第七章 第一讲 空间几何体的结构及其表面积和体积-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习学案

a 2” (1+an)(2+an)(1+2")(2+2") 第七章立体几何 2+22+22(222+2） 2×2 第一讲空间几何体的结构及其表面积和体积 2(2222*242242+ 1 知识梳理·双基自测 2+21m 知识梳理 1 知识点一 2+210m/ 平行且全等平行四边形平行多边形三角形截面 1 1 底面平行且相等一点一点平行四边形三角形 梯形 考点3 知识点二 例：[解析](1)当n=1时，2a1+9=3a1+4,即a1=5, 垂直一点一点矩形等腰三角形等腰梯形圆矩 当n≥2时，2S.+9=3a.+4n①， 形扇形扇环 2S.-1+9=3am-1+4(n-1)②， 知识点三 2url nrl T(r+2)I ①-②得：2an=3a.-3a.-1+4,即an=3an-1-4, 知识点四 所以an-2=3(a.-1-2). 因为a1-2=5-2=3, Sb子gh4知 所以数列{a-2}是首项为3，公比为3的等比数列，则a,-2知识点五 =3“,即an=3“+2. 45°或135°垂直平行于坐标轴不变原来的一半 (2)由(1)得n(a.-2)=n·3", 双基自测 1.(1)× (2)×(3)×(4)×(5)V(6)× 所以T.=1×3+2×32+3×33+…+n×3“, πl+n2=12m, 3Tn=1×32+2×33+…+(n-1)×3"+n×3"*1 2.B由条件得： 故27，=n×31-(3+32+…+3”)=n×31_3(3°- 3-1 3r2=12,.r=2. (a-）×3…+3 3.ACD设正方体的棱长为2a,则6×(2a)2 所以T=(2n-1)31+3 +8×Ex(2a2=12+45a=1,AB 4 =2a=2,A正确； 变式训练 显然该半正多面体外接球的球心为对应正 [解析](1)设{an}的公差为d(d≠0)， 方体的中心，外接球半径R=2,S#=8π，B错误； 因为a5是a2与a4的等比中项， 所以a=aa14,即(a1+4d)2=(a+d)(a1+13d), 显然AB与平面BCD所成角为∠HBA=开，C正确： 整理得=2a,d. 与AB成角是写的有BC,AC,EN,FD,FM,EM,AN,BD.CT.CP 又a1=1,d≠0，所以d=2, DP、DR、MS、MR、NT、SN共16条，D正确.故选ACD. 则an=a1+(n-1)d=2n-1. 4,76解法一：如图，过A,作AM上 D (2)由(1)可得b.=2r=22-1,cn=ab.=(2n-1)·22-1, 6 则Sn=1×2+3×23+5×25+…+(2n-1)·22m-①， AC,垂足为M,易知A,M为四棱台 4Sn=1×23+3×25+5×27+…+(2n-1)·22m+1②， ABCD-A1B,C1D1的高，因为AB=2, ①-②得-3Sn=2+2×(23+2+…+22-1)-(2n-1)·22+1 =2+2x2-21 A岳=1，M=万，则A0=之4G 224-2a-02产=9-6g5.2 3 则560).2+9 9 ×万AB=反，放AM=分(aC-AC)=三，则4M 名师讲坛·素养提升 变式训练 V么--√2子-9，所以所求体积为v兮×4+1 4043 67√6 2 +4×I)×2=6 令s=f(0a)+f(2d)+…+f()+f(2)+ 解法二：同解法一楼台商A-气，m=宁5m× 6 2 +f2022).① 6又SAA=1.Sa0=1 1 则s=f(2022)+f(2021)+…+f(1)）+f(号）+… S△aB 6 1 +(2}2 a=安m-9nm=m+-m,十 28=4043s-49 6n-325Am=2n-n-7语 6 492— 5.B设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为√P+3,而它们变式训练 的侧面积相等，所以2πr×3=r×√3+r即25=√3+T, C由直观图可得如下平面图形：其中OB三 0B'=6,0D=0'D'=3,0C=20'C'=16,AD 故r=3,故圆锥的体积为3π×9×5=35m故选B. ∥y轴，且AD=0C=16,所以Sa0=2 ×6 考点突破·互动探究 ×16=48.故选C. 考点1 考点3 例1：AC新的组合体如图所示，故选AC, 0D B 例1：D如图，分别取棱AD,BC的中点G,H, V(V) 连接GH,FH,过点F作AB的垂线FL,垂 D 足为I,因为FB=FC=3,BC=4,所以 FH⊥BC,所以FH=√5.根据对称性易得 A(4) △FBC≌△EAD,所以SAmc=号BC·FHA 2 例2：⑤①中这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥，① 错误：②中这条腰若不是垂直于两底的腰，则得到的不是圆 =7×4×,5=25,在R△FB1中，B1=8,4=2,所以FI= 2 台，②错误：圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，③错误：④中 √FB-BT=万，S形a=2（EF+AB)·FH=2×(4+ 如果用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，则得到的不是圆锥 和圆台，④错误；只有球满足任意截面都是圆面，⑤正确 8)×5=65,又S矩形BD=AB·BC=32,所以SE-AcD= 变式训练 2SAFc+2S梯形FgB+S矩形BcD=32+165. BCD在如图所示的平行六面体中，侧 D 例2：(15+30)r如右图所示：剩余几何体 面ADD,A,及侧面BCC,B都是矩形，且 表面积等于圆环的面积加上圆台的侧面积 平面ABB,A1及平面DCC,D,都与底面 再加上圆柱的侧面积，由题意r=1,R=2, ABCD垂直，故D错误；截面BDDB,可 h=3,所以圆环的面积为S,=π(R2-2)= 能为矩形，故A正确；将菱形沿一条对 3π，圆台母线l=/(R-r)2+h2=√1+9 角线折起所得三棱锥各面都是等腰三 =√10，所以圆台侧面积为S2=l(R+r)=3√10π，圆柱侧 角形，但该棱锥不一定是正棱锥，故B错误：侧面都是矩形但底 面积为S3=2πRh=12π，所以剩余的几何体表面积等于S1+ 面为梯形的直四棱柱不是长方体，故C错误.故选BCD. 考点2 S2+S3=(15+3/10)m. 变式训练 例：D解法一：如图①、②所示的实际图形和直观图. :1.A由面积公式可得正三棱台上下底面 y 边长分别为2和4，设C1在底面ABC内 的射影为H,作HQ⊥BC于Q,C,H⊥平面A ① ② ABC,BCC平面ABC,则有C,H⊥BC,又 1 HQ⊥BC,CH∩HQ=H,CH,HQC平面 由②可知，A'B'=AB=a,O'C'= 4a,在图②中作C'D: C,HQ,所以BC⊥平面CHQ,C1QC平面C,HQ,所以BC⊥CQ, ⊥A'B于D' 由BC=4,BG=2,BB=CC,则CQ=1,又∠HQ=石，所以 则cm-号0c-点 6 0-.则C0=√G+0=放三棱台的侧面积为 Saac=2A"B'·CD'=) 169 2+4×B×3=3√3，表面积为5万+3/39.故选A 2. 3 28m心设圆柱的高为6，内继的表面积为S,由题意可知：号心 [引申] :在△AD,G中， +m心，h=号R,解得：h=3R内壁的表面积等于圆柱的侧 面积加半球的表面积，即S=2πR·h+2πR2=8πR2 由正弦定理，口 in120,得x=6 sin 450= , 考点4 角度1 1 S△Ac=2×a×6a=62 例：A设正四面体的边长为a,球O的半径为R,易得正四面体的 商=-（可则R点。 a,正四面体的体 积=号×宁m60×。-合c,球0的体积号 O.D 号=音×广-，所以片语故选 —493— 角度2 BCDE,ODC平面BCDE,则AO⊥OD,AD=√2，A0=OD=1, 例：3π作出几何体的轴截面如图所示：则所求几 在t△A0D中，A0=/AD-0丽=√(2)2-1=1，设正 何体是由一个底面直径为2，高为2的圆柱与 八面体的内切球半径为. 一个底面直径为2，高为2的圆柱的一半构成， 解法一：分别记BC、DE的中点为M、N,内 则所求几何体体积V=T·122+}m 2m·12. 切球与平面ABC的切点为H,显然O为球 H 2=3T 心，H∈AM,由△AOH△A0M知 角度3 2 M 例：C因为ABCD为平行四边形，所以S△ABD= 3 S△cD,所以VF-Ben=Vr-ABm=V.取EF的中点G,连接AG,DG, S=4r2-贺故选C 由题意知Vn-越c=Vn-A=V。-Ar=V,所以该五面体的体积 V=Vn-ABc+Vn-AGF+V,-ABr+VF-BD=4V.故选C. 解法二：该正入面体的休积V=2×号×，万x,万x1=手，该 AL B 八面体的表面积s=8×车×（万）2=4疗，：号=.即时 ×4厅手解得-写8.42号故选C 3 变式训练 变式训练 1.A取AB中点E,连接PE,CE,如图， 1.A设△ABC外心为O,三棱锥外接球球P :△ABC是边长为2的等边三角形，PA 3 =PB=2,.PE⊥AB,CE⊥AB,又PE,CE 心为0，半径为R,由题意知0，A=2sin60 ￥0 C平面PEC,PEnCE=E,.AB⊥平面 =5,又PA⊥平面ABC,O01⊥平面ABC, PeC,又PE=CE=2×夏=5，C=6, O0,/P,又0A=0P,00,=2PA= 故PC2=PE2+CE,即PE⊥CE,所以V=Vg-PEc+VA-PE= 5,.R2=3+5=8,.S球=4mR2=32m.故选A 言5omB=写×分×5×5x2=1,故选L 1 2.12π设圆台上、下底面圆心分别为0,02，则圆台内切球的球 心0一定在0O2的中点处，设球0与母线AB切于M点， 2.A如图所示：可知四面体AB'CD'即 0 ∴.OM⊥AB,·.OM=O01=OO2=R(R为球0的半径)， 为长方体ABCD-A'B'C'D'中去掉4 A △A00,与△AOM全等，AM=T1,同理BM=T2,.AB=11+ 个全等的三棱锥，所以四面体AB'CD 的体积为4×4×2-4×行×2x了× 1 12,0103=(11+2)2-(m1-12)2=4r2=12,002=25, ∴.圆台的内切球半径R=5,∴内切球的表面积为4πR=12π 4×4=号放选1 名师讲坛·素养提升 考点5 变式训练 例1.28m设0，为正△PAB外接圆的圆 1.B将圆锥侧面沿母线AB剪开，其侧面展B 开图为扇形，如图，从点M处拉一条绳子， 22√5 绕圆锥的侧面转一周达到B点，最短距离M 心，AB=2,则P0,=2sin60=3, b:o B 即为线段BM长，则有BM=√5，而M是线 ·平面PAB⊥平面ABC,AB⊥BC,.BC巴 段AB'中点，又母线长为2，于是得AM+A ⊥平面PAB.设O为三棱锥P-ABC外接球的球心，则OO ⊥平面PAB,如图设OD∥O1B,PO=R,则O1BDO为矩形，从 AB=5=BM?,即∠BAB'=T,设圆锥底面圆半径为r,从而有： 2 面，m-0F+0c-0,B=8C,即√R-于=1，解 2r=2,受，解得r=,所以圆锥的表面积为S=m+r· 得=了w=4-2 AB=要放选B 例2：C根据图形，已知正方体的棱长为 2.C设内接圆柱的底面半径为r,高为h,因为圆锥的底面半径为 2,易知正八面体的棱长为正方体面 对角线长的一半，即为2+2 1,商为3，由相似三角形可得令则=3(1-)，则圆柱 2 的表面积为S=2m㎡2+2mh=2mr2+2mr×3(1-r)=-4mr2+ 2,如图，在正八面体中连接AF,DB, .9 CE,可得AF,DB,CE互相垂直平分， 6-4如-）广+}所以当r含时，肉圈针的表面 0为正八面体的中心，OA⊥平面 积取得最大值为}：故选C 494第七章 立体贝何 考情探究 考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养 2023新课标1,12； 空间几何体的结构特 正方体、圆柱及圆锥的结构特 空间想象 直观想象 2023新课标Ⅱ，9 征和表面积 征与表面积 综合性 运算求解 数学运算 2022新课标1,4； 2023新课标I,14: 空间几何体的体积 棱台的体积 空间想象 直观想象 综合性 2023新课标Ⅱ，14； 圆锥的体积 运算求解 数学运算 2024新课标I,5 2023新课标I,18; 线面平行与垂直的证明、求空 运算求解 综合性 逻辑推理 空间向量及其应用 2023新课标Ⅱ，20 间角 逻辑思维 直观想象 2022新课标I,9: 直观想象 空间角与距离 异面直线所成角与线面角 空间想象 综合性 2024新课标Ⅱ，7 数学运算 考 求点到面的距离及二面角的 直观想象 2022新课标I,19 空间向量及其应用 空间想象 综合性 正弦值 数学运算 总 空间几何体的结构特 直观想象 2022新课标Ⅱ，7 球的表面积 征和表面积 空间想象 综合性 数学运算 学 2022新课标1,8 综合性 直观想象 空间几何体的体积 求四棱锥体积的范围 空间想象 数学运算 49 线面垂直的判定、二面角的计 2024新课标I,17; 直线、平面平行的判定 算、线线垂直的判定、二面角 运算求解 直观想象 2021新课标I,20: 直线、平面垂直的判定 数学运算 2024新课标Ⅱ，17； 与性质 的概念与应用、求三棱锥的 空间想象 综合性 逻辑推理 体积 2021新高考Ⅱ，19 直线、平面垂直的判定 面面垂直的证明、二面角余弦 运算求解 逻辑推理 与性质 值的求解 逻辑思维 综合性 直观想象 【命题规律与备考策略】 本章内容为高考必考内容之一，多考查空间几何体的结构特征及表面积与体积的计算，多面体、旋转体与 球的切、接问题，空间中有关平行或垂直的判定，空间角与距离的求解，空间向量的应用等问题. 高考对本章内容的考查比较稳定，针对这一特点，复习时，首先梳理本章重要定理、公式与常用结论，扫清 基础知识和公式障碍；然后，分题型重点复习，重视向量法求解空间角、距离问题的思路与解题过程， 第一讲 空间几何体的结构及其表面积和体积 知识梳理·双基自测 知识梳理 侧面展 开图 知识点一多面体的结构特征 知识点三 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图 名称 棱柱 棱锥 棱台 及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 图形 侧面展 2不r 开图 T.0 2πr .0 •0 ①有两个面互相有一个面是 ,其余各 其 用一个平行于棱锥 底面的平面去截棱 结构面都是 余各面都是有 侧面积 50 S圆柱解三 S阳维三 S阳台侧= 和 特征②每相邻两个四 个公共顶点 必 公式 之间的 2b26 边形的公共边都的 互相 的多面体 部分 知识点四 柱体、锥体、台体和球体的表面 年 积和体积 相交于 名称 设 表面积 体积 侧棱 但不一 计 延长线交于 几何体 定相等 衡 柱体 S表面积=S侧+2S底 V= 中学案 侧面 (棱柱和圆柱》 形状 知识点二 旋转体的结构特征 锥体 S表面积=S侧+S底 V= (棱锥和圆锥) 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 台体 S表面积=S侧十 V-3(S:+5+ (棱台和圆台) SE+S下 图形 √S上Sx)h 球 S= 知识点五 直观图 互相平行且 相等， 相交于 延长线交于 母线 斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂 于 直，直观图中x'轴y轴的夹角为 ,z'轴 底面 与x'轴和y轴所在平面 直观图 (2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍 ,平行于x轴和z轴的线段在直观 全等的 全等的 全等的 轴截面 图中保持原长度 ,平行于y轴的线段 在直观图中长度为 归纳拓展 (3)用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台.() (4)有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多 1.一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相 面体是棱台 () 比，有“三变、三不变” (5)已知球O的半径为R,其内接正方体的棱长为 三变：坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改 变（减半），图形改变. a,则R=尽 ( 三不变：平行性不变，与x轴平行的线段长度不变， (6)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方 相对位置不变. 形，那么这个圆柱的侧面积是2πS. () 2.柱体、锥体、台体体积间的关系： 题组二走进教材 V台体=3(S+SS+S)h 2.（必修2PgT1)已知圆锥的表面积等于12πcm2,其 侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为() KS=S> <S=0> A.1 cm B.2 cm V柱体=S% V维体=3Sh C.3 cm 号n 台体的体积常化为两锥体体积之差求解. 3.（多选题)（必修2P6T3改编） 3.多面体的外接球与内切球常用的结论： “阿基米德多面体”也称为半正 (1)设正方体的棱长为a,则它的内切球半径r=2, L 多面体，是由边数不全相同的正 多边形为面围成的多面体，它体 外接球半径R=今。（与各枝都相切的球的半径为 现了数学的对称美.如图，将正 是j 方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱 锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积 (2)设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则它的外接 为12+45，则关于该半正多面体的下列说法中正 球半径R=+6+c 确的是 ( 高 A.AB=√2 (3)设正四面体的棱长为a,则它的高为h=6。 B.该半正多面体的外接球的表面积为6π 3a,内 CAB与平面BCD所成的角为平 总 切球半径r= 4h= 20,外接球半径R= 6 3 √6 4. D.与AB所成的角是霄的棱共有16条 擊 双基自测 题组三走向高考 题组一走出误区 4.(2023·新高考I卷)在正四棱台ABCD-A,B,C,D1 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或 中，AB=2,AB,=1,A4=√2，则该棱台的体积为 “×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几5.(2024·新课标【卷)已知圆柱和圆锥的底面半径 何体是棱柱。 ( 相等，侧面积相等，且它们的高均为5，则圆锥的体 (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几 积为 何体是棱锥 A.23π B.33π C.63π D.93π 考点突破·互动探究 2.下列结论：①以直角三角形的一边为轴旋转一 考点 基本立体图形一 自主练透 周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋 例1.（多选题）若正三棱锥V-ABC和正四棱锥V- 转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底 A,B,C,D,的所有棱长均为a,将其中两个正三角 面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆 形侧面△VAB与△V,A,B,按对应顶点粘合成一个正三 台；⑤用任意一个平面截一个几何体，所得截面都是圆 角形以后，得到新的组合体是 面，则这个几何体一定是球 A.五面体 B.七面体 其中正确结论的序号是 C.斜三棱柱 D.正三棱柱 名师点拨：空间几何体结构特征的判断技巧 考点5 几何体的表面积与侧面积一—师生共研 1.紧扣各种空间几何体的定义及结构特征是判断 的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况 例1，(2024·四川成都联考)庑殿式屋顶是我国古代 下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素， 传统建筑中等级最高的屋顶样式，分为单檐庑殿 顶与重檐庑殿顶.单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条 然后再依据题意判定. 垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体 2.说明一个命题是错误的，只要举出一个反例 FEABCD的形状（如图②）.若四边形ABCD是矩形，AB 即可. ∥EF,且AB=CD=2EF=2BC=8,EA=ED=FB=FC 【变式训练】 =3,则五面体FE-ABCD的表面积为 (多选题)下列结论错误的是 ( 脊 A.过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是 矩形 B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D.若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四 图① 图② 棱柱 A.48 B.325 C.16+165 D.32+165 点C 空间几何体的直观图一师生共研 2.(2024·河南漯河高中检测)已知一个圆柱底 例已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平 面半径为2，高为3，上底面的同心圆半径为1，以这个 52 面直观图△A'B'C的面积为 圆面为上底面，圆柱下底面为下底面的圆台被挖去，剩 1 余的几何体表面积等于 名师点拨：空间几何体表面积的求法 1.旋转体的有关元素都集中在轴截面上，解题时 度 D62 要注意其轴截面及侧面展开图的应用。 16a1 [引申]若已知△ABC的平面直观图△AB,C1是 2.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体 设 的表面积注意衔接部分的处理. 计 边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为 3,既然棱（圆）台是由棱（圆）锥定义的，所以在解 衡 名师点拨： 决棱（圆）台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略 学 1.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段的 【变式训练】 位置，注意“三变”与“三不变”；平面图形的直观图，其 1.（2024·陕西安康模拟)已知正三棱台ABC-A,B,C1 面积与原图形的百积的关系是S-孕9， 的上底面积为3，下底面积为43，高为2，则该三 棱台的表面积为 () 2.在原图形中与x轴或y轴平行的线段，在直观 A.55+339 B.3√39 图中与x'轴或y'轴平行，原图中不与坐标轴平行的线 C.5√5+18 D.18 段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可 2.(2025·湖南长沙调研)唐朝的狩猎景象浮雕银杯 以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用 如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画， 平滑的曲线连接而画出. 体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似 【变式训练】 地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑， (2025·湖北部分学校开学考) 忽略杯壁厚度)，如图2所示.已知球的半径为R,酒 如图，△O'A'B'是水平放置的 杯的容积R,则其内壁表面积为 △OAB用斜二测画法画出的直 观图（图中虚线分别与x'轴和 70' y'轴平行)，0'B′=20'D'=6, O'C=8,则△OAB的面积为 A.82 B.122 C.48 D.24 图 图2 考点4 几何体的体积一多维探究 考点占 球与几何体的切、接问题—师生共研 角度1 直接利用公式求体积 例(2025，广西名校模拟)已知正四面体的高等于球 例，(2024，云南红河州、文山州模拟)在三棱锥 P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,AB⊥BC,△PAB O的直径，则正四面体的体积与球0的体积之比为等边三角形，AB=BC=2,则该三棱锥外接球的表面 为 积为 A.36 B.32 G.32 D3③ 2.(2023·福建龙岩质检)如图，已知正方体的棱 4π 2π 4π 2下 长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面 角度2割补法求体积 体，则该正八面体的内切球表面积为 () 例(2025·江苏南京调研)与圆柱底面成45°角的平 面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到 圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体 的体积为 角度3等体积法求体积 例(2024·浙江浙南名校联盟联考)生活中有很多常 见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚 箕，其结构如图所示的五面体ADE-BCF,其中四边形 A.T B.T C.4m D.4T 6 3 ABFE与CDEF都为等腰梯形，ABCD为平行四边形. 名师点拨：几何体外接球问题的处理 若ADL平面ABFE,且EF=2AB=2AE=2BF,记三棱 解题关键是确定球心和半径，其解题思维流程是： 锥D-ABF的体积为V,则该五面体的体积为( 球心到各顶点距离相等； D 定球心 ②球心必在过球的载面外接圆的圆心 具垂直于该平面的真线上 选准最佳角度作出截面（要使这个截 面尽可能多的包含球、几何体的各种元 作截面 A.8V B.5V C.4V D.3V, 素以及体现这些元素间的关系)，达到 名师点拨：求空间几何体的体积的常用方法 空间问题平面化的目的 总复习 对于规则几何体，直接利用公式计算即 求半径 :根据作出截面中的几何元素，建立关于 直接法 擊 可 下结论 球半径的方程，根据R2=h2+r2求解 利用三棱锥的“等积性”可以把任二个 （R一球半径，r一截面圆的半径，h一球心到截面圆 53 等积法 面作为三棱锥的底面转换顶点： 心的距离).注：若截面为非特殊三角形可用正弦定理 求其外接圆半径r 当二个几何体的形状不规则时，常通过 特别的： 分割或者补形的手段将此几何体变为： 1.若四面体的两个面是有公共斜边的直角三角 个或几个规则的、体积易求的几何 割补法 形，则其外接球球心为斜边中点，半径为斜边的一半. 体，然后再计算.经常考虑将三棱锥还 2.有三条棱两两垂直或相对的棱相等的四面体可 原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为 补成长方体或正方体，其外接球半径为体对角线长的 平行六面体，将台体还原为锥体 一半 【变式训练】 3.有一侧棱垂直底面的锥体可补成直棱柱，其球 1.(2023·全国甲卷)在三棱锥P-ABC中，△ABC是 心为棱柱上、下底面外接圆圆心连线的中，点，可利用球 边长为2的等边三角形，PA=PB=2,PC=√6，则该 心到各顶点距离相等求得半径， 棱锥的体积为 注意：不共面的四，点确定一个球面. A.1 B.3 C.2 D.3 几何体内切球问题的处理 2.(2025·浙江数海漫游模拟)已知长方体ABCD- 1.解题时常用以下结论确定球心和半径：①球心 A'B'C'D'中，AB=BC=2BB'=4,则四面体AB'CD'的在过切点且与切面垂直的直线上；②球心到各面距离 体积是 相等。 A碧 B.16 G: 3 D.32 2.利用体积法求多面体内切球半径，「=S 特别提醒：正多面体的中心为其内切球、外接球的2.（2024·江苏百校联考)如图，若圆台的上、下底面 球心，并非所有的多面体都有内切球（或外接球） 半径分别为1,2，且2=3，则此圆台的内切球（与 【变式训练】 圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切 1.(2024·陕西西安部分学校联考)在三棱锥P-ABC 球)的表面积为 中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱PA⊥平 面ABC,且PA=25,则三棱锥P-ABC的外接球的 表面积为 ( A.32π B.28π C.26π D.24T 0 0 名师#近·素养提升 最值问题 例1.(2025，广东中山一中等四校联考)圆锥顶 则Vo-ABcn=3 ·22.h=2 P.r2.2h2≤ A,底面半径为1，母线AB=4,AB的中点为M, 只蚂蚁从底面圆周上的点B绕圆锥侧面一周到达M 的最短路线中，其中下坡路的长是 3 27 A.0 B2⑤ C.4⑤ D.5 5 5 当且仅当广=2即么=有时等号成立，哉选C 154 [答案]B 3.(2024·江苏部分重点中学联考)设A,B,C,D [解析]将圆锥侧面沿母线 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边 2b26 AB剪开并展开成扇形，则该扇形半 三角形且其面积为9√3，则三棱锥D-ABC体积的最 径AB=4,弧长为2T×1=2T,圆心M 年 大值为 创 角∠BM=2T=受，最短路线即为 [答案]18√5 新 [解析]设△ABC的中心为O',三棱锥D-ABC 扇形中的线段BM,BM=√AB2+AM=2√5，过A作 计 外接球的球心为O,则三棱锥体积最大，即点D,O',O BM的垂线，垂足为N,当蚂蚁从B点爬行到点N过程 衡 中，它与点A的距离越来越小，于是BN为上坡路段， 共线，此时O0'⊥平面ABC,如图，由题意知△ABC的 中 学 当蚂蚁从点V爬行到点M的过程中，它与点A的距离 边长满足：=95，故x=6,所以40=25,00 越来越大，于是WM为下坡路段，下坡路段长NM= 40=4,故00'=√A02-A02=√16-12=2，故三棱 4M·cos∠AMB=2×525.放选B 25 锥的商0=00+0=6，所以V=宁×95×6 2.（2022·全国乙卷)已知球0的半径为1，四棱 183. 锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上，则 当该四棱锥的体积最大时，其高为 A写 B.Z c [答案]C [解析]设该四棱锥底面为四边形ABCD,四边 形ABCD所在小圆半径为r,设四边形ABCD对角线夹 角为a, 名师点拨：立体几何中最值问题的解法 则Sm=·AC~BD:sma≤}·AC·BD≤ 1 1.观察图形特征，确定取得最值的条件，计算 2 最值， ·2r·2r=2r2(当且仅当四边形ABCD为正方形时等 2.设出未知量建立函数关系，利用基本不等式或 号成立) 导数计算最值. 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离 3.几何体表面两点间路程最值问题，“展平”处 一定时，底面ABCD面积最大值为2r2,又2+2=1，理.转化为平面内两点间距离问题 【变式训练】 2.（2025·浙江名校协作体开学考试)已知圆锥的底 1.(2024·山东实验中学诊断)如图，圆锥的母线长为 面半径为1，高为3，则其内接圆柱的表面积的最大 2,点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子绕 值为 () 圆锥的侧面转一周到达B点，这条绳子的长度最短 值为5，则此圆锥的表面积为 A.Zm B.2π C.9 D.Sn B A.TT B. 27 D.2T 温馨提示：复习至此，请完成练案[40 第二讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 知识梳理·双基自测 知识梳理 图形语言 知识点一 平面的基本性质 相交 基本事实1. 的三点确定一个平面 关系符号语言 a∩b=A a∩a=A a∩B=l 基本事实2.如果一条直线上的 在一个 轮 共面，有唯一 平面内，那么这条直线在这个平面内 特征 有唯一公 有无数个共 公共点 共点 线公共点 基本事实3.如果两个不重合的平面有一个公共 复习 点，那么它们有且 的公共直线 b 独有图形语言 a 擊 推论1.经过一条直线和 ,有且 关系 只有一个平面. 符号语言a,b是异面直线 aca 推论2.经过两条 直线，有且只有一个 知识点三 异面直线所成角、基本事实4及 平面. 等角定理 推论3.经过两条 直线，有且只有一个 1.异面直线 平面 (1)定义：异面直线—一不同在任何一个平面内 注：1.基本事实1、基本事实2和三个推论是判断 的两条直线叫做异面直线， 点、线共面的依据； 两直线既不平行也不相交的直线是异面直线， 2.基本事实3是判断两个平面相交及三点共线及 (2)异面直线的画法 三线共点的依据。 画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借 知识点二 空间点、直线、平面之间的位置 助一个或两个平面来衬托， 关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 (3)异面直线所成的角 图形语言 ①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任一 平行 点0作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的 叫 关系 符号语言 a∥b a∥a a∥B 做异面直线a与b所成的角. 特征 共面，无公共点 无公共点 无公共点 ②范围：(o,引