第二章 第五讲 指数与指数函数-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习学案

只需使函数g(x)=2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0 即可， :g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减， =x+ ∴.g(x)mim=g(1)=-m-1. 由-m-1>0,得m<-1.因此满足条件的实数m的取值范围 y=2 是(-0，-1). -27-10 12 解法二f(x)>2x+m等价于m<2-3x+1,令g(x)=x2-3x+ -1 1,其图象的对称轴=子>1， 两函数图象的交点坐标为(0,1)，(1,2)， 不等式2>x+1的解为x<0或x>1, 所以g(x)在区间[-1,1]上单调递减， 所以不等式f(x)>0的解集为(-∞，0)U(1,+∞).故选D. 则g(x)在区间[-1,1]上的最小值为g(x)mim=g(1)=-1,所 6.D.f(x)=1.01单调递增，∴.f(0.5)<f(0.6),即a<b. 以m<-1. g(x)=xa5单调递增，g(1.01)>g(0.6),即a>c,.b>a> c,故选D. 因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞，-1)。 考点突破·互动探究 2(.】 当xoe[-1,2]时，由fx)=x2-2x, 考点1 得f代x)e[-1,3]. 例[解析] 因为对任意的x1∈[-1,2]都存在xe[-1,2], D原式=()-2×（）-2+(） 使得g(x)=f代而)， 所以()≥f,), [(3)门-2×[()]-2+8 9 9 9 lg(x）m≤fxo）m, -2×6-2+6 即当x1e[-1,2]时，g(x1)e[-1,3]. 99 9 5 所以当a>0时，{。a+2≥-1， 48 -2+i6-16 l2a+2≤3， (2)原式=2×3泸×3×(3)×(2×3) 解得a≤分，放实数a的取值范用是(0，} =6×23+号×37+号+日 =6×3=18. 第五讲指数与指数函数 (3)原式=(a3a子)片÷(a子号)片=(a)片÷(a2)=a÷a 知识梳理·双基自测 =1. 知识梳理 (4)将a7+a立=3两边平方，得a+a1+2=9, 知识点一 所以a+a1=7. 1.x”=a正数负数两个相反数aa-aa 将a+a1=7两边平方，得a2+a2+2=49, 所以a2+a-2=47, 2./am 3.a a"a'b' 所以g+a2+1-7+1=6 a+a1+17+1 双基自测 考点2 1.(1)×(2)×(3)×(4)V 考向1 例1：D由题中f(x)=a-的图象可以观察出，函数f代x)=a [解析](1)由于-4)了=4=4，故(1)错误；(2)当m n 为减函数，所以0<a<1.函数f代x)=a-的图象是将f(x)= a的图象向左平移得到的，所以b<0. <1时不可以，故(2)错误；(3)不正确，a受=1 64=2x2 例2：CD在同一坐标系内，作出函数y= (）和=（兮）的 与y=3×2*都不是指数函数 图象（如图） 2.B根据指数幂的运算法则化简判断即可.一√E=一x立，故A不 成立->0)成减立：河=1H,故c不成 立；[-)]子=[(-x)]房=(-x)立，x<0,故D不成立. 故选B. 3.D因为x<0,y<0, x 所以16xy=(16x8·y)年=(16)齐·(x)京·(y)寸= 2ax21yl=-2x2y.故选D. 结合图象分析a,6满足等式（分）”=（兮广时a,6的大小 关系 40冲√停6-5而 5m(5")下 易知，若a,b均为正数，则a>b>0:若a,b均为负数 则a<b<0; 5.D因为fx)=2-x-1,所以fx)>0等价于2*>x+1, 在同一直角坐标系中作出y=2和y=x+1的图象如图： 若a=6=0,则（分）”=（兮=1 441 例3：D作出函数f(x)=2-1I的图象， 角度3 如图， .·a<b<c且fa)>f代c)>f(b),结合 例：解折】(1)=日2+ 图象知， 因为f(x)是奇函数，所以f代-x)=-f(x), 0<f(a)<1,a<0,c>0, 即日+2-（日2+） .0<2<1. ∴.f代a)=12-1l=1-2, 所以（合+1）(2+宁)=0，即+1=0， fc)<1,.0<c<1. 解得a=-1. .1<2<2,fc)=12-11=2-1, (2)由(1)知a=-1, 又fa)>fc),.1-2>2-1, ∴.2“+2<2，故选D. 所以)=分2e1,2. 变式训练 1D函数y=a-。的图象是由函数y=a的图象向下平移 所以-2产=（侵-2· a 个单位长度得到的，A显然错误；当a>1时，0<】<1，平移距 所以m≥+261,2， 令t=2,te[2,4], 离小于1，所以B错误；当0<a<1时，。>1，平移距离大于1， 设y=2+23,则y=1+te[2,4利， 1 所以C错误.故选D. 2.ABD如图，观察易知，a<b<0或0<b<a或a=b=0,故 由于y=+在[2,4]上单调道增， 选ABD. 所以烟≥4+好-子 y11=2027 y=2026 所以实数m的取值范围 [+） 变式训练 1.D解法一：由指数函数y=0.3在定义域内单调递减，得a< b,由幂函数y=x5在定义域内单调递增，得c>b,故选D. 解法二因为分-0<1，且冬-（层” <1,又a,b,c都为 3.0由于函数图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，所以2+ 正数，所以c>b>a,故选D. =2-+.根据指数函数的单调性可知1x+al=1-x+al,只有2.BD对于A,由e-e*≠0，解得x≠0， 当a=0时，等式恒成立.故a=0. 故fx)的定义域为{xlx≠0}，故A错误； 考向2 对于B,函数f(x)的定义域关于原点对称， 角度1 例：A函数f(x)=e:-1)2是由函数y=e“和u=-(x-1)2复合 且-x)=+c=-), e-x-er 而成的复合函数，y=e为R上的增函数，u=-(x-1)2在 故f代x)是奇函数，故B正确； (-0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，所以由复合函 2 数的单调性可知，f代x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+0)上 对于c1+2 单调递减，易知f(x)的图象关于直线x=1对称，所以c= 故函数fx)在(-0,0)和(0，+∞)上分别单调递减， 当xe(-o,0)时，f(x)<0, ()=-)又号<2-<9<1，所以9)< 2 当xe(0,+o)时fx)>0, 所以f代x)在定义域上不是减函数，故C错误； f2-)<f(),所以6>e>a,放选入 对于D,由选项C的分析可知，函数f代x)的值域为(-∞，-1) 角度2 U(1,+∞)，无最小值，无最大值，故D正确。 3.-3当m<2时，32-m-1=9"-m+2,即3m1=3,解得m=-3; 例1：B将21≤（子）化为+1≤-2(x-2),即+2x 当m>2时，9-0”=3”3，即3=3，解得m=弓 3≤0，解得xe[-3,1],所以2-3≤2≤2，所以函数y=2 (舍)，故m=-3. 的值城是[g,2] 名师讲坛·素养提升 例2：7①当a<1时，由f1-a)=fa-1)得4-=2-o- 变式训练 [解析]设a=t,则a2=子 即2-=2，所以2-2a=1,解得a=7: ①当a>1时，e[行小x=f+21-1,在[日d小上为塔面数， ②当a>1时，由f1-a)=f代a-1)得2-1-a=4-1 当t=a时，取得最大值，a2+2a-1, 即22a-1=22-2,所以2a-1=2a-2,无解. 所以a2+2a-1=14,解得a=3或a=-5(舍)； 综上可知，a=2 ②当0<a<1时，4e[0,】,y=f+2-1,在[a,]上为增 442 函数， 7.Cle2<g5=之，lg3>1g8时-=a<c<k放 当=合时，取最大位（日+-1 选C 所以（日广+名-1=14，得a=或a= 5(舍) 8.D由x2-2x-8>0,得x<-2或x>4.因此，函数f(x)=n(x -2x-8)的定义域是(-∞，-2)U(4,+∞).注意到函数y= 综上所述，a=3或3 x2-2x-8在(4，+∞)上单调递增，由复合函数的单调性知， fx)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4，+0)，选D. 第六讲对数与对数函数 考点突破·互动探究 考点1 知识梳理·双基自测 知识梳理 例1：0原式=lg3-子lg2g3-3+lg而=4- 3 2 知识点一 3+分-0 1.x =log,N a N log N 10 lg N e In N 2.0 1 b N log.N 例2：l原式=1-21og3+(g,3)2+(1-lg3)(1+log3) log,b log,M+log,N log,M-log,N nlog,M log 4 知识点二 _1-2log3+(1og3)2+1-(10g3)2 log64 1.y=logx(a>0,且a≠1)(0，+∞)(-o,+∞)(1,0) 2(1 -log 3)log 6 -log 3 log 2 y>0y<0增函数减函数 = 2l0g 2 2.y=logax y=x log2 10g2=1. 例3：C由2”=5两边取以2为底的对数，得a=log25.又b= 双基自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 30源83，所以a-3h=竖5-吧3=o随 [解析](3)设23=M,32=N,则lgM=lg23=lg3lg2= 5 lg 3%52 =1g N,.'.M=N. 1og43 是=2e号=名所以4=4-曾故适C 2BDA选项，由换底公式，可得g=1og6=1+0g2,故A错 例4：60+1bg15=竖15=g3+g5 2b+a 1g181g2+2lg3 误；B选项，lg2+lg5=lg(2×5)=1,故B正确；C选项，(lnx) =g3+1-lg2=b-a+1 =nx×nx≠2加，故C错误D选项，g报=lg宝=子g, 1g2+2lg3 -2b+a 考点2 故D正确， 考向1 3.D要使函数x)=(x-有意义，只需血(x-)≥0，即例1：A由于代)是R上的奇函数，所以f0)=k-1-1=0,k: 1x-1>0, -1≥引解得x≥2，所以函数x)的定义域为[2，+如)： )=口为减函数，所以0<a<1,所巴 1x-1>0. log(x+2),x>-2,g(x)为(-2，+∞)上的减函数，g(-1) 4()-7(20(3)-1(4)40g号 2 =0,排除B,C,D,故选A. log,2= 例2：C由f(a)=fb)得lnal-Ilnb1.如图， 根据函数y=Inxl的图象及0<a<b,得 -2 -lna=nb,0<a<1<b,所以1 =b.令 a (2)1og3+log,3=ogx1=0. (3返+22-()=+g4-(） -1 &(6)=a+46=46+方，根据对勾函数的图象与性质易得 =lg10-2 g(b)在(1，+∞)上单调递增，所以g(b)>g(1)=5.故a+ =-1. 4b>5,故选C. (4)解法一：原式=9g4-23:22=4. 变式训练 lg2lg31g2·lg3 1.A由函数y=a与y=log(x+a)的图象过定点(0,1)，可排 解法二：原式=21g3·og,3 1og24 2×2=4 除选项C,D:义因为y=a“=(日) 与y=log.(x+a)单调性相 5.(2,2)当x=2时，函数y=log(x-1)+2(a>0,且a≠1)的 异，可排除选项B.故选A. 值为2，所以图象恒过定点(2,2). 2.(1,+∞)如图，在同一坐标系中分别作 6.64 loga log.4 1三-31og.8-0g4户 5 出y=f(x)与y=-x+a的图象，其中a表=-x+( 2, 示直线在y轴上的截距.由图可知，当a>1 1 5 即3log.2-21og.2=-2 时，直线y=-x+a与y=log2x只有一个交 点，即方程f(x)+x-a=0只有一个实根. 设i=1og.2,a>1,t>0,3-2i=- 5 考向2 角度1 即+5-1=0解得1=石或-1（合. 例1D因为1og2<0,所以0<a<1,又6=lg5>l1og4=2,1 g2=石，解得a=64, =log33<c=log5<log9=2,所以a<c<b.故选D. 一443第五讲 指数与指数函数 知识梳理·双基自测 知识梳理 函数的定义域为R,值域为(0，+∞) 函数图象过定点(0,1)，即x=0时，y=1 知识点一指数与指数运算 1.根式 当x>0时，恒有y>1; 当x>0时，恒有0<y<1; 性质 (1)根式的概念 当x<0时，恒有0<y<1 当x<0时，恒有y>1 根式的概念 符号表示 备注 函数在定义域R上为 函数在定义域R上为 如果 ,那么x叫做a n>1且n 增函数 减函数 的n次方根 EN 当n为奇数时，正数的n次方 归纳拓展 根是一个 零的n次方根 ,负数的n a 是零 1.画指数函数y=a(a>0且a≠1)的图象时注意三 次方根是一个 个关健点：(1，e),(0,1,(-1,日） 当n为偶数时，正数的n次方 根有 ,它们互为 负数没有偶次 ±a 2.底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是 036 方根 a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大，函数 图象越高，即“底大图高”. 22 (2)两个重要公式 ,n为奇数 度 ①a (a≥0) lal (a<0), n为偶数. 设 ②(a)= 计 (注意a必须使a有意义). 2.分数指数幂 衡 0<a<b<l<c<d 中 (1)正数的正分数指数幂是a”= (a>0, 案 m,neN',n>1). 双基自测 (2)正数的负分数指数幂是a号= 1_(a>0,m, 题组一 走出误区 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或 nEN*,n>1). “x”) (3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无 (1)(-4)=-4 () 意义 3.有理指数幂的运算性质 (2)分数指数幂a“可以理解为m个a相乘.(） (1)a·a= (a>0,r、seQ); (3)a÷=-a(n,meN*). ( (2)(a)'= (a>0,r、s∈Q); (4)函数y=3·2,与y=2+都不是指数函数. (3)(ab)'= (a>0,b>0,r∈Q). ( 知识点二 指数函数的图象与性质 题组二 走进教材 指数函数的概念、图象和性质 2.(必修1习题4.1T1改编)下列根式与分数指数幂 定义 函数f(x)=a(a>0且a≠1)叫指数函数 的互化正确的是 底数 a>1 0<a<1 A.-x=(-x)之 取-(>0) v=d 图象 1 y=1 C.=y D.[/-x)]=x2(x<0) 3.(必修1习题4.1T4改编)化简6x于(x<0,y<题组三走向高考 0)得 )5.(2020·北京卷，6,4分)已知函数(x)=2-x-1, 则不等式f(x)>0的解集是 () A.2x2y B.2xy A.(-1,1) C.4x2y D.-2x2y B.(-0,-1)U(1,+∞) 4.(必修1习题4.1T7(1)改编)已知5m=10,5”=2, C.(0,1) 则5之 D.(-0,0)U(1,+∞) ）6.(2023·天津卷，3,5分)设a=1.0105,b=1.016, A.210 B.3I0 c=0.65,则a,b,c的大小关系为 () C.20 D.510 A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 考点突破·互动探究 夸点1 名师点拨：指数幂运算的一般原则 指数与指数运算一自主练透 1.有括号的先算括号里的，无括号的先做指数 例求值与化简 运算. ((56)5-2x29》 -2×(/2+m)°+ 2.先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. 3.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成 () 分数，底数是带分数的，先化成假分数. 4.若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形 (2)25x31.5×012: 式表示，运用指数幂的运算性质来解答. (3)aa:√a7a▣(a>0): 5.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不 (4)已知a>0,a+a片=3，求+a+的值 能既有分母又含有负指数，形式力求统一. a+a-l+1 点已 指数函数的图象与性质 专向1指数函数的图象及应用一一师生共研 复习 例1.函数f八)=a的图象如图所示，其中a,b为 常数，则下列结论正确的是 () 037 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 2.(多选题)已知实数a,6满足等式（分）” (兮）广则下列关系式中不可能成立的是 A.0<b<a B.a<b<0 C.0<a<b D.b<a<0 3.已知函数f(x)=12-1l,a<b<c且f(a)> f(c)>(b),则下列结论中，一定成立的是（) A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b≥0，c>0 C.2-a<2 D.2°+2<2 名师点拨：有关指数函数图象问题的解题思路 :角度3指数函数性质的综合应用 1.已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点， 例已知函数)-8”2(u为常数，且a≠0， 判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除 aeR)是奇函数. 2.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最 (1)求a的值； 基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变 (2)若Hx∈[1,2]，都有f(2x)-m(x)≥0成立， 换而得到.特别地，当底数α与1的大小关系不确定时 求实数m的取值范围. 应注意分类讨论 3.有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用 相应的指数型函数图象，数形结合求解， 4.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以 通过直线x=1与图象的交点进行判断： 【变式训练】 1.函数y=a-a1(a>0,且a≠1)的图象可能是 038 2.(多选题)已知实数a,b满足等式2026°=2027，下 D26 列等式可以成立的是 ( A.a=b=0 B.a<b<0 度 C.0<a<b D.0<b<a 新 3.已知函数y=2x+a的图象关于y轴对称，则实数a= 名师点拨： 1.利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等 考向2指数函数的性质及其应用一一暑维探究 式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中 衡 学 角度！比较指数幂的大小 间量. 例(2023·全国甲卷，11)已知函数(x)=e--1 2.求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确 复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时， 记a=f(),6=f()c=f(),则() 要借助“同增异减”这一性质分析判断. A.b>c>a B.b>a>c 【变式训练】 1.（角度1)(2024·福建质量检测)已知a=0.36,b= C.c>b>a D.c>a>b 0.305,c=0.45,则 () 角度2解简单的指数方程或不等式 A.a>b>c B.a>c>b 例1若x满是不等式2≤（任） ,则函数y=2 C.b>c>a D.c>b>a 的值域是 ) 2.(角度3)（多选题）已知函数x)=c+e e2-e,则下列 A[g,2 B[g2] 结论中正确的是 () A.f(x)的定义域为R c(-g] D.「2，+0) B.f八x)是奇函数 C.f八x)在定义域上是减函数 4,x≥0， 2.已知实数a≠1，函数f(x)= 若 D.f(x)无最小值，无最大值 2-,x<0, 3.（角度2)已知实数m≠2，函数f(x)= f(1-a)=f(a-1),则a的值为 3,≥0：若2-m)=f(m-2),则m的值为 9m-,x<0, 名师#运·素美提升 指数画数中的今类与整合思想 名师点拨： 例 已知函数fx)=a+2r+b(a,b是常数且a>0, 分类与整合就是所给变量不能进行统一研究时， ≠1)在区间- 可上有最大值3和最小值子· 要分类研究，再整合得到的结论，指数函数的单调性与 底数的取值有关，如果底数是字母时，常分情况讨论. 试求a,b的值 解指数函数综合问题的两个注意点： 1.指数函数的底数不确定时，应分a>1和0<a< 求复合函数值域，先观察它是怎样复合而成 1两种情况讨论. 的=与+x:可名后，表出 2.解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要 x2+2x,x 「3 熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利 ，0的值城，再求=a+6的值城。 用换元法求解时要注意新元的取值范围. 注意.要对底数a进行分类讨论 【变式训练】 设a>0且a≠1，函数y=a2+2a-1在[-1,1]上 [解析]设1=2+2，xe[-,0, 的最大值是14，求实数a的值. 由图象得te[-1,0]. ①当a>1时，g(t)=d+b在[-1,0]上为增函 数，德城为[日+6,1+小， +b=弓解得 a 1+b=3, lb=2. 高考 ②当0<a<1时，g(t)=a+b在[-1,0]上为减 函数，值城为[1+6，。+6小， 轮总复习 1+b=2 解得 a3 1+b=3, 63 温馨提示：复习至此，请完成练案[10】 039 3 综上所述，a=2,b=2或a= 3,b= 第六讲 对数与对数函数 知识梳理·双县自测 知识梳理 常用对数 底数为 自然对数 底数为 知识点一对数与对数运算 1.对数的概念 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的定义：如果a=N(a>0,且a≠1)，那 (1)对数的性质 么数x叫做以a为底N的对数，记作 ,其中 ①log1= 叫做对数的底数， 叫做真数 ②log.a= (其中a>0且a≠1)； (2)几种常见对数 ③log.a= (a>0且a≠1，beR). 对数形式 特点 记法 (2)对数恒等式 一般对数 底数为a(a>0,且a≠1) (其中a>0且a≠1，N>0)