第二章 第一讲 函数的概念及其表示-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习学案

第二章 ☑数 考情探究 考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养 2024新课标I,8 函数性质综合应用 利用函数性质解题 运算求解 综合性 数学运算 2024新课标Ⅱ，8 函数的最值 利用单调性解不等式求最值 运算求解 综合性 数学运算 2024新课标Ⅱ，6 函数奇偶性 函数奇偶性的应用 运算求解 综合性 数学运算 2024新课标1,6 函数单调性 利用单调性求参数范围 运算求解 综合性 数学运算 2023新课标I,4 函数的单调性与最值 利用单调性求参数范围 运算求解 综合性 数学运算 函数的奇偶性与周 2023新课标Ⅱ，4 利用奇偶性求参数的值 综合性 高 运算求解 数学运算 期性 2023新课标1,11 函数的奇偶性与周 数学运算 奇偶性的判定及其应用 运算求解 创新性 期性 总 逻辑推理 逻辑推理 2023新课标I,10 函数模型及应用 对数型函数的实际应用 逻辑思维 应用性 数学运算 学 数学运算 2022新高考I,12 函数奇偶性与周期性 利用奇偶性求函数值 运算求解 综合性 逻辑推理 019 2022新高考Ⅱ，8 利用周期性求值 数学运算 函数奇偶性与周期性 运算求解 创新性 逻辑推理 2021新高考1,13 函数奇偶性与周期性 利用奇偶性求解参数的值 运算求解 基础性 数学运算 2021新高考Ⅱ，8 函数奇偶性与周期性 函数奇偶性的应用 运算求解 基础性 数学运算 幂函数、指数函数与对 2021新高考Ⅱ，7 比较大小 运算求解 基础性 数学运算 数函数 【命题规律与备考策略】 本章内容一般不会出现单一知识点的考题，常综合函数的单调性、奇偶性、周期性命制，或将函数的性质融 入函数的图象进行考查，函数的零点是考查的热点之一，需要结合导数、不等式等知识进行求解。 针对本章的知识特点，备考时首先将学习重点放在以下几个方面：函数的基本性质、二次函数与幂函数、指 数函数与对数函数、函数的零点与方程的根、函数模型及综合应用，其次对常见的结论或方法要加强记忆与理 解，例如：①基本初等函数的解析式；②常见函数定义域的求法；③函数解析式的求法；④函数图象的变换；⑤周 期函数的常用结论；⑥函数零点的常见求法等，最后，要注重函数知识与不等式、方程、导数知识的综合问题，对 于函数模型及综合应用则需掌握解题思路与常见的几类函数模型. 第一讲 函数的概念及其表示 知识梳理·双县自测 知识梳理 (7)y=x-“(a>0)的值域为(-0，+). 知识点一 函数的概念 (8)y=x+d ar+6(a≠0，ad-c≠0)的值域为 般地，设A,B是非空的 ,如果 对于集合A中的 按照某种 (-,)u(总+月 概念 确定的对应关系，在集合B中都有 2.定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间 确定的数y和它对应，那么就称f: 表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“U” A→B为从集合A到集合B的一个函数 连接 三 对应关系 y=f(x),x∈A 3.函数f(x)与f(x+a)(a为常数a≠0)的值域相同. 要 定义域 的取值范围 素 值域 与x对应的y的值的集合{f(x)Ix∈A 双基自测 知识点二 同一个函数 题组一 走出误区 1.前提条件：(1)定义域 ；(2)对应关系 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或 020 2.结论：这两个函数为同一个函数。 “×”) 知识点三函数的表示法 (1)对于函数f∫：A→B,其值域是集合B. () (2)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两 年 表示函数的常用方法有 图象法和列 表法 个函数是同一个函数， () 创 新 知识点四分段函数 (3)y=lnx2与y=2nx表示同一函数.() 1.若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系 (4)函数y=x二定义域为x>1 -T () 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为 衡 分段函数. 题组二 走进教材 学 2.分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义 :2.(必修1习题3.1T2改编)下列函数中与函数y=x 域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函 是同一个函数的是 () 数的值域的 A.y=(R)2 B.u= 归纳拓展 C.y= D.m= 1.基本初等函数的值域 (1)y=hx+b(k≠0)的值域是R. 3.(必修1P2T1改编)（多选题）下列所给图象是函数 (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是：当a>0时，值 图象的是 () 越为。+=小当a<0时，值域为(-=， 4ac -b2 4a (3)y=k(k≠0)的值域是y1y≠0。 (4)y=a(a>0且a≠1)的值域是(0，+). (5)y=logx(a>0且a≠1)的值域是R. [延伸] (6)y=x+兰(a>0)的值域为(-0，-2a]U [2a,+0). 4.（必修1习题3.1T18改编)（多选题）记无理数π=A.函数八x)的定义域为[-4,4) 3.1415926…0288…小数点后第a位上的数字是b, B.函数f(x)的值域为[0，+∞) 则b是a的函数，记作b=f(a),定义域为A,值域为 C.此函数在定义域内是增函数 B,下列说法正确的是 ( D.对于任意的y∈(5，+∞)，都有唯一的自变量x A.值域B是定义域A的子集 与之对应 B.函数图象f(a)是一群孤立的点 题组三走向高考 C.f(6)=2 D.a也是b的函数，记作a=f(b) 6.(2022·北京卷)函数(x)=1+个-x的定义域 5.(必修1习题3.1T11改编)（多 是 选题)函数y=f(x)的图象如图 7.(2021·浙江卷，12,4分)已知a∈R,函数f(x)= 所示，则以下描述正确的是 「x2-4,x>2, ( 1lx-3l+a,x≤2. 若fLf(6)]=3,则a= 考点突破·互动探究 3.抽象函数 考点 求函数的定义域 多维探究 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],其复合函 角度1 求具体函数的定义域 数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； 例(225·烟台调考)函数)=成4+的定义线为 √4-x (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则 f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域 【变式训练】 A.[-2,2] B.(-1,2] 1.（角度1)函数y= 1 +(2x-5)°的定义 C.(-1,0)U(0,2]D.(-1,1)U(1,2] √/1og0.5(x-2) 角度2求抽象函数的定义域 域为 例1已知函数)的定义域为(-1,0)，则函数2.（角度2）若函数y=(x)的定义域是[0,2025]，则 f(2x+1)的定义域为 ( 函数g(x)-x+的定义域为 总 B(-1,-2) x-1 A.(-1,1) 3.(角度2)若函数f(x-1)的定义域为[0,2025]，则 数 C.(-1,0) D(分1 函数g(x)-八x+的定义域为 x-1 2.已知函数y=f(x2-1)的定义域为[-√5，W5], 则函数y=f(x)的定义域为 ( 考点C 求函数的解析式一师生共研 A.[0,2] B.[-1,2] 例已知人)满足下列条件，分别求x)的解析式 C.[-5,5] D.[-√5,2] (1)f(1-sin x)=cos2x; ○(2024·牡丹江月考)若函数f(2x-1)的定义域 2e+)=+ 是0,1)，则函数f1-3x)的定义域是( (3)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))=4x +8 A.(-2,4] B(2. (④)满足2x)+/( =3x-1 c(o6] D6] 求抽象函数定义域关键是两点：第一定义域 都指x取值集合，第二2x1与1-3x范围相同 名师点拨：函数定义域的求解策略 1.已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等 式（组）求解 2.实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成 的不等式（组）求解. 名师点拨：求函数解析式的四种方法 2.设函数(x)= bg号(3-x)x≤0)，则20)= 由已知条件∫[g(x)]=f(x),可将 f(x-3)+1(x>0), 方法一 f(x)改写成关于g(x)的表达式，然 () 配凑法 后以x替代g(x),便得f(x)的解析 A.3 B.4 C.5 D.log号17 式，如本例(2) 角度2 分段函数与方程 对于形如y=∫[g(x)]的函数解析 例已知函数f()= 2-1-2,x≤1， 1-log2(x+1),x>1, 且f(a)= 方法二 式，令t=g(x),从中求出x=(t), -3,则f(6-a)等于 () 然后代入表达式求出f(t),再将t换成 换元法 B.- c- 1 x,得到(x)的解析式，要注意新元的 4 D.- 取值范围，如本例(1) 角度3分段函数与不等式 先设出含有待定系数的解析式，再利 例设函数x)= 2+1,x≤1， log3x+3°，x>1, 若[f1)]>4,则实 方法三 用恒等式的性质，或将已知条件代入， 数a的取值范围为 待定系数法 建立方程（组），通过解方程（组）求出 相应的待定系数，如本例(3) 名师点拨：分段函数问题的求解策略 1.分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值 已知关千)与（日）或爪-)的表 属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解. 方法四 2.分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根 达式，可根据已知条件再构造出另外 据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注 构造法 一个等式组成方程组，通过解方程组 意检验所求参数值（范围）是否适合相应的分段区间. 022 求出f(x),如本例(4). 【变式训练 【变式训练】 1.（角度1)(2024·湖北武汉武昌区质量检测)已知 f(x)= E,0≤x≤1， 年 1.已知/(4）=2x-3,则2) 2f(x-1),x>1 则) 度 A.-1 B.1 C.2 D.3 创 A.2 D.1 新 2.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1) c. =2x+17,则f(x)= 计 2.（角度2)（2025·长春模拟)已知函数f(x)= 3.已知f(x)+3f(-x)=2x+1,则f(x)= 衡 +1,k≤0.若f八a)+1)=0,则实数a的值等于 2,x>0, 学 考点 分段函数及应用 多维探究 ( 案 角度1 分段函数求值问题 A.-3 B.-1 C.1 D.3 「log2x,x>0, 例1. 已知函数f(x)= 3,x≤0， 则r(4)的 3.(角度3)(2025·内蒙古包头调研)设函数f(x)= 值是 小，≤0，则满足f(2x)>x+1)的x的取值范围 13,x>0, 是 A.9 B.-9 C. D. 9 A.（-1,0) B.(1,+0) C.(0,1) D.(-1,1) 名师讲坛·素养提升 岛数值域的求法 求函数值域的一般方法：(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元 法；(7)数形结合法；(8)导数法 例求下列函数的值域 (3)y=+x+1 1-1x1 (1)y=1+1x (4)y=x-1-2x; (2)y=√-2x2+x+3; (5)y=x+1-x; (6)y=1x+11+1x-21. [解析](1)解法一：分离常数法 函数在(-1,0)上递减，在(-0，-1)上递增，此 y1+2 2 时y≤-1. .y≤-1或y≥3. 、2 x≥0,1x+1≥l.0<1x+≤2 即函数值域为(-0，-1]U[3,+0). (4)解法一：换元法 2 -1<-1+1+1x≤1. 设不=0得- 即函数值域为(-1,1] 解法二：反解法 y1-4=+02+1≤≥0). 2 y语得1品 y(-0,门即面数的值城为(-“，] 1≥0片=0-1<≤1，即商数位城 解法二：单调性法 为(-1,1] 1-2≥0≤方定义城为(-0，引 (2)解法一：配方法 又函数=，y=-小-2在(-，）上均单 =√2-+夏 调谨增分√-2x=分(-，引 0≤，e5位城为0,1 (5)三角换元法 解法二：复合函数法 设x=sin6,9e[-受引， y=D,t=-2x2+x+3, 由1=-22++3，解得1≤空 y=sin +cossin) 又y=6有意义0≤1≤曾 0e[-罗引0+牙e[-牙3]， 0≤y≤位城为[0,5] m0+)[-号刂y=[-1, (6)解法一：绝对值不等式法 轮总复习 3y=++=x++1 由于x+11+1x-21≥1(x+1)-(x-2)I=3, 所以函数值域为[3，+0). 解法一：基本不等式法 解法二：数形结合法 由y=x++1(x≠0)，得y-1=x+ 023 +=+≥2=2. .1y-11≥2，即y≤-1或y≥3.即函数值域为 -112 (-0,-1]U[3,+0). r-2x+1(x<-1), 解法二：判别式法 y={3(-1≤x≤2)， 由y=+x+1,得2+(1-)x+1=0. 2x-1(x>2). 画出此分段函数的图象如图，可知值域为 方程有实根，4=(1-y)2-4≥0. [3,+o). 即(y-1)2≥4，∴.y-1≤-2或y-1≥2. 名师点拨：求函数值域的一般方法 得y≤-1或y≥3.即函数的值域为(-∞，-1] U3,+0). 1分离常数法：形如y一低（口≠0）的面数：如 解法三：导数法（单调性法） 例(1). 令y=1-1=x+1)x-山<0， x- x 2反解法：形年y货周(00)堂装易 得-1<x<0或0<x<1. 求)的函数；如例(1) .函数在(0,1)上递减，在(1，+∞)上递增，此时 3.配方法：形如y=af2(x)+bf(x)+c(a≠0)的函 y≥3； 数；如例(2). 4.不等式法：如例(3) (3)y=ln(-x2+2x); 5.单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进 (4)=+2(x>1). 而确定值域；如例(4) x-1 6.换元法：形如y=ax+b±√cx+d(a≠0，c≠0)》 的函数；如例(4)；形如y=ax+b±√C2-x2(a≠0，c≠ 0)的函数采用三角换元法，如例(5). 7.数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如 例(6). 8.导数法：如例(3). 【变式训练】 求下列函数的值域： (1)y=x-/2x; 1 温馨提示：复习至此，请完成练案[6】 (2)y=-+x+2 第二讲 函数的单调性与最值 知识梳理·双基自测 024 知识梳理 知识点二函数的最值 22 前提设函数y=f(x)的定义域为L,如果存在实数M满足 知识点一 函数的单调性 年 1.单调函数的定义 (1)x∈1，都有f(x) (1)Hx∈1，都有f(x) ≤M; ≥M; 单调递增 单调递减 条件 (2)3x∈L,使得f八x) (2)3。∈1，使得f() 设 计 般地，设函数f(x)的定义域为，区间DC1. =M =M Vx1,x2∈D 结论 M为函数y=f(x)的 M为函数y=f(x)的 中学案 定义 当x1<时，都有f() 当1<x2时，都有f(x) >f(:),那么就称函数 <f代x,),那么就称函数f(x)》 f代x)在区间D上 归纳拓展 在区间D上 1.复合函数的单调性 y=f(x) 函数y=f(u),u=p(x),在函数y=f[o(x)]的定义 f(x) y=f(x) 域上，如果y=f(u),u=o(x)的单调性相同，则y= fx) fx)f) 图象 f[o(x)]单调递增；如果y=f(u),u=p(x)的单调 描述 性相反，则y=∫[o(x)]单调递减. 2.单调性定义的等价形式 自左向右看图象是 自左向右看图象是 设任意x1,x2∈[a,b],x1≠x2: (1)若有(x1-2)[f(x)-f(x2)]>0或 增（减）当函数(x)在它的定义域上单调递增（减）时，我 函数们就称它是增（减）函数 八)-八）>0，则(x)在闭区间[a,b]上是单调 X1-X2 2.单调性与单调区间 递增。 如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递 (2)若有(x1-x2)[f(x,)-∫(x2)]<0或 减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的） x）-）<0,则(x)在闭区间[a,b]上是单调 ,区间D叫做y=f代x)的 X1一X2 递减第二章函数 例3：D函数f(2x-1)的定义域是[0,1)，-1≤2x-1<1, 函数fx)的定义域是[-1,1)，则-1≤1-3x<1,0<x≤ 第一讲函数的概念及其表示 子，即函数1-3)的定义城是(0，号引放选D 知识梳理·双基自测 变式训练 知识梳理 知识点一 {2<<3,且x} logas(x-2)>0.→ 2x-5≠0 实数集任意一个数x唯一x 0<x-2<1, 2<x<3, 知识点二 1.相同相同 知识点三 解析法 所以函数的定义域为{✉2<x<3,且x≠} 知识点四 2.[-1,1)U(1,2024]使函数f(x+1)有意义，则0≤x+1≤ 2.并集 2025,解得-1≤x≤2024，故函数f(x+1)的定义域为[-1， 双基自测 2024]. 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 所以函数g()有意义的条件是{-1≤x≤2024， 2B函数y=()户与函数m=和y=的定义域不同.则不 x-1≠0. 解得-1≤x<1或1<x≤2024. 是同一个函数，函数y=√爱=1x1与y=x的解析式不同，也不 故函数g(x)的定义域为[-1,1)U(1,2024]. 是同一个函数，故选B. 3.[-2,1)U(1,2023]由函数fx-1)的定义域为[0,2025]， 3.CD由函数概念知，题图A、B均不是函数图象，C、D是函数 得函数y=fx)的定义域为[-1,2024]， 图象. 4.BC对于A,根据题意可知定义域为A={a∈NIa≥1}，B= 则-1≤x+1≤2024， 2≤x≤2023且x≠1. lx-1≠0， {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},因为0eB,0A,所以值域B不是定 所以函数g(x)的定义域为[-2,1)U(1,2023]. 义域A的子集，所以A错误；对于B,C,由题意可知数位a对应 考点2 的数字依次为1,4,1,5,9,2,6，…，则函数图象f(a)是一群孤立 例：[解析](1)（换元法）设1-sinx=t,te[0,2], 的点，f代6)=2，所以B、C正确：对于D,因为b=1时，a=1和3， 则sinx=1-t, 不符合函数的定义，所以D错误.故选BC. 5.BD由图象得此函数定义域为[-4,0]U[1,4),值域为[0， f(1 -sin x)=cosx=1-sin'x, +∞)，在定义域内不具备单调性，当y∈(5，+∞)时都有唯一 ft)=1-(1-t)2=2t-t,te[0,2]. 的x与之对应.因此，A、C不正确.故选BD. 即fx)=2x-x2(0≤x≤2). 6(-:.0)U0】因为)=+个-，所以x0且1- (2)(配凑法)+）=+=(+）°-2 x≥0，解得x∈(-∞，0)U(0,1]. 7.2因为√6>4=2，所以f(6)=(√6)2-4=2，所以fLf代6)] =f代2)=12-31+a=1+a=3,解得a=2. 当且仅当2=宁，即=1时等号成立 考点突破·互动探究 考点1 设1=+ 角度1 则t≥2，f(t)=2-2(t≥2)， r4-x2≥0， .fx）=x2-2(x≥2) 例：C由已知可得x+1>0, ln(x+1)≠0， (3)(待定系数法)设f代x)=ax+b(a≠0)， 则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=ax+ab+b,又 r-2≤x≤2」 即{x>-1, 4-x 因此，函数y=x+)的定义域为(-1,0)U )=红+8，所以ax+b+b4+8,即{C有：g解得 Lx≠0， (0,2].故选C 角度2 6s8或/2 fa=2, 3lb=-8 所以)=2x+号或fx)=-2x-8 例1：B由函数f(x)的定义域为(-1,0)，则使函数f(2x+1)有 1 意义，需满足-1<2x+1<0,解得-1<x<-2,即所求函 (4)(构造法)已知2)+（日）=3x-1,0 数的定义域为(-山，分) 以代潜①中的(x0),得2日）+)=子-1，② 例2：B因为y=f(2-1)的定义域为[-5,5]，所以x∈ ①×2-②，得3x)=6x-3-1, [-5,W5],x2-1e[-1,2],所以y=f(x)的定义域为 [-1,2].故选B. =2-士40 433 变式训练 快解：画出f代x)的大致图象，如图所示 1.A令2则=1， 所以f代2)=2-3=-1. 2.2x+7因为f(x)是一次函数 可设f代x)=ax+b(a≠0)， 所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17 若f2x)>f代x+1),则2x>0>x+1或2x>x+1>0,解得x> 即ax+5a+b=2x+17, 1.故选B. 所以=2， 5a+b=17, 名师讲坛·素养提升 所以f(x)的解析式是f代x)=2x+7. 变式训练 3.-+ 由已知得f(-x)+3f代x)=-2x+1, [解析](1)令√2x=(≥0)，则y=2-(≥0)，所以y= 解方程组)+趴-)=2x+1, -1)-分在[0，上单调境减，在[1，+)上单调递增， f-x)+3fx)=-2x+1, 1 得f孔x)=-术+4 所以当：=1，即x=了时，函数)取得最小值，为-分故该函 考点3 数的位城为[-方，+~） 角度1 (2)根据题意得-x2+x+2≠0，解得x≠-1且x≠2. 1:c>0则/(4）=g子-2 4 又：-2<0，则/(4)）=-2)=3=g 且-x2+x+2≠0. 例2：C由题意得f代20)=f17)+1=f14)+2=…=f代-1)+7 所以函数x)的债城为(-0,0)U[号，+∞} =log号[3-(-1)]+7=-2+7=5. (3)由-x2+2x>0,解得0<x<2, 角度2 所以f(x)的定义域是(0,2). 例：A若a≤1，则2-1-2=-3，即2-1=-1，无解；若a>1,则 设t=-x2+2x=-(x-1)2+1, -log(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7,所以f(6-a)= 则0<t≤1，所以y=lnt,te(0,1], -02-2=-子 由对数函数的图象和性质可知y∈(-∞，0]，即函数f(x)的值 域为(-∞，0]. 角度3 (4)令t=x-1,∴.t>0,x=t+1, 2"+1,x≤1， 例：(1，+0)因为函数f(x)= y=+)-+)+2-+1+2=t+2+1≥25+1， logx+3“,x>1, 所以f(1)= t t 2+1=3,所以f[f(1)]=f(3)=1og3+3=1+3,因为 当且仅当t=2即=厄时取等号， f[f代1)]>4，所以1+3“>4，即3>3，解得a>1,即实数a的 取值范围为(1，+o) 函数的值域为[22+1，+∞) 变式训练 第二讲 函数的单调性与最值 1.D分段函数求值问题.函数f(x)= 「E,0≤x≤1， 、所以 2fx-1),x>1, 知识梳理·双基自测 ()=2(仔）-2×√F=1故选n 知识梳理 知识点一 2.A:f1)=2=2∴fa)+2=0, 1.单调递增单调递减上升的下降的 ∴.fa)=-2, 2.单调性单调区间 当a≤0时f(a)=a+1=-2.a=-3, 知识点二 当a>0时f(a)=2=-2,方程无解， 最大值最小值 综上有a=-3. 双基自测 3.B当x≤-1时，x+1≤0,2x≤-2，fx+1)=1f(2x)=1,则1.(1)×(2)×(3)×(4)× f(2x)>f(x+1)不成立； [解析](1)函数的单调性体现了任意性，即对于单调区间上 当-1<x≤0时，x+1>0,2x≤0，fx+1)=3*+1,f2x)=1, 的任意两个自变量值x1,为，均有f(x)<f代x2)或f(x1)>f代x2), 由f2x)>fx+1),得31<1=3°，则x<-1,与-1<x≤0矛 而不是区间上的两个特殊值. 盾，舍去； (2)单调区间是定义域的子区间，如y=x在(-1，+∞)上是增 当x>0时，x+1>1,2x>0,f(x+1)=31, 函数，但它的单调递增区间是R,而不是(-1，+∞). f2x)=3, (3)多个单调区间不能用“U”符号连接，而应用“，”或“和” 由f(2x)>fx+1),得32>3+1，则2x>x+1,得x>1. 连接 综上，满足f2x)>f(x+1)的x的取值范围是(1，+∞).故 (4)设)=e[0,如园。 选B. 1,xe(1,2), —434