第二章 第三讲 函数的奇偶性与周期性-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习学案

A0=h2)= 6图对于A)-千则的定义统为R,由-) .y≤ =2(x=0时取等号). 5 5 e2)=,得R-1)≠1)，所以不是偶函数，A 不符合； 即，的最大值为号 对于B,g()=o+父，则g(x)的定义域为R,且g(-)= x2+1 名师讲坛·素养提升 c0s(-x)+(-x)2-c0sx+x2 变式训练 (-x)2+1 平+1=g(x),所以g(x)为偶函数，B [解析]（11)=f(）=f)-)=0 符合； (2)fx)在(0，+0)上是增函数 对于C,a)=则a()的定文城为≠1，显然定 义域不关于原点对称，所以h(x)不是偶函数，C不符合； 证明：设0<<，则由(）)-)，得)-) 对于D,o(x)=mx+4r,则p()的定义域为R,由p(-1)= =f()因为货>1，所以f）>0所以)-)>0，即 1 -sin 1-4 ,e1)=im1+4,得o(-1)≠p(1),所以p(x)不是 f代x)在(0，+o)上是增函数. e （3)因为6)=f(曾）=36)-6，又6)=1，所以36) 偶函数，D不符合.故选B. 7.0∵fx)是奇函数，∴f0)=0,即03+a=0,解得a=0. =2,原不等式化为：fx2+5x)<f(36),又因为f(x)在(0，+0) 考点突破·互动探究 上是增函数， 考点1 rx+5>0 考向1 所以 10, 解得0<x<4. 例：[分析]先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义 域内，解析式带绝对值号的先化简，计算f(-x),再判断f代-x) Lx2+5x<36, 与代x)之间的关系.抽象函数常用赋值法判断： 所以不等式的解集为{x0<x<4}. [解析](1)原函数定义域为{xlx≠0}，关于原点对称， 第三讲函数的奇偶性与周期性 且对于定义城内的任意一个x都有f(-x)=(-x)-1 知识梳理·双基自测 知识梳理 -(-士)=-)，从而函数)为奇函数。 知识点一 《2)由42+x+41≠0，得-2<x<2, f代-x)=f(x)f代-x)=-f(x)y轴原点 知识点二 即函数f(x)的定义域是{x-2<x<2},关于原点对称。 1.f(x+T)=f代x) 2.最小的正数最小正数 园t石：起4-，所以- 双基自测 f(x),因此函数f(x)是偶函数. 1.(1)×(2)×(3)V(4)V(5)× (3)f(x)的定义域为{-1,1}，关于原点对称. 又f-1)=f1)=0,f(-1)=-f1)=0, [解标](4)f(-子)=f(-号+7)=f(子) 所以代x)既是奇函数又是偶函数. (4)如图，作出函数代x)的图象，由奇函数 又-)=(3)…(3)=0 的图象关于原点对称的特征知函数f(x) (5)当x=-π时，f(x+2π)=f(π)，m华(-0,0)无意义，故 为奇函数 错误. (5f-x)=ln(-x+√2+1) 2.A根据奇函数的定义知奇函数满足f(-x)=-f(x),且定义 f(-x)+fx)=n[(-x++I)(x+ 域关于原点对称，A选项为奇函数：B选项为偶函数；C选项为 √2+1)]=n(x2+1-x2)=0, 偶函数；D选项既不是奇函数，也不是偶函数， f(x)为奇函数. 3.B因为f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数，所以 a-1+2a=0,所以a=号又-)=f),所以b=0,所以 o-08= 为奇函数. a+6= 考向2 4.B函数y=f(x)为奇函数，∴.f-a)=-f(a).即点(-a, 角度1 -f代a))一定在函数y=f(x)的图象上. :例1：C根据题意，f(x)-g(x)=e,则f(1)-g(1)=e①，f代-1) 5.A根据函数的周期性和奇偶性得到f(3)=f代-1)=-f(1)、 -g(-1)=-）-g)=e1=。变形可得)+g) f(2)=f(0)=0,从而可求f1)+f(2)+f(3).因为函数以2为 周期，所以f3)=f(-1)f(2)=f代0)，因为函数是定义在R上 e、 =。2,联立02可得1)=2,8)=-2°，则 e 的奇函数，所以f代-1)=-f(1),f(0)=0,所以f(1)+f(2)+ e f(3)=f1)+f0)-f1)=0,故选A. 437 e、J 又f(x)是周期为4的周期函数， e 有四.2 ∴.fx)=fx-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 1-e2 8(1) 。11+e 即当xe(2,4]时，f(x)=x2-6x+8. e+ e (4):f0)=0f1)=1f2)=0f3)=-1, 2 且f(x)是周期为4的周期函数， 例2：-e+2x+1因为f(x)是定义在R上的奇函数， ∴.f0)+f(1)+f(2)+f3)=f(4)+f(5)+f6)+f(7)=… 则当x=0时，f(0)=0. =f(2020)+f(2021)+f(2022)+f(2023)=0.f(2024)= 当x>0时，-x<0fx)=-f-x)=-(e*-2x-1)=-e f0)=0,f2025)=f1)=1f2026)=0, +2x+1, .f0)+f1)+f2)+…+f2021)+f(2022)+f2023)+ 又f0)=-e°+2×0+1=0， f2024)+f(2025)+f2026)=1. 则当x≥0时f(x)=-e+2x+1. 变式训练 角度2 例1：B依题意a=c=0,且2b+(b-1)=0, 11因为+2)=格所以2)=品又0)=13，所以 6=号则a+6+e=分 f2)=1,因为fx+4)= 2=盘=，所以到的周 13 f(x) 例2：B解法-：2经引>0，得x>号或x<-宁因为)是偶 期为4，所以f(2026)=f(4×506+2)=f(2)=1. 函数，所以f(-x)=f(x),得(-x+a)n-2x 2.f(x)=(x-8)2(x∈[7,9])由函数f(x)满足f(x+1)= -2x+1 -f孔x)可知f(x+1+1)=-f(x+1)=f孔x),因此函数的周期是 （a+obz 2.设xe[7,9],则-1≤x-8≤1，因此f代x-8)=(x-8)2,根据 函数的周期是2可知f代x-8)=(x),因此f(x)=(x-8)2. 即(-+ah经=(x+ojh经÷ 考点3 2x+1 角度1 即(-+o加(2经）'=(x+ 2x-1 例：C由已知得图象，故选C. 2x-1 2x-1 则(x-a)n2+=(x+a)n2x+ 所以x-a=x+a,得-a=a,得a=0. 解法二：f代x)为偶函数，则有f代-1)=f1), 即(-1+on3=(1+ah号解得a=0 解法三：g(x)=l x-1 2x+i8(-x)=-g(x), [引申1] D如图. 则g()为奇函数，若代x)=(x+a)·n二为偶函数，则 2x+1 h(x)=x+a为奇函数，得a=0. 变式训练 1.B因为函数f(x)为R上的奇函数， 则f(0)=e°+0+m=0,解得m=-1, f-1)=-f1)=-(e+1-1)=-e 2.A当x<0时f(x)=f代-x)=e-1.故选A. [引申2] 3.-1因为)=(e-)）mx是偶函数，所以f(-x)= [-1,0]U[1,3]奇函数f代x)在(-，0)单调递减，且f2) =0,则f(x)在(0，+∞)单调递减，且f代-2)=0.由f(x-1)≥ )恒成立，所以(e-ae)cos=（e-)os,整理得 .政9n.甲1sn.交 0,得s0, (a+1)(e-）=0恒成立，所以a=-1. 0≤x-1≤2，解得-1≤x≤0或1≤r≤3. [x>0, 考点2 角度 例：[解析](1)证明：f(x+2)=-f代x), 例1：A依题意，函数f(x)是奇函数， ∴.f(x+4)=-f(x+2)=f代x) 又f(x)的周期为4，且f3)=-2, .f代x)是周期为4的周期函数 则有f2029)=f-3+508×4)=f(-3)=-f3)=2,所以 (2)f(2)=f0+2)=-f(0)=0. f(2029)=2. (3)当xe(-2,0]时，-xe[0,2),由已知得 例2：D因为fx)满足f(x-4)=-f代x), f-x)=2(-x)-（-x)2=-2x-x2. 所以fx-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函 又f(x)是奇函数，∴f(-x)=-fx)=-2x-x己 数，则f代-25)=f代-1)，f(80)=f(0),f(11)=f(3) f(x)=x2+2x 由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x-4)=-f代x), 又当x∈(2,4]时，x-4e（-2,0], 得f代11)=f(3)=-f代-1)=f1). ∴.fx-4)=(x-4)2+2(x-4). 因为f代x)在区间[0,2]上是增函数f(x)在R上是奇函数， 438 所以f(x)在区间[-2,2]上是增函数， 第四讲幂函数与二次函数 所以f(-1)<f0)<f代1)， 即f代-25)<f(80)<f(11) 知识梳理·双基自测 变式训练 知识梳理 A显然人)是偶函数，当≥0时，)4：一4十44知识点 4是增函数 1.y=x 1+ 3.(1,1)(0,0)(1,1)奇函数偶函数 又f1)=2,所以f(2x-3)<2可化为f(2x-3)<f(1),可得知识点二 12x-31<1,解得1<x<2. 1.ax2+bx+c(a≠0)(m,n)零点 2.CD因为f(x+1)是偶函数，所以f(-x+1)=fx+1),从而 2. （-,-2》 f(-x)=f代x+2). 因为f代x-1)是偶函数，所以f(-x-1)=f(x-1), ）b=0 从而f代-x)=f(x-2). 所以代x+2)=孔x-2)代x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周双基自测 期的周期函数. :1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)× 因为所以八)-x-1+4,2c由题意得=1，又函数)的图象过点（分），所以 即f(-x+3)=f代x+3),所以f代x+3)是偶函数， 3.ABD因为fx+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)= f(x),所以f(x)的周期为4，即f(x)是周期函数，故A正确； 因为f(x+2)=-f(x), 3.A函数f(x)=-22+4x的图象开口向下，关于直线x=1对 所以f代-x+2)=-f(-x) 称，在x=1取得最大值2，在x=-1取得最小值-6.故选A. 又因为f代x)为奇函数，所以f代2-x)=f(x),所以函数f(x)的图4.C先求出函数的对称轴方程，利用二次函数的对称性求解即 象关于直线x=1对称，故B正确；因为f代x)是定义在R上的奇 可.函数)=2-2025：的对称轴为直线x-2g5.fm） 函数，所以f(0)=0.因为f(x)在[-1,0]上为增函数，且f(x) 为奇函数，所以f(x)在[0,1]上为增函数 =f(n),m,n关于函数f代x)=x2-2025x图象的对称轴对称， 因为f代x)关于直线x=1对称，所以f(x)在[1,2]上为减函数， ∴.m+n=2025,∴.f(m+n)=f(2025)=0.故选C. 故C错误； 5.C选项A中函数的定义域为(-∞，0)U(0,+∞)，选项B中 因为f(x+2)=-f(x),令x=0得f(2)=-f(0)=f(0),故D 函数的定义域为(0，+∞)，选项C中函数的定义域为R,选项 正确. D中函数的定义域为[0，+∞)，故选C. 名师讲坛·素养提升 6.A由f代0)=f4),得fx)=ax2+bx+c的图象的对称轴为直 b 变式训练 线x=-2a=24如+6=0， 1.D由y=g(x)的图象关于直线x=2对称，可得g(2+x)= 又f0)>f(1),f(4)>f(1),∴.f(x)先减后增，·a>0,故选A. g(2-x).在fx)+g(2-x)=5中，用-x替换x,可得f(-x) +g(2+x)=5,可得f代-x)=fx)①，y=f(x)为偶函数.在 考点突破·互动探究 g(x)-f代x-4)=7中，用2-x替换x,得g(2-x)=f孔-x-2)考点1 +7,代人f(x)+g(2-x)=5中，得f代x)+f(-x-2)=-2②，例1：C函数f代x)=(m2-3m-3)x"为幂函数，则m2-3m-3= 所以y=f(x)的图象关于点(-1，-1)中心对称，所以f(1)= 1,解得m=4或m=-1.当m=4时，f代x)=x4在区间(0 f(-1)=-1.由①②可得f(x)+f(x+2)=-2,所以f(x+2) +∞)上单调递增，不满足题意，排除A;当m=-1时，f(x) +f(x+4)=-2,所以f代x+4)=f(x),所以函数f(x)是以4为 =x在区间(0，+∞）上单调递减，满足题意.函数f(x)= 周期的周期函数.由f(x)+g(2-x)=5可得f(0)+g(2)=5, x在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递减，但不是减函数，排 又g(2)=4,所以可得f代0)=1，又f(x)+f(x+2)=-2,所以 f0)+f2)=-2,得f(2)=-3,又f3)=f(-1)=-1,f代4) 除B:因为函数定义域关于原点对称，且(-)=生= =f0)=1,所以Σf)=6f1)+6f2)+5f3)+5f(4)=6× -f代x),所以函数f代x)是奇函数，不是偶函数，故C正确，D 错误.故选C. (-1)+6×(-3)+5×(-1)+5×1=-24.故选D. 例2：D幂函数y=x“,当a>0时，y=x在(0，+∞)上单调递 2.ACDf(x)的图象关于直线x=-3对称， 增，且0<<1时，图象上凸，.0<m<1.当<0时，y=x 则f代-x)=f(x-6), 又f(x+3)=f(x-3),则f(x)的周期T=6, 在(0，+0)上单调递减.不妨令x=2,由图象得21<2“，则 -1<n<0.综上可知，-1<n<0<m<1. .f代-x)=fx-6)=f(x), .f代x)为偶函数，故A正确； 当xe[0,3]时fx)=2+1单调递增 例3：B因为y=子在第一象照内单调通培，所以a(侵)广> :T=6,故f(x)在[-6，-3]上也单调递增，故B不正确； f代x)关于直线x=-3对称且T=6, =(号)因为=（号）》 是减数，所以=（） ∴.f(x)关于直线x=3对称，故C正确： f(100)=f(16×6+4)=f(4)=f(-2)=f(2)=5,故D正确， 439第三讲函数的奇偶性与周期性 知识梳理·双基自测 3.对(x)的定义域内任一自变量的值x,最小正周期 知识梳理 为T 知识点一 函数的奇偶性 (1)若f(x+a)=-fx),则T=21al; 偶函数 奇函数 (2)若x+o)=石则7=2al: 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x (3)若f八x+a)=fx+b),则T=1a-b1. 定义 都有 都有 4.函数图象的对称关系 那么函数f代x)是偶函数 那么函数f(x)是奇函数 (1)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则 图象 特征 关于 对称 关于 对称 f(x)的图象关于直线x=“+b对称： 2 知识点二 函数的周期性 (2)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-∫(b-x),则 1.周期函数 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得 八的图象关于点（兰0对称 当x取定义域内的任何值时，都有 5.一些重要类型的奇偶函数(a>0,a≠1) 028 那么就称函数y=(x)为周期函数，称T为这个函数的 (1)函数f(x)=a+ax为偶函数，函数f(x)=a- 周期. ax为奇函数； 2.最小正周期 年 如果在周期函数∫(x)的所有周期中存在一个 2网数为奇题 创 ,那么这个 就叫做f代x)的最小正周期. 新 (3)晒数)=l+为奇函数： 计 归纳拓展 (4)函数f(x)=log(x+√+1)为奇函数： 衡 1.奇（偶）函数定义的等价形式 学 (1)-)=f(x)9f(-x)-f(x)=0- 双基自测 f(x) 1(f(x)≠0)f(x)为偶函数： 题组一走出误区 (2-x)=-fx)-x)+fx)=0=/-= 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或 f(x) “x”) -1(f(x)≠0)/(x)为奇函数. (1)函数y=x2,x∈（-2,2]是偶函数. () 2.若y=f(x)为奇函数，y=g(x)为奇函数，在公共定 (2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)=0.（) 义域内 (3)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈N)也 (1)y=f(x)±g(x)为奇函数； () y=)g)与y=留(g()≠0)均为偶 是函数f(x)的周期， (4)定义在R上周期为T(T≠0)的奇函数y=f(x) 函数 定有/()=0， () (3)y=f[g(x)]与y=g[f(x)]均为奇函数 同理若y=f(x)与y=g(x)在公共定义域内均为偶 (5)2π是函数f(x)=sinx,x∈(-∞，0)的一个周 函数.则y=(x)±6()，y=f(x)g(x,y= 期 g(x) 题组二 走进教材 (g(x)≠0)，y=f[g(x)],y=g[f(x)]均为偶函数 2.（必修1习题3.2T5改编)下列函数中为奇函数的 若y=f(x)为奇函数，y=g(x)为偶函数，则在公共 是 () 定义城内=g()与ga)≠0)均为 A.y=xsin x B.y=x2cos x 奇函数，y=f[g(x)]与y=g[f八x)]均为偶函数， C.y=In lxl D.y=2 3.(必修1习题3.2T12改编)已知f(x)=x2+bx是5.（必修1习题3.2T11改编）定义在R上的奇函数 定义在[a-1,2a]上的偶函数，那么a+b的值是 f(x)以2为周期，则f1)+f(2)+f(3)的值是 ( R A.0 B.1 C.2 D.3 1 A.一3 题组三 走向高考 c D.-2 6.(2024·天津卷，4,5分)下列函数是偶函数的是 ( 4.（必修1习题3.2T1改编)若函数y=f(x)(x∈R) A B.g(x)=cos+x2 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y=(x) x2+1 图象上的是 ( C.h(x)=o-x x+1 D.()=sinx+4 A.(a,-f(a)) B.(-a,-f(a)) 7.(2024·上海卷，4,4分)设a∈R,且f(x)=x3+a是 C.(-a,-f-a)) D.(a,f(-a)) 奇函数，则a= 考点突破·互动探究 点 名师点拨：判断函数的奇偶性的方法 函数的奇偶性 1.定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的 考向1 判断函数的奇偶性 自主练透 区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函 例判断下列函数的奇偶性 数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断 ar)=-士 f(-x)是否等于f(x)或-f(x),据此得出结论 1g(4-x2) 2.图象法：奇（偶）函数的充要条件是它的图象关 (2)/x)=x-2+1x+4T 于原点（或y轴）对称. (3)fx)=√x-1+√1-x; 3.性质法：偶函数的和、差、积、商（分母不为零） (4)=+2x+1>0, 仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇（偶）数个 lx2+2x-1,x<0; 奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函数；一个奇 复习 (5)f(x)=ln(x+√R+I): 函数与一个偶函数的积为奇函数.（注：利用上述结论 oe)- 时要注意各函数的定义域) 擊 喜向2函数奇偶性的综合应用一一暑维探究 角度！利用性质求解析式（值） 029 例1.(2025·海南模拟)已知函数(x)为奇函数， g(x)为偶函数，且x)-g(x)=e,则- 8(1)= ( A.e+1 B.e2-1 e e c D.1+e 1-e2 2.(2024·吕梁统考)已知f(x)是定义在R上的 奇函数，且当x<0时，f(x)=e+2x-1,则当x≥0 时，(x)= 角度2利用奇偶性求参数的值或取值范围 例，已知)=m+x+c是定义在[6-1,2b]上 的奇函数，则a+b+c= A.-3 B. 1 C.2 D.-2 2.(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)=(x+ 名师点拨： a)nx-为偶函数，则a= ( 高考中对函数周期性的考查，主要涉及函数周期 2x+1 性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关 A.-1 B.0 的函数综合问题.解决此类问题的关键是充分利用题 c分 D.1 目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的 名师点拨： 范围内进行求解. 1.求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化 函数周期性的三个常用结论： 到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性 1.若f(x+a)=-f八x),则T=2a; 构造关于(x)的方程（组），从而得到f(x)的解析式. 2.求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称 2.若f(x+a)= 八x),则T=2a; 的前提下，利用f(x)为奇函数f(-x)=-f(x),f(x) 3.若f(x+a)= 八)，则T=2a.(a>0) 1 为偶函数一(x)=f(-x),列式求解，也可利用特殊值 法求解.对于在x=0处有定义的奇函数f(x),可考虑 【变式训练】 列等式(0)=0求解. 1.已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x都有f(x 【变式训练】 1.(角度1)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0 2且/0)=13，则2026正 时八x)=e+x+m,则f(-1)等于 ( ）2.若函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且x∈[-1,1] A.e B.-e 时，f(x)=x2,则x∈[7,9]时的函数解析式是 C.e+1 D.-e-1 030 2.(角度1)设f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)=e -1,则当x<0时f八x)= ( 考点3 函数性质的综合应用 多维探究 22 A.e-*-1 B.e+1 角度！ 奇偶性与单调性结合 年 C.-e-*-1 D.-e-*+1 创 3.（角度2)(2024·茂名模拟)已知函数f(x)=e 例若定义在R上的奇函数(x)在(-x,0)上单调 递减，且代2)=0，则满足f(x)≥0的取值范围是 新 () 计 )cos2x是偶函数，则a= er A.(-0,-2] 衡 考点C 函数的周期性一师生共研 B.[0,2] 学 例设(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数， C.(-∞，-2]U[0,2] 恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2)时，f(x)》 D.（-0,-2]U[2,+∞) =2x-x2. [引申1]若将“奇函数”改为偶函数且(-∞，0) (1)求证：f(x)是周期函数； 改为(-0,0]，则结果为 (2)求f(2)的值； [引申2]若将不等式改为(x-1)≥0呢？结果 (3)当x∈(2,4]时，求f(x)的解析式； 为 (4)计算f八0)+f1)+f(2)+…+f(2026). 角度2 奇偶性与周期性结合 例1已知函数x)为奇函数，且周期为4,3)=-2， 则f(2029)= A.2 B.0 C.-2 D.-4 已知定义在R上的奇函数fx)满足fx-4)=-f) 且在区间[0,2]上是增函数，则 A.f-25)<f11)<f(80)先变形为代x)=-代x-4) B.f80)<f(11)<f-25)再由代x-4)=-f代x-8)进 C.f11<j80<f-25)从而特到它是周期 一步得到代x)=孔x8) D.f(-25)<f(80)<f(11)为8的函数 名师点拨：函数性质综合应用问题的常见类型 C.(-0,1)U(2,+0) 及解题策略 n.(-,3)U(月+x） 1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数的单调性 及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性 2.(角度2)（多选题）函数∫(x)的定义域为R,若 2.周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问 f(x+1)与f(x-1)都是偶函数，则 () 题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的 A.f八x)是偶函数 自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解。 B.f(x)是奇函数 3.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通 C.f八x+3)是偶函数 常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇 D.f(x)=f(x+4) 偶性和单调性求解。 3.(角度3)（多选题）已知定义在R上的奇函数f(x) 【变式训练】 满足fx+2)=-f八x),且f(x)在[-1,0]上是增函 数.则下列命题正确的是 () 1(角度)已知函数)=4品则不等式2x A.f(x)是周期函数 3)<2的解集是 B.f(x)的图象关于直线x=1对称 A.(1,2) C.f(x)在[1,2]上是增函数 B(分) D.f(2)=f0) 名师讲坛·素养提升 蓝数三大性质的综合及用 例1.(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数的定 抽象函数特值法.先令x二-3，求出(3)的 义域为R,fx+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函 值，再得到函数的周期性 数，则 已知函数y=fx)是R上的偶函数，对于任意 总复习 Af（)-0 方法1：函数奇偶性定义法 x∈R,都有fx+6)=f)+f3)成立，当x1,x2 学 B.f-1)=0 方法2：函数平移法 ∈0,3引，且x≠x,时，都有- 0 方法3：特例法，举符合题 X-x2 C.f(2)=0 意的特殊函数 给出下列命题： D.f4)=0 ①直线x=-6是函数y=fx)的图象的一条对 [答案]B 称轴； [解析]解法一：（定义法）f(x+2)是偶函数， ②函数y=fx)在[-9，-6]上为增函数； 则f(-x+2)=f(x+2).又f(2x+1)是奇函数，则 ③函数y=fx)在[-9,9]上有四个零点 f(-2x+1)=-f2x+1)..(1)=-f(1)可得f(1) 其中所有正确命题的序号为 =0.∴.f(-1)=-f(3)=-f(1)=0.故选B. [答案]①③ 解法二：（平移法）y=f(x+2)右移两个单位得到 [解析]解法一：①对于任意x∈R,都有f(x+ y=f(x),因此y=f(x)关于x=2对称，即f(x)=f(4-6)=八x)+f(3)成立，令x=-3,则f(-3+6)= ),又y=2x+1)为定义在R上的奇函数，所以(2人-3)+3)，又因为(x)是R上的偶函数，所以 f(3)=0.所以f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期为6， ×0+1)=0,∴.f(1)=0,∴.f(-1)=f(2×(-1)+1) =-2x1+1)=-f(3)=-f(4-3)=-f1)=0, 又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x+6)=f(-x), 而f(x)的周期为6，所以f八x+6)=f(-6+x)f(-x) 故选B. =f(-x-6),所以f(-6-x)=f八-6+x),所以直线x 解法三：（特例法） =-6是函数y=(x)的图象的一条对称轴，故①正 可构造x)=c0[受(x-2)]符合题意，故选B. 确.②当x1,x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有 )-)>0,所以面数y=)在[0,3]上为增函！变式训练1 X1-X2 1.(2022·全国乙卷)已知函数f(x),g(x)的定义域均 数，因为f(x)是R上的偶函数，所以函数y=f(x)在 为R,且f八x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若 [-3,0]上为减函数，而f(x)的周期为6，所以函数y= y=g(x)的图象关于直线x=2对称，g(2)=4,则 f八x)在[-9，-6]上为减函数，故②错误，③f(3)=0, f(x)的周期为6，所以f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)= 2r)= () 0,函数y=f(x)在[-9,9]上有四个零点，故③正确. A.-21 B.-22 解法二：图象法 C.-23 D.-24 ↑y 2.(多选题)已知f(x)的定义域为R,其函数图象关于 直线x=-3对称，且f(x+3)=f(x-3),若当x∈ [0,3]时，f(x)=2+1,则下列结论正确的是(） A.f(x)为偶函数； B.f(x)在[-6，-3]上单调递减； 名师点拨： C.f(x)关于直线x=3对称； 函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常常将 D.f(100)=5. 它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇 温馨提示：复习至此，请完成练案[8 偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区 间的转换，再利用单调性解决相关问题， 第四讲 幂函数与二次函数 032 22 知识梳理·双基自测 度 知识梳理 知识点二二次函数 1.二次函数解析式的三种形式 计 知识点一幂函数 一般式：f(x)= 1.幂函数的定义 顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)，顶点坐标为 衡 中 般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变 量，a是常数， 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，x1,x2为 2.常见的五种幂函数的图象 f(x)的 2.二次函数的图象和性质 = v=r2 y=x 解析式f(x)=a2+bx+c(a>0)f代x)=am2+bx+c(a<0) 图象 3.幂函数的性质 定义域 R (1)幂函数在(0，+∞)上都有定义； (2)当α>0时，幂函数的图象都过点 和 值域 ,且在(0，+∞)上单调递增； (3)当α<0时，幂函数的图象都过点 在 上单 在 上单调 且在(0，+∞)上单调递减； b 单调性 调递减，在 2a' (4)当a为奇数时，y=x为 ;当α为偶 递帽，在[-云+】 数时，y=x“为 }上单调递增 上单调递减