第二章 第六讲 对数与对数函数-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习学案

名师#运·素美提升 指数画数中的今类与整合思想 名师点拨： 例 已知函数fx)=a+2r+b(a,b是常数且a>0, 分类与整合就是所给变量不能进行统一研究时， ≠1)在区间- 可上有最大值3和最小值子· 要分类研究，再整合得到的结论，指数函数的单调性与 底数的取值有关，如果底数是字母时，常分情况讨论. 试求a,b的值 解指数函数综合问题的两个注意点： 1.指数函数的底数不确定时，应分a>1和0<a< 求复合函数值域，先观察它是怎样复合而成 1两种情况讨论. 的=与+x:可名后，表出 2.解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要 x2+2x,x 「3 熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利 ，0的值城，再求=a+6的值城。 用换元法求解时要注意新元的取值范围. 注意.要对底数a进行分类讨论 【变式训练】 设a>0且a≠1，函数y=a2+2a-1在[-1,1]上 [解析]设1=2+2，xe[-,0, 的最大值是14，求实数a的值. 由图象得te[-1,0]. ①当a>1时，g(t)=d+b在[-1,0]上为增函 数，德城为[日+6,1+小， +b=弓解得 a 1+b=3, lb=2. 高考 ②当0<a<1时，g(t)=a+b在[-1,0]上为减 函数，值城为[1+6，。+6小， 轮总复习 1+b=2 解得 a3 1+b=3, 63 温馨提示：复习至此，请完成练案[10】 039 3 综上所述，a=2,b=2或a= 3,b= 第六讲 对数与对数函数 知识梳理·双县自测 知识梳理 常用对数 底数为 自然对数 底数为 知识点一对数与对数运算 1.对数的概念 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的定义：如果a=N(a>0,且a≠1)，那 (1)对数的性质 么数x叫做以a为底N的对数，记作 ,其中 ①log1= 叫做对数的底数， 叫做真数 ②log.a= (其中a>0且a≠1)； (2)几种常见对数 ③log.a= (a>0且a≠1，beR). 对数形式 特点 记法 (2)对数恒等式 一般对数 底数为a(a>0,且a≠1) (其中a>0且a≠1，N>0) (3)对数的换底公式 2.对数函数的图象与底数大小 log x log,N= (a,b均大于零且不等于1，N> 的比较如图，作直线y=1,则 一logx 该直线与四个函数图象交点 -----y=1 0) (4)对数的运算法则 的横坐标为相应的底数.故 0<c<d<1<a<b. logx 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,那么 ①log.(MN)= 由此我们可得到以下规律：在 第一象限内从左到右底数逐渐增大。 M ②log.N 双基自测 ③log。M= (nER). 题组一走出误区 知识点二 对数函数的图象与性质 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或 1.对数函数的定义、图象和性质 “×”) 定义 函数 叫做对数函数 (1)若MWN>0,则log(MN)=log,M+log.N.(） (2)log2x2=20g2x. ( a>1 0<a<1 (3)2g3≠3g2. () (4)函数y=ln(x2-1)与y=ln(x+1)+ln(x-1) x=1 是同一函数 () 图象 题组二走进教材 y=log x 1(1,0) 2.（多选题)（必修1习题4.3T2改编）下列各式正确 0 0,0 0 y=log x 的是 () 040 -2 B.Ig 2+1g 5=1 定义域： 值域： C.(In x)2=2Inx Dg派-起x 当x=1时，y=0,即过定点 3.(必修1习题4.4T1改编)函数f(x)=√n(x-1) 度 性质 当0<x<1时，y<0; 当0<x<1时，y>0: 的定义域是 () 当x>1时 当x>1时 A.(1,+∞) B.(2,+) C.[1,+∞) D.[2,+o) 计 在(0，+)上为 在(0，+∞)上为 4.(必修1习题4.3T3改编)写出下列各式的值： 衡 (1)log22 学 2.反函数 指数函数y=a(a>0且a≠1)与对数函数 (2)log3+l0g3= (a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 -1 对称 (3)g3+2g2-()'= a>1 0ka<1 (4)(10g29)·(10g4)= V=d 5.（必修1习题4.4T5改编)函数y=log。(x-1)+ 2(a>0,且a≠1)的图象恒过的定点是 y=x 题组三走向高考 y=log x 6.(2024·全国甲卷理，15,5分)已知a>1且 1 ogsa 1 5 y=log x 1g42,则a= 7.(2021·新高考Ⅱ卷，7,5分)若a=log2,b=logs3, 归纳拓展 e=分则 () 1.换底公式的两个重要结论 A.c<b<a B.b<c<a 1 C.a<c<b D.a<b<c ①log。b=1og,a 8.（2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)=n(x2-2x-8)的单 ②ngb=Rog.b 调递增区间是 () A.（-0,-2)） B.(-o,1) 其中a>0,且a≠1，b>0,且b≠1，m,neR且m≠0. C.(1,+∞) D.(4,+∞) 考点突破·互动探究 点1 名师点拨：应用对数型函数的图象可求解的 对数与对数运算一自主练透 问题 例1.1g81-1g8·1g3-20+lg万+g5= 1.对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对 数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、 2.计算，1-1og3)+logs2·l0g18 零点时，常利用数形结合思想 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的 1og64 函数图象问题，利用数形结合法求解. 3.(2022·浙江卷)已知2°=5，l0gs3=b,则4-3弘 【变式训练】 = ( ）1.在同一平面直角坐标系中，函数y=a,y=log(x+a) A.25 B.5 (a>0且a≠1)的图象可能是 c 4.已知lg2=a,lg3=b,用a,b表示log1g15= 10 2 3 3 名师点拨： 1.利用对数的运算性质化简对数式主要有以下两 种方法： (1)“正向”利用对数的运算法则，把各对数分成 更为基本的一系列对数的代数和； (2)“逆向”运用对数运算法则，把同底的各对数 合并成一个对数. -2-1 2.利用已知对数式表示不同底数的对数式时，可 以将待求式中的底数利用换底公式化为已知对数式的 0 总复习 底数 2.已知函数f(x)= l0g2x,x>0, 且关于x的方程f(x)》 专点C 对数函数的图象与性质 13,x≤0， 学 +x-a=0有且只有一个实根，则实数a的取值范 若向1 对数函数的图象及其应用一师生共研 围是 例1.(2025·潍坊模拟)若函数x)=(k-1)。- 考向2对数函数的性质及其应用一一多维探究 a(a>0,且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函 角度！比较对数值的大小 数，则g(x)=log(x+k)的图象是 例1.(2024·安徽A10联盟模拟)设a=2立，6= log25,c=log35,则 A.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c D.a<c<b 2.(多选题)若实数a,b,c满足log2<log2< log2,则下列关系中可能成立的是 () A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b 角度2解对数不等式 例1.设函数f(x)= 「0g2x,x>0, log5(-x),x<0. 若f(a)> 2.已知函数f(x)=IIn xl,若0<a<b,且f(a)= f(-a),则实数a的取值范围是 A.(-1,0)U(0,1) f(b),则a+4b的取值范围是 B.(-∞，-1)U(1,+∞) A.(4,+∞) B.[4,+∞) C.(-1,0)U(1,+∞) C.(5,+∞) D.[5,+o) D.(-∞，-1)U(0,1) 2.(2024·重庆模拟)已知a>0且a≠1，l1og。 3 2.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的 步骤 <1,则实数a的取值范围是 一求 求出函数的定义域 角度3：对数函数性质的综合应用 :判断对数函数的底数与1的关系，分a>1与0<a<1两种情况 例(2024·郑州模拟)设函数八x)=血x+3引+血x 二判 、到内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数 -31,则f(x) ( “同增异减”原则判断函数的单调性 A.是偶函数，且在(-∞，-3)上单调递减 【变式训练】 B.是奇函数，且在(-3,3)上单调递减 1.(角度1)设a=log412,b=log515,c=log618,则 C.是奇函数，且在(3，+∞)上单调递增 ( D.是偶函数，且在(-3,3)上单调递增 A.a>b>c B.b>c>a 名师点拨： C.a>c>b D.c>b>a 1.比较对数式的大小的关系：(1)若底数为同一常 21-x,x≤1， 数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为 2.(角度2)设函数f(x) 则满足f(x) 1-log2x,x>1, 同一字母，则需要对底数进行分类讨论；(2)若底数不 ≤2的x的取值范围是 同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进3.（角度3）已知函数f(x)=lg(8-ax)(a>0且a≠ 行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中 042 1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的 间量进行比较. 取值范围是 名师讲近·素养提升 度 新 有关对数运算的创新冠用问题 计 例(2024，北京卷)生物丰高度指数：是河流的汽意公文。用叶还买注意化简过程中的等修性和对 数式与指数式的互化，有助于提升学生的转化能力和 衡 水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河流中的生 学 数学运算能力 物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数山越大，水 【变式训练】 质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变 (2024·湖南常德期末)党的二十大会议确定“高质 化，生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由 量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任 2.1提高到3.15，则 ( 务”的新部署.某企业落实该举措后因地制宜，发展 A.3N2=2N B.2Y2=3N 经济，预计2023年人均增加1000元收入，以后每年 C.N2=N D.N=N 将在此基础上以10%的增长率增长，则该企业每年 [答案]D 人均增加收入开始超过3000元的年份大约是（参考 [解析] 根据题意，21-①.315= 数据：ln3≈1.10，n10≈2.30，n11≈2.40)（） In N, A.2030年 B.2032年 2受始品-号h=2MhG: C.2033年 D.2035年 lnW,.N=N,故选D. 温馨提示：复习至此，请完成练案[11] 名师点拨： 在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活 运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数函数， 7.Cle2<g5=之，lg3>1g8时-=a<c<k放 当=合时，取最大位（日+-1 选C 所以（日广+名-1=14，得a=或a= 5(舍) 8.D由x2-2x-8>0,得x<-2或x>4.因此，函数f(x)=n(x -2x-8)的定义域是(-∞，-2)U(4,+∞).注意到函数y= 综上所述，a=3或3 x2-2x-8在(4，+∞)上单调递增，由复合函数的单调性知， fx)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4，+0)，选D. 第六讲对数与对数函数 考点突破·互动探究 考点1 知识梳理·双基自测 知识梳理 例1：0原式=lg3-子lg2g3-3+lg而=4- 3 2 知识点一 3+分-0 1.x =log,N a N log N 10 lg N e In N 2.0 1 b N log.N 例2：l原式=1-21og3+(g,3)2+(1-lg3)(1+log3) log,b log,M+log,N log,M-log,N nlog,M log 4 知识点二 _1-2log3+(1og3)2+1-(10g3)2 log64 1.y=logx(a>0,且a≠1)(0，+∞)(-o,+∞)(1,0) 2(1 -log 3)log 6 -log 3 log 2 y>0y<0增函数减函数 = 2l0g 2 2.y=logax y=x log2 10g2=1. 例3：C由2”=5两边取以2为底的对数，得a=log25.又b= 双基自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 30源83，所以a-3h=竖5-吧3=o随 [解析](3)设23=M,32=N,则lgM=lg23=lg3lg2= 5 lg 3%52 =1g N,.'.M=N. 1og43 是=2e号=名所以4=4-曾故适C 2BDA选项，由换底公式，可得g=1og6=1+0g2,故A错 例4：60+1bg15=竖15=g3+g5 2b+a 1g181g2+2lg3 误；B选项，lg2+lg5=lg(2×5)=1,故B正确；C选项，(lnx) =g3+1-lg2=b-a+1 =nx×nx≠2加，故C错误D选项，g报=lg宝=子g, 1g2+2lg3 -2b+a 考点2 故D正确， 考向1 3.D要使函数x)=(x-有意义，只需血(x-)≥0，即例1：A由于代)是R上的奇函数，所以f0)=k-1-1=0,k: 1x-1>0, -1≥引解得x≥2，所以函数x)的定义域为[2，+如)： )=口为减函数，所以0<a<1,所巴 1x-1>0. log(x+2),x>-2,g(x)为(-2，+∞)上的减函数，g(-1) 4()-7(20(3)-1(4)40g号 2 =0,排除B,C,D,故选A. log,2= 例2：C由f(a)=fb)得lnal-Ilnb1.如图， 根据函数y=Inxl的图象及0<a<b,得 -2 -lna=nb,0<a<1<b,所以1 =b.令 a (2)1og3+log,3=ogx1=0. (3返+22-()=+g4-(） -1 &(6)=a+46=46+方，根据对勾函数的图象与性质易得 =lg10-2 g(b)在(1，+∞)上单调递增，所以g(b)>g(1)=5.故a+ =-1. 4b>5,故选C. (4)解法一：原式=9g4-23:22=4. 变式训练 lg2lg31g2·lg3 1.A由函数y=a与y=log(x+a)的图象过定点(0,1)，可排 解法二：原式=21g3·og,3 1og24 2×2=4 除选项C,D:义因为y=a“=(日) 与y=log.(x+a)单调性相 5.(2,2)当x=2时，函数y=log(x-1)+2(a>0,且a≠1)的 异，可排除选项B.故选A. 值为2，所以图象恒过定点(2,2). 2.(1,+∞)如图，在同一坐标系中分别作 6.64 loga log.4 1三-31og.8-0g4户 5 出y=f(x)与y=-x+a的图象，其中a表=-x+( 2, 示直线在y轴上的截距.由图可知，当a>1 1 5 即3log.2-21og.2=-2 时，直线y=-x+a与y=log2x只有一个交 点，即方程f(x)+x-a=0只有一个实根. 设i=1og.2,a>1,t>0,3-2i=- 5 考向2 角度1 即+5-1=0解得1=石或-1（合. 例1D因为1og2<0,所以0<a<1,又6=lg5>l1og4=2,1 g2=石，解得a=64, =log33<c=log5<log9=2,所以a<c<b.故选D. 一443 例2：BCD由1g2<oe2<1og2的大小关系，可知ab,c有如下3.(1，号)】 当a>1时，f(x)=log(8-ax)在[1,2]上是减 四种可能：①1<c<b<a:②0<a<1<c<b:③0<b<a<1< c:④0<c<b<a<1.作出函数的图象（如图所示）： 函数， AY 由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，得f(x)mm=log.(8-2a)> y=log x y=log.x y=logx y=logx y=logex 1,解得1<a<号： y=logx 当0<a<1时，f代x)在[1,2]上是增函数， 由fx)>1在区间[1,2]上恒成立， 1<c<b<a 0<a<l<c<b 得fx)min=logn(8-a)>1,得8-a<a,a>4,故a不存在. ① ② 综上可知，实数a的取值范用是(1，学)片 -y=log.x 名师讲坛·素养提升 -y=log 变式训练 y=logx y=logx y=log,x D.从2023年起，第n(n∈N)年该企业人均增加收人超过 0<b<a<1<c 0<c<b<a<l 3000元，因为从2023年起，每年将在此基础上以10%的增长率 ③ ④ 增长，所以，第n年该企业的人均增加收入为1000×1.1元， 由图象可知B,C,D可能成立 由1000×1.1">3000，即1.1">3，可得m1.1"=nln1.1> 角度2 In 3 In 3 1.10 n3,所以m>n-in1in102.40-2.30-1L,故2023 例1：C由题意可得a>0, loga>-loga或 +12=2035年开始，该企业每年人均增加收入开始超过3000 fa<0, 元.故选D. log号(-a)>1og,(-a,解得a>1或-1<a<0.故选c 第七讲函数的图象 例2：(0，u(1,+∞） 当a>1时，y=logx在(0，+o)上单 知识梳理·双基自测 调递增， 知识梳理 则g<0<1恒成立， 知识点 当0<a<1时，y=logx在(0，+o)上单调递减， 2.右移左移上移 下移 由g子<1， 3.伸长缩短1 伸长缩短A 4.-f(x)f(-x) -f代-x) 可得hg子<1hga, 5.f代lxl)lfx)I 解得0<a< 双基自测 1.(1)×(2)V(3)×(4)×(5)×(6)V 综上.使1g子<1成立的a的取值范周是(0，)U1,2上®：+2) 3.C由图可知当x≤0时y=f(x),故选C. +0）. 角度3 4.Bf-x）=-x2+(e-e)sin(-x）=-x2+(e-e*)sinx 例：A函数f(x)的定义域为xlx≠±3}， =(x),又函数定义域为[-2.8,2.8]，故该函数为偶函数，可 f(x)=Inlx +31+Inlx -31 =Inla2-91, 除Ac,又)=-1+(e-）m1>1+(e-日)血君 令g(x)=x2-91, 则f(x)=lng(x), =分-1名>子名>0，故可排除卫放选区 函数g(x)的单调区间由图象（图略）可知， 5.A由题图可知，当x=3时，y<0. 当xe（-∞，-3)，xe(0,3)时，g(x)单调递减， 33-3_12 当x∈(-3,0)，x∈(3，+∞)时，g(x)单调递增 对于B,当x=3时，y+5>0,故排除B时 由复合函数单调性同增异减得单调区间， 由f(-x)=nl(-x)2-91=lnlx2-91=f(x)得f(x)为偶 对于D,号<3<ms血3>0， 函数. 0,故排除D: 变式训练 当x=3时，y=2sn3 32+1 1.Aa=1 log 3,6 =1 logs3,c=1 log 3,'.'log 3 logs3 对于C,当0<x≤1时，0<c0sx<1,x2+1≥2x, log63,.∴.a>b>c 2.[0,+)当x≤1时，由2-≤2得1-x≤1，所以0≤x≤1；当 01 >1时，由1-g≤2得≥号，所以>1综上，x的取值范 20s≤c0sx<1,由题图可知当0<x<1时，函数的最大值 x2+1 围为[0，+∞). 大于1，故排除C.故选A. 444