第二章 第九讲 函数模型及其应用-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习学案

第九讲 函数模型及其应用 知识梳理·双基自测 知识梳理 归纳拓展 知识点 函数模型及其应用 1.函数f代x)=x+(a>0,x>0)在区间(0，a]内单 1.几类常见的函数模型 调递减，在区间[√a,+∞)内单调递增. 函数模型 函数解析式 2.直线上升、对数增长、指数爆炸 一次函数模型 f代x)=ax+b(a,b为常数，a≠0) 双基自测 反比例函数模型(x)=k +b(k,b为常数且k≠0》 题组一走出误区 二次函数模型 f(x)=ax+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或 fx)=bm+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0 “X”) 指数函数模型 且a≠1) (1)函数y=2的函数值比y=x2的函数值大.（) (2)幂函数增长比直线增长更快， () 八x)=blog+c(a,b,c为常数，b≠0，a> (3)在(0，+∞)上，随着x的增大，y=a(a>1)的 对数函数模型 0且a≠1) 增长速度会超过并远远大于y=x(a>0)的增 幂函数模型 f(x)=ax"+b(a,b为常数，a≠0)》 长速度 () (4)不存在xo,使a5<x<logx0 ( ) 2.三种函数模型的性质 题组二走进教材 函数 2.（必修1P14oT6改编)某工厂一年中各月份的收入、 y=a(a>1) y=log x(a>1)v=x"(n>0) 性质 支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的 轮 是 总 在(0，+∞) 万元 单调 单调 单调递增 90 上的增减性 -。收入 80 口支出 70 学 增长速度 越来越 越来越 相对平稳 50 随x的增大逐 随x的增大 随n值变化 40 图象的变化 渐表现为与 逐渐表现为 而各有不同 30 平行 与 平行 20 值的比较 存在一个xo,当x>。时，有logx<x<a 2 3456789101112月份 3.解函数应用问题的步骤 (注：结余=收入-支出) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量 A收入最高值与收入最低值的比是3：1 关系，初步选择数学模型； B.结余最高的月份是7月 (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语 C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入 言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学 的变化率相同 模型； D.前6个月的平均收入为40万元 (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； 3.(必修1Ps6T14改编)在某个物理实验中，测量得变 (4)还原：将数学问题还原为实际问题 量x和变量y的几组数据，如下表： 以上过程用框图表示如下： 0.50 0.99 2.01 3.98 实际问题 分析、联想、 →建立函数模型 y -0.99 0.01 0.98 2.00 抽象、转化 答 数学推演 则对x,y最适合的拟合函数是 还原 A.y=2x B.y=x2-1 实际结果 数学结果 C.y=2x-2 D.y=log2x 4.(必修1P61T8改编)2022年北京冬奥会上谷爱凌的题组三走向高考 表现让国人自豪，她夺得冠军的其中一个项是女子 5.（多选题)(2023·新课标I卷，10,5分)噪声污染问 U形场地技巧赛.比赛是在一个形状类似于U形的 槽子里进行.运动员一般需要在U形槽内做5到6 题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定 个动作，得分根据动作的腾空高度、转体角、动作的 义声压级L,=20×lg卫，其中常数p(,>0)是听觉 流畅性及美观性来判定.U形槽的结构由宽阔平坦 Po 的底部和两侧的凹面斜坡（四分之一的圆管）组成 下限阈值，P是实际声压.下表为不同声源的声 宽阔的底部是为了使运动员重新获得平衡并为下 压级： 个动作做准备.根据下图数据可得U形槽两侧圆管 的半径所在平面与地面的夹角及底部的宽度（米）》 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 分别为 燃油汽车 10 60~90 形场地 宽20.1米 混合动力汽车 10 50~60 深6.7米 出发区 7来 全场170米 电动汽车 10 40 平均坡度18 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 裁判区 处测得实际声压分别为P,P2P3,则 () A.18°，6.7 B.18°，10.05 A.P1≥P2 B.P2>10p3 C.72°，6.7 D.72°，10.05 C.P3=100po D.p1≤100p2 052 考点突破·互动探究 LBRAA2AFKAAKKFK1AA1RKKAKAAA11A11A1/A1A1/1A/11A1/11/14R1/12412471448/41A4741484A57465F45A82462A8FA6A4RA4RR4RA1AR1A12A1/A1211A171111111/11R1711/17A1141177121474274 考点 函数模型及应用 2.（2024·武汉调研)为研究西南高寒山区一种 常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示， 年 考向1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程 创 自主练透 生长4年的树高为了米，如图所示的散点图，记录了样 新 例1，（多选题）血药浓度是指药物吸收后在血浆内的 本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系.请你 计 总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的 据此判断，在下列函数模型：①y=2-a;②y=a+ 衡 血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间. oo log25:③y=2l+a;④y=f+a中（其中a为正的常 学 已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及 数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是 相关信息如图所示： (填写序号)，估计该树生长8年后的树高为 米 4 个血药浓度(mg/mL) 最低中毒浓度(MTC) ----峰浓度 安全范围 2 最低有效浓度(MEC o之346宁890清卫耐 012345677 持续期→残留期 名师点拨： 根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物 1.用函数图象刻画实际问题的解题思路 将实际问题中两个变量间变化的规律（如增长的 的说法中，正确的是 ( 快慢、最大、最小等)与函数的性质（如单调性、最值 A.首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥 等)、图象（增加、减少的缓急等）相吻合即可 治疗作用 2.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两 B.每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2种方法 小时，一定会产生药物中毒 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模 C.每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物 型时，先建立函数模型，再结合模型选图象 (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则 持续发挥治疗作用 根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象 D.首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该 的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情 药物1单位，不会发生药物中毒 况，选择出符合实际情况的答案。 专向2已知函数膜型的实际问题一师生共研 (1)写出y关于x的函数解析式； 例(2024·北京昌平二模)中国茶文化博大精深，茶 (2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出 水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明， 最大利润. 某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至 60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶 水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为y,可选择 函数y=60×0.9'+20(t≥0)来近似地刻画茶水温度 随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达 到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（参考 数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48) A.2.5 min B.4.5 min C.6 min D.8 min 名师点拨：求解已给函数模型解决实际问题的 关注点 1.认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数。 名师点拨： 2.根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定 1.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规 系数. 律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律 ,! 3.利用该模型求解实际问题， 分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范 围，特别是端点值， 【变式训练】 2.构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段 (2023·海南海口二模)在核酸检测时，为了让标本 合理不重不漏 中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常 角度2指数函数与对数函数模型 采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量.在此 例2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月 过程中，DNA的数量Xn（单位：g/L)与PCR扩增 球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦 总 次数n满足Xn=X×1.6”,其中X。为DNA的初始 娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要 数量.已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1 是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶 数 段弹道调整，这与“打水漂”原理类似（如图所示）.现 ug/L,核酸探针能检测到的DNA数量最低值为I0 将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为 ug/uL,则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为 100m/s,这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多 053 (参考数据：lg1.6≈0.20，n1.6≈0.47) ) 次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%， A.5 B.10 若要使石片的速率低于60m/s,则至少需要“打水漂” C.15 D.20 的次数为（参考数据：取ln0.6≈-0.511，ln0.9≈ 专向3构建函数膜型解决实际问题一昌维探究 -0.105) (） 角度「一次函数.二次函数与分段函数模型 例某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨，如果 在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进 行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付 一定的加工费，总的加工费P(单位：万元)与精加工的 A.4 B.5 蔬菜量x(单位：吨)有如下关系： C.6 D.7 名师点拨：指数函数与对数函数模型的应用 20,0≤x≤8， 技巧 设该农业合作社将x(单位：吨) 3x+8 1.与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实 10 ,8<x≤14 际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模 蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得 型中，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于 总利润（扣除加工费）为y(单位：万元). 1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都 属于指数函数模型， 2.在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先2.（角度2)基本再生数R。与世代间隔T是新冠肺炎 需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的 的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传 图象求解最值问题， 染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的 【变式训练】 平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模 1.（角度1)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过 型：I(t)=e"描述累计感染病例数I(t)随时间t(单 广告宣传进人消费者视线的.已知某品牌商品靠广 位：天)的变化规律，指数增长率r与R,T近似满足 告销售的收人R与广告费A之间满足关系R=a√A R。=1+rT.有学者基于已有数据估计出R。=3.28, (a为常数)，广告效应为D=a√A-A.那么精明的 T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病 商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为 例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（) A.1.2天 B.1.8天 (用常数a表示) C.2.5天 D.3.5天 名师讲坛·素手提升 444144411141441141411414414141141141441-c24R42 画数y=龙+口(a>0)模型及应用 例(2025·青海名校联盟期中)某校计划利用其一侧 (2)由题意可知，320(x+100) +6400> 原有墙体，建造高为1米，底面积为100平方米， 0S4 且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面 320a1+D,即（(x+10)+20>a1+2对任意的 无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体 xe[6,12]恒成立， 前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新 所以(x+10)2 a1中，可得s+0 a 年 建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价 x+1 度 共计6400元，设劳动基地的左、右两面墙的长度均为 a[01. 新 x(6≤x≤12)米，原有墙体足够长， (x+10)2 计 (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报 +1+8 x+1 ++18≥2√x+1)· x+1 衡 价最低？ +18=36, 学 (2)现有乙工程队也能与该劳动基地的建造竞 案 当且仅当+1=8，即=8时，0取袋 x+1 标，其给出的整体报价为320a1+(a>0)元，若无 小值36， 则0<a<36,即a的取值范围是(0,36). 论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约 名师点拨： 定整体报价更低的工程队竞标成功)，求a的取值 1.解决此类问题时一定要关注函数的定义域。 范围 2.利用模型f(x)=x+4(a>0)求解最值时，注 [解析](1)设甲工程队的总报价为y元，依题 意，左，右两面墙的长度均为x(6≤x≤12)米， 意取得最值时等号成立的条件」 【变式训练】 则长方体前面新建墙体的长度为100米，】 (2024·广东韶关二模)在工程中估算平整一块矩形 场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式是W= 所以y=160×2x×1+320×100x1+6400, (长+4)×（宽+4），在不测量长和宽的情况下，若 只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平 即y=320(x+100 +6400≥320×2 1/x .100 方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少 费用（单位：元）是 6400=12800,当且仅当x=100 即x=10时，等号 A.10000 B.10480 C.10816 D.10818 成立， 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最 温馨提示：复习至此，请完成练案[14] 低，且最低报价为12800元.考点2 解法二：作出y=f(x)及y=a的图象，显 例1：B令fx)=log,t-2x, 1 然0<a<子，不妨设，<，<，显然 因为函数y=g,了=左在(0，+x)上都是增函数。 <0,2>0,3>0,.x出3<0排除C、D; 又当6趋近时，趋近，趋近 所以函数f代x)=log4x- 在(0，+0)上是增函数， 2x 0=号<02=2-分-->0 令，放趋近-故选人 第九讲函数模型及其应用 所以函数)=g一左在区间(1,2)上有唯一零点， 知识梳理·双基自测 所以用二分法求方程1-云近似解时。 知识梳理 所取的第一个区间可以是(1,2).故选B. 知识点 2.递增递增快慢y轴x轴 例2(.2）区间1,2)的中点6=号，令x)=-2-1,汉基自测 1.(1)×(2)×(3)V(4)× )餐 -4<0,f(2)=8-4-1>0,则根所在区间 [解析](1)当x=-1时，2-1<(-1)2. 为32 (2)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓 慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制 例3：7设至少需要计算n次，由题意知5-14<0.001，即2”> (3)对于在(0，+∞)上的三个增函数来言，指数函数增长最快， 2 其次是幂函数和对数函数。 100.由26=64,27=128，知n=7. (4)当ae(0,1)时存在o,使a。<x6<logo 名师讲坛·素养提升 2.D 一、嵌套函数的零点问题 3.D根据x=0.50,y=-0.99,代入计算，可以排除A;根据x= 变式训练 2.01,y=0.98,代入计算，可以排除B、C;将各数据代入函数y= 1.Ay=ffx)]-1=0,即fLf(x)]=1. log2x,可知满足题意，故选D. 4.C根据U形槽的结构特征即可求解.由题意，因为U形槽两侧 当fx)≤0时f(x)+1=1,即fx)=0时，此时log2x=0,计算 圆管的半径所在平面与斜坡面垂直，而斜坡面与地面夹角为 得出x=1,或者x+1=0,计算得出x=-1. 18°，所以U形槽两侧圆管的半径所在平面与地面的夹角为90 当f代x)>0时，logaf(x)=1,即f(x)=2时，若x+1=2,计算得 -18°=72°，底部的宽度为20.1-6.7×2=6.7（米），故选C. 出x=1(舍去)，若1og2x=2,计算得出x=4.综上所述，函数y= f孔f(x)]-1的图象与x轴的交点个数为3.故选A. 5.ACD对于C,由题意知20×1g=40,即1g=2,所以p,= Po 2.D函数g(x)=3[fx)]2-8f(x)+4=[3f(x)-2][f(x)-2] 100po,故C正确； 的零点，即方程R)=号)=2的银 对于A,由题意知L,≥L2,所以20×1g≥20×g,所以p Po lgxl,x>0, 函数f孔x)= 的图象如图所示， ≥P2,故A正确； 1-x2-2x+3,x≤0 y 对于B,Ln=20x12e[50.60],所以3≤lg2≤3， Po Po 所以p2e[10po,10p0],即p2≤10po=10p,故B错误： 对于，=20xs会e0,0].所以3会≤号 Po 所以p1e[103po,102p0],因为100p2e[102po,10%], 所以P1≤100p2,故D正确.故选ACD. 考点突破·互动探究 由图可得方程fx)=子和x)=2共有6个根， 考点 即函数g(x)=3[f(x)]2-8fx)+4有6个零点. 考向1 例1：ABC从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟 二、函数零点的综合问题 后药物发挥治疗作用，A正确：根据图象可知，首次服用该药 变式训练 物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知， A解法一：显然x≤0时，-2x=a,有一根不妨记为x1,则x1= 当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正 号(a≥0)，当x>0时-+x=a即2-x+a=0有两个不 确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服 药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第 等正根，不妨记为，，则4=1-4a>0,即a<子，从而-。 一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位 1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生 (-60）且=a,=-号e(-克0）放选A 药物中毒，D错误 448 例2：② 10 变式训练 3 由散点图的走势，知模型①不合适， 令t=A(t≥0)，则A=t,所以D=at-t子= 、1 曲线过点(4，了)，则后三个模型的解析式分别为2y=弓+ -（-+子所以当1=，即4=时，D取得最 1 1s,③y=宁+了④y=万+号，当：=1时，代入④中，得y 大值 =号，与图不符，易知拟合最好的是②， 2B因为R。=3.28,T=6,R,=1+7,所以r=328-1=038, 6 将1=8代入②式，得y=写+hg:8=(米) 所以1(t)=e”=e.,设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病 例数增加1倍需要的时间为i1天，则ea8+)=2e3,所以 考向2 。=2所08=h2.所以=836-8818天，故 例：B由题可知，函数y=60×0.9+20(t≥0)， 选B 令60x09+20=0则0.9=号 名师讲坛·素养提升 两边同时取对可得：g0.9=g子， .2 变式训练 C设矩形场地的长为x米，则宽为1000米，W=(x+ 即s品=4(2%3-1）=e2-l63, 4)(000+4）=4x+00+10016≥2√4.400+ m4=品-号88-8 =4.5min.故选B. 10016=10816,当且仅当4=4000，即x=100时，等号成立 变式训练 B由题意知X。=0.1,Xn=10,令10=0.1×1.6“，得1.6 所以平整这块场地所需的最少费用为1×10816=10816元.故 选C. 2 10,取以10为底的对数得mlg1.6=2,所以n=g,610.故 第三章导数及其应用 选B 考向3 第一讲导数的概念及运算 角度1 知识梳理·双基自测 例：[解析](1)由题意知，当0≤x≤8时， 知识梳理 =06x+0214-)-方2=六2+号+片， .2.14 知识点 当8<x≤14时， 2.瞬时变化率m fx+△x)-fx) △x y=0.6x+0.2(14-)-3x+8=1 1010x+2, 3.0nx"-1 m-ins c'lna。 12 2 20t+ 5 +片0≤≤8， 4.f'(x）±g(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)Gf'(x) 即y= f()g(x)=((g(x)≠0) L8(x)]2 1 x+2,8<x≤14. 5.y′=y'·u1 2)当0≤x≤8时y=0+2x+4=」 =-20(x-4)2+ 知识点二 5 5 y-yo=f'(xo)(x-x》 8 所以当x=4时，ym=5 双基自测 1.(1)×(2)V(3)×(4)×(5)×(6)× 当8<x≤14时，y=10+2, [解析](1)曲线y=fx)在点P(xo,o) 所以当x=14时，y=了 17 处的切线，点P在曲线上，而过点P(x, )的切线，点P可以在曲线外. 因为号>号，所以当=4时= (2)如图所示，切线可以与曲线有多个公 共点 所以当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为3.6万元， (3)如图所示，直线与曲线只有一个公共点，但不是切线， 角度2 例：C设石片第n次“打水漂”时的速率为"， 则vm=100×0.90-1. 由100×0.90"-1<60，得0.90"-1<0.6， 则(n-1)n0.90<ln0.6, 4(m）=(}=0 甲a-1>出8号三847则>5 (5)(2)'=2n2. (6)[n(-x)]'=- x(-)=,(”=士，但它们定义 故至少需要“打水漂”的次数为6. 域不同 -449-