时， 059 也是曲线y=g(x)的切线. h(x)→+， 所以函数h(x)的值域为[-4，+∞)， (1)若x1=-1,求a; (2)求a的取值范围. 所以由4a∈[-4，+∞)，得a∈[-1，+∞)， 故实数a的取值范围为[-1，+0). [分析](1)求出切点坐标一→求出导函数 名师点拨： 了(x)号数的几何意义，求得切线的斜率一点斜式求出 两曲线存在公切线求参数的取值范围问题的解题 切线方程一→将切线方程代入y=g(x)一→根据判别 思路是：由两切线为同一直线得到两个方程，然后消去 式为0求得a的值 x,和x2中的一个，转化为方程在特定区间上有解的问 (2)求出导函数'(x)导数的几何意义，求出切线方 题，再分离参数转化为相应函数的值域问题，其中要关 程一→将切线方程代入y=g(x)一一→根据判别式为0注自变量的取值范围. 求得a的值一→求导研究函数h(x)的单调性，求得其【变式训练】 值域一→求得a的取值范围 (2025·河北邯郸期中)已知函数f(x)=mx+lnx, [解析](1)当x1=-1时，(-1)=0，所以切点 g(x)=x2-mx,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)存在 坐标为(-1,0). 公切线，则实数m的最大值为 由f八x)=x3-x,得f'(x)=3x2-1, 温馨提示：复习至此，请完成练案[15】 所以切线斜率k=∫'(-1)=2， 所以切线方程为y=2(x+1),即y=2x+2,