第二章 第二讲 函数的单调性与最值-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习学案

变式训练 快解：画出f代x)的大致图象，如图所示 1.A令2则=1， 所以f代2)=2-3=-1. 2.2x+7因为f(x)是一次函数 可设f代x)=ax+b(a≠0)， 所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17 若f2x)>f代x+1),则2x>0>x+1或2x>x+1>0,解得x> 即ax+5a+b=2x+17, 1.故选B. 所以=2， 5a+b=17, 名师讲坛·素养提升 所以f(x)的解析式是f代x)=2x+7. 变式训练 3.-+ 由已知得f(-x)+3f代x)=-2x+1, [解析](1)令√2x=(≥0)，则y=2-(≥0)，所以y= 解方程组)+趴-)=2x+1, -1)-分在[0，上单调境减，在[1，+)上单调递增， f-x)+3fx)=-2x+1, 1 得f孔x)=-术+4 所以当：=1，即x=了时，函数)取得最小值，为-分故该函 考点3 数的位城为[-方，+~） 角度1 (2)根据题意得-x2+x+2≠0，解得x≠-1且x≠2. 1:c>0则/(4）=g子-2 4 又：-2<0，则/(4)）=-2)=3=g 且-x2+x+2≠0. 例2：C由题意得f代20)=f17)+1=f14)+2=…=f代-1)+7 所以函数x)的债城为(-0,0)U[号，+∞} =log号[3-(-1)]+7=-2+7=5. (3)由-x2+2x>0,解得0<x<2, 角度2 所以f(x)的定义域是(0,2). 例：A若a≤1，则2-1-2=-3，即2-1=-1，无解；若a>1,则 设t=-x2+2x=-(x-1)2+1, -log(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7,所以f(6-a)= 则0<t≤1，所以y=lnt,te(0,1], -02-2=-子 由对数函数的图象和性质可知y∈(-∞，0]，即函数f(x)的值 域为(-∞，0]. 角度3 (4)令t=x-1,∴.t>0,x=t+1, 2"+1,x≤1， 例：(1，+0)因为函数f(x)= y=+)-+)+2-+1+2=t+2+1≥25+1， logx+3“,x>1, 所以f(1)= t t 2+1=3,所以f[f(1)]=f(3)=1og3+3=1+3,因为 当且仅当t=2即=厄时取等号， f[f代1)]>4，所以1+3“>4，即3>3，解得a>1,即实数a的 取值范围为(1，+o) 函数的值域为[22+1，+∞) 变式训练 第二讲 函数的单调性与最值 1.D分段函数求值问题.函数f(x)= 「E,0≤x≤1， 、所以 2fx-1),x>1, 知识梳理·双基自测 ()=2(仔）-2×√F=1故选n 知识梳理 知识点一 2.A:f1)=2=2∴fa)+2=0, 1.单调递增单调递减上升的下降的 ∴.fa)=-2, 2.单调性单调区间 当a≤0时f(a)=a+1=-2.a=-3, 知识点二 当a>0时f(a)=2=-2,方程无解， 最大值最小值 综上有a=-3. 双基自测 3.B当x≤-1时，x+1≤0,2x≤-2，fx+1)=1f(2x)=1,则1.(1)×(2)×(3)×(4)× f(2x)>f(x+1)不成立； [解析](1)函数的单调性体现了任意性，即对于单调区间上 当-1<x≤0时，x+1>0,2x≤0，fx+1)=3*+1,f2x)=1, 的任意两个自变量值x1,为，均有f(x)<f代x2)或f(x1)>f代x2), 由f2x)>fx+1),得31<1=3°，则x<-1,与-1<x≤0矛 而不是区间上的两个特殊值. 盾，舍去； (2)单调区间是定义域的子区间，如y=x在(-1，+∞)上是增 当x>0时，x+1>1,2x>0,f(x+1)=31, 函数，但它的单调递增区间是R,而不是(-1，+∞). f2x)=3, (3)多个单调区间不能用“U”符号连接，而应用“，”或“和” 由f(2x)>fx+1),得32>3+1，则2x>x+1,得x>1. 连接 综上，满足f2x)>f(x+1)的x的取值范围是(1，+∞).故 (4)设)=e[0,如园。 选B. 1,xe(1,2), —434 解法二：导数法 f(x)=(@x)'(-1)-ax(x-1)=a(x-1)-= (x-1)2 (x-1)2 2 当f(x1)>f代x2)时都有x1>x2,但y=f代x)不是增函数. -(x-1) 2.B由图象知，该函数的单调递增区间为[-1,2]和[4,5]，故 故当a>0时，f'(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减； 选B 当a<0时，f'(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 3[ 考向2 -15 例：[分析](1)可用图象法或化为分段函数或用化为复合函数 -2≤a+1≤2， 求解； 4.[-1,1) 依题意得 -2≤2a≤2，得-1≤a<1. (2)复合函数求解； a+1>2a, (3)导数法 5.C对于A,f(x)=-lnx在(0，+∞)上单调递减，不符合题意； [解析](1)解法一：（图象法） 对于B)=在(0，+口)上单调谨减，不符合题意： V 对于C代x)=-上在(0，+0)上单调递增，符合题意： r31 x≥1， -10 对于D,f(x)=3-山 1 在(0，+∞)上不单调.故 3-1,x<1 选C. :fx)= 「-x2+2x+3(x≥0)， 1-x2-2x+3(x<0), 6.D解法一：（导数法）由题意知，在f代x)=2(-中，f'(x)= (2x-a)2-ln2, 其图象如图所示，所以函数y=f(x)的单调递增区间为 由函数在(0,1)内单调递减，知(2x-a)2x-)·ln2≤0在(0， (-∞，-1]和[0,1]；单调递减区间为[-1,0]和[1，+∞). 解法二：（化为分段函数求解） 1)内恒成立，即2x-a≤0在(0,1)内恒成立，即a≥(2x)m,所 「-x2+2x+3(x≥0)， 以a≥2.故选D. f(x)= 1-x2-2x+3(x<0), 解法二：（复合函数法）因为函数y=2在R上是增函数，要使 复合函数f(x)=2:-在(0,1)内单调递减，只需函数h(x)= 即f)=-(x-1)+4(x≥0)， 1-(x+1)2+4(x<0), xx-。)=(x-号）-号在(0,1）内单调递减，所以号≥1，即 y=-(x-1)2+4(x≥0)图象开口向下，对称轴为x=1,.增 a≥2.故选D. 区间为(0,1)，减区间为(1，+0)； 考点突破·互动探究 y=-(x+1)2+4(x<0)图象开口向下，对称轴为x=-1, ∴.增区间为(-0，-1)，减区间为(-1,0)： 考点1 ∴fx)的增区间为(0,1)，（-0，-1)，减区间为(1，+0)， 考向1 (-1,0). 例1：ACD·y=x与y=-在(0，+0)上单调递增，y=x 解法三：（复合函数法）函数由y=-u2+2u+3(u≥0)和u= 1xI复合而成，y=-t2+2u+3(u≥0)的对称轴为u=1,由Ixl 在(0，+女)上单调递增，放A正确：由y=2-2的图 =1得x=±1. 象（图略）知，B不正确；y'=2-2sinx≥0，∴.y=2x+2cosx (-,-1)(-1,0)(0,1)(1,+） 是R上的增函数，故C正确；函数y=g(x+1)是定义域 (1,+0) (0.1) (0,1)(1,+∞) (-1,+)上的增函数，故D正确： 例2：[解析]解法一：定义法 u=lxl 设-1<x1<x2<1, y=-t2+2u+3 因为)=a(）=a1+) f(x) .f(x)的增区间为(-∞，-1)，(0,1)，减区间为(-1,0)，(1 所以)-f()=a(1+）-a(1+3） +0). a(x2-x1） (2)由-x2+4x+5>0得-1<x<5.令u=-x2+4x+5,x∈ =(x-1)(3-1)1 （-1,5),则fx)=log号u 由于-1<x1<x2<1, xe（-1,2],山为增函数；xe(2,5)时，u为减函数. 所以x2-,1>0,x1-1<0,3-1<0, 又y=logh在(0，+∞)上为减函数，据复合函数“同增异减” 故当a>0时，f(x1)-f(x2)>0, 的性质知f(x)的单调递增区间为(2,5)；单调递减区间 即f代x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减： 为(-1,2]. 当a<0时f(x1)-f(x2)<0, 即f代x)<f代x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 3)由海意，得x>0y=1--号 —435 (0,1) 1 (1,+o) 分=2，且4>0在[1,2]上恒底立 0 + ra≥4， 解得4≤a<5, 极小值 6-2a+4>0. .实数a的取值范围是[4,5). 由上表可知，函数的单调递增区间为(1，+∞)，单调递减区间 变式训练 为(0,1) [引申1] 1.A因为对任意的x1,x2∈(-∞，0](x1≠2)， （-1,1)和(3，+∞)作出f(x)=1-x2+2x+31的图象，由图 有）-)<0， x1-x2 可知所求增区间为(-1,1)和(3，+∞). 所以fx)在(-0,0]上单调递减， 又fx)为偶函数， 所以f代x)在(0，+∞)上单调递增， 则f(2)<f(3)<f4) 又f-2)=f2), 所以f-2)<f3)<f(4). 2.-6根据f(0)=0求得b,结合函数的单调性、奇偶性求得正 [引申2] 确答案 (-1,2] 依题意，f代x)是定义在R上的奇函数， 变式训练 所以f0)=1+b=0,b=-1, 1.A令t=,显然t=(在[0，+∞)上为增函数.又y=t-2= 即当x≥0时fx)=4+3x-1f(x)单调递增， -（-分)广+子u≥0在[0，]上单调递增，由反≤宁得 所以f(x)在区间[1,3]上的最小值为f1)=4+3-1=6, 所以f代x)在区间[-3，-1]上的最大值为-6. 0≤x≤4，所以x)的单调递塔区间是[0,4]（也可写为 3.(0,1) 因为y= (兮)厂在R上单调递减，y=lg(x+2)在 (0,4)）故选A (-2.+0)上单河递增，所以x)=(兮)厂”-®：(x+2)在定 2.（-,2]由已知得a-1>0,a>1,g(x)=a-21减区间 义域(-2，+o)上单调递减，且f(-1)=3,由f(a-2)>3,得 为9(x)=1x-21减区间(-0,2]，故填(-0,2]. 考向3 fa-2)>-1),所以-2<-1， 1a-2>-2, 解得0<a<1. 角度1 4.(1,2)设u=2-ax, 例：B由题设知，当x<1时，f(x)单调递减，当x≥1时f(x)单调 .a>0且a≠1， 递增，而x=1为对称轴，所以f(受)=(1+2） ·函数u在[0,1]上是减函数. 由题意可知函数y=logu在[0,1]上是增函数， -)=f(分)时<分<号<1，所以r(兮)> .a>1.又：u在[0,1]上要满足u>0, .2-a×1>0,得a<2. f(2)>f(3)即f(号)f()<f(3) 综上得1<a<2. 角度2 2m-1<0, 例：l由于)=3在R上是增函数y=1ga(x+2)在[-1,2]上5.(0，] 若g(x)为减函数，必有 0<m<1, 单调递增，所以f(x)在[-1,2]上单调递增，故f(x)在[-1， (2m-1+2≤m, 2]上的最大值为f代2)=32+1og,4=11. 角度3 解得0<m≤4 即m的取值范围为(0，] 例：D 因为函数f(x)是定义在区间[0，+∞)上的增函数，满足 考点2 2x-1)<f兮)所以0≤2x-1<兮解得号≤<号 例1：-2 )=}-2由于y=y=-2在[1,2]上均 角度4 单调递减，故f代x)在[1,2]上单调递减，fx)=f(2)= 例1：B当x≥0时，f代x)=e+ln(x+1)单调递增，当x<0时 f(x)=-x2-2ax-a,所以要使函数f(x)在R上单调递增， -2 2 需满足厂-a≥0， l-a≤e°+n1, 解得-1≤a≤0.故所求a的取值范 例2：号令F+4=1,则≥2， 围为[-1,0]. ..x2=t2-4, 例2：[解析]设u=6-ax+x2, ..y= t :y=log号u为减函数， 函数u在[1,2]上是减函数. 设h(t)=t+主， 1 u=6-ax+,对称轴为x=号， 则h(t)在[2，+∞)上为增函数， 436 A0=h2)= 6图对于A)-千则的定义统为R,由-) .y≤ =2(x=0时取等号). 5 5 e2)=,得R-1)≠1)，所以不是偶函数，A 不符合； 即，的最大值为号 对于B,g()=o+父，则g(x)的定义域为R,且g(-)= x2+1 名师讲坛·素养提升 c0s(-x)+(-x)2-c0sx+x2 变式训练 (-x)2+1 平+1=g(x),所以g(x)为偶函数，B [解析]（11)=f(）=f)-)=0 符合； (2)fx)在(0，+0)上是增函数 对于C,a)=则a()的定文城为≠1，显然定 义域不关于原点对称，所以h(x)不是偶函数，C不符合； 证明：设0<<，则由(）)-)，得)-) 对于D,o(x)=mx+4r,则p()的定义域为R,由p(-1)= =f()因为货>1，所以f）>0所以)-)>0，即 1 -sin 1-4 ,e1)=im1+4,得o(-1)≠p(1),所以p(x)不是 f代x)在(0，+o)上是增函数. e （3)因为6)=f(曾）=36)-6，又6)=1，所以36) 偶函数，D不符合.故选B. 7.0∵fx)是奇函数，∴f0)=0,即03+a=0,解得a=0. =2,原不等式化为：fx2+5x)<f(36),又因为f(x)在(0，+0) 考点突破·互动探究 上是增函数， 考点1 rx+5>0 考向1 所以 10, 解得0<x<4. 例：[分析]先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义 域内，解析式带绝对值号的先化简，计算f(-x),再判断f代-x) Lx2+5x<36, 与代x)之间的关系.抽象函数常用赋值法判断： 所以不等式的解集为{x0<x<4}. [解析](1)原函数定义域为{xlx≠0}，关于原点对称， 第三讲函数的奇偶性与周期性 且对于定义城内的任意一个x都有f(-x)=(-x)-1 知识梳理·双基自测 知识梳理 -(-士)=-)，从而函数)为奇函数。 知识点一 《2)由42+x+41≠0，得-2<x<2, f代-x)=f(x)f代-x)=-f(x)y轴原点 知识点二 即函数f(x)的定义域是{x-2<x<2},关于原点对称。 1.f(x+T)=f代x) 2.最小的正数最小正数 园t石：起4-，所以- 双基自测 f(x),因此函数f(x)是偶函数. 1.(1)×(2)×(3)V(4)V(5)× (3)f(x)的定义域为{-1,1}，关于原点对称. 又f-1)=f1)=0,f(-1)=-f1)=0, [解标](4)f(-子)=f(-号+7)=f(子) 所以代x)既是奇函数又是偶函数. (4)如图，作出函数代x)的图象，由奇函数 又-)=(3)…(3)=0 的图象关于原点对称的特征知函数f(x) (5)当x=-π时，f(x+2π)=f(π)，m华(-0,0)无意义，故 为奇函数 错误. (5f-x)=ln(-x+√2+1) 2.A根据奇函数的定义知奇函数满足f(-x)=-f(x),且定义 f(-x)+fx)=n[(-x++I)(x+ 域关于原点对称，A选项为奇函数：B选项为偶函数；C选项为 √2+1)]=n(x2+1-x2)=0, 偶函数；D选项既不是奇函数，也不是偶函数， f(x)为奇函数. 3.B因为f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数，所以 a-1+2a=0,所以a=号又-)=f),所以b=0,所以 o-08= 为奇函数. a+6= 考向2 4.B函数y=f(x)为奇函数，∴.f-a)=-f(a).即点(-a, 角度1 -f代a))一定在函数y=f(x)的图象上. :例1：C根据题意，f(x)-g(x)=e,则f(1)-g(1)=e①，f代-1) 5.A根据函数的周期性和奇偶性得到f(3)=f代-1)=-f(1)、 -g(-1)=-）-g)=e1=。变形可得)+g) f(2)=f(0)=0,从而可求f1)+f(2)+f(3).因为函数以2为 周期，所以f3)=f(-1)f(2)=f代0)，因为函数是定义在R上 e、 =。2,联立02可得1)=2,8)=-2°，则 e 的奇函数，所以f代-1)=-f(1),f(0)=0,所以f(1)+f(2)+ e f(3)=f1)+f0)-f1)=0,故选A. 4374.不等式法：如例(3) (3)y=ln(-x2+2x); 5.单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进 (4)=+2(x>1). 而确定值域；如例(4) x-1 6.换元法：形如y=ax+b±√cx+d(a≠0，c≠0)》 的函数；如例(4)；形如y=ax+b±√C2-x2(a≠0，c≠ 0)的函数采用三角换元法，如例(5). 7.数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如 例(6). 8.导数法：如例(3). 【变式训练】 求下列函数的值域： (1)y=x-/2x; 1 温馨提示：复习至此，请完成练案[6】 (2)y=-+x+2 第二讲 函数的单调性与最值 知识梳理·双基自测 024 知识梳理 知识点二函数的最值 22 前提设函数y=f(x)的定义域为L,如果存在实数M满足 知识点一 函数的单调性 年 1.单调函数的定义 (1)x∈1，都有f(x) (1)Hx∈1，都有f(x) ≤M; ≥M; 单调递增 单调递减 条件 (2)3x∈L,使得f八x) (2)3。∈1，使得f() 设 计 般地，设函数f(x)的定义域为，区间DC1. =M =M Vx1,x2∈D 结论 M为函数y=f(x)的 M为函数y=f(x)的 中学案 定义 当x1<时，都有f() 当1<x2时，都有f(x) >f(:),那么就称函数 <f代x,),那么就称函数f(x)》 f代x)在区间D上 归纳拓展 在区间D上 1.复合函数的单调性 y=f(x) 函数y=f(u),u=p(x),在函数y=f[o(x)]的定义 f(x) y=f(x) 域上，如果y=f(u),u=o(x)的单调性相同，则y= fx) fx)f) 图象 f[o(x)]单调递增；如果y=f(u),u=p(x)的单调 描述 性相反，则y=∫[o(x)]单调递减. 2.单调性定义的等价形式 自左向右看图象是 自左向右看图象是 设任意x1,x2∈[a,b],x1≠x2: (1)若有(x1-2)[f(x)-f(x2)]>0或 增（减）当函数(x)在它的定义域上单调递增（减）时，我 函数们就称它是增（减）函数 八)-八）>0，则(x)在闭区间[a,b]上是单调 X1-X2 2.单调性与单调区间 递增。 如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递 (2)若有(x1-x2)[f(x,)-∫(x2)]<0或 减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的） x）-）<0,则(x)在闭区间[a,b]上是单调 ,区间D叫做y=f代x)的 X1一X2 递减 3.函数单调性的常用结论 题组二走进教材 (1)若(x),g(x)均为区间A上的增（减）函数，则2.（必修1习题3.2T1改编）已知函数y=(x)的图象 f(x)+g(x)也是区间A上的增（减）函数. 如图所示，则该函数的单调递增区间为 () (2)若f(x)、g(x)均为区间A上的单调函数，f(x) 增，g(x)减，则f(x)-g(x)增，g(x)-f八x)减. (3)若k>0,则f(x)与f(x)单调性相同，若k<0, 则f(x)与f(x)单调性相反. (4)函数y=f(x)在定义域内与y=-f(x)单调性 相反. A.[1,2]U[4,5] (5)函数y=f(x)与y=代x)>0或f代x)<0) B.[-1,2]和[4,5] C.[-3,-1]U[2,4] 在定义域内单调性相反. D.[-3,-1]和[2,4] (6)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y= 3.（必修1习题3.217改编)已知f(x)=-2x2+x,x∈ √八x)的单调性相同. [-1,3],则其单调递减区间为 if(x)min= 双基自测 4.（必修1习题3.2T2改编)已知函数y=f八x)是定义 题组一走出误区 在[-2,2]上的减函数，且f(a+1)<f(2a),则实数 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V√”或 a的取值范围是 “×”) 题组三走向高考 (1)因为f(-2)<3),则f(x)在[-2,3]上是增函5.(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，+0)上单 数 ( 调递增的是 (2)函数f(x)在(-1，+∞)上单调递增，则函数的 单调递增区间为(-1，+∞). A.f(x)=-Inx B)=分 (3)函数y=士的单调递诚区间是(-x,0)U(0。 c)= D.f(x)=3x-山 +0). (）6.(2023·新课标I卷，4,5分)设函数f(x)=2- 轮 (4)对于任意两个函数值f(x,)f(x2),当f(x1)> 在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是() f(x2)时都有x1>x2,则y=f(x)为增函数. A.（-∞，-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+o) 擊 考点突破·互动探究 029 考点 名师点拨：确定函数单调性的四种方法 函数的单调性 1.定义法；2.导数法；3.图象法；4.性质法. 考问1函数单调性的判断与证明一自主练透 喜问2求函数的单调区间一一师生共研 例，（多选题）下列函数在(0，+)上单调递增的 例求下列函数的单调区间， 是 ( (1)f(x)=-x2+21xl+3: A.y=x-1 B.y=lx2-2xl (2)f(x)=log号(-x2+4x+5); (3)f(x)=x-nx. C.y=2x +2cos x D.y=lg(x+1) 2试讨论函数八x)=a0)在(-1.1)上的 单调性。 [引申1]本例(1)f(x)=1-x2+2x+31的增区间角度3利用单调性解不等式 为 例已知数x)是定义在区间[0，+)上的函数， [引申2]本例(2)f(x)=log2（-x2+4x+5)的增 且在该区间上单调递增，则满足∫(2x-1)< 区间为 f(兮)的x的取值范围是 名师点拨：求函数的单调区间（确定函数单调 性)的方法 (分号) R哈) 1,利用已知函数的单调性，即转化为已知单调性 c(分号) n[片号) 的函数的和、差或复合函数，再求单调区间。 角度4利用单调性求参数的取值范围 2.定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解 全国新高考I卷，6,5分)已知函数 3.图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者 例1.(2024· -x2-2ax-a,x<0, (x)的图象易作出，可由图象直接写出它的单调区间 f(x)= 在R上单调递增， e+ln(x+l),x≥0 4.导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调 则a的取值范围是 () 区间. A.（-∞，0] B.[-1,0] 5.求复合函数的单调区间的一般步骤是：(1)求函 C.[-1,1] D.[0,+0) 数的定义域；(2)求简单函数的单调区间；(3)求复合 已知函数y=log4(6-ax+x2)在[1,2]上是增函 函数的单调区间，依据是“同增异减” 注意： 数，求实数a的取值范围 026 1.求函数单调区间，定义域优先. 函数y=6-ax+不仅在[1,2]上单调递减， 2.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等 而且6-ax什米在[1,2]还少须大于0 D26 式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号 年 “U”连接，也不能用“或”连接」 度 创 【变式训练】 新 1.函数f(x)=√-x的单调递增区间为 计 (0,4） B.(0,1) 衡 中 学 c(子，+x】 D.(1,+∞) 2.函数f(x)=(a-1)x+2在R上单调递增，则函数 g(x)=a:-2的单调递减区间是 考向3函数单调性的应用一一暑维探究 角度利用函数的单调性比较大小 名师点拨：函数单调性应用问题的常见类型及 例设函数八)定义在实数集上，它的图象关于直线 解题策略 1.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个 x=1对称，且当x≥1时，f(x)=3-1,则（) 单调区间内，然后利用函数的单调性解决。 4(3)<(2)<(号) 2.利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方 法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法几乎成为 (径)<3)<兮)） 首选方法. 3.解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时， c(号)<f(号)<f(3) 往往是利用函数的单调性将“∫”符号脱掉，使其转化 为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域 D()<(号)<(S) 4.利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知 数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区 角度2利用单调性求最值 例函数八)=3+lg(x+2)在区间[-1,2]上的 间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参 数.求解时注意函数定义域的限制，遇分段函数注意分 最大值为 点处左、右端点函数值的大小关系 【变式训练】 (角度4)(2024·广东汕头湖南区第一次模拟)如 1.（角度1)(2024·湘潭统考)定义在R上的偶函数 f(x)满足：对任意的x1,x2∈(-∞，0](x1≠x2),有 果函数g(x)= 2m-1x+4 fx)-f)<0,则 x≥1，在R上单调递 （1m,x<1 ( x1-X2 减，那么实数m的取值范围为 A.f-2)<f(3)<f(4) B.f-2)>f3)>f(4) C.f3)<f4)<f-2) 分段函数不仅在各段单调递减，而且在衔接 D.f4)<f(-2)<f(3) 还须满足2n-1+子sm 2.(角度2)(2025·江苏模拟)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)=4+3x+b(b为常 考点 函数的最值—自主练透 数)，则f(x)在[-3，-1]上的最大值为 例1.函数代x)-2-2在区间[1,2]上的最小值 3(角度3)已知函数/()=（兮）】 -1og2(x+2),若 2x 为 f(a-2)>3,则a的取值范围是 2+4 4.(角度4)已知函数y=logn(2-ax)在[0,1]上是减 2.（2025·深圳模拟)函数y= x2+5 的最大值 函数，则实数a的取值范围是 为 名师讲坛·素美提升 抽象函数的单调性问题 名师点拨： 抽象函数特值法，计算(0)，寻找(x)与代) 对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的 关系，以及x)(x)的符号 定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1,x2 例 已知定义在R上的函数fx)对任意实数x,y 在所给区间内比较(x,)-x)与0的大小，或 轮 f(x,) 恒有fwtf)=f+.f)=-号，且当 与1的大小.有时根据需要，需作适当的变形，如x1= x>0时，f(x)<0. +或西=·。家，架挖已知条件，是求解此 擊 (1)求证：fx)为奇函数； 类题的关键.在客观题的求解中，解这类题目也可考虑 (2)求证：fx)在R上是减函数； 用特殊化方法。 02 (3)求fx)在[-3,6]上的最大值与最小值. 【变式训练】 f(x)的定义域为(0，+∞)，且对一切x>0,y>0都 [解析](1)证明：令x=y=0,可得f(0)+f(0) =f(0+0)=f(0),从而f(0)=0. 有引}=)-，当>1时，有)>0 令y=-x,可得f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0) (1)求f1)的值： =0, (2)判断f(x)的单调性并证明； 即f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数。 (2)证明：对任意x1,x2∈R,不妨设x1>x2,则x (3)若/6)=1，解不等式x+5)-<2 -x2>0,于是f(x1-x2)<0, 从而f(x1)-f(x2)=f[(1-x2)+x2]-f(x2)= f八x1-x2)+f(x2)-fx2)=f(x1-x2)<0, 所以f(x)在R上是减函数. (3)由(2)知，所求函数在[-3,6]上的最大值为 f(-3),最小值为f(6). 因为f(-3)=-f(3)=-[f(2)+f(1)]= -[2f(1)+f(1)]=-3f(1)=2, f八6)=-f(-6)=-[f(-3)+f(-3)]=-4. 所以f(x)在[-3,6]上的最大值为2，最小值为 -4. 2 温馨提示：复习至此，请完成练案[7 注：可考虑函数(x)=-