第三章 第二讲 导数在研究函数中的应用-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习学案

-ax=-x3-(a-1)x2-ax恒成立，a=1,f'(x)=3x2+1,令 [解析](1)有可能f'(x)=0,如f(x)=x,它在(-∞，+∞) 3x后+1=1，得xo=0,fx）=0,切点P(xof(xo)的坐标为 上为增函数，但f'(x)=x2≥0. (0,0).选A. (2)因为y=f代x)若为常数函数，则一定有f'(x)=0满足条件， 4.B函数f代x)=lnx+a的图象存在与直线2x-y=0平行的切 但不具备单调性 线，即f'(x)=2在(0，+∞)上有解. (3)f'(x)=0在(a,b)内有限个不影响y=f(x)的单调性，故 所以f(x)=士+a=2在(0，+0)上有解，则a=2- 正确. (4)如果函数f代x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则此函数f代x) 因为x>0,所以2-1<2，所以a的取值范围是(-0,2). 在这个区间内为常数函数，则函数(x)在这个区间内没有单 调性. 名师讲坛·素养提升 1.求两条曲线的公切线 (5)y=品定义域为(0,1U(1,+0),因比它的减区间为(0， [引申] 1)和(1，+0). y=2x+1-n2k==2,公切线方程为y=2x+1-ln2. 2.C在区间(4,5)上f'(x)>0恒成立， ∴f(x)在区间(4,5)上单调递增，故选C. 变式训练 y=ex或y=x+1设l与f(x)=e的切点为(x1,y),则1= 3.B求导得f'()=2-h2·0,令f'(x)>0,即可得出答案 2 e1,f'(x)=e,所以f'(x1)=e1,所以切点为(x1,e1),切线斜 f()=2x2-22足.2-n22=x2-ln2.令 率k=e1,所以切线方程为y-e=e1(x-x),即y=e1·x- (2)2 2 2 xe1+e①，同理设l与g(x)=lnx+2的切点为(x3,乃)，所以 '(x)>0,得>0， 或∫x<0, 解得0<x<2log2e 为=ln+2,g()=,所以g()=,切点为(，1n名+ 2-n2·x>0,2-ln2·x<0, 或无解故选B. 2),切线斜率k=士，所以切线方程为y-(m:2+2)=士(x- 4.Df'(x)=1-cosx,当x∈(0，T]时，f'(x)>0,所以f(x)在 X2 (0,π]上是增函数，所以f(π)>f3)>f2).故选D. ),即y=·x+n名+1②，由题意知，①与②相同，所5.C:f(x)在(1,2)内单调递增f(x)≥0在(1,2)内恒成立， 以=6=e0. 即f”(x)=ae-1≥0(1<x<2)…a≥(1<x<2). xe 【-xe+e1=lnx32+1④， 令g(x)=xe(1<x<2),则g'(x)=(x+1)e>0, g(x)在(1,2)内单调递增，g(x)∈(e,2e2), 把③代入④有-x,e1+e1=-x1+1,即(1-x1)(e1-1)=0, 解得x1=1或x1=0,当x1=1时，切线方程为y=x;当：1=0 亡品甘)。≥。即e的最小值为，故这C 时，切线方程y=x+1,综上，直线I的方程为y=ex或y=x+1. 考点突破·互动探究 2.由公切线求参数 变式训练 考点 分f)=m+子g()-2-m,假 1 考向1 y=8(x /人=fx) 设两曲线在同一点(x。,y)处相切，则 例：[解析](1)定义城为xx≠0了'(x)=8x-, 「m+=2。-m, 令f'()>0,得8x->0,即2>日 30 可得1-lnxo= mxo +In xo =%o -mxo .x> 01 x后，即x后+lnx-1=0,因为函数y=x +nx-1单调递增，且x=1时y=0,所以。=1，则m=2,此 令f()<0,得x<分且x≠0， 时两面线在(1，弓)处相切，根据曲线的变化趋势，若m>之， 1 )的单调递增区间为（宁+）】片 则两曲线相交于两点，不存在公切线，如图，所以m的最大值 单调递减区同为(-四，0)，(0，) 为 (2)定义域为(0,1)U(1,+∞). x-x 第二讲导数在研究函数中的应用 f'(x)= x In x-1 (lnx)2(lnx)月 由f'(x)>0,解得x>e 第一课时导数与函数的单调性 由f'(x)<0,解得0<x<e,且x≠1. 知识梳理·双基自测 ∴fx)的单调递增区间是(e,+o), 知识梳理 fx)的单调递减区间是(0,1)，(1，e) 知识点 (3)f()=(2+cos x)cos x-sin (-sin)2c0s+1 (2+cos x)2 1.可导> (2+cos x) 2.定义域><f(x)>0f(x)<0 令f>0,得m>-分 双基自测 1.(1)×(2)×(3)V(4)V(5)× 即2hm-2<<2m+keZ): 451 令f'(国)<0，得cs<-2 0,兰xe(行+）时，f()>0,fx)单调递增：当xe(0, 即2km+2织<x<2km+4(keZ). 3 3 ）时(x)<0f(x)单调递减，综上所述，当a≤0时，代x)在 a 因此)的单调造增区间为(2=-9,2如+）keZ), (0,+)上单调递减；a>0时()在(，+）上单调递 九x)药单调递减区间为(2km+写，2km+智}eZ) 增，在(0，） 上单调递减。 (4)由fx)=(x-1)e-x2,得f'(x)=e+(x-1)e-2x=xe 考向3 2x=x(e-2), 令f'(x)=0,得x1=0,=n2. 角度1 当x变化时，f'(x)f(x)的变化如下表： 例：0设)=h1+)-(x>-1),因为()=+1 x (-0,0) 0 (0,n2) In 2 (ln2,+o） 1+当xe(-1,0)时f()>0,当xe0.+)时f'( f'(x) + 0 0 × <0,所以函数f代x)=ln(1+x)-x在(0，+o)上单调递减，在 f(x) 极大值 极小值 (-1.0)上单润递增，所以(）<0)-0，所以h9-号 由表可知，函数f(x)的单调递减区间为(0，ln2),单调递增区 间为(-0,0)，(n2,+0) <0,放g>1h9=-h09.即6>所以/(-)<0)= 变式训练 (3,+o)函数f(x)的定义域为(0，+)， 0所以加号+0<0，故号<e点，所以0<写放a<4 f(x）)=x-2-3=--2x-3-(x-3)(x+) 设g(x)=xe+ln(1-x)(0<x<1),则g'(x)=(x+1)e+ x 由f'(x)>0得x>3或x<-1(因为x>0,故舍去)， =P令e0=e2-+1.0=e 所以f(x)的单调递增区间为(3，+∞). +2x-1),当0<x<2-1时，h'(x)<0,函数h(x)= 考向2 例：[分析](1)对函数f(x)求导并因式分解得到f'(x)= e(x2-1)+1单调递减，当2-1<x<1时，'(x)>0,函数 (2ax+3)(at=山，根据a>0,x>0,可以判断'(x)的正负，即 h(x)=e(x2-1)+1单调递增，又h(0)=0,所以当0<x<2 -1时，h(x)<0,所以当0<x<2-1时，g'(x)>0,函数g(x) 可判断出f(x)的单调性 =xe+ln(1-x)单调递增，所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e (2)根据题意得到函数f(x)在(0，+∞)上没有零，点.由(1)可 >-n0.9,所以a>c,故选C. 得)=f(日)，使（日）>0，即可求出a的取值范周。 角度2 [解析](1)f(x)=d2+ax-3lnx+1,xe(0,+o), 例：B令g(x)=型，则g(x)=)+'()- e f'(x)=2a2x+a- 3_2a2x2+ax-3 (x)-(x-),因为(x-1fx)<对(x),所以g()> =（2ax+3)(ax-1) 0,所以g(x)在(0，+0)上单调递增，(x+3)f(x+3)<2e+2, a>0,x>0.2ax+3>0, x t2+》2=2.又2=，则2)2- e+3 当xe(0,）时f")<0: 名，所以+3+<2，即sx+3)<g2).所以0< e*+3 当x(+)时()>0， +3<2,解得-3<x<-1.故选B 角度3 函数)在(0，日）上单调递减，在（合，+）上单调递增。 例：D[分析]利用函数fx)=kx-nx在区间(I,+∞)上单 调递增等价于f'(x)≥0在(1，+∞)恒成立求解.或利用区间 (2):y=f代x)的图象与x轴没有公共点， (1,+∞)是f(x)的增区间的子集求解 .函数f(x)在(0，+∞)上没有零点， [解析]解法一：因为f(x)在(1，+∞)上单调递增， 由(1)可得函数)在(0，上单调递减，在（合，+r) 所以f'(x)≥0在(1，+)上恒成立， 因为f代x)=kx-lnx, 单调境增x)=(日）=3-3 =3+3lna>0,'.n a 所以”()=k-上≥0，即k≥1 >-1,解得a> e 因为x>1,所以0<<1， 故实数口的取位范国是（仁，+】 所以k≥1.所以k∈[1，+o).故选D. 变式训练 解法二”(x)=k-上=-(x>0), [解析]fx)定义城为(0，+)f'(x)=a-上-，若a 当k≤0时”(x)=k-士<0，x)在其定义城内递减，不合 ≤0(x)=-1<0,故f(x)在(0，+0)上单调递减；若a> x 题意， -452 当>0时，由f()>0知x>,即（合，+）趴)的增区 “f'()=-x-3+4在(6，t+1)上有变号零点， 间。由复意可知≤1，即≥1，故选D .+3x-4=0在(，t+)上有解。 [引申] x2+3x-4=0在(t,t+1)上有解， (1)1(2)(-∞，0](3)(0,1)(4)(-，1) 由x2+3x-4=0得x=1或x=-4(舍去). (5(-,2u[1,+x) ∴.1e(t,t+1),.te(0,1), 故实数t的取值范围是(0,1) 〔解析】（)由解法二知大=1k=1 名师讲坛·素养提升 、构造法在导数中的应用 (2)由题意知f(x)=红-1≤0在(1，+0)上恒成立即k≤ 题型一 变式训练 又x>10<<1≤0，即长的取位范围是(-0,0] 1.(0,+o)令p(x)=f(x)-sinx,所以当x≥0时，p'(x)= (3)由本例及引申(2)知，f代x)在(1，+∞)上单调，则k≤0或k: f'(x)-cosx<0,所以p(x)在[0，+∞)上单调递减，又f(x)为 ≥1，∴.f(x)在(1，+∞)上不单调，则0<k<1.即k的取值范围 R上的奇函数，所以p(x)为R上的奇函数，所以P(x)在 是(0,1) (-∞，0]上单调递减，故p(x)在R上单调递减且p(0)=0,不 (4)由题意可知f'(x)=红-≤0在(1，+0)内有解即k≤ 等式f(x)<sinx可化为fx)-sinx<0,即p(x)<0,即p(x) x <p(0),故x>0,所以原不等式的解集为(0，+∞)， x(1,+0)有解，由0<1<1可知k<1,即k的取值范圈是 2.c<a<b构造函数g(x)=(x>0),得g(x) x (-o,1). a田=[)]当>0时.g因>0，放 5re1,2分<<1 若x)在(1,2)上单调增，则f”(x)=-1≥0恒成立，即≥ 在t)上作到过乐学，但、以用 1 21若到在(1,2)上单调减周r():e0恒度 1 f2)>21)>4(3）,即c<a<b 立，即≤号 3.a<b<c构造函数F(x)=f(x)·cosx,x≠km,keZ,则xe(0, π)时，F'(x)=f'(x)cosx-fx)sinx>0.所以函数F(x)在(0， )在(1,2)上单调，则k的取值范国是(-0，]U[1,+) )上单调递增，于是F(石）<()<F(),即f() 变式训练 1.C令函数fx)=血(x≥c), f平）<f(号），所以a<b<c 题型二 当≥e时，求导得f(x)=1-n≤0， 变式训练 2 则函数fx)在[e,+o)上单调递减， A原已知条件等价于2-3<2'-3y,设函数f(x)=2 3.因为函数y=2与y=-3在R上均单调递增，所以(x) 又a=3=3),b=e=e. 3 e 在R上单调递增，即f(x)<f(y),所以x<y,即y-x>0,所以A 正确，B不正确；因为x-y1与1的大小不能确定，所以C,D不 c=33-m3_ 正确 e 题型三 3 变式训练 显然e<3<号，则有f(号)<f3)<fe), e3<π3<3m 设)=，则f'()=1-,当>e时， x2 所以c<a<b.故选C f'(x)<0,所以f(x)在(e,+0)上单调递减，所以f(3)>f(π)， 2A由y=x)(xeR)的图象可知(x)在(-，号)和(2 即93，，所以h3>3n所以n3>n,即3>。 +如)上单调递增，在（号，2）上单调递减，则当x(- 因为y=x3在(0，+0)上单调递增，e<π，所以e3<π3，所以e <π3<3" 分)时f()≥0.e(2,+)时f()>0,xe(兮，2）时 二、泰勒展开式 变式训练 f()<0,所以不等式寸"()>0的解集为(0，兮）U(2 B易知a=lh√个-0.010<h1=0,而b>0,c>0.当x0时，由 +o).故选A. 泰物公式展开，得6=02s血Q01=n0m叫(Q01-0一g+以：2)） 3 3.0.）函数=-2-3x+4(x>0). =2×10-号×10+o(2),c=00lsma2 f'(x)=-x-3+4 aoa-0g+(t）-2x0+-号×02可知 函数到=-宁-3x+4h在(，1+1）上不单调， x0<号×10，所以6>e放6>e>a 3 453- 第二课时导数与函数的极值、最值 考点突破·互动探究 考点1 知识梳理·双基自测 角度1 知识梳理 例1：BC由图象知，当x∈(-2，-1)时，f'(x)<0, 知识点一 即f(x)在(-2，-1)上单调递减， 当xe(-1,2)时f'(x)>0, 1.<>> <<> 即f(x)在(-1,2)上单调递增 2.求导数f'(x)求方程f'(x)=0的根根左右的值极大值 所以当x=-1时代x)取得极小值， 极小值 故A错误，B正确； 知识点二 当xe(2,4)时，f'(x)<0, 1.[a,b](a,b) 即f代x)在(2,4)上单调递减，故C正确，D错误。 3.求)在(a,b)内的极值将f(x)的各极值与a),(6)比例2：5 由图知f(x)=x(x+1)(x-2) 较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 ∴f'(x)=3x2-2x-2,因此，x1、x2为3x2-2x-2=0的两根 双基自测 1.(1)×(2)V/(3)V(4)V(5)V/ 5+龙=2 [解析](1)函数的极值是局部概念，极值点是与该点附近的 号+号=（属+）2-24= 9 点的函数值比较得到的，而不是在某区间或定义域上比较 [引申] (2)如图，在x1处的极大值比在2处的极小值小 3-1或42 角度2 例：[分析]求导，研究函数的单调性从而确定极值， [解析](1)函数fx)的定义域为(0，+∞)， f'(x)=x-5+6=(x-2)(x-3) (3)如y=x在x=0处，导数为0，但不是极值点 令f'(x)=0,解得x1=2,x2=3,可得 (4)如图知正确 (0,2) 2 (2,3) 3 (3,+0) f'(x) × 0 0 × f(x) 极大值 极小值 由上表可知当x=2时，极大值2)？+6m2,当x=3时 极小值f(3)=2+6ln3. 2.A由题意知只有在x=-1处f'(-1)=0,且其两侧导数符号 (2)由题意知，f(x)=-1 x+m=m-1 ,x>0 为左负右正 X 3.B因为f(x)=↓-1=1产，当xe(0,1)时f'(x)>0:当xe ①当m≤0时()-m-山<0，所以fx)在(0，+0)上单 x (1,e]时，f'(x)<0,所以当x=1时，f(x)取得最大值n1-1= 调递减，没有极值. -1.故选B. 造m>0时，令'(x)=二=0，得x三后，当龙 4.BCD函数f(x)=alnx+ 兰+的定义城为0，+a): 0后时)0：喜（后+）时>0，所以 求导得'(x)=g-点-2S=-m-2c x 因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f'(x)在(0， 1 +∞)上有两个变号零点，而a≠0， 故f(x)在x= 处取得极小信（局）=m+ m 2-2m, 因此方程ax2-bx-2c=0有两个不等的正根x1,为， 无极大值 4=b2+8ac>0, 综上，当m≤0时，f代x)无极值：当m>0时，f(x)的极小值为 于是+场=名>0即有+8c>0.b>0. m+m,无板大值 11 角度3 =-2>0, 例：(-1,1)由fx)=(-x2-x+5)·e, ac<0,显然abc<0,即bc<0,A错误，BCD正确.故选BCD. 得f'(x)=(-x2-3x+4)·e=-(x+4)(x-1)·e,列表 如下： 5.B由题意知，f1)=aln1+b=b=-2.求导得f'(x)=a x (-0,-4) -4 (-4,1) 1 (1,+∞) (x>0),因为f(x)的定义域为(0，+∞)，所以易得f'(1)=a-b f'(x) 0 0 =0.所以a=-2,所f(2)=号冬=-子放选B f(x) 极小值 极大值 -454 所以a<1且a+2>1,解得-1<a<1,则a的取值范围是-1变式训练 <a<1. [解析]（1)因为f(x)=e cos x-x,所以f'(x)= [引申] e*(cos x-sin x)-1,f'(0)=0. (-0,-6]U[-4,-1]U[1,+0) 又因为f(0)=1,所以曲线y=fx)在点(0，f(0)处的切线方程 变式训练 为y=1. 1.D (x)min,, (2)h(x)=e*(cos x-sin x)-1,h'(x)=e*(cos x-sin y=2-x+1 +6},x≥0，可得函数的大致图象，由图 sinx-cosx）=-2 e"sin a. 象可知当x>0时，有两个极值点，由对 ,=x+1 称性可知当x<0时，也有两个极值点， 当xe(0,）时，h'()<0, y=-x+6 同时由图象可知：x=0也是极值点，所 所以h(x)在区同[0，]上单调递减。 以共有5个极值点.故选D. -10123456x 2.B因为f(x)=2f'(1)lnx-x,所以 所以对任意xe(0,]有ha(x)<h(0)=0,即f'(x)<0 f”()=2'(1)1-1,令x=1得f'(0=2(1)-1,所以r'(1) 所以函数)在区间[0，]上单调递减 =1,则()=2-1，所以函数)在0,2)上单调递指，在 因此f(x)在区间[0，罗]上的最大值为f(0)=山，最小值为 (2,+o)上单调递减，则f(x)的极大值为f(2)=2ln2-2.故 选B. ()=受 3.Bfx)=lnx+22-a(x>0), 名师讲坛·素养提升 变式训练 f'(x)=1+x-a, [解析] (1)设该工厂一个月内生产该特殊产品x万件，依 题意， ~函数)=+分-m(>0)在[分，3]上有且仅有 =5-号)+1+20）-3x-1+3x+2nx-1. 个极值点， 所以利润f(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式为 =f()在[}3上只有-个变号零点 )=-+3x+2h-1,1≤≤. 令f(=+-a=0,得a=士+x 1 (2)f(x)=-2+3+2=--3-2.-(x+1)2(x-2 设g)=+x,则g()在[分小上单润递减，在[1,3]上单 所以当1≤x<2时，f'(x)>0,函数f(x)在区间[1,2)上单调 递增； 调递增，g(x)mn=g(1)=2, 当2<x≤3时f'(x)<0,函数fx)在区间(2,3]上单调递减， 又（分）=号3)=号. 所以当x=2时，函数在区间[1,3]上取得最大值f(2),f(2)= 当号≤0<9时=)在[分3小只有-个变号零点 子+2n2 故该工厂在生产这种特殊产品中所获得的月利润最大值为 实数口的跟值范围为3》) (仔+2加2]万元，此时的月生产量为2万件 考点2 例：[解析] (1fx)=x-a·e-2-a·e 第三讲导数的综合应用 (e*)2 2x·e-(a）·e=-+2x+0 知识梳理·双基自测 (e*)2 双基自测 1.(1)×(2)×(3)V(4)× 依题意， 仪0)=-a=-3解得a=k=3. Lf'(0)=a=k, 2.C函数的定义域为(0，+∞)，由 2)由(1)得)-=3 f代x)=0得a=xnx,记g(x)= y=g(x) e aln x. f(x)=二+2x+3-二(x+1)x-3 则g'(x)=nx+1,由g'(x)>0得 * e 令f'(x)=0,解得x=-1或3， >。,由g()<0得0<x<日 x,f'(x),f(x)的变化情况如下表： ÷g(x)在(0，)上递减，在 ∞，-1) -1 (-1,3) 3 (3,+0) (日+上递增。 f'(x) 0 + 0 f(x) 极小值 极大值 且()m=g(日)-，由图可知-。<a<0.故选C e 由表格可知，f(x)有极小值f(-1)=-2e, C)=f(到l当0<<e时（到>0， x 因为当x∈(3，+∞)时，f(x)>0, 故f代x)在(0，e)上单调递增. 所以f代x)最小值为-2e. 又0<a<b<e,∴fa)<f(b).故选C. 455第二讲 导数在研究函数中的应用 第一课时导数与函数的单调性 知识梳理·双基自测 (4)如果函数f(x)在某个区间内恒有∫'(x)=0,则 知识梳理 (x)在此区间内没有单调性， () 知识点函数的单调性 (5)因为y=的子函数为y (n2,:x>0, -1 1.设函数y=f(x)在某个区间内 f'(x) 0,则f(x)为增函数，若∫'(x) y<0.因比y=d的减区间为0，+)力 0,则f(x)为减函数. （) 2.求可导函数f(x)单调区间的步骤： 题组二走进教材 (1)确定f(x)的 2.(选择性必修2PgT3改编)如图是函数y=f(x)的导 (2)求导数f'(x): 函数y=∫'(x)的图象，则下列判断正确的是（） 060 (3)令f'(x) 0(或f'(x) 0),解 y 出相应的x的范围； y=f(x) D26 00234人 (4)当 时，(x)在相应区间上是增函数， 年 度 当 时，八x)在相应区间上是减函数 A.在区间(-2,1)上f(x)单调递增 归纳拓展 B.在区间(1,3)上f(x)单调递减 计 C.在区间(4,5)上f(x)单调递增 衡 1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增，则x∈(a,b)时， D.在区间(3,5)上f(x)单调递增 学 f'(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a,b)上单调递减， 3.(迭择性必修2,1改编)函数：)-的单涧递 则xe(a,b)时f'(x)≤0恒成立. 2.若函数fx)在(a,b)上存在单调递增区间，则x∈ 增区间为 (a,b)时，∫'(x)>0有解；若函数f(x)在(a,b)上存 A.(-0,0) B.(0,2logze) 在单调递减区间，则xe(a,b)时f'(x)<0有解. C.(-o,2logze) D.(2log2e,+∞) 4.(选择性必修2PgT12改编)已知函数f(x)=1+x 双基自测 sinx,则f(2)f(3),f(π)的大小关系正确的是 ( 题组一走出误区 A.f(2)>f(3)>f(π) 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或 B.f3)>f2)>f(π) “×”) C.f2)>f(π)>f(3) (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增，那么一定有 D.f(π)>f(3)>f(2) f'(x)>0. 题组三走向高考 (2)若函数y=f(x)在(a,b)内恒有f'(x)≥0，则5.(2023·新课标Ⅱ卷，6,5分)已知函数f(x)=ae- y=f(x)在(a,b)上一定为增函数.() lnx在区间(1,2)单调递增，则a的最小值为() (3)在(a,b)内f'(x)≤0且f'(x)=0的根有有限 A.e2 B.e 个，则f(x)在(a,b)内单调递减. () C.e-1 D.e-2 考点突破·互动探究 考点 函数的单调性 【变式训练】 考问1 爪合套数的函数的单调性一自主练透 (2024·广西模拟)函数)=2-2x-3加x的 例求下列函数的单调区间 单调递增区间为 (1n)=4+ 考问2含套数的函数的单调性一一师生共研 (2)f(x)= 例221：全国甲卷，20)设函数)=02+at- 3lnx+1,其中a>0. (1)讨论f(x)的单调性； sinx (3)/x）=2+c0sx (2)若y=f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的 (4)fx)=(x-1)e-x2. 取值范围。 高考一轮总复习 数学 061 名师点拨：用导数f'(x)确定函数f升x)单调区间 的三种类型及方法： 1.当不等式∫'(x)>0或'(x)<0可解时，根据函 数的定义域，解不等式∫'(x)>0或∫'(x)<0求出单调 区间. 2.当方程∫'(x)=0可解时，根据函数的定义域， 解方程∫'(x)=0,求出实数根，把函数f(x)的间断点 (即(x)的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺 名师点拨： 序排列起来，把定义域分成若干个小区间，再确定 1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不 '(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间. 等式解集的影响进行分类讨论.遇二次三项式因式常 3.当不等式∫'(x)>0或∫'(x)<0及方程∫'(x)考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关 =0均不可解时，对∫'(x)化简，根据∫'(x)的结构特系，以此来确定分界点，分情况讨论 征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定 2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨 '(x)的符号，得单调区间. 论，还要确定导数为0的点和函数的间断点. 注意：(1)求单调区间一定要在定义域范围内. 3.个别导数为0的点不影响在区间的单调性，如 (2)函数的单调区间有多个时不能用并集，要用f(x)=x3,f'(x)=3x≥0(f'(x)=0在x=0时取到)， “逗号”或“和”隔开 f(x)在R上是增函数. 【变式训练 角度3已知函数的单调性求参数取值范围 (2024·全国甲卷节选)已知函数f(x)=a(x-1) 例若函数)=-h在区间(（1，+如)上单调递 nx+1.求f(x)的单调区间. 增，则k的取值范围是 () A.（-0,-2] B.(-∞，-1] C.[2,+∞) D.[1,+o) [引申](1)本例中若f(x)的增区间为(1，+∞)， 则k= (2)若f(x)在(1，+∞)上递减，则k的取值范围 8 (3)若f(x)在(1，+∞)上不单调，则k的取值范 围是 (4)若f(x)在(1，+∞)上存在减区间，则k的取 值范围是 (5)若f(x)在(1,2)上单调，则k的取值范围是 名师点拨：已知函数单调性，求参数取值范围的 两个方法 1.利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)》 上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. 062 2.转化为不等式的恒成立问题：利用“若函数单调 递增，则∫'(x)≥0；若函数f(x)单调递减，则∫'(x)≤ 22 0”来求解. 年 提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈ 考向3利用导数解决函数的单调性的应用问题 (a,b)都有f'(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间 昌维探究 上∫'(x)不恒等于0.应注意此时式子中的等号不能省 计 角度1 比较大小 略，否则漏解 衡 1 例(202·新高考I卷，7)设a=0.1e1,6= 9,c 【变式训练】 学 1.（角度1)(2024·江苏无锡模拟)已知a=ln5,b= ( 案 -ln0.9,则 A.a<b<c B.c<b<a e1,c=(9-3ln3)e3,则a,b,c的大小为() C.c<a<b D.a<c<b A.a<b<c B.a<c<b 角度2解不等式 C.c<a<b D.b<c<a 例(2025：辽宁期中联考)已知定义在(0，+x)上 2.(角度2)(2024·陕西西安 的函数f(x)及其导函数∫'(x),满足(x-1)f(x) 期中)已知函数y=f(x)(x 2 <f'(x),且f2)=e,则不等式(x+3)f(x+3)<2e+2 ∈R)的图象如图所示，则不1o1 的解集为 ( 等式'(x)>0的解集为 73 A.(1,2) B.(-3,-1) C.(1,3) D.(1,+∞) A(0,写)U(2,+x) 名师点拨： 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件 B（-,g)U(3,2） 构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数 研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小。 C(-x,0)u(号2） 2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关 D.(-1,0)U(1,3) 系，恰当构造函数；题目中若存在(x)与∫'(x)的不等 3.(角度3)(2024·安徽毛坦厂中学模拟)已知函数 关系时，常构造含(x)与另一函数的积（或商）的函 数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调 )=分2-3+4在(，4+1D上不单，则 性，从而求解不等式 实数t的取值范围是 名师#坛·素美提升 一、构造法在导数中的应用 在导数应用的客观题中，有一类考查热点，不给出具体的函数解析式，大多涉及(x)与∫'(x)的一些关系 式，利用构造法构造新函数，确定其单调性，然后解决问题，下面重点突破两类问题， 题型一利用导数的运算法则的造函数 [答案] CD 角度1利用f(x)与e*构造 例已知八)是定义在(-0，+）上的函数，导函 [解析] 令se)思ro》, 数f'(x)满足∫'(x)<f(x)对于xeR恒成立，则 则其导数g'(x)='(x)simx-爪x)cosx sinx A.f(2)>e2f0),2025)>e225f(0) B.f2)<ef0),2025)>e225f0) 又由xe(0,引， C.f(2)>ef(0)f(2025)<e225f0) 且恒有f'(x)sinx-f(x)cosx<0, D.f2)<e2f0),f2025)<e225f0) 则有g'(x)<0,即函数g(x)为减函数， [答案]D 由<号，则有)>）， [解析]构造F(x)=包，则F'(x) e e'(x)-e_'(x)-,导函数f'(x)满足 a, e2 s血于 f'(x)<f(x),则F'(x)<0,F(x)在R上单调递减，根 据单调性可知选D. 可得()>()： [感悟提升]遇到f'(x)-f(x)的形式，构造函 数F(x)=f;遇到'(x)+(x)的形式构造函数 又由晋<开，则有()>母） F(x)=f(x)e". , 即 角度2利用f(x)与×”构造 例已知偶函数()(x≠0)的导函数为f(x),且满 血 轮总复习 足f(-1)=0,当x>0时，2f(x)>x'(x),则使得 可得财()>)月 擊 f(x)>0成立的x的取值范围是 [答案](-1,0)U(0,1) 名师点拨：利用导数关系构造函数的一些常见 063 [解析] 指道P()=四，则F() 结构 1.对于不等式∫'(x)+g'(x)>0,构造函数F(x) f'(x)·x-2,当x>0时，f'(x)-2fx)<0,可以 =f八x)+g(x). 3 2.对于不等式∫'(x)-g'(x)>0,构造函数F(x) 推出当x>0时，F'(x)<0,F(x)在(0，+0)上单调递 =f八x)-g(x) 减.因为f(x)为偶函数，x2为偶函数，所以F(x)为偶 特别地，对于不等式∫'(x)>k,构造函数F(x)= 函数，所以F(x)在(-∞，0)上单调递增.根据f(-1)(x)-x. =0可得F(-1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得 3.对于不等式∫'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,构造 函数图象（图略），根据图象可知∫(x)>0的解集为 函数F(x)=f(x)·g(x) (-1,0)U(0,1) 4.对于不等式∫'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0,构造 角度3利用f(x)与sin×,cos×构造 例（多选题）已知定义在(0，）)上的函数f(x), 函数F(x)=x g(x) 5.对于不等式xf'(x)+nf(x)>0,构造函数 f'(x)是fx)的导函数，且恒有f'(x)sinx-f(x)cosx F(x)=x·f八x). <0成立则 ( 6.对于不等式∫'(x)+f代x)>0,构造函数F(x)= Af()>() B()>） e·f(x) 7.对于不等式∫'(x)+(x)>0,构造函数F(x) c财)>f(】 D.)>4） =er·fx). 8.出现f'(x)sinx+f(x)cosx构造函数F(x)= 2.(2023·石家庄-模)若nx-ny<nxny 11 f(x)sin x 9.出现'(x)simx二)os构造函数F(x) (x>1,y>1),则 () sin x A.ex->1 B.e'-<1 =x) C.e--1>1 D.e'--1<1 sin x [答案]A 10.出现f'(x)cosx-f(x)sinx构造函数F(x)= f(x)cosx [解析]依题意，lnx- my令f() 1l.出现'x)cos+fx)sinx构造函数F(x) cosx =1-(u≠0)，则”()=1+>0，所以)在 =x) (-∞，0)，(0，+o)上单调递增；又x>1,y>1,得lnx cos x 【变式训练 >0,ny>0,则fnx)<flny),则nx<lny,∴.1<x 1.(角度1)设f(x)为R上的奇函数，当x≥0时∫'(x) <y,即y-x>0,所以e->e°=1，A正确，B不正确； -cosx<0,则不等式f(x)<sinx的解集为 又y-x-1无法确定与0的大小关系，故C,D不正确. 名师点拨： 2.(角度2)(2023·湘豫名校联考)已知定义在R上 若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使 的函数f(x)的导函数为∫'(x),当x>0时，∫'(x)- 两个变量分别置于等号或不等号两边，即可构造函数， >0,若a=21),b=2),c=4(3)则a,6 并且利用函数的单调性求解. 【变式训练】 c的大小关系为 064 (2020·全国Ⅱ卷)若2-2'<3-3’，则（） 3.(角度3)(2024·绍兴调研)已知定义在R上的函 数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈(0，T)都有 A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0 C.Inlx-yl >0 D.Inlx-yl <0 f(x)csx>x)sinx,设a=/君），b=j）, 题型三 通过数值构造具体函数 度 e=/(写)，则a6,e的大小关系为 例1已知a=926e2 g3,则a,b,c的大小 新 题型二 通过变量构造具体函数 关系为 例（多选题）(2024·广东深圳模拟)若0<，<< [答案]c<a<b 衡 1,则 中 A.e-eIn [解析]令八)三，则f(),当 x2 x1+1 e(0,e)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当x∈(e,+∞) B.e -e"< x1+1 时f'(x)<0,(x)单调递减.a=n2_2n2_n4- 2 4 4 C.xze>xe D.xe<xe 4b==o)c-2海3-g,9=9e) 9 [答案]AC >f(4)>f(9),即c<a<b. [解析]令f(x)=e-ln(x+1)且x∈(0，l), 2.（2021·全国乙卷改编)设a=2n1.01,b= 对了()=6+>0，裁)在区同0.D上单 n1.02,c=√1.04-1，则a,b,c,的大小关系为 调递增， 因为0<x1<x2<1,所以f(x)<f(x2), [答案]b<c<a 即e1-ln(x1+1)<e2-ln(x2+1), [解析]b-c=n1.02-√1.04+1，设f(x)= 故63-e>n气，所以A正确，B号误 ln(x+1)-+2x+1,则b-c=f(0.02),f'(x)= 令x)=且xe0,1),则f()-x<0, x2 2+2x-(x+),当x≥0时，x+ x+12√+2x(x+1)√1+2x 故f八x)在区间(0,1)上单调递减，因为0<x1<x2<1, 1=√(x+1)7≥1+2x,∫'(x)≤0，f(x)在[0，+∞) 所以)>)，即>，故>e,所 上单调递减，所以f(0.02)<f(0)=0,即b<c.a-c= 以C正确，D错误， 2ln1.01-1.04+1,设g(x)=2ln(x+1)-1+4x +1,则a-c=g(0.01),g(x)=2-4 名师点拨： x+12√1+4x 当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细 2[+4x-(x+1)】,当0≤x<2时，√4x+T= 观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要 (x+1)√1+4x 比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调 2x+2x+I≥√x2+2x+1=√(x+1)7=x+1,故当性比较大小 0≤x<2时，g(x)≥0，所以g(x)在[0,2)上单调递增，【变式训练】 所以g(0.01)>g(0)=0,故c<a,从而有b<c<a. 实数e3,3",π3的大小关系为 二、泰勒展开式 1.泰勒公式 若函数f(x)在含有x的开区间(a,b)内有n+1阶导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于 -的多项式和一个余项的和)=)+/”(）·(x-)+。）.(x-)2+"）.(红-)户+ 2！ 31 (.(x-)°+R(x). n！ 2.常见的泰勒展开式 在泰勒公式中，令x。=0,即可得到如下泰勒展开式： 0)e=1++芬+茶+…+ x2,x3 n!+…; (2)(x+1)=x2+3+…+(-1)” 十… n t2n-1 8)=-+*+(-1)·2+…: t2-2 ④)1五++*(-1)1·2-2Tt 3.泰勒公式的价值 泰勒公式将各种类型的函数（指数函数、对数函数、正弦与余弦函数）与多项式函数联系了起来，这样在局 总 部可以用多项式函数近似替代其他函数，我们主要用其证明不等式及比较大小，下面我们主要介绍如何比较 复习 大小 例(2022·全国甲卷)已知a= 6 1 _f(x)=x-sinx,则f'(x)=1-cosx≥0，所以函数f(x) 4,c 擊 在R上单调递增，所以当x>0时(x)>f(0)=0,即 4sim子，则 有>n(x>0)成立，所以日>n日，得后> 069 A.c>b>a B.b>a>c 1 C.a>b>c D.a>c>b 8,所以b>a.因为 4sin 4 [答案]A b 1 =41an4,所以令 [解析]解法一：根据题意，构造函数(x)=1- cos 4 号8(=m,a()=则a=(),6=(), g(x)=am米-x,则g'(x)=osx+sinr-1=1-c0sx cosx cosx c=由秦晨开式)=1-亏g()=1 ≥0，所以函数g(x)在定义域内单调递增，所以当x>0 21 时，g(x)>g(0)=0,即有tanx>x(x>0)成立，所以 *京*o).60-1-后荒+o)= ,x4 m子>子，甲4m子>1，所以后>1，又b>0.所以 311 【变式训练】 )=1-×6+0×6+()-院+成 96120 若a=ln√1-0.012，b=0.02sin0.01,c= 0.01sin0.02,则 26+(),所以4)<84)<4(4)，即a<b<e A.a<b<c B.a<c<b 解法二：因为6=60s子=1-2sn3,所以6-a= C.b<c<a D.c<a<b 1-2m名影=京-2名-2债m8令 温馨提示：复习至此，请完成练案[16」 第二课时 导数与函数的极值、最值 知识梳理·双基自测 3.极值与最值的关系 知识梳理 极值只能在定义域内取得（不包括端点），最值却可 知识点一函数的极值 以在端点处取得；有极值的不一定有最值，有最值的 1.函数的极值 也未必有极值：极值有可能成为最值，非常数可导函 (1)设函数f(x)在点x。附近有定义，如果对x。附 数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取 近的所有的点，都有f(x) f(x),那么f(x) 4.定义在开区间(a,b)内的函数不一定存在最大 是函数f(x)的一个极大值，记作f(x)极大值=f八xo);如 (小)值. 果对xo附近的所有的点，都有f(x) f八xo),那 么(x)是函数∫(x)的一个极小值，记作(x)极小值= 双基自测 f八x。).极大值与极小值统称为极值： 题组一 走出误区 (2)当函数f(x)在，处连续时，判别八x)是极大1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或 (小)值的方法： “×”) 如果x<x有∫'(x) 0,x>x有f'(x) (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的. 0,那么f(x)是极大值 () 如果x<有∫'(x)》 0,x>x0有f'(x) (2)函数的极小值不一定比极大值小 0,那么f(x)是极小值. (3)导数等于0的点不一定是函数的极值点。 066 2.求可导函数f八x)极值的步骤 ( (1) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值 (2) 也不一定是极小值. () (3)检验f'(x)在方程∫'(x)=0的 度 (5)单调函数一定没有极值， () 的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为 题组二走进教材 新 负，那么函数y=f(x)在这个根处取得 ;如果 2.(选择性必修2P2T1改编)如图是f(x)的导函数 计 在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y= f'(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（) f(x)在这个根处取得 衡 ↑y 中 知识点二函数的最值 学 案 1.函数的最值的概念 设函数y=f(x)在 上连续，在 内 3-210124 可导，函数f(x)在[a,b]上一切函数值中的最大（最 A.1 B.2 C.3 D.4 小)值，叫做函数y=(x)的最大（最小）值 2.连续函数在闭区间[a,b]上一定有最大值和最 3.(选择性必修2PsT6改编)函数f(x)=lnx-x在区 小值. 间(0，e]上的最大值为 () A.1-e C.-e D.0 3.求函数最值的步骤 B.-1 设函数y=fx)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导， 题组三走向高考 求fx)在[a,b]上的最值，可分两步进行： 4.(多选题)(2023·高考新课标Ⅱ卷)若函数f(x)= (1) alnx+b+9(a≠0)既有极大值也有极小值，则 (2) () 归纳拓展 A.bc>0 B.ab>O 1.'(x)=0与是f八x)极值点的关系 C.2+8ac>0 D.ac <0 函数f(x)可导，则f'(xo)=0是xo为f(x)的极值点 5.(2022·全国甲卷)当x=1时，函数f(x)=alnx+ 的必要不充分条件.例如，f(x)=x,f'(0)=0,但 b取得最大值-2，则∫"(2)= () x=0不是极值点. 2.极大值（或极小值）可能不止一个，可能没有，极大 A.-1 D.1 值不一定大于极小值， 考点突破·互动探究 点 名师点拨：可导函数求极值的步骤 用导数求解函数极值问题—多维探究 1.确定函数的定义域， 角度」根据函数图象判断极值 2.求方程f'(x)=0的根 例1（多选题）(2025：江苏连云港模拟)如图是两 3.用方程∫'(x)=0的根和不可导点的x的值顺 数y=f(x)的导函数∫'(x)的图象，下列说法正确 的是 次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格 4.由∫'(x)=0的根左右的符号以及f'(x)在不可 导点左右的符号来判断∫'(x)在这个根或不可导点处 取极值的情况，此步骤不可缺少.∫'(x)=0是函数有极 值的必要条件. 角度3根据极值求参数的取值范围 A.f(1)为函数f(x)的极大值 B.当x=-1时代x)取得极小值 例(2025·浙江台州六校期中)若函数f(x)=(-x C.f(x)在(-1,2)上单调递增，在(2,4)上单调 -x+5)·e在区间(a,a+2)上有极大值，则a 递减 的取值范围是 D.当x=3时f(x)取得极小值 [引申]若本例中函数在给定区间上无极值，则α 2.函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象如图所的取值范围为 示，则x+= 名师点拨：已知函数极值点或极值求参数的2 个要领 1.列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条 [引申]本例1中(x)有 个极值点，且在 件列方程组，利用待定系数法求解。 x= 时，取得极小值，在x三 时取得极 2.验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为 总 大值 极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须 名师点拨：据图象求极值的解题策略 验证根的合理性. 1.已知导函数图象判断函数极值的情况，先找导【变式训练】 擊 数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数1.（角度1）(2025·山东名校联考联盟期中)用 符号. 2.已知函数求极值.求f'(x)→求方程∫'(x)=0 mina,b,c表示a,b,c中的最小数，若函数f(x)为 的根一→列表检验∫'(x)在'(x)=0的根的两侧的符号 偶函数，且当x≥0时，f(x)=minx+1,x2-x+1, →得出结论 -x+6},则(x)的极值点的个数为 ( 角度2求函数的极值 A.2 B.3 C.4 D.5 例(2023·安徽省部分重点学校联考)求下列函数的 2.（角度2)(2024·河南中原名校质量检查)已知函数 极值。 f(x)=2f'(1)lnx-x,则f(x)的极大值为（) (1)/x)=2(x-5)2+6lnx A.2 B.2ln2-2 (2r)=2n(-1）-lh C.e D.2-e 3.(角度3)函数f(x)=lnx+ 7x2-ax(x>0)在 [号，3小上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范 围是 (房》 [子 c(3 n[3 2.求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，一般 考点已 用导数求函数的最值—师生共研 要根据其极值及单调性画出函数的大致图象，借图 例(2025·北京海淀期中)已知函数f(x)--曲 求解 注：求最值时，不可想当然认为极值点就是最值 线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=x-3. 点，要通过比较再下结论 (1)求a,k的值： 【变式训练】 (2)求fx)的最小值. 已知函数f(x)=e*cosx-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0f(0))处的切线方程； (2)求函数f(x)在区间[0，引上的最大值和最 小值 068 名师点拨： 1.求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的 年 步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值， 新 (2)求函数在区间端点的函数值f(a)f(b). 计 (3)将函数f八x)的极值与f(a)f(b)比较，其中最 大的一个为最大值，最小的一个为最小值 衡 名师#坛·素美提升 利用导数研究生洁中的优化问题 例 个圆柱形圆木的底面半径为1m,长为10m,将 (2)V'=10(2c0s20+cos0-1)=10(2cos0- 此圆木沿轴所在的平面剖成两部分.现要把其中 :1)(c0s0+1) 部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等 腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C,D在半圆 由0∈(0,2），得cos6e(0,1). 上)，设∠BOC=0,木梁的体积为V(单位：m3),表面积 为S(单位：m). 令”=0，得cs0=或co0=-1(合) 0=3 T A 0 当0e0,写）时，号<s9<1,r>0. (1)求V关于0的函数表达式： V=10(sin0cos0+sin0)单调递增； (2)求当体积V最大时θ的值. [解析]（1）梯形ABCD的面积S棉形ABD= 当6∈（月）时，0<ms0<2,”<0,V= 2cs,9+2.sin0=sin6es0+sin0,8e(0,7）月 2 10(sin cos日+sin0)单调递减..当日=牙时，体积V 3 体积V=I0(sin6os0+sin0),8e(0,2引 最大 名师点拨： (2)求该工厂在生产这种特殊产品中所获得的月利 利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤 润最大值（万元）及此时的月生产量（万件）. 分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题 第1步 的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 式y=八x),由实际意义确定定义域 (第2步 求函数的导数∫')，解方程∫纠=0 第3步 比较函数在区间端点和f'(x)=0的点的函数值的大小， 最大（小）者为最大（小）值 (第4步回归实际问题作答 提醒：在利用导数解决实际问题时，若在定义域内 只有一个极值，则这个值即为最优解 【变式训练】 一工厂计划生产某种当地政府控制产量的特殊产 品，月固定成本为1万元，设此工厂一个月内生产该 特殊产品x万件并全部销售完.根据当地政府要求 产量x满足1≤x≤3，每生产x万件需要再投入3x 万元，每1万件的销售收人为5-了（万元），且每 生产1万件产品政府给予补助1+21血（万元）（注： 月利润=月销售收入+月政府补助-月总成本) 温馨提示：复习至此，请完成练案[17] (1)写出月利润(x)(万元)关于月产量x(万件)的 函数解析式； 第三讲 导数的综合应用 总复习 知识梳理·双皇自测 擊 069 f(x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a)≤ 知识梳理 f(x)mx;若存在xeD,使得f(x)≤g(a)成立，应求f(x) 知识点一利用导数证明不等式 在x∈D上的最小值，将原条件转化为g(a)≥fx)mm 若证明∫(x）<g(x),x∈(a,b),可以构造函数 知识点三利用导数研究函数零点的方法 F(x)=f八x)-g(x),如果能证明F(x)在(a,b)上的最 方法一：(1)求函数f(x)的单调区间和极值. 大值小于0，即可证明f(x)<g(x),x∈(a,b) (2)根据函数f(x)的性质作出图象 知识点二利用导数解决不等式的恒成立 (3)判断函数零点的个数 问题 方法二：(1)求函数f(x)的单调区间和极值， “恒成立”与“存在性”问题可看作一类问题，一般 (2)分类讨论，判断函数零点的个数. 都可通过求相关函数的最值来解决，如：当f(x)在x∈ 归纳拓展 D上存在最大值和最小值时，若f(x)≥g(a)对于x∈D 恒成立，应求x)在x∈D上的最小值，将原条件转化1.若x∈(0，），则1amx>x>sinx 为g(a)≤f(x)mm;若f(x)≤g(a)对于x∈D恒成立， 2.若xe(0,+o),则e≥x+1>x-1≥lnx 应求f(x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a) 空著存在D,使得八)≥go)成立，应求3若e(-1,+).则≥h(x+1)≥，千