第七章 第五讲 空间向量及其运算-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习学案

[证明]取CD的中点F,连接EF,由EC=ED知 名师点拨： EF⊥CD. 空间两点“路径”最短问题通常“展平”化为两点 ·平面ECD⊥平面BCD, 间距离问题.注意“垂直”与“平行”的互证， 且平面ECD∩平面BCD=CD, 【变式训练】 ∴.EF⊥平面BCD. (2024·陕西汉中模拟)如图， 又AB⊥平面BCD,∴.AB∥EF. 在正方体ABCD-AB,C,D1B, .AB￠平面ECD,EFC平面ECD 中，点M,N分别为AC,A,B的 ∴.AB∥平面CDE. 中点，则下列说法中不正确的 是 A.MN∥平面ADDA1 B.MN⊥AB C.MW与CC,所成角为45 D.MW⊥平面ACD 温馨提示：复至此，请完成练案[43】 第五讲 空间向量及其运算 知识梳理·双皇自测 168 知识梳理 3.空间向量的数量积及运算律 22 (1)已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0， 知识点一空间向量的有关概念 度 作0=a,OB=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角，记作 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有 和 其范围是 ,若(a,b)=受，则称a 设 的量叫做空间向量，其大小叫做向量的 与b ,记作aLb. 向量a,b的数量积a·b= 衡 (2)零向量：长度为 的向量，记作0： (2)空间向量数量积的运算律 学 零向量与任意向量共线，0∥a; 结合律：(Aa)·b=A(a·b); 单位向量：模为 的向量； 交换律：a·b=b·a; 相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量， 分配律：a·(b+c)= 叫做a的相反向量，记作-a; 相等向量：方向 且模 的向量 知识点二空间向量的坐标表示及其应用 (3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).则 的直线 或 则这些向量叫做 向量表示 坐标表示 或 数量积 a·b (4)共面向量：平行于同一 的向量叫做 共面向量 共线 a=入b(b≠0〉 2.空间向量中的有关定理 a·b=0 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量，b(b≠ 垂直 (a≠0，b≠0) 0),a∥b台存在唯一确定的入∈R,使a=入b. (2)共面向量定理：若两个向量a,b不共线，则向 模 lal 量p与向量a,b共面曰存在唯一的有序实数对(x,y), 使p=xa+b. (a,b〉 cos(a,b》 夹角 (3)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共 (a≠0，b≠0) 面，那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组 x,y,z使得p=xa+b+zC.其中a,b,c叫做空间的 空间两点P(x1y1,1)、P2(x2,y2,2)之间的距离 一个基底 为1PP2I=√(x-x2)2+(y1-y2)2+(a1-2)7 知识点三两个重要的向量 题组二走进教材 1.直线的方向向量 2.(选择性必修1PoT5)如图，在三棱柱ABC-A,B,C 直线的方向向量是指和这条直线平行（或重合） 中，M为AC,的中点，若BA=a,BC=b,BB,=c,则 的非零向量，一条直线的方向向量有 个 2.平面的法向量 下列向量与Bi相等的是 () B 直线1L平面，取直线l的方向向量，则这个向量 叫做平面α的法向量.显然一个平面的法向量有 个，它们是共线向量 知识点四 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线L1,l2的方向向 l1∥L2 n1∥n2→n1=入2 A. -20- 2b+c B. 20+ 26-c 量分别为1,2 1⊥2 l1⊥n2台n1·n2=0 1 1 C.- 直线（的方向向量为 l∥a 2b+c D.2a+2b+c n⊥m台n·n=0 n,平面a的法向量 3.(选择性必修1P4T2)(2023·河南驻马店模拟)在 为m l⊥ax n∥m台n=入m 三棱柱ABC-A,B,C,中，底面边长和侧棱长都相 等，∠BAM1=∠CAM,=60°，则异面直线AB1与BC 平面α、B的法向量 a∥B n∥m台=入m 所成角的余弦值为 分别为n、m x⊥B n⊥m台n·m=0 归纳拓展 1.向量三点共线定理 在平面中A,B,C三点共线的充要条件是：0=xOB +yOC(其中x+y=1),0为平面内任意一点. 2.向量四点共面定理 4.6 B③ 3 C 在空间中P,A,B,C四点共面的充要条件是：OP= D.3 x0i+y0B+z0元（其中x+y+z=1),0为空间中 题组三走向高考 总 任意一点. 4.（多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，在正方体中，0 复习 3.la12=a·a;la·bl≤la·Ibl. 为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正方体的 4.a·b>0台a、b的夹角为锐角或0角.即“a·b>0” 顶点，则满足MN⊥OP的是 数 是“a、b的夹角为锐角”的必要不充分条件。 5.向量法证明空间的线面平行或垂直 169 ①a,b为平面a的基向量，若AB=Aa+b(入，u∈ R),AB,则AB∥. ②若n为平面a的法向量，AB·n=0.ABd&,则AB B ∥a. AB·a=0 ③a,b为平面a的基向量，若{ 则AB⊥a. AB.b=0. 双基自测 题组一走出误区 D 1,判断下列结论是否正确（请在括号中打“V"或5.（多选题）(2021·新课标I卷)在正三棱柱ABC一 “×”) ABC:中，AB=AA,=1,点P满足BP=入BC+ (1)空间中任意两个非零向量a,b共面.( uBB1,其中入∈[0,1]，∈[0,1]，则 () (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c=a·(b· A.当入=1时，△AB,P的周长为定值 c). B.当u=1时，三棱锥P-A,BC的体积为定值 (3)对于非零向量b,由a·b=b·c,则a=c.( (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围 C当入=2时，有且仅有一个点P,使得A,PLBP 相同. ( (5)平面的单位法向量是唯一确定的。 D.当u= ( 2时，有且仅有一个点P,使得A,B1平面 (6)若两平面的法向量垂直，则两平面垂直.( AB P 考点突破·互动探究 考点1 空间向量的线性运算 自主练透 (1)向量M是否与向量AB,A4共面？ (2)直线MN是否与平面ABBA,平行？ 例1.(2024·湖南永州模拟)在平行六面体ABCD AB1CD1中，D=a,DC=b,DD=c,P为DD1的 中点，过PB的平面a分别与棱AM1,CC,交于点E,F, 且AE=CF,则B2+E家=（用a,b,c表示）. 2.（多选题)在四面体P-ABC中，以下说法正确 的有 () A若而=号4C+子店，则B配-3B励 B若Q为△MBC的重心，则P而=号+P店+ 成 C.若四面体的各棱长都相等，则P·A元=0 D.若四面体P-ABC各棱长都为2，M,H分别为 70 PA,BC的中点，则IM面=1 2.已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点 名师点拨：用已知向量表示某一向量的方法 均不共线，设P为空间中任意一点，若B=5P-4PB D26 用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图 +入P元，则入= () 形，将已知向量和所求向量转化至三角形或平行四边 年 A.2 B.-2 C.1 D.-1 形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求 创 名师点拨： 向量用已知向量表示出来， 1.证明空间三点P、A、B共线的方法 设 【变式训练】 (2025·江苏常州一中阶段 (1)P=入PB(入∈R); 衡 测试)已知四面体OABC中， (2)对空间任一点O,OP=OA+tAB(t∈R); 中 M 0i=a,0B=b,0元=c,0i (3)对空间任一点0,0加=x0+y0B(x+y= =入MA(入>0)，N为BC中 1). 点，若=- 1 2.证明空间四点共面的方法 4a+2b+ 对空间四点P,M,A,B可通过证明下列结论成立 2.则入 来证明四点共面 (1)MP=xM☑+yMB; A.3 B.2 C. 2 0 3 (2)对空间任一点O,0P=0M+xM+yMB: 点C (3)对空间任一点0,0P=x0i+y0OA+z0B(x 空间向量共线、共面定理的应用一师生共研 +y+z=1): 例1.如图所示，已知斜三棱柱ABC-AB,C,点M,N (4)PM∥AB(或PA∥MB或PB∥A) 分别在AC,和BC上，且满足A=kAC,B= 【变式训练】 kBC(0≤k≤1) (2025·辽宁大连滨城高中联盟联考)对于空间一点 0和不共线三点A,B,C,且有0P=PA-0B+20元！ 则 () A.0,A,B,C四点共面 B.P,A,B,C四点共面 N C.0,P,B,C四点共面 D.O,P,A,B,C五点共面 点3 【变式训练】 空间向量的数量积及其应用—师生共研 (2024·山东学情质检)已知直线1，的一个方向向 例1.(2025·江西南昌十校月考)已知向量a=1. 量a=(1,2,x),直线l2的一个方向向量b=(5,y, 1,0),b=（-1,入，2)，且7a+5b与2a-b互相垂 1),若1al=5,且l11l2,则x+y= () 直，则实数入等于 B.3 A5或-3 或5 2 2 B-5或5 2 2 c0或号 n0或3 C.⑤ 2 D 2 2.(2024·河南创新发展联 A 春点4 利用向量证明判断)空间的平行与垂直一师生共研 盟联考)在《九章算术》中，将四个 面都为直角三角形的四面体称为 例(2023·山东青岛胶州实验学校期中)如图，在四 鳖臑.在如图所示的鳖臑A-BCDB 棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD, 中，AB⊥平面BCD,BD⊥CD,BD AB⊥BC,AB=2,PA=PD=CD=BC=1,平面PADL平 面ABCD,E为AD的中点， =2,AB=CD=1,E,F分别为BC,AD的中点，则C· D EF= ( A号 B.1 c号 D.2 3.如图，在四棱柱ABCD- A AB,CD,中，底面为平行四边 (1)求证：PA LBD: 形，以顶点A为端点的三条棱长 (2)在线段AB上是否存在一点G,使得直线BC∥ 都为1，且两两夹角为60°. 平面PEG?若存在，请证明你的结论；若不存在，请说 (1)求AC1的长； 明理由. (2)求BD,与AC所成角的余弦值. 总复习 擊 名师点拨： 1.建立空间直角坐标系时尽可能地利用图形中的 垂直关系，要准确写出相关点的坐标，进而确定向量的 坐标 2.用向量法证平行问题的类型及常用方法 线线平行证明两直线的方向向量共线 名师点拨：空间向量数量积的应用 ①证明该直线的方向向量与平面的某 法向量垂直 求夹角 设向受a,b的夹角为8，则com0=日治，进而 ②证明该直线的方向向量与平面内某直 线面平行 可求两异面直线所成的角 线的方向向量平行 ③证明该直线的方向向量可以用平面内 求长度 利用公式1al2=a·a,可将线段长度的计算问题 的两个不共线的向量表示 (距离) 转化为向量数量积的计算问题 ①证明两平面的法向量平行（即为共线 解决垂 利用a⊥b台a·b=0(a≠0，b≠0)，可将垂直问 面面平行 向量) 直问题 题转化为向量数量积的计算问题 ②转化为线面平行、线线平行问题 3.利用向量法证垂直问题的类型及常用方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直， 问题 即证它们的数量积为零 直线的方向向量与平面的法向量共线， 线面垂直 或利用线面垂直的判定定理转化为证明 问题 线线垂直 (1)求证：平面A,BD⊥平面ABD; (2)求证：平面EGF∥平面ABD. 面面垂直 两个平面的法向量垂直，或利用面面垂 问题 直的判定定理转化为证明线面垂直 【变式训练】 如图，在直三棱柱ABC-A,B,C1中，∠ABC=90°，BC =2,CC1=4,点E在线段BB1上，且EB1=1,D,F,G 分别为CC,CB,CA的中点. 名师讲·素养提升 空间几何体建系策略 172 建系的原则：关注图形对称性，使求解问题相关的 (面面垂直或知某点在平面内的射影转化为线面 2b26 元素尽可能多的落在坐标轴或坐标平面上，以便于确 垂直问题) 定点或向量的坐标，简化后续计算，注意构建右手系。 例如图，四棱雏P-BCD中，底面 建系的技巧： ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD, 度 1.利用共点且两两垂直的三条直线建系（即“墙AC=22,PA=2,E是PC上的一点， 新 角”型)一分别以三条直线所在直线为x轴，y轴，z PE =2EC. 计 轴建立空间直角坐标系.当条件不明显时，要先证明过 证明：PC⊥平面BED 衡 一点的三条直线两两垂直（即一个线面垂直+面内两 [证明]由PA⊥底面ABCD 条线垂直)，这个过程不能省.建系后对坐标不易确定 学 知，可分别以AC、PA所在直线为x 的点，通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用 轴、x轴建立空间直角坐标系，由题 向量关系解出变量的值来确定. 意知P(0,0,2),C(22,0,0),由 常见类型： PR=2c知2.0，引设 B(2,-a,0),则PC=(22,0,-2),BE= (答a引，励=0,2u.0, .P元.B2=P元.BD=0, ∴.PC⊥BE,PC⊥BD, ∴.PC⊥平面BED. 注：本题也可以分别以OC、OD所在直线为x轴、y 轴建立空间直角坐标系，或分别以AB、PA所在直线为 x轴、轴建立空间直角坐标系。 3.利用正棱锥（或正棱台或正棱柱）底面中心和 高所在直线建系； 4.无线面垂直关系，但某一平面内有两条垂直直 2.利用线面垂直关系建系一常以此直线或与此 线一一常以这两直线为两坐标轴建立空间直角坐 直线平行的直线为z轴，在垂面内找到x轴，y轴，建立 标系。 空间直角坐标系. 例如图，已知四棱锥P-4BCD. 名师点拨：坐标法的重难点是求点的坐标和利 △PAD是以AD为斜边的等 用向量公式运算，在求点的坐标过程中，有以下几种 腰直角三角形，BC∥AD,CD⊥ 方法： AD,PC AD =2DC =2CB =2, 1,作坐标轴（或坐标平面）的射影，直接找出横、 立适当的坐标系并求出各点 纵、竖坐标； 坐标 2.利用向量平行或相等进行转化； [解析]解法一：取AD中点O,连接B0,PO, 3.直接设点，找等量关系（线段长度，垂直关系） PA=PD,.PO⊥AD, 列方程组 :BC L OD,.四边形 【变式训练】 BCDO为平行四边形， (2024·安徽安庆一中模拟（节 .BO∥CD, 选))如图，在多面体ABCDE .·CD⊥AD,.BO⊥OD 中，平面ACD⊥平面ABC,BE⊥ 如图，分别以OB,OD为 平面ABC,△ABC和△ACD均A x轴，y轴建立空间直角坐 为正三角形，AC=4,BE=√3， 标系， 点F在棱AC上 则A0,-1,0),D(0,1,0),C(1,1,0),B(1,0,0), 若BF∥平面CDE,求CF的长. 设P(x,y,z),由题意可知PA=PD=2,PC=2 1PA1=2,x2+(y+1)2+2=2, 故{1PD1=2,即{x2+(y-1)2+2=2, [IPCI=2, (x-1)2+(y-1)2+2=4, 解得y=0,x=- 解法二：由ADL平面POB知z轴 高考一 C平面POB, 又BC⊥平面POB, ∴.BC⊥PB 轮总复习 .PB=√PC2-BC=√5， 又0B=OP=1,.∠B0P=120°， 作PH⊥x轴于H,由∠POH=60°， 温馨提示：复习至此，请完成练案[44 第六讲 空间的角与距离 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线a,b的方向向量分别为a,b,其夹 角为0，则cosp=Icos1=(其中p为异面直 知识点三求二面角的大小 线a,b成的角). 1.如图①，AB,CD分别是二面角α-1-B的两个面 知识点二直线和平面所成角的求法 内与棱1垂直的直线，则二面角的大小0= 如图所示，设直线1的方向向量为e,平面α的法 向量为n,直线l与平面ax所成的角为p,向量e与n 的夹角为0，则有sinp=|cos01= 2 ③名师讲坛·素养提升 4.BC不妨设正方体棱长为2， 变式训练 对于A, D连接BD,A1D,则M为BD的中点，又 A N为BA1的中点，.MW∥A1D,从而MNB ∥平面ADDA1,A正确；又AB上平面 ADD1A1,∴.AB⊥AD,从而AB⊥MN,B正 确；∠AAD=45°为MN与CC,所成的 角，C正确；故选D.事实上，若D正确， 则MN1AC,从而ADLAG,这与∠C4,D=号矛盾. M=(-2,2,0),0=(-1,1,1), .Mm.0=4≠0， 第五讲空间向量及其运算 ∴.MW不垂直OP. 知识梳理·双基自测 对于B, 知识梳理 知识点一 1.大小方向长度模01相同相等平行重合 共线向量平行向量平面 3.〈a,b〉0≤〈a,b〉≤π互相垂直Ia11b1cos(a,b〉a·b+ a·c 知识点二 M=(-2,0,2),0=(1,-1,1), a b+ab2+a3bs a=Ab,az=Ab2,a3=Ab3 ab+azb2+ .MN.OP=0...MNLOP. ab3=0√/a+ata a b+azbz +a3b3 √a+a+a·√所+防+b 对于C, 知识点三 1.无数 2.无数 双基自测 1.(1)V(2)×(3)×(4)×(5)×(6)V 2.D在三棱柱ABC-A,B,C,中，M为 B AC的中点， M M=(-2,0,-2),02=(-1,-1,1), .BM =BA +AA +AM .M.0=0, ate+2 ∴MN LOP. =a+c+(成- 对于D, sate+7(b-a) =宁a++e故选D 3.A解法一：记A=a,AC=b,AA=c, 由题意知a,b,c两两夹角均为牙，设 M=(0,-2,2),0=(1,0,2), AB =1,AB'=a c,BC=-a +b .M.02=4≠0， +C, ∴.MN不垂直OP.故选BC .AB1=(a+c)7=5, 5.BD 易知，点P在矩形BCCB,内部 BC1=√(-a+b+c)2=2, (含边界).对于A,当A=1时，B=BC os(E,BG= AB·BC-6 +uBB=B元+uCC,即此时Pe线段 IABIIBC6 CC,△AB1P周长不是定值，故A错误； 解法二：将三棱柱补成平行六面体（如 对于B,当u=1时，B=ABC+BB= 图)，连AD1,BD1,则AD1∥BC1, ·∠B,AD1或其补角即为AB1与BC所 BB,+入BC,故此时P点轨迹为线段 BC1,而BC1∥BC,B1C1∥平面ABC 成的角，设AB=1,则AB1=3, 则有P到平面ABC的距离为定值，所 AD1=BC1=2,BD1=3, AD 以其体积为定值，故B正确：对于C,当入=弓时，时-成+ 22-6 点s∠B,AD,=AB2万6 uBB,取BC,B,C中点分别为Q,H,则B=Bd+uQ应，所以P 502 点轨迹为线段QH,不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，变式训练 4(0,1P0.0w.40,）则1方-(-号0u- D根据题意，利用空间向量的运算法 则，可得：=尔-i=(0成+ B=(0,-2,4户.成=u(u-)=0,所以u=0或u=1 ia+2b+ 0d-+ 入 1 放H,Q均满足，故C错误；对于D,当u=之时，=A配+ }B配，取BB,CC,中点为M,N成=B丽+AM,所以P点轨 c因为m=+b+宁，所 1 1 迹为线段N设P(0,,）,因为A0,0小，所以市- 以子解得美=分放进D 考点2 (-9%)a-(-号分-小所以子+分。 =0例1：[解析](1)Ai=kAC,B=kB元， :MN=MA+AB+BN=kCA+AB+k BC =-弓，此时P与N重合，故D正确故选BD, =k(CA+BC)+A店=k(CA+B,C)+A店 考点突破·互动探究 =kB,A+A店=A正-kAB=A店-k(Ad+A正)》 考点1 =(1-k)AB-kA4, 例1：-2a+c由题意知AE LCF.示 :由共面向量定理知向量M与向量A店，AA共面. :花脉+成=c-(a+b）+ (2)当k=0时，点M、A重合，点N、B重合， MW在平面ABB,A1内，当0<k≤1时， (b-a)=-2a+2c. 1 MN不在平面ABBA,内， 例2：ABC由市=}花+召花，得花= 又由(1)知M与AB、AA共面， 3 所以MN∥平面ABBA· 3A币-2A成 例2：DBi=5PA-4P2+λP武 :.B元=B+A元=-A屈+3AD-2AB →P元-P=5Pi-4P+AP元， =3(A-AB)=3B,A正确； Pi=5Pi-3P店+AP元， 连接AQ并延长交BC于H, 由A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线 则Pd=P可i+子 可得5-3+入=1，解之得入=-1.故选D. 变式训练 =p+子(m-Pi=}+子所 B由0=P-0i+20元，得202=Oi-Oi+20元，可得02 =可i+子x(成+Pd) =-成+0成.由于分分+1=1，根据空间向量的整 =号+成+元，B正确： 本定理，得P,A,B,C四点共面.故选B 考点3 因为四面体P-ABC各棱长都相等，则1P1=1AB1=1BC1,例1：C7a+5b=7(1,1,0)+5(-1,入，2)=(2,7+5入，10)，2a- ∠PaA=∠PBC=号， b=2(1,1,0)-(-1,A,2)=(3,2-入，-2)，由7a+5b与2a -b互相垂直，有(7a+5b)·(2a-b)=2×3+(7+5)× :.P馆.A元=P层.(AB+B武 =Pi.AB+P.B就 (2-A)+10×(-2)=0,解得A=0或A=子故选C =1P·1店eos号+P·Bcas牙=0，C正确： 例2：B设H为BD的中点，连接FH,EH. 由题意知Ci.B成=C.B=D成.B 若四面体P-ABC的棱长都为2， 则可P店，P元两两夹角都为牙，且1p1=P1=Pd=2, =0.,成（动+成+威）· p.p=P.p元=P元.pi=2. (Cò+B=21+212=1. 又i=成-m:2+i+2式 例3：[解析](1)记A店=a,Ad=b,AA=c, 则1al=1b=lcl=1, 1M2=(P店+P元-pPi2 (a,b〉=(b,c〉=(c,a)=60°， 1 =子(PP+1+1P成+2成.元-2同，咕- a…b=b·c=c·a=2 2PA.PC) |AC12=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a) =(4+4+4+4-4-4)=2. =1+1+1+2x(分+分+）=6， .1M=2,D错误.故选ABC. .AC1=6,即AC,的长为6. —503 (2)BD=b+c-a,AC=a+b, 注：本题也可用几何法求解，或求平面PEG的法向量，利用 .1BD1=2,lAC1=5, n·B元=0n⊥BC→BC∥平面PEG判断解答 BD·At=(b+c-a)·(a+b) 变式训练 =b2-a2+a·c+b·c=1. [证明]以B为坐标原点，BA,BC,BB,所在 直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间 os(BD,4d=D·4C 6 直角坐标系，则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0, IBD IACI6 4),E(0,0,3),F(0,1,4). AC与B心夹角的余位值为号 设BA=a,则A(a,0,0), 变式训练 G21,44(a0,4). A因为a=(1,2,x),1al=5,所以1+4+x2=25,解得x=±25. (1)因为BA=(a,0,0),Bi=(0,2,2),B1i= 当x=25时，a=(1,2,25),因为411b2,所以a·b=5+2y (0,2,-2), +25-0,解得)=-多5+y=汽当=-25时a=1, 所以B1D·B=0,B,D.Bi=0. 所以BD⊥BA,BD⊥BD,即B,D⊥BA,B,D⊥BD. 2,-25),因为411l2,所以a·b=5+2y-25=0,解得y= 又BAOBD=B,所以B,D⊥平面ABD. 亭+y=39散选人 因为BDC平面A1B1D,所以平面ABD⊥平面ABD. 考点4 (2)证法-：因为庇=（号，1,1亦=(0,1,1），B方=(0， 例：[解析](I)证明：取BA的中点H,连EH,在梯形ABCD中， 2,-2), 由题意易知EH⊥AD, 所以BD.E武=0，Bi.E市=0. .PA=PD,E为AD的中点，.PE⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,PE⊥平面ABCD, 所以B,DLEG,B,D⊥EF .PE⊥EH,PE⊥AD,AE、EH、EP两两垂直， 因为EGOEF=E,所以B,D⊥平面EGF 又由(I)知B,D⊥平面ABD,所以平面EGF∥平面ABD, 如国建立室间直角坐标系，则P(00,号》4（号0,0） 证法二=(-20,0本=- (-号E,(-号0.0,00.0.d(-2 又GFt平面ABD,ABC平面ABD, :.GF∥平面ABD,同理EF∥平面ABD, 又GEOEF=F,GFC平面EGF,EFC平面EGF, ·平面EGF∥平面ABD. 名师讲坛·素养提升 变式训练 [解析]记AC中点为M,连接DM、 BM,三角形ACD为正三角形，AC=4, i-(停，-}励=0，-万，0)， 则DMLAC,且DM=25.因为平面 i.励-号x0+0x(-2)+(-)x0=0, ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC =AC,DMC平面ACD,所以DM⊥平面 PA⊥BD,即PA⊥BD. ABC, (2)设线段AB上存在点G满足条件， 又△ABC为正三角形，所以BM LAC, 则A亡=AAB=(-2A,2A,0)(0≤A≤1)， 所以BM=25, 成=花-花=(-a.0)-(-号.0 如图建立空间直角坐标系，则B(0,25,0),C(-2,0,0),D(0, 0,25),E(0,25,5), =(-x+号Ea.0小 所以Ci=(2,0,25),C2=(2,25,5), 且Bt=mE心+nP 设平面CDE的法向量为n=(x,y,z), 号-(-am+m,- 则m·⑦-2+25：=0， n.C应=2x+25y+5z=0, 令x=25,则z=-2,y=-1,则n=(25,-1,-2), 解得A=子 设F(a,0,0),ae[-2,2],则B=(a,-25,0), 因为BF∥平面CDE, n=0, 所以B·n=23a+(-25)×(-1）+0×(-2)=0, 存在点G,当AG=B时，BC∥平面PEG 解得a=-1, 所以F为CM的中点，此时CF=1. 504