第七章 第三讲 空间直线、平面平行的判定与性质-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习学案

名师点拨： 说明：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形： 1.作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的 直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形. 两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交 【变式训练】 点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线， 1.若E、F、H分别为正方体ABCD 2.作交线的方法有如下两种 -ABC,D1的棱AB、CC1、AD A (1)利用基本事实3作交线； 的中点，则过E、F、H三点的截 (2)利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找 面图形是 线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线。 2.(2024·四川泸州三模)已知正 A 注：正六面体的一些截面： 方体ABCD-ABC,D1的棱长 为2，P为DD1的中点，过A,B,P三点作平面，则 该正方体的外接球被平面α截得的截面圆的面积为 锐角三角形等腰三角形等边三角形 梯形 平行四边形 () (2) 3) (4) (5) 13π B.6m C.3 D.14 5 5 5 菱形 矩形 任意五边形任意六边形正六边形 温馨提示：复习至此，请完成练案[41 6 (7) 甲 (9) (10) 第三讲 空间直线、平面平行的判定与性质 知识梳理·双皇自测 知识梳理 a∥B, 知识点一 直线与平面平行的判定与性质 符号 语言 →a∥B a∩y=a 判定定理 性质定理 a∥， B∩y=b b∥a 如果平面外的一条直 一条直线与一个平面平 总复习 作用 证明或判断面、面平行 证明或判断线、线平行 文字 线与 行，如果过该直线的平面 语言 条直线平行，那么该直 与此平面相交，那么该直 学 线与此平面平行 归纳拓展 线与 平行 1.若a∥B,aC,则a∥B. 159 图形 -.g 2.垂直于同一条直线的两个平面平行，即“若a1a 语言 a⊥B,则a∥B” 3.垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若a1, 符号 aca a b1&,则a∥b” 语言 4.平行于同一个平面的两个平面平行，即“若x∥B, a∥b B∥y则a∥y” 作用 证明或判断线、面平行 证明或判断线、线平行 知识点二 面面平行的判定与性质 双基自测 判定定理 性质定理 题组一 走出误区 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或 如果一个平面内的 “X”) 文字 直线与另一 两个平面平行，如果一个 语言 平面与这两个平面相交， 个平面平行，那么这两 (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则 个平面平行 那么两条交线 这条直线平行于这个平面. () (2)平行于同一条直线的两个平面平行.() (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平 图形 B 面，那么这两个平面平行 () 语言 (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内 的两条直线平行或异面. () (5)若直线a与平面a内无数条直线平行，则a∥a.4.(2024·北京卷（节选）)已知四棱锥P-ABCD,AD ( ∥BC,AB=BC=1,AD=3,DE=PE=2,E是AD上 (6)若ax∥B,直线a∥ax,则a∥B. ( 一点，PE⊥AD.若F是PE中点. 题组二走进教材 2.（必修2P142T2)设a,b是两条不同的直线，a,B是两 个不同的平面，则α∥B的一个充分条件是( A.α内有无数条直线都与B平行 B.存在一条直线a,aCa,a∥B B C.存在两条平行直线a,b,aCa,bCB,a∥B,b∥x 证明：BF∥平面PCD D.存在两条异面直线a,b,aCa,bCB,a∥B,b∥a 题组三走向高考 3.(2023·全国I卷（节选）)如图， 在正四棱柱ABCD-AB,C,D D 中，AB=2,AM1=4.点A2,B2,C2, D2分别在棱A41,BB,CC1,DD 上，A42=1,BB2=DD2=2,CC2 D =3. 证明：B2C2∥AD2. 160 2PP年度创新设计 中学案 考点突破·互动探究 l∥m mCa 考点空间平行关系的基本问题一 l⊥m 自主练透 ①m∥a =l∥a:②l∥m →l∥；③mLa 例，（多选题）(2023·福建福州八县区期中改编) () 已知l、m是不同的直线，a,B是不同的平面，则下 l∥a. 列命题中正确的是 ( 【变式训练】 A.若l、m是异面直线，lC&,l∥B,mCB,m∥，则 (多选题)(2024·湖南娄底模拟改编)已知a,b,c是 a∥B 空间中三条不同的直线，α，B是空间中两个不同的 B.如果l∥a,mCa,且l,m共面，那么l∥m 平面，下列命题正确的是 () C.如果⊥B,11a,那么1∥B A.若a⊥x,b∥B,且∥B,则a⊥b D.如果l1m,lLa,那么m∥x B.若a⊥B,a⊥a,则a∥B 2.下列三个命题在“()”处都缺少同一个条 C.若a∥b,a∥c,a∥a,则b∥a或c∥a 件，补上这个条件使其构成真命题（其中1，m为直线， α，B为平面)，则此条件是 D.若a⊥a,b⊥B,a∥b,则a∥B 点己 角度2线面平行的性质 直线与平面平行的判定与性质一多维探究 例如图所示，四边形ABCD是平 角度1线面平行的判定 行四边形，点P是平面ABCD 例(2024·四川巴中诊断（节 外一点，M是PC的中点，在DM上 D 选)如图，在四棱锥P- 取一点G,过G和PA作平面PAHG ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD 交平面BMD于GH. ∥BC,AB⊥AD,PA=AD=4,AB 求证：PA∥GH. =BC=2,E,F分别为CD,PA 的中点。 证明：EF∥平面PBC. 名师点拨：空间中证明两条直线平行的常用 方法 1.利用线面平行的性质定理，即a∥a,aCB,a∩B [引申]本例条件下，证明BF∥平面PCD. =b→a∥b. 已知l∥α，一般找或作过1且与a相交的平面探 求解题方向 2.利用平行公理：平行于同一直线的两条直线互 总 相平行. 名师点拨：判断或证明线面平行的常用方法 3.利用垂直于同一平面的两条直线互相平行. 1.利用线面平行的定义（无公共点）. 【变式训练】 2.利用线面平行的判定定理(a￠a,bCa,a∥b一1.（角度1）(2022·广东佛山质 擊 a∥a) 检，节选)如图，四棱锥P 161 3.利用面面平行的性质定理(a∥B,aCa→a∥B). ABCD的底面ABCD是平行四边 4.利用面面平行的性质(a∥B,a￠B,a∥a=→a∥B). 形，E、F分别为AD、PC的中点. B 5.向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量 求证：EF∥平面PAB. 垂直. 注：线面平行的关键是线线平行，证明中常构造三 角形中位线或平行四边形， 【变式训练】 本例中，若PQ=2QB,证明：PD∥平面ACQ. 2.（角度2)（2024·湖北宜荆荆恩联考)四棱锥 P-ABCD中，底面是平行四边形，E,F分别为线段 Pm,PC上的点器号若B∥平面AC,则瓷 5.利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相 考点5 两个平面平行的判定与性质一师生共研 互转化. 例(2025·潍坊质检)如图，在A 判定 判定 三棱柱ABC-A,B,C中，E, 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行 性质 性质 F,G分别为棱BC1,AB1,AB的 性质 中点 6.向量法：证明两平面的法向量平行 (1)求证：平面AC,G∥平 注：为便于构造平行线，常对锥体补形 面BEF; (2)若平面A,C,G∩BC=H,求证：H为BC的 【变式训练】 (2024·重庆二模)如图，直棱柱ABCD-AB,C,D1 中点 中，底面ABCD为梯形，AB∥DC,且AB=2DC,E,F 分别是棱AB,AD的中点. 证明：平面DEF∥平面C,BD. D 162 2b26 名师点拨：证明面面平行的方法有 1,面面平行的定义. 度 2.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条 新 相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 计 3.利用“垂直于同一条直线的两个平面平行” 4.如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这 衡 两个平面平行. 学 名师讲坛·素美提升 平行关系的综合应用 例1（多选题）(2024·广东深 C ∥平面AEF,选项B对；B,G与AF异面，选项D错， 圳中学摸底)如图，在正方体 故选ABC. ABCD-A,B,CD1中，E,F,G,M 2.如图，在四棱锥C-ABED中，E 均是所在棱的中点，则下列说法 四边形ABED是正方形，点G,F分别 正确的是 ( 是线段EC,BD的中点. G A.B,G∥DM (1)求证：GF∥平面ABC; B.B,G∥平面AEF (2)线段BC上是否存在一点H, C.平面BDM∥平面AEF 使得平面GFH∥平面ACD？若存在， D.BG∥A,F 请找出点H并证明；若不存在，请说明理由. [答案]ABC [解析]（1)证明：：四边形ABED为正方形，F [解析]由MB1LDG知B,GDM为平行四边形，为BD的中点， ∴.B1G∥DM,选项A对；由A,MLEB知MBEA1为平行 ∴.E、F、A共线，连接AE,又G为EC的中点， 四边形，∴.BM∥A,E,从而可知A,E∥平面MBD,又EF ∴.GF∥AC, ∥BD知EF∥平面MBD.∴.平面AEF∥平面MBD,选 又GF4平面ABC,ACC平面ABC, 项C对；又BG∥平面MBD,B,G4平面AEF,∴.BG .∴.GF∥平面ABC. 注：本题也可取BE的中点Q,连接日 (3)把几何问题转化为代数问题，探索命题成立 GQ、FQ,通过证平面GFQ∥平面ABC来 的条件 证；或取BC的中，点M,AB的中点N,连 2.对命题结论的探索常采用以下方法 GM、MW、NF,通过证四边形GMNF为平 首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理 行四边形得GF∥MN来证. 论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假 (2)当H为BC的中点时，平面GFH∥平面ACD. 设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设： 证明如下：G、H分别为EC、BC的中点， 【变式训练 .∴.GH∥BE,又BE∥AD (2023·河南部分学校联考)如图，在矩形ABCD中， .GH∥AD, 又GH4平面ACD,ADC平面ACD, BC=DC,沿AE向上翻折，使点D到点P的位置， .∴.GH∥平面ACD 构成四棱锥P-ABCE,若点F在线段AP上，且EF 又GF∥AC,GF平面ACD,ACC平面ACD, ∥平面PBC,试确定点F的位置. .GF∥平面ACD, 又GF∩GH=G,GFC平面GFH,GHC平面GFH, .平面GFH∥平面ACD. [引申]ED上是否存在一点Q,使平面GFQ∥平面 ACD. 名师点拨：平行中的探索性问题 1.对命题条件的探索常采用以下三种方法 (1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明； 总 (2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立 的条件，再证明其充分性； 温馨提示：复习至此，请完成练案[42」 复习 第四讲 空间直线、平面垂直的判定与性质 163 知识梳理·双基自测 知识梳理 图形 知识点一直线与平面垂直 语言 1.直线与平面垂直 aCa, (1)定义：若直线1与平面α内的 一条直 bCa, 线都垂直，则直线1与平面x垂直。 符号 (2)判定与性质 语言 判定定理 性质定理 如果一条直线与一个 过一点垂直于已知平面的直线 平面内的两条相交直 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足 文字线垂直，那么该直线与 垂直于同一平面的两直 间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段 语言 此平面垂直 线平行 叫做这个点到该平面的距离。 (线线垂直→线面垂 条直线与一个平面平行时，这条直线上 直) ,叫做这条直线到这个平面的 距离。ADDA1内过D作DE⊥AP于E,而a∩平面ADD,A1=AP,于是 证法二：连EB并延长交DC的 DE1,又AP=V2+下=5，从而h=之DE= xAD·Dp 延长线于H连PH, AP 由BC∥AD知△HBC∽△HED ·又球0的半径R=宁0，=尽，则正方体的外接球被平 、1 面α截得的截面圆半径，有，=R-?=3-=4,所以正 即B为HE的中点，又F为PE 5 5 的中点， 方体的外接球被平面α截得的截面圆的面积S=㎡2-14如故 ·BF∥PH,而PHC平面PCD,BF￠平面PCD, 5 ∴.BF∥平面PCD 选D. 证法三：取DE的中点H,连BH,HF, 第三讲空间直线、平面平行的判定与性质 F为PE的中点， ∴.FH∥PD, 知识梳理·双基自测 又FH￠平面PCD, 知识梳理 ∴.FH∥平面PCD, 知识点一 又BC=HD=1且BC∥HD·.BCDH为 此平面内的交线b丈xnB=ba∥b 平行四边形， 知识点二 ∴.BH∥CD,又BH文平面PCD,.BH∥平面PCD: 两条相交平行aCB bCB a∩b=Pa∥6 又BH∩FH=H,.平面BHF∥平面PCD, 双基自测 ·.BF∥平面PCD. 1.(1)×(2)×(3)×(4)V(5)×(6)× 考点突破·互动探究 2.D对于选项A,若a存在无数条直线与B平行，则a∥B或a与考点1 B相交，若a∥B,则α内有无数条直线都与B平行，所以选项A例1：AB对于A中，过m作平面y与平 是α∥B的一个必要条件；同理，选项B,C的也是α∥B的一个 面a交于直线c,如图，因为l,m是 必要条件而不是充分条件；对于选项D,可以通过平移把两条异 异面直线，所以l,c相交，又m∥a, 面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥B,所以选项 所以m∥c,由c￠B,mCB得c∥B,又 D是a∥B的一个充分条件.故选D. l∥B,L,c是&内两相交直线，所以a 3.[证明]证法一：分别取DD2、A41的中点 ∥B,A正确；对于B中，由线面平行 M、N,连接MC2,NB2, 的性质定理，可得l∥m,所以B正确；对于C中，如果α⊥B, 由题意知DMLC,C2, I⊥a,那么l∥B或lCB,所以C不正确；对于D中，如果 .MC2⊥C,D,⊥AB1, l⊥m,lLa,那么m∥a或mCa,所以D不正确.故选AB. 同理B2NLAB, 例2：lta①l∥m,m∥a→l∥a或lCa,由lta→l∥a;②lta, .MC2 LNB2, mCa,l∥m→l∥；③l⊥m,m⊥ax→l∥ax或lCa,由l￠ax= 即MNB2C2为平行四边形， l∥a.故答案为lta 变式训练 .C,B2∥MN, 又MD,⊥A,N, AD由a⊥a,a∥B知aLB,又b∥B,∴.a⊥b,故A正确；若a⊥ D242NM为平行四边形， B,a⊥a,则a∥B或aCB,故B错误；有可能bCa且cCa且b∥ D2A2∥MN, c,故C错误；若a上a,b⊥B,a∥b,则a∥B,故D正确.故选AD. 考点2 B2C2∥D2A2 角度1 证法二：以C为坐标原点，CD,CB,CC所 例：[证明]思路一：利用直线、面平行的判定证明 在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 证法一：连接AE延长交BC的 如图， 延长线于V,连接PW, 则C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D .AD∥BC,即AD∥CN,又CE (2,0,2),4(2,2,1), ED. ∴B2C2=(0,-2,1),4D2=(0,-2,1), .AE =EN, D B,C∥AD2, 又AF=FP,.EF∥PN, 又B2C2,A,D2不在同一条直线上， .PNC平面PBC,EFt平面PBC, B2C2∥A2D2. ∴.EF∥平面PBC. 4[证明]证法一：取PD的中点为S,连 证法二：过E点作MN∥AB且交BC 延长线于M,交AD于N,取PB的中 接S,SC,则/D,sF=ED=1, 点H,连接HM, 而ED∥BC,ED=2BC, .·AD∥BC 故SF∥BC,SF=BC, .ME=CE 1 故四边形SFBC为平行四边形， MNCD2 故BF∥SC,而BFt平面PCD,SCC平面PCD MEL 7AB,又F,H分别为PA,PBB生 所以BF∥平面PCD 的中点， 497 HL分B,从而MELr, 变式训练 [证明]连接BD、AC交于O,连接OQ, ∴.FHME为平行四边形，.EF∥MH、 又MHC平面PBC,EF丈平面PBC, Bc20. .EF∥平面PBC B01 思路二：利用面、面平行的性质证明 ·0D=2 证法三：取AB的中点M,连接ME,MF(如右图) 由E,F分别为CD,PA的中点及中位 又网=2硫器=分 线定理得 BO BQ 1 ME∥BC,MF∥PB ODOP2 :BC,PBC平面PBC,FM,EM平 ∴OQ∥PD, 面PBC, 又OQC平面ACQ,PDt平面ACQ, .ME∥平面PBC,MF∥平面PBC, ∴.PD∥平面ACQ 又ME∩MF=M,ME,MFC平 角度2 面EFM, 例：[证明]如图所示，连接AC交BD于点O,连接M0, 故平面EFM∥平面PBC, ·四边形ABCD是平行四边形， .·EFC平面EFM ∴.O是AC的中点， ∴.EF∥平面PBC 又M是PC的中点， 证法四：取PD的中点Q,连接QE,QF .PA∥MO (如右图) 由E,F分别为CD,PA的中点及中位线 又MOC平面BMD,PA平面BMD, 定理得QF∥AD,QE∥PC, ∴.PA∥平面BMD .·PCC平面PBC,QE平面PBC, .·平面PAHG∩平面BMD=GH,PAC平面PAHG ∴.QE∥平面PBC, ·.PA∥GH .AD∥BC,QF∥AD 变式训练 ∴.QF∥BC, L.[证明]证法一：取PB的中点H,连接FHHA, BCC平面PBC,QF￠平面PBC, :F为PC的中点， .OF∥平面PBC, 又QE∩QF=Q,QE,QFC平面EFQ: .FHBC. ∴.平面EFQ∥平面PBC, 又四边形ABCD为平行四边形， :EFC平面EFQ, ∴.EF∥平面PBC .BCLAD,从而HL2D, 思路三：空间向量方法 又E为AD的中点，FHLEA,.四边形AEFH为平行四边形， 证法五：：PA⊥底面ABCD,AB,ADC .EF∥AH, 平面ABCD, 又EF平面PAB,HAC平面PAB ∴.PA⊥AB,PA⊥AD ·EF∥平面PAB, 又AB⊥AD,故AB,AD,AP两两垂直 证法二：取BC的中点H,连接 以A为原点，AB,Ai,AP分别为x,y,z FH,HE, 轴的正方向建立空间直角坐标系 F为PC的中点， A-xyz,如右图： .FH∥BP,又FH￠平面PAB 由PA=AD=4,AB=BC=2知： FH∥平面PAB,又E为AD的中点， A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4),E(1 且四边形ABCD为平行四边形 3,0),(0,0,2), .HE∥BA,又HE丈平面PAB, BC=(0,2,0),B2=(-2,0,4),EF=(-1,-3,2 ·.HE∥平面PAB,又FHOEH=H 设平面PBC的一个法向量为y=(x1,1,1), ∴.平面EFH∥平面PAB,∴.EF∥平面PAB 由武02，=0， 证法三：连CE并延长交BA的 出1y.B0=0,1-2x1+4a=0, 延长线于H,连接PH. 取z1=1得v=(2,0,1), .E为平行四边形ABCD的边 :v·E7=-1×2+(-3)×0+2×1=0,EFt平面PBC, AD的中点， .EF∥平面PBC ∴.△CDE≌△HAE, [引申] CE=EH,又F为PC的中点， [证明]取PD的中点O,连接FO,CO,:FO是△PAD的中位 ∴EF∥PH, 线F0/AD且F0=74D,又：BcL分4D,BCLF0四 又EF平面PAB,PHC平 面PAB, 边形BCOF是平行四边形，∴.BF∥CO,又BF￠平面PCD,COC ·EF∥平面PAB, 平面PCD,∴.BF∥平面PCD. -498 27设4CnB0=0,连接DF交 第四讲空间直线、平面垂直的判定与性质 CE于G,连接OG,BF,由于BF∥平 知识梳理·双基自测 面AEC,BFC平面BDF,平面BDF ∩平面AEC=OG,则BF∥OG,由于 知识梳理 0是BD的中点，所以B=GE 知识点一 OD-CD=1, 1.任意1⊥ILb anb=Pa∥b有且只有一条垂线段 过F作FH∥CE,交PD于H,则D 的长度任意一点到这个平面的距离 EH 1,由于凭号断 1 2锐角0受 ED HE ,所以=1 FC HE 2 知识点二 考点3 :1.两个半平面垂直 例：[证明](1)E,F分别为BC1,AB,的中点， 2.直二面角ax⊥Ba⊥ba1B EF∥AC, 双基自测 AC1C平面AC1G,EF￠平面AC1G :1.(1)×(2)×(3)V(4)×(5)V(6)× .EF∥平面ACG, 2.A由题意知SG⊥GF,SG⊥GE, 又F,G分别为AB1,AB的中点， GFOGE=G.∴.SG⊥平面GEF,故选A. ∴.A1F=BG, 又AF∥BG,∴.四边形AGBF为平行四边形， 3.A连接AC、AD1,设AD1∩AD=H,连 .∴.BF∥AG. HC,易知AH⊥平面ADC,MW∥AC, AGC平面ACG,BFt平面ACG, ·∠HCA即为MWN与平面DCA,所成 ∴.BF∥平面ACG, 的角， 又EF∩BF=F,EF,BFC平面BEF, 且sim∠HCA=AH=L ·平面A,C,G∥平面BEF AC 2 (2):平面ABC∥平面AB,C1,平面A1C1G∩平面A,B,C MN与平面DC4,所成角为若故 =A1C1, 选A 平面AC,G与平面ABC有公共点G,经过点G的直线交BC于H, 4.A对①，当nCa,因为m∥n,mcB, 则AC1∥GH,得GH∥AC, :G为AB的中点，H为BC的中点. 则n∥B,当nCB,因为m∥n,mCa, 变式训练 则n∥a, [证明]在△ABD中，E,F分别为AB,AD的中点，则EF∥BD, 当n既不在a也不在B内，因为m∥ 而EF丈平面CBD,BDC平面C,BD,因此EF∥平面CBD, n,mCa,mCB,则n∥a且n∥B,故 ①正确； 又DC∥AB,DC=2AB=EB, 对②，若m⊥n,则n与a,B不一定垂直，故②错误； 而DC1∥DC,DC=DC, 对③，过直线n分别作两平面与a,B分别相交于直线s和直线 于是EB∥D,C1且EB=D,C1,四边形BC,D,E为平行四边形，则 t,因为n∥a,过直线n的平面与平面a的交线为直线s,则根据 DE∥CB, 线面平行的性质定理知n∥s,同理可得n∥t,则s∥t,因为s丈平 又D1E￠平面C1BD,C1BC平面CBD 面B,tC平面B,则s∥平面B,因为sC平面，a∩B=m,则s∥ 因此D,E∥平面C,BD. m,又因为n∥s,则m∥n,故③正确； 而EF,DE为平面D,EF中两相交直线， 对④，若anB=m,n与a和B所成的角相等，如果n∥a,n∥B, 所以平面D,EF∥平面C,BD. 则m∥n,故④错误；综上只有①③正确，故选A 名师讲坛·素养提升 5.B解法一：分别取BC,BC1的中点D,D1,则AD=35,AD1 [引申] =3 [解析]当Q为ED的中点时，平面GFQ∥平面ACD 变式训练 可知5a=7×6x6×=9月，54=×2×5=月， 2 [解析]如图，过点F作FG∥AB交PB 设正三棱台ABC-A,B,C1的为h, 于点G,连接CG, 因为FG∥AB∥EC,所以E,F,G,C四点 则Vx-A4=写(9万+万+9Bx万)h-号 31 共面， 若EF∥平面PBC,由EFC平面EFGC 解得h=43 3 平面EFGC∩平面PBC=CG, 如图，分别过A,D1作底面垂线，垂足 所以EF∥CG,所以四边形EFGC为平行四边形，FG=CE= 为M,V,设AM=x, 号A, 则=r+=√2+ 3 胎分 DN=AD-AM MN =23-x, 所以当且仅当点F为线段AP上靠近点P的三等分点时，EF∥ 平面PBC 可得DD,=DP+D,N=25-x)2+5 499-