第七章 第四讲 空间直线、平面垂直的判定与性质-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习学案

27设4CnB0=0,连接DF交 第四讲空间直线、平面垂直的判定与性质 CE于G,连接OG,BF,由于BF∥平 知识梳理·双基自测 面AEC,BFC平面BDF,平面BDF ∩平面AEC=OG,则BF∥OG,由于 知识梳理 0是BD的中点，所以B=GE 知识点一 OD-CD=1, 1.任意1⊥ILb anb=Pa∥b有且只有一条垂线段 过F作FH∥CE,交PD于H,则D 的长度任意一点到这个平面的距离 EH 1,由于凭号断 1 2锐角0受 ED HE ,所以=1 FC HE 2 知识点二 考点3 :1.两个半平面垂直 例：[证明](1)E,F分别为BC1,AB,的中点， 2.直二面角ax⊥Ba⊥ba1B EF∥AC, 双基自测 AC1C平面AC1G,EF￠平面AC1G :1.(1)×(2)×(3)V(4)×(5)V(6)× .EF∥平面ACG, 2.A由题意知SG⊥GF,SG⊥GE, 又F,G分别为AB1,AB的中点， GFOGE=G.∴.SG⊥平面GEF,故选A. ∴.A1F=BG, 又AF∥BG,∴.四边形AGBF为平行四边形， 3.A连接AC、AD1,设AD1∩AD=H,连 .∴.BF∥AG. HC,易知AH⊥平面ADC,MW∥AC, AGC平面ACG,BFt平面ACG, ·∠HCA即为MWN与平面DCA,所成 ∴.BF∥平面ACG, 的角， 又EF∩BF=F,EF,BFC平面BEF, 且sim∠HCA=AH=L ·平面A,C,G∥平面BEF AC 2 (2):平面ABC∥平面AB,C1,平面A1C1G∩平面A,B,C MN与平面DC4,所成角为若故 =A1C1, 选A 平面AC,G与平面ABC有公共点G,经过点G的直线交BC于H, 4.A对①，当nCa,因为m∥n,mcB, 则AC1∥GH,得GH∥AC, :G为AB的中点，H为BC的中点. 则n∥B,当nCB,因为m∥n,mCa, 变式训练 则n∥a, [证明]在△ABD中，E,F分别为AB,AD的中点，则EF∥BD, 当n既不在a也不在B内，因为m∥ 而EF丈平面CBD,BDC平面C,BD,因此EF∥平面CBD, n,mCa,mCB,则n∥a且n∥B,故 ①正确； 又DC∥AB,DC=2AB=EB, 对②，若m⊥n,则n与a,B不一定垂直，故②错误； 而DC1∥DC,DC=DC, 对③，过直线n分别作两平面与a,B分别相交于直线s和直线 于是EB∥D,C1且EB=D,C1,四边形BC,D,E为平行四边形，则 t,因为n∥a,过直线n的平面与平面a的交线为直线s,则根据 DE∥CB, 线面平行的性质定理知n∥s,同理可得n∥t,则s∥t,因为s丈平 又D1E￠平面C1BD,C1BC平面CBD 面B,tC平面B,则s∥平面B,因为sC平面，a∩B=m,则s∥ 因此D,E∥平面C,BD. m,又因为n∥s,则m∥n,故③正确； 而EF,DE为平面D,EF中两相交直线， 对④，若anB=m,n与a和B所成的角相等，如果n∥a,n∥B, 所以平面D,EF∥平面C,BD. 则m∥n,故④错误；综上只有①③正确，故选A 名师讲坛·素养提升 5.B解法一：分别取BC,BC1的中点D,D1,则AD=35,AD1 [引申] =3 [解析]当Q为ED的中点时，平面GFQ∥平面ACD 变式训练 可知5a=7×6x6×=9月，54=×2×5=月， 2 [解析]如图，过点F作FG∥AB交PB 设正三棱台ABC-A,B,C1的为h, 于点G,连接CG, 因为FG∥AB∥EC,所以E,F,G,C四点 则Vx-A4=写(9万+万+9Bx万)h-号 31 共面， 若EF∥平面PBC,由EFC平面EFGC 解得h=43 3 平面EFGC∩平面PBC=CG, 如图，分别过A,D1作底面垂线，垂足 所以EF∥CG,所以四边形EFGC为平行四边形，FG=CE= 为M,V,设AM=x, 号A, 则=r+=√2+ 3 胎分 DN=AD-AM MN =23-x, 所以当且仅当点F为线段AP上靠近点P的三等分点时，EF∥ 平面PBC 可得DD,=DP+D,N=25-x)2+5 499- 结合等腰梯形BcCA可得BB=(;)'+D心。 所以05=S4sm5D=M=5×2B=AB=OB. 21 即2+ 3=(25-x)2+1 +4,解得x=4,3 所以△SOE是等腰三角形. 3 31 因为F是SE的中点，所以OF⊥SE AM 所以A,A与平面ABC所成角的正切值为an∠AAD=W=l. 因为OF∩AD=O, 所以SE⊥平面ADF, 解法二：将正三棱台ABC-A,B,C,补成正三棱锥P-ABC, 证法二：不妨设AB=B,则SA=AD 则A,A与平面ABC所成角即为PA与 =SD=2. 平面ABC所成角， 如图，连接AE,DE, 因为A=4B1 因为E为BC的中点， PA AB3 所以AE=DE=2. 则6：是 所以SD=DE,SA=AE. VP-ABC -27 又F为SE的中点， 可知Vec4A6-旁c=号则，c=18, 所以DF⊥SE,AF⊥SE 因为DF∩AF=F, 设正三棱锥P-ABC的高为d, 所以SE⊥平面ADF: 则c=3×x6x6× 1 1 证法三：由证法一易得AD, =18,解得d=25, 2 OE,S0两两互相垂直，建立 取底面ABC的中心为O,则P0⊥底面ABC,且A0=25,所以 如图所示的空间直角坐标系 0-xz, PA与平面ABC所成角的正切值am∠PA0=记=1.放选B 不妨设AB=3,则AD=2, 考点突破·互动探究 0S=5 考点1 则S(0,0,W5),E(0,N5,0), 例1：C若m⊥n,n⊥l,则m∥l或m,l相交或m,l异面，所以A .E=(0,-5,5), 错误；若a⊥B,B⊥y,则α∥y或a,y相交，所以B错误；若m ⊥a,m∥n,则n⊥a,又n∥B,则a⊥B,所以C正确；若m∥n, o号 m∥a,则nCa或n∥a,所以D错误.故选C. 又A(1,0,0), 例2：BD若lCa,mCB,aB,则l∥m或l与m异面，A项错误； 因为m∥a,所以3aCa,m∥a,因为m∥l,所以a∥l,因为a (-1,》 Ca,l丈a,所以l∥a,B项正确：当a⊥B,mC时，m⊥B或m ..A=0,即SE1AF, ∥B或mCB或m与B相交，C项错误；若La,m∥l,则m上 同理SE⊥DF,∴.SE⊥平面ADF. a,又mCB,所以a⊥B,D项正确.故选BD 角度2 变式训练 例：[证明]连接AE,AM 由AB=AD=AF=2, 1.ABDa内的直线与l相交或异面，A对，C错；直线l与它在平 ∠ADC=∠AFE=60° 面a内的射影m所确定的平面B与平面a垂直，D对；平面α 可知四边形ABCD,ABEF均为含60 内与射影m垂直的直线也与！垂直，显然这样的直线有无数条 的菱形， B对.故选ABD. 故AE⊥BF 2.AD若a∥B,由于m⊥B,故m⊥a,A 当M为CD的中点时，则AM⊥AB, 正确；若Lm,则l可能在B内，B错误； 又侧面ABCD⊥侧面ABEF,AB=侧面ABCD∩侧面ABEF 若a⊥B,则l,m可能平行，C错误；若m 故AM⊥平面ABEF,从而AM⊥BF ∥a,则设过m的平面y与a交于n,则 AE∩AM=A,所以BF⊥平面AEM, m∥n,由于mLB,故n⊥B,而nCa&,故 又EMC平面AEM,故EM⊥BF. a⊥B,D正确，故选AD. 角度3 考点2 例：C如图所示，把PA、PB、PC放人正方 角度1 体中，显然PA、PB、PC两两类角均 例：[证明]证法一：取AD的中点O,连接S0,OE,OF 为60° 因为四边形ABCD是矩形，O,E分别 解法一：连MN交PB于O,连MC,AO 是AD,BC的中点， 交于H,连PH,由PB⊥MN,PB⊥CN知 所以EO⊥AB,所以EO⊥AD. PB⊥平面MWCA,∴.PB⊥CM,同理PA 因为△SAD是等边三角形，所以SO ⊥CM,.CM⊥平面PAB,.∠CPH为 D以 ⊥AD. PC与平面PAB所成的角，设PM=1,则PC=2,CH=子CM 因为S0∩OE=O,所以AD⊥平 面SOE. 25.incpu-oo 3 因为SEC平面SOE,所以AD⊥SE. 因为√3SA=2AB, 号数适C 500 解法二：设PM=1,显然PABC为正四面体，设C到平面PAB证法三：空间直角坐标系法 的距离为d,则号·x(万)=1-兰×子d=25记 不妨设AB=2B,则AE=AD= AB 4 3 in600=4, 比与平自P所成角为8则血目=壳-华：s自一 由D0⊥平面ABC,所以D0=/AD2-AO2=23 所以P0=D0=2.因为0是△ABC的外心， 个-面6=停故述C 6 因此AE⊥BC.在底面过O作BC z 解法三：建立如图所示的空间直角 的平行线与AB的交点为W,以O 坐标系，设正方体棱长为1，则P(1, 0,0),C(0,0,1),A(1,1,1),B(0,1, 为原点，O成方向为x轴正方向， 0),所以P元=(-1,0,1)，P=(0, 0尼方向为y轴正方向，0币方向为 z轴正方向，建立空间直角坐标系 1,1),P=(-1,1,0),设平面PAB 0-xyz, 的法向量n=(x,y,z),则 则A(0,-2,0),B(5,1,0), rn·Pi=y+z=0, n…Pi=-x+y=0 令x=1,则y C(-5,1,0),E(0,2,0),P(0,0, 2), =1,2=-1,所以n=(1,1,-1),所以cos(P元，n〉= 所以Ap=(0,2,2),B2=(-5,-1,2),C=(5,-1,2) p元·n -2=-6设直线PC与平面PAB所成角为 P1.Inl2×5 3 故A.B=0-2+2=0,AP.C=0-2+2=0. 所以AP⊥BP,AP⊥CP. ,所以血0=1cm(P庇，m1=9,所以ms8=个-0 又BP∩CP=P,故AP⊥平面PBC. 2.B如图，△ABC为等边三角形，D为 县散选C BC中点，作PH⊥面ABC垂足为H,三 棱锥P-ABC的侧棱与底面所成角为 [引申] ∠PAH,设AB=a(a>0),则PA=√3a, 根据正楼锥性质，A= 3a,PH=26 变式训练 a, 1.[证明]证法一：由题设，知△DAE为等边三角形，设AE=1, 26 PH 则0=9c0=B0=宁=子， 所以m∠PAH=P 3 22.故 Ba 3 所以P0=5D0=2 选B. 6 4 考点3 PC=PO +0C-5-PB=PA. 例：[证明]连接AC.因为底面ABCD Γ4 为菱形，∠ABC=60° 又△ABC为等边三角形，则，BA。 所以△ACD是正三角形. sin60°=20A, 又E为CD的中点，所以AE⊥CD,则 所以M=,Pm+PF子=A, AE⊥AB. 因为平面PAB⊥平面ABCD: 则∠APB=90°，所以PA⊥PB, 平面PAB∩平面ABCD=AB, 同理PA⊥PC,又PC∩PB=P 所以AE⊥平面PAB. 所以PA⊥平面PBC. 因为PBC平面PAB, 证法二：因为△ABC是底面圆O的内接正三角形，且AE为底面 所以AE⊥PB. 直径，所以AE⊥BC 因为AB=√2PA=√2PB=2, 因为DO(即PO)垂直于底面，BC在底面内， 所以PA2+PB2=AB2,则PA⊥PB. 所以PO⊥BC. 又因为POC平面PAE,AEC平面PAE,PO∩AE=O, 因为PA∩AE=A,所以PB⊥平面PAE. 所以BC⊥平面PAE. 又PBC平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAE. 又因为PAC平面PAE,所以PA⊥BC 变式训练 设AEO BC=F,则F为BC的中点，连接PF [证明]取AC中点O,连接D0、OB, 设D0=a,且P0=5D0, 在正△ACD和正△ABC中，AC=2, 6 则D0⊥AC,B0⊥AC,D0=B0=5, 则AF=3 而平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC,DOC平面 ACD,BOC平面ABC, PF-70 于是DO⊥平面ABC,BO⊥平面ACD, 又BE⊥平面ABC,即有DO∥EB, 因此PA2+PF=AFP,从而PA⊥PF 又因为PF∩BC=F, 而DO=EB=5.因此四边形DOBE是平行四边形， 所以PA⊥平面PBC 则DE∥OB,从而DE⊥平面ADC, AMC平面ADC,所以DE⊥AM. 501 名师讲坛·素养提升 4.BC不妨设正方体棱长为2， 变式训练 对于A, D连接BD,A1D,则M为BD的中点，又 A N为BA1的中点，.MW∥A1D,从而MNB ∥平面ADDA1,A正确；又AB上平面 ADD1A1,∴.AB⊥AD,从而AB⊥MN,B正 确；∠AAD=45°为MN与CC,所成的 角，C正确；故选D.事实上，若D正确， 则MN1AC,从而ADLAG,这与∠C4,D=号矛盾. M=(-2,2,0),0=(-1,1,1), .Mm.0=4≠0， 第五讲空间向量及其运算 ∴.MW不垂直OP. 知识梳理·双基自测 对于B, 知识梳理 知识点一 1.大小方向长度模01相同相等平行重合 共线向量平行向量平面 3.〈a,b〉0≤〈a,b〉≤π互相垂直Ia11b1cos(a,b〉a·b+ a·c 知识点二 M=(-2,0,2),0=(1,-1,1), a b+ab2+a3bs a=Ab,az=Ab2,a3=Ab3 ab+azb2+ .MN.OP=0...MNLOP. ab3=0√/a+ata a b+azbz +a3b3 √a+a+a·√所+防+b 对于C, 知识点三 1.无数 2.无数 双基自测 1.(1)V(2)×(3)×(4)×(5)×(6)V 2.D在三棱柱ABC-A,B,C,中，M为 B AC的中点， M M=(-2,0,-2),02=(-1,-1,1), .BM =BA +AA +AM .M.0=0, ate+2 ∴MN LOP. =a+c+(成- 对于D, sate+7(b-a) =宁a++e故选D 3.A解法一：记A=a,AC=b,AA=c, 由题意知a,b,c两两夹角均为牙，设 M=(0,-2,2),0=(1,0,2), AB =1,AB'=a c,BC=-a +b .M.02=4≠0， +C, ∴.MN不垂直OP.故选BC .AB1=(a+c)7=5, 5.BD 易知，点P在矩形BCCB,内部 BC1=√(-a+b+c)2=2, (含边界).对于A,当A=1时，B=BC os(E,BG= AB·BC-6 +uBB=B元+uCC,即此时Pe线段 IABIIBC6 CC,△AB1P周长不是定值，故A错误； 解法二：将三棱柱补成平行六面体（如 对于B,当u=1时，B=ABC+BB= 图)，连AD1,BD1,则AD1∥BC1, ·∠B,AD1或其补角即为AB1与BC所 BB,+入BC,故此时P点轨迹为线段 BC1,而BC1∥BC,B1C1∥平面ABC 成的角，设AB=1,则AB1=3, 则有P到平面ABC的距离为定值，所 AD1=BC1=2,BD1=3, AD 以其体积为定值，故B正确：对于C,当入=弓时，时-成+ 22-6 点s∠B,AD,=AB2万6 uBB,取BC,B,C中点分别为Q,H,则B=Bd+uQ应，所以P 502注：本题也可取BE的中点Q,连接日 (3)把几何问题转化为代数问题，探索命题成立 GQ、FQ,通过证平面GFQ∥平面ABC来 的条件 证；或取BC的中，点M,AB的中点N,连 2.对命题结论的探索常采用以下方法 GM、MW、NF,通过证四边形GMNF为平 首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理 行四边形得GF∥MN来证. 论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假 (2)当H为BC的中点时，平面GFH∥平面ACD. 设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设： 证明如下：G、H分别为EC、BC的中点， 【变式训练 .∴.GH∥BE,又BE∥AD (2023·河南部分学校联考)如图，在矩形ABCD中， .GH∥AD, 又GH4平面ACD,ADC平面ACD, BC=DC,沿AE向上翻折，使点D到点P的位置， .∴.GH∥平面ACD 构成四棱锥P-ABCE,若点F在线段AP上，且EF 又GF∥AC,GF平面ACD,ACC平面ACD, ∥平面PBC,试确定点F的位置. .GF∥平面ACD, 又GF∩GH=G,GFC平面GFH,GHC平面GFH, .平面GFH∥平面ACD. [引申]ED上是否存在一点Q,使平面GFQ∥平面 ACD. 名师点拨：平行中的探索性问题 1.对命题条件的探索常采用以下三种方法 (1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明； 总 (2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立 的条件，再证明其充分性； 温馨提示：复习至此，请完成练案[42」 复习 第四讲 空间直线、平面垂直的判定与性质 163 知识梳理·双基自测 知识梳理 图形 知识点一直线与平面垂直 语言 1.直线与平面垂直 aCa, (1)定义：若直线1与平面α内的 一条直 bCa, 线都垂直，则直线1与平面x垂直。 符号 (2)判定与性质 语言 判定定理 性质定理 如果一条直线与一个 过一点垂直于已知平面的直线 平面内的两条相交直 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足 文字线垂直，那么该直线与 垂直于同一平面的两直 间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段 语言 此平面垂直 线平行 叫做这个点到该平面的距离。 (线线垂直→线面垂 条直线与一个平面平行时，这条直线上 直) ,叫做这条直线到这个平面的 距离。 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意 一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两 双基自测 个平行平面间的距离。 题组一 走出误区 2.直线与平面所成的角 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影 “×”) 所成的 ,叫做这条斜线和这个平面所成的角. (1)直线1与平面α内的无数条直线都垂直，则11 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面 a. () 所成角为 ,若直线与平面垂直，直线与平面所 (2)垂直于同一个平面的两平面平行. ( ) 成角为 (3)若直线a⊥a,b1,则a∥b (2)线面角6的范围：0∈[0，引 (4)若a⊥B,a⊥B,则a∥a. ( (5)若直线a1平面，直线b∥a,则直线a与b垂 知识点二 平面与平面垂直 直 () 1.二面角的有关概念 (6)若平面α内的一条直线垂直于平面B内的无数 (1)二面角：从一条直线出发的 所组成 条直线，则aLB. () 的图形叫做二面角， 题组二走进教材 (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点 2.(必修2P64T15)如图1，正方形SGG,G中，E、F分 为端点，在两个半平面内分别作与棱 的射线， 别是GG2、G2G3的中点，D是EF的中点，如图2，沿 则两射线所成的角叫做二面角的平面角 SE、SF、EF将正方形折成一个四面体，使G1、G,、G (3)二面角0的范围：0e[0,π]. 重合，重合后的点记为G,则在四面体S-EGF中 164 2.平面与平面垂直 ( (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角 是 ,就说这两个平面互相垂直 (2)判定与性质 度 判定定理 性质定理 新 图1 图2 如果一个平面经 两个平面垂直，如果一个平面 计 A.SG⊥平面EFG B.SD⊥平面EFG 文字 过另一个平面的 内有一直线垂直于这两个平 C.GF⊥平面SEF D.GDL平面SEF 衡 语言 垂线，那么这两个 面的交线，那么这条直线与另 3.(必修2Ps2例4)在棱长为1的正方体ABCD 学 平面垂直.（线面 一个平面垂直.（面面垂直一 A,BC,D,中，点M,N分别为AB,BC的中点，则直线 垂直台面面垂直) 线面垂直) MN与平面DCA,所成角的大小为 A. 6 B买 c晋 D. 2 图形 语言 题组三走向高考 4.（2024·全国甲卷)设aB是两个平面，m、n是两条 a⊥B, 直线，且ax∩B=m.下列四个命题： a(a 符号 aca ①若m∥n,则n∥a或n∥B a⊥BJ 语言 ax∩B=b ②若m⊥n,则n⊥a,n⊥B ③若n∥a,且n∥B,则m∥n ④若n与a和B所成的角相等，则mLn 归纳拓展 其中所有真命题的编号是 1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条 A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ 也垂直于这个平面。 2.若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内 5.(2024·新课标Ⅱ卷)已知正三棱台ABC-AB,C, 的任何一条直线（证明线线垂直的一个重要方法）. 的体积为号，AB=6,8-2,则4A与平而48C所 3.垂直于同一条直线的两个平面平行 成角的正切值为 4.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线 B.1 C.2 D.3 与另一个平面也垂直 考点突破·互动探究 点 名师点拨： 空间垂直关系的基本问题一自主练透 解决这类线、面位置关系判定的问题一般是利用 例1(2024：江苏部分四星级高中调研)设m,1是 正方体模型或画图分析解决，其实最好的办法是笔当 三条不同的直线，α，B,y是三个不同的平面，在下 线，纸、手掌当面动态演示。 列命题中，真命题为 ( 【变式训练】 A.若m⊥n,n1l,则m⊥l 1.(多选题)已知直线1与平面α相交于点P,则（) B.若a⊥B,B⊥y,则a1y A.内不存在直线与1平行 B.au内有无数条直线与l垂直 C.若m⊥，m∥n,n∥B,则aLB C.α内所有直线与l是异面直线 D.若m∥n,m∥a,则n∥a D.至少存在一个过1且与α垂直的平面 2.(多选题)(2024·辽宁名校联盟模拟)已知a,2.(多选题)(2024·内蒙古呼伦贝尔模拟改编)已知 B是两个不同的平面，1，m是两条不同的直线，则 l,m是两条不同的直线，ax,B是两个不同的平面，且 ( 1∥α，m⊥B,则下列四个结论正确的是() A.若lCa,mCB,a∥B,则l∥m A.若a∥B,则m1 B.若m∥l,m∥a,l丈，则l∥a B.若l⊥m,则l∥B C.若&⊥B,mCa,则m⊥B C.若aLB,则1⊥m D.若l⊥a,m∥l,mCB,则a⊥B D.若m∥a,则a⊥B 喜点己 直线与平面垂直的判定与性质一多维探究 角度1 线、面垂直的判定 例 (2024·湘豫名校联考（节选）)如，作 分析1： 四按锥S-ABCD中，△SAD是等边一角形，→取A0中点0，连接50得 高考一轮总复习 S0L平面ABCD(化面面 四边形ABCD是矩形，业面，SAD⊥Y面ABCD, 垂直为线面垂直) 几3SA=2AB,E,F分别是BC,SE的中点 数学 证明：SE⊥面ADF, 连接E、,则E⊥0，从 而0L平面S;进而得到 169 E⊥4；只需再证EL0P D 或EL:即可 分析2： 证SE⊥F,SE⊥F 故只需连AE、E,证A=SA 即可（同理9E=SD) 角度2线、面垂直的性质 例(202，广东湖州模拟F (2)公式法：血日=（其中么为斜线上除斜足外 (节选)如图，在斜三棱 的任一点到所给平面的距离，1为该点到斜足的距离，0 柱BCE-ADF中，侧面ABCD 为斜线与平面所成的角) ⊥侧面ABEF,AB=AD=AF= (3)向量法，sin0=Icos(AB,n〉1= 1AB·n(其 2,∠ADC=∠AFE=60°，M为 lAB1·1n CD上的中点， 中AB为平面α的斜线，n为平面a的法向量，0为斜 证明：EM⊥BF. 线AB与平面α所成的角). 【变式训练】 1.如图，D为圆锥的顶点，0是圆 锥底面的圆心，AE为底面直 径，AE=AD.△ABC是底面的 内接正三角形，P为D0上一 点，P0=5D0 6 证明：PA⊥平面PBC. 角度3直线与平面所成的角 166 例2024：河南濮阳模拟)PA,PB,PC是从点P引出 的三条射线，每两条的夹角均为60°，则直线PC 与平面PAB所成角的余弦值为 ( B号 C③ D③ 2 度 [引申]本例图中AM与平面PAB所成角的正弦值2.(2025·江苏部分学校联合测评)已知正三棱锥 新 为 P-ABC的侧棱与底面边长的比值为5，则三棱锥 计 名师点拨： P-ABC的侧棱与底面所成角的正弦值为（) 衡 1.证明线线垂直的常用方法 A.3 22 中 (1)利用特殊图形中的垂直关系. 3 4 案 如：直径所对圆周角是直角；菱形对角线互相垂 直；等腰三角形底边上的中线、顶角平分线垂直底边 点 两个平面垂直的判定与性质一师生共研 等等 (2)若知某些线段长度，常利用勾股定理的逆 例2024：广东省揭阳市 模)如图，在四棱锥 定理 P-ABCD中，平面PAB⊥平面 (3)利用直线与平面垂直的性质. ABCD,底面ABCD为菱形， (4)向量法：a1ba·b=0. ∠ABC=60°，AB=√2PA= E 2.证明线面垂直的常用方法 2PB=2,E是CD的中点. (1)线面垂直的判定定理： 证明：平面PBC⊥平面PAE. l⊥a,l⊥b,aCa,bCa,a∩b=P→l⊥a. (2)面面垂直的性质定理： x⊥B,a∩B=l,aCa,a⊥l→a⊥B. (3)性质：①a∥b,b⊥a→a⊥a; ②a∥B,a⊥B→a⊥ax. 3.求直线与平面所成角的方法 (1)定义法：①作，在直线上选取恰当的点向平面 引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角； ③求，通过解三角形，求角. 名师点拨： 1.判定面面垂直的方法 (1)面面垂直的定义； (2)面面垂直的判定定理(a⊥B,aCa→a⊥B). (一般在一个平面内找交线的垂线，证此线与另一面 垂直.) 2.在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转 求证：DE⊥AM. 化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然 后进一步转化为线线垂直. 3. 判定 判定 判定 线线垂直 性质 线面垂直 性质 面面垂直 性质 【变式训练】 (2024·辽宁大连滨城高中联盟期中)如图，在多面 体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC,BE⊥平面ABC, △ABC和△ACD均为正三角形，AC=2,BE=5,点 M为线段CD上一点. 名师讲坛·素养提升 直孩与平面平行、垂直判定和性质的徐合应用 例1.（多选题）(2024·云南大理统测)如图，在正方 .点P到平面ACD,的距离等于点B到平面 体ABCD-A,BC,D,中，AM1=V2,P为线段BC ACD1的距离， 上的动点，则下列说法正确的是 11 总 ( 六Vp-Acn,=Va-acn,=Vn-acm=3×2X2×2× 复习 D 万-号放C蜡误；格平面ABC,和平面B0G,沿直我 BC展开为一个平面，如图： △ABC,是正三角形， △BCC,是等腰直角三角形， 且BC1=2,BC=√2， A.BD⊥AP ∠ACC=105°， B.DP∥平面AB,D, AC2=AC+CC-2· C.三棱锥P-ACD,1的体积为定值2 AC,·CC1·cos∠A,C,C=4 D.AP+PC的最小值为5+1 +2-2x2×2x2:6=4 4 [答案]ABD +25, [解析]由正方体性质易 D .AC=3+1, 知BDL平面ABC1, 即AP+PC的最小值为5+1，故D正确.故 又APC平面ABC1, 选ABD. .BD1AP,故A正确； 2.（2024·江苏扬州高邮期 由平面BDC,∥平面AB,D, 初测试（节选）)如图，在多面体 DPC平面BDC, ABCDE中，AB⊥平面BCD,平面 DP∥平面AB,D,故B ECD⊥平面BCD,其中△ECD是 正确； 边长为2的正三角形，△BCD是B AD1∥BC1,AD,C平面ACD1,BC,4平面ACD, 以∠BDC为直角的等腰三角形， ∴.BC1∥平面ACD1, 证明：AB∥平面CDE. [证明]取CD的中点F,连接EF,由EC=ED知 名师点拨： EF⊥CD. 空间两点“路径”最短问题通常“展平”化为两点 ·平面ECD⊥平面BCD, 间距离问题.注意“垂直”与“平行”的互证， 且平面ECD∩平面BCD=CD, 【变式训练】 ∴.EF⊥平面BCD. (2024·陕西汉中模拟)如图， 又AB⊥平面BCD,∴.AB∥EF. 在正方体ABCD-AB,C,D1B, .AB￠平面ECD,EFC平面ECD 中，点M,N分别为AC,A,B的 ∴.AB∥平面CDE. 中点，则下列说法中不正确的 是 A.MN∥平面ADDA1 B.MN⊥AB C.MW与CC,所成角为45 D.MW⊥平面ACD 温馨提示：复至此，请完成练案[43】 第五讲 空间向量及其运算 知识梳理·双皇自测 168 知识梳理 3.空间向量的数量积及运算律 22 (1)已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0， 知识点一空间向量的有关概念 度 作0=a,OB=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角，记作 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有 和 其范围是 ,若(a,b)=受，则称a 设 的量叫做空间向量，其大小叫做向量的 与b ,记作aLb. 向量a,b的数量积a·b= 衡 (2)零向量：长度为 的向量，记作0： (2)空间向量数量积的运算律 学 零向量与任意向量共线，0∥a; 结合律：(Aa)·b=A(a·b); 单位向量：模为 的向量； 交换律：a·b=b·a; 相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量， 分配律：a·(b+c)= 叫做a的相反向量，记作-a; 相等向量：方向 且模 的向量 知识点二空间向量的坐标表示及其应用 (3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).则 的直线 或 则这些向量叫做 向量表示 坐标表示 或 数量积 a·b (4)共面向量：平行于同一 的向量叫做 共面向量 共线 a=入b(b≠0〉 2.空间向量中的有关定理 a·b=0 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量，b(b≠ 垂直 (a≠0，b≠0) 0),a∥b台存在唯一确定的入∈R,使a=入b. (2)共面向量定理：若两个向量a,b不共线，则向 模 lal 量p与向量a,b共面曰存在唯一的有序实数对(x,y), 使p=xa+b. (a,b〉 cos(a,b》 夹角 (3)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共 (a≠0，b≠0) 面，那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组 x,y,z使得p=xa+b+zC.其中a,b,c叫做空间的 空间两点P(x1y1,1)、P2(x2,y2,2)之间的距离 一个基底 为1PP2I=√(x-x2)2+(y1-y2)2+(a1-2)7