第二章 第七讲 函数的图象-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习学案

第七讲 函数的图象 知识梳理·双基自测 知识梳理 (4)函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于 知识点函数的图象 直线对称 1.利用描点法作函数图象的流程 (5)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线 x=a对称. 确定函数的定义域 (6)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点 化简 化简函数解析式 (a,b)中心对称. 讨论函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 2.函数图象平移变换八字方针 除考虑点的一般性外，尤其要注意特殊点，如 、列表 与坐标轴的交点、顶点、端点、最（极）值点、 (1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量. 对称点等 (2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值 、描点 画出直角坐标系，准确描出表中点 双基自测 连线用光滑的曲线连接所描点 2.平移变换 题组一 走出误区 r=n(x)a>0. a个单位 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或 a<0, _1al个单位y=f(x-a); “×”) b>0, b个单位 y=f(x)- b<0, 1b1个单位y=八x)+五. (1)函数y=f(2x+1)由y=f(2x)左移1个单位得 3.伸缩变换 到 () 0<o<1,图象上所有点的纵坐标不变 (2)函数y=f1-x)的图象，可由y=f(-x)的图象 横坐标 为原来的。倍 向右平移1个单位得到 y=f八x) () 横坐标图象上所有点的纵坐标不变。 →y=f八ox); (3)当x∈(0，+∞)时，函数y=1f(x)I与y= 总 为原来的 倍 A>1,图象上所有点的横坐标不变， f八1x)的图象相同. () 纵坐标 _为原来的A倍 y=(x)- 0<A<1,图象上所有点的横坐标不变 y=Af(x). (4)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对 纵坐标 为原来的 倍 称. () 学 4.对称变换 y=x)关于轴对称 (5)若函数y=f(x+2)是偶函数，则有f(x+2)= 043 y= f(-x-2). () 关于y轴对称 y=f(x)- y= (6)若函数y=f(x)满足f(x+1)=f(1-x),则函数 y=《x)关于原点对称 y=f(x)的图象关于直线x=1对称. y= 5.翻折变换 题组二走进教材 y=)去掉，轴左边图象保留y轴右边图象 2.（必修1P2gT2改编)为了得到函数f(x)=l0g2x的图 将y轴右边的图象翻折到左边 y 留下x轴上方图象 象，只需将函数g(x)=1g:名的图象向 平 y=八x)将：轴下方图象翻折上去y 移3个单位.将函数f(x)=log2x左移2个单位得到 归纳拓展 解析式为y= 1.函数对称的重要结论 3.(必修1P5T1改编)已知图甲中的图象对应的函数 (1)若f八m+x)=f(m-x)恒成立，则y=f(x)的图 y=(x),则图乙中的图象对应的函数在下列给出的 象关于直线x=m对称. 四式中只可能是 () (2)设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x -m)与y=f(m-x)(m>0)的图象关于直线x=m 对称 (3)若f(a+x)=f(b-x),对任意x∈R恒成立，则 y=)的图象关于直线=”生护对称 A.y=f(lxl) B.y=If(x)I C.y=f(-Ix1) D.y=-f(Ix1) 题组三走向高考 5.（2022·全国乙卷，8,5分)下列四个函数中的某个 4.(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(e-er)sinx 函数在区间[-3,3]的大致图象如图，则该函数是 在区间[-2.8,2.8]的图象大致为 () A.y=+3x x2+1 B.y= x2+1 C.y=2xcos x2+1 D.y=2sin x2+1 考点突破·互动探究 考点 函数的图象 考向2识图与到辨图一一师生共研 角度1 知式选图 奢问1利用图象变换作图一一自主练透 例作出下列函数的图象： 例(2025·江西萍乡期中)函数x)=20 044 (1)y=2x1-1; In(e'+ 22 (2)y=+2 x-Ti 的部分图象大致为 度 3=(}): (4)y=11og2x-11. 新 计 中学案 角度2知图选式 名师点拨：函数图象的画法 例(2023·天津卷，4,5分)函数fx)的图象如图所 示，则f(x)的解析式可能为 () 1,直接法：当函数解析式（或变形后的解析式）是 熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图 象的关键点直接作出. 2.转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值 符号，转化为分段函数来画图象. 3 3.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的 图象经过平移、伸缩、翻折、对称等变换得到，可利用图 0 象变换作出. 易错提醒：1.画函数的图象一定要注意定义域 A.nx)=5(e'-e-) 2.利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直 x2+2 B.f(x)=5sinx x2+1 接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变 C./(x)=5(e'+te-) 换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. x2+2 D./(x)=5cos Γx2+1 角度3知图选图 3.（角度3)已知函数y=(x)的部分图象如图所示，则 例(2023，荆州质检)若函数y=x)的曲线如图所 示，则函数y=f(2-x)的曲线是 函数y=22在[-，m]上的大致图象为 2 B 1012八 -2-101x 0 名师点拨：函数图象的识辨可从以下几方面 入手 1.从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数 的值域，判断图象的上下位置. 2.从函数的单调性，判断图象的变化趋势 3.从函数的奇偶性，判断图象的对称性. 4.从函数的周期性，判断图象的循环往复， 5.从函数的特征点，排除不合要求的图象 【变式训练】 1.（角度1)(2024·准安模拟)已知函数∫(x)= 0 x(e-e 2,则f(x)的图象大致是 考向3函数图象的应用一一暑维探究 ( x-1 角度」函数图象的对称性 例1.(2025·江苏“决胜新高考”名校联考)若曲线 总复习 y=(x+a)ln1-2）关于直线x=b对称，则a- 学 b= ( 04S A.-2 B.0 B C.1 D.2 2.（2024·四川南充二模)已知函数f(x)=e 0 e,则函数y=f(x-1)+1的图象 () A.关于点(1,1)对称 B.关于点(-1,1)对称 C.关于点(-1,0)对称D.关于点(1,0)对称 [小题巧解]用特殊点的对称性解决函数图象 2.(角度2)(2025·黑龙江牡 的对称性问题 丹江省级示范性高中月考) 角度2利用函数图象研究函数性质 已知函数f(x)的部分图象如 图所示，则f(x)的解析式可 例（多选题）(2025·福建厦门月考)对任意两个实 能为 ( 数a,b,定义mina,b三b,。>b若/八x)=2- A.f(x) e-e-x 41x1-3 x2,g(x)=x2,下列关于函数F(x)=minf(x),g(x)川 B 的说法正确的是 () A.函数F(x)是偶函数 e*+e-x C.fx)=41x1-3 B.方程F(x)=0有三个解 C.函数F(x)在区间[-1,1]上单调递增 D)=1 D.函数F(x)有4个单调区间 角度3利用函数图象研究不等式 【变式训练】 例设奇函数x)在(0，+∞)上为增函数，且1)= 1.（角度1)已知f(x)=ln(1-x),函数g(x)的图象与 0,则不等式x）=-边<0的解集为 () f(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(x)的解析式为 A.(-1,0)U(1,+0) 2.（角度1)设函数y=(x)的定义域为实数集R,则函 B.(-0,-1)U(0,1) 数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于（) C.(-∞，-1)U(1,+0) A.直线y=0对称 B.直线x=0对称 D.(-1,0)U(0,1) C.直线y=1对称 D.直线x=1对称 [引申]若将“奇函数f(x)”改为“偶函数(x)”,3.(角度2)（多选题）已知函数()=gx,则 不等式)+-<0的解集为 A.f(x)是偶函数 名师点拨： B.f(x)值域为[0，+o) 1.利用函数的图象研究函数的性质 C.f(x)在(0，+∞)上递增 对于已知解析式，易画出其在给定区间上图象的 D.f(x)有一个零点 函数，其性质常借助图象研究： 4.(角度3)函数f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数， (I)从图象的最高点、最低点及拐点，分析函数的 最值、极值； 其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式x】<0 coS x (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性； 的解集为 (3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周 期性。 2.利用函数的图象研究不等式思路 当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有 046 关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系 问题，从而利用数形结合求解 22 年 名师讲坛·素美提升 度 利用数形猪合思想解题 计 衡 函数y=生=是+1由y=片上格 2+2 =0 2 =m.故选B. 学 解法二：特例：令f(x)=x+1,则m=2,又+y2 一个单位得到，关于(0,1)点对称 =2,.选B. 函数y=(x)关于点(0,1)对称 名师点拨： 例已知函数fc∈R)满足f-=2-fd,若 求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结 合思想解题，其思维流程一般是： 函数y=士与y=f)图象的交点为x, 通过作图法或函数图象变换法画出有关 画图 函数的图象 (x2y2),…, xny,则c+》 准确分析函数图象的特征，定性分析、定 A.0 B.m C.2m D.4m 二分析 量分析 分析出函数y=)和y=的图象都关 三转化 借助函数图象，把原问题转化为数量关系 于点(0,1)对称，进而得两函数图象的交 比较明确的问题 点成对出现，且每一对交点都关于点(0， 解决问题，并回归题目的要求，得出正确 1)对称，从而得出结论 四结论 结论 [答案]B 【变式训练】 [解析]解法一：由f(-x)=2-f(x)可知f(x) 函数y=lnlx-11的图象与函数y=-2 COS TX(-2 的图象关于点(0，)对称，又易知y=“中=1+的 ≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( A.3 B.6 C.4 D.2 图象关于点(0,1)对称，所以两函数图象的交点成对出 现，且每一对交点都关于点(0,1)对称一三（x+y) 温馨提示：复习至此，请完成练案[12]例2：BCD由1g2<oe2<1og2的大小关系，可知ab,c有如下3.(1，号)】 当a>1时，f(x)=log(8-ax)在[1,2]上是减 四种可能：①1<c<b<a:②0<a<1<c<b:③0<b<a<1< c:④0<c<b<a<1.作出函数的图象（如图所示）： 函数， AY 由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，得f(x)mm=log.(8-2a)> y=log x y=log.x y=logx y=logx y=logex 1,解得1<a<号： y=logx 当0<a<1时，f代x)在[1,2]上是增函数， 由fx)>1在区间[1,2]上恒成立， 1<c<b<a 0<a<l<c<b 得fx)min=logn(8-a)>1,得8-a<a,a>4,故a不存在. ① ② 综上可知，实数a的取值范用是(1，学)片 -y=log.x 名师讲坛·素养提升 -y=log 变式训练 y=logx y=logx y=log,x D.从2023年起，第n(n∈N)年该企业人均增加收人超过 0<b<a<1<c 0<c<b<a<l 3000元，因为从2023年起，每年将在此基础上以10%的增长率 ③ ④ 增长，所以，第n年该企业的人均增加收入为1000×1.1元， 由图象可知B,C,D可能成立 由1000×1.1">3000，即1.1">3，可得m1.1"=nln1.1> 角度2 In 3 In 3 1.10 n3,所以m>n-in1in102.40-2.30-1L,故2023 例1：C由题意可得a>0, loga>-loga或 +12=2035年开始，该企业每年人均增加收入开始超过3000 fa<0, 元.故选D. log号(-a)>1og,(-a,解得a>1或-1<a<0.故选c 第七讲函数的图象 例2：(0，u(1,+∞） 当a>1时，y=logx在(0，+o)上单 知识梳理·双基自测 调递增， 知识梳理 则g<0<1恒成立， 知识点 当0<a<1时，y=logx在(0，+o)上单调递减， 2.右移左移上移 下移 由g子<1， 3.伸长缩短1 伸长缩短A 4.-f(x)f(-x) -f代-x) 可得hg子<1hga, 5.f代lxl)lfx)I 解得0<a< 双基自测 1.(1)×(2)V(3)×(4)×(5)×(6)V 综上.使1g子<1成立的a的取值范周是(0，)U1,2上®：+2) 3.C由图可知当x≤0时y=f(x),故选C. +0）. 角度3 4.Bf-x）=-x2+(e-e)sin(-x）=-x2+(e-e*)sinx 例：A函数f(x)的定义域为xlx≠±3}， =(x),又函数定义域为[-2.8,2.8]，故该函数为偶函数，可 f(x)=Inlx +31+Inlx -31 =Inla2-91, 除Ac,又)=-1+(e-）m1>1+(e-日)血君 令g(x)=x2-91, 则f(x)=lng(x), =分-1名>子名>0，故可排除卫放选区 函数g(x)的单调区间由图象（图略）可知， 5.A由题图可知，当x=3时，y<0. 当xe（-∞，-3)，xe(0,3)时，g(x)单调递减， 33-3_12 当x∈(-3,0)，x∈(3，+∞)时，g(x)单调递增 对于B,当x=3时，y+5>0,故排除B时 由复合函数单调性同增异减得单调区间， 由f(-x)=nl(-x)2-91=lnlx2-91=f(x)得f(x)为偶 对于D,号<3<ms血3>0， 函数. 0,故排除D: 变式训练 当x=3时，y=2sn3 32+1 1.Aa=1 log 3,6 =1 logs3,c=1 log 3,'.'log 3 logs3 对于C,当0<x≤1时，0<c0sx<1,x2+1≥2x, log63,.∴.a>b>c 2.[0,+)当x≤1时，由2-≤2得1-x≤1，所以0≤x≤1；当 01 >1时，由1-g≤2得≥号，所以>1综上，x的取值范 20s≤c0sx<1,由题图可知当0<x<1时，函数的最大值 x2+1 围为[0，+∞). 大于1，故排除C.故选A. 444 考点突破·互动探究 :角度3 考点 :例：C解法一：先关于y轴对称，得到y=f代-x)的图象，再向右 考向1 平移两个单位，即可得到y=f[-(x-2)]=f2-x)的图象. 例：[分析](1)将y=2*的图象左移一个单位得到y=2*的图 所以答案为C.(注意，左右平移是针对字母x变化，上下平移 象再下移一个单位得到y=2+!-1的图象； 是针对整个式子变化). (2)化简y=x+2」 1+名将y=2的闲象有花1个单位后。 解法二：由f代0)=0知y=f(2-x)的图象过点(2,0)，排除B x-1 D.又f代1)=f(2-1)>0即y=f(2-x)在x=1处的函数值大 再上移1个单位得到兰号的图象： 于0，排除A,故选C 变式训练 (3)先由函数的奇偶性画出y轴右侧图象，再画左侧； (4)将)=g的图象向下平移1个单位，=e-1的图1D函数)=台的定义城为xx≠±1《-x) lxl-1 象一→将y=log2x-1的图象位于x轴下方的部分向上翻折→ y=Ilog2x-1I的图象. -x(e二e)=代x),则f()为偶函数，其图象关于y轴对称， 1xl-1 [解析](1)将y=2的图象向左平移1个单位长度，得到 可排除A;当0<x<1时，lxl-1<0,e-e>0,则fx)<0,可 y=2+的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到 排除B、C.故选D. y=2+1-1的图象，如图①. 2A当1时-后-写行易知心-。>03 4红<0则<0，不满足图象，故B结误)=二定义 城为(-，子)u(-子，子)（子，+）又f-) 41-二-34x3代)，则x)的图象关于y轴对称，故 e-ter 2)y=+2=1+ 先作出y=子的图象，将其图象向右平 3 C错误当>1时)吉1+由反比例 x-1 函数的性质可知f代x)在(1，+∞)上单调递减，故D错误；检验 移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，即得y=+2的 x-1 选项A八)=消足图中性质，故A正确故选A 图象，如图② 3.C 由函数图象的伸缩变换可得结论.先将函数y=f(x)的图象 的图象中x≥0 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图 象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数 的部分，再作=() 图象中x>0的部分关于y轴的对称 y=2升2)的图象根据)=x)的部分图象可知，只有选项C 图象，即得y=() 的图象，如图③ 符合.故选C. 考向3 角度1 例1：A 令)=y=(x+o)n(1-是) 由1-是>0，得x>2或x<0 故函数f(x)的定义域为(-0,0)U(2,+0), (4)先作出y=logx的图象，再将其图象向下平移一个单位长 由曲线y=(x+a)加(1-是)关于直线x=6对称，得定义 度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方， 域关于直线x=b对称， 即得y=1log2x-11的图象，如图④. 考向2 则6=0+2=1，此时必有-1)=f3), 2 角度1 例：Af(x)= 2c05x 的定义域为R,由f(-x)= 即(-1+o)n3=(3+ah号，解得a=-1, (e+) 此时f2-)=(1-h1-22) 2cos(-x) 2cos x =孔x),得f(x)为偶函数，故排 (e+)(e+】 =x-h1-2）=, 因此函数f(x)的图象关于直线x=1对称，即a=-1,b=1 除B.C:又f(受)=0，故排除D.故选A 满足题意，故a-b=-2.故选A 角度2 例2：A因为f(x)=e*-e,所以f代-x)=e-e*=-f(x),即 例：D由题图可知f(x)为偶函数，而选项A,B中的函数均为奇 f孔x)的图象关于原点对称，函数y=f(x-1)+1的图象可由 函数，所以排除A,B.又因为选项C中，f(x)=5(e+e)>0 代x)的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得 x+2 到，所以函数y=f(x-1）+1的图象关于点(1,1)对称.故 恒成立，故排除C,故选D. 选A. 445 角度2 第八讲函数与方程 例：ABD根据函数f代x)=2-x2与g(x) =x2,画出函数F(x)=min{f(x), 知识梳理·双基自测 g(x)}的图象，如图.由图象可知，函 知识梳理 数F(x)=minf代x),g(x)}关于y轴 知识点一 对称，所以A项正确；函数F(x)的图 1.fx)=0 象与x轴有三个交点，所以方程F(x) 2.x轴零点 =0有三个解，所以B项正确：函数F(x)在(-0，-1]上单调 3.f(a)fb)<0fc)=0 递增，在[-1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1， 知识点二 +∞)上单调递减，所以C项错误，D项正确.故选ABD. 1.fa)f(b)<0 一分为二零点 角度3 双基自测 例：Dfx)为奇函数，w)=-边<0 1.(1)× (2)V(3)×(4)×(5)×(6)× <0台f(x)<0,由题意可知f(x)的大致图 [解析](1)函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标. 象如图所示，所以所求不等式的解集为 (2)函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实根. (-1,0)U(0,1). (3)函数图象若没有穿过x轴，则f(a)·f(b)>0. [引申] (4)若在区间[a,b]内有多个零点，f(a)·f(b)>0也可以. (-∞，-1)U(0,1) (5)f代x)=2在R上单调递增没有零点。 变式训练 (6)y=x2与y=2在y轴左侧一个交点，y轴右侧两个交点，如 1.g(x)=-ln(x-1)设P(x,y)为函数y=g(x)上任意一点，则 在x=2和x=4处都有交点. 点P(x,y)关于点(1,0)的对称点Q(2-x,-y)在函数y=f(x)图 2.C对于选项C,由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符号 象上，即-y=f(2-x)=ln(x-1),所以y=-n(x-1),所以 是相同的，故不能用二分法求解 g(x)=-ln(x-1) 3.Cy=)=h-2的定义域为(0，+0，因为y=血x与 2.D解法一：设t=x-1,则y=f(t)与y=f(-t),关于t=0对 称，即关于x=1对称故选D. y=二在(0，+)上单润递增，所以)=hx-2在 解法二：y=f(x-1)与y=f1-x)的图象分别由y=f(x)与y= (0,+o)上单调递增，又f1)=ln1-2=-2<0,f(2)=ln2- (-x)的图象同时向右平移一个单位而得，又y=f(x)与y= f代-x)的图象关于y轴对称，所以y=f(x-1)与y=f(1-x)的 1<0e)=lne-2=1-2>0,所以2e)<0,所以x) e 图象关于直线x=1对称.故选D. 在(2，e)上存在唯一的零点，故选C. 3.BD画出f代x)=gx的函数图象如图， 2 4.B由表可知，f2)f代3)<0，f3)f(4)<0,f(4)f5)<0,所以函 由图可知，代x)既不是奇函数也不是偶函 fx)=llg xl 数f代x)在区间[1,6]上至少有3个零点. 数，故A错误；fx)值域为[0，+∞)，故B 5.D令h(x)=fx)-g(x)=ax2+a-1-cosx,x∈(-1,1)，原 正确；f(x)在(0,1)上单调递减，在(1， 题意等价于h(x)有且仅有一个零点，因为h(-x)=a(-x)2+ +∞)上单调递增，故C错误；f(x)有一个 a-1-cos(-x)=ar2+a-1-cosx=h(x),则h(x)为偶函数， 零点1，故D正确.故选BD. 根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，即h(0)=a-2 4.(-,-u(1,） 在(0,2)上，y=cosx>0,在 =0,解得a=2,若a=2,则h(x)=2x+1-cosx,x∈(-1,1)， 又因为2x2≥0,1-c0sx≥0当且仅当x=0时，等号成立，可得 (受4）上，y=o<0由x)的图象知，在(1，）上.< h(x)≥0，当且仅当x=0时，等号成立，即h(x)有且仅有一个零 ’c0sx 点0，所以a=2符合题意.故选D. 0.因为()为偶函数，y=cosx也是偶函数，所以y=为偶 考点突破·互动探究 医数，所<0的解集为受，-(，引 考点1 考向1 名师讲坛·素养提升 例1：B由已知，可知f(x)为增函数，且f(1)=2+1-9=-6< 变式训练 0,f(2)=4+8-9=3>0,根据零点存在定理，函数f(x)在 B由图象变换的法则可知，y=lnx的图象关于y轴对称后的 (1,2)有零点，且零点是唯一的.故选B. 图象和原来的一起构成y=lnIx1的图象，向右平移1个单位长 例2：BC易知f(a)=(a-b)(a-c),f代b)=(b-c)(b-a),f(c) 度得到y=nlx-1I的图象；y=-2 COS TX的周期T=2.如图所 =(c-a)(c-b).又a<b<c,则f(a)>0,fb)<0,f(c)>0 示，两函数的图象都关于直线x=1对称，且有3对交点，每对交 又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别 点关于直线x=1对称，故所有交点的横坐标之和为2×3=6 位于区间(a,b)和(b,c)内，故选BC. 例3：2因为2<a<3<b<4, 所以0<log2<1,log4>log3>1, f2)=log2+2-b<3-b<0, f3)=1ogm3+3-b>4-b>0, f4)=l1og4+4-b>0, 所以f(2)·f3)<0,x∈(2,3)，所以函数f(x)的零点x∈ (n,n+1)时，n=2. 446