第一章 第一讲 集合-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习学案

第一章集合、常用逻辑用语、爪等式 考情探究 考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养 2024新高考1,1 集合的基本运算 交集运算 运算求解 基础性 数学运算 2024新高考Ⅱ，2 全称（存在）量词命题 命题的否定及真假判断 运算判断 基础性 的否定 数学运算 2023新课标Ⅱ，2 集合及其关系 由集合的关系求参数的值 运算求解 基础性 数学运算 2023新课标I,1 集合的基本运算 交集运算 运算求解 基础性 数学运算 逻辑推理 2023新课标1,7 充分条件与必要条件 充分、必要条件的判定 运算求解 综合性 数学运算 2022新高考1,1 集合的基本运算 交集运算 运算求解 基础性 数学运算 2022新高考Ⅱ，1 集合的基本运算 交集运算 运算求解 基础性 数学运算 2021新高考Ⅱ，2 集合的基本运算 交集、补集运算 运算求解 基础性 数学运算 00 2022新高考Ⅱ，12 基本不等式 利用基本不等式求最值 运算求解 综合性 数学运算 2020新高考1,11 基本不等式 比较大小 运算求解 综合性 数学运算 【命题规律与备考策略】 本章内容分为两部分.第一部分为集合与简易逻辑、第二部分为不等式.第一部分内容是高考必考内容，难 度小，分值为5分，重点考查集合的基本运算，充分、必要条件的判断和含有一个量词命题的否定，集合的基本 运算常与不等式结合，考查集合的交、并、补集运算，充分、必要条件的判断常与向量、数列、立体几何、不等式、 函数等结合，考查基本概念、定理等，复习时以基础知识为主.第二部分不等式内容在高考题中多作为载体考查 其他知识，例如，结合不等式的解法考查集合间的关系与运算、函数的定义域与值域的求解、函数零点的应用 等；或考查用基本不等式解决最值问题或恒成立问题.此部分考题以中低档题为主，主要以选择题或填空题的 形式出现，分值为5分.对于不等式及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识 综合掌握， 第一讲集合 知识梳理·双基自测 4.A二BA∩B=AAUB=B=CA2CBA∩(C,B) 知识梳理 =⑦ 知识点一元素与集合 5.C(AnB)=(CA)U(CB)C(AUB)=(CA) 1.集合中元素的三个特征： (CB). 双基自测 2.元素与集合的关系：(1)属于，记为 (2)不属于，记为、 题组一 走出误区 3.集合的表示方法： Venn 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或 图法 “×”) 4.常见数集的记法 (1){0,2,1}和{0,1,2是同一个集合.（) 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 (2)若1∈x2,x,则x=-1或1. () (3)集合x∈Nx3=x用列举法表示为1，-1,0. 符号 () 知识点二集合之间的基本关系 (4)xly=x2=yly=x2=(x,y)ly=x21. 002 关系 定义 表示 () 集合A与集合B中的所有元素都 (5)若A∩B=A∩C,则B=C. () 相等 B (6)设U=R,A=xlgx<1},则CA={xlgx≥1 ={xlx≥10. () 度 子集 A中的任意一个元素都是 A B 题组二走进教材 真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元 A B 2.(多选题)（必修1习题T1改编）已知集合P={x∈ 设 素 计 N1x2=4{,则 () 注意：(1)空集用 表示 A.2∈P B.P={-2,2 衡 (2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为 C.{⑦}二P D.PSN 学 真子集的个数为 ,非空真子集的个 3.(必修1复习参考题1T9改编)已知集合A={1,3, 数为 a2},B=1,a+2},若A∩B=B,则实数a= (3)空集是任何集合的子集，是任何 的真子集， 4.(必修1P3T1改编)已知全集U=R,集合A= (4)若A≤B,BCC,则A C {xl-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2},则AUB= 知识点三 集合的基本运算 ,Cu(AnB)= 符号 题组三走向高考 交集A∩B 并集AUB 补集CA 语言 5.(2023·全国甲卷文)设全集U={1,2,3,4,5},集合 7 M=1,4},N=2,5},则NUCM= () 图形 A.{2,3,5} B.{1,3,4 语言 C.{1,2,4,5} D.{2,3,4,5 6.(2024·新课标I卷)已知集合A=x-5<x3< A∩B={xIx∈A AUB={x|x∈A CA={xlx∈U 意义 5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B= () 且x∈B 或x∈B 且x使A A.{-1,0 B.2,3 归纳拓展 C.{-3,-1,0 D.{-1,0,2 7.（2024·北京卷)已知集合M={xl-3<x<1},N= 1.A∩A=A,A∩⑦=⑦ xl-1≤x<4},则MUN= () 2.AUA=A,AU=A. A.{xl-1≤x<1} B.{xlx>-3} 3.An(CA)=,AU(CA)=U,C(CA)=A. C.{xl-3<x<4} D.xlx<4 考点突破·互动探究 喜点 名师点拨：判断集合间关系的3种方法 集合的基本概念 自主练透 例1，(2025·莆田模拟)设集合A=xx≥-1，则 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比 列举法 较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系。 下列四个关系中正确的是 A.1∈A B.1A 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等 描述法 C.{1}∈A D.1CA 技巧，从元素结构上找差异进行判断。 2已知集合A={x 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间 数轴法 的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系 中的元素个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 【变式训练】 3.已知集合A={xlx2≤4}，集合B={xlx∈N,且1.(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A={0,-a,B= x+1∈A},则B等于 {1,a-2,2a-2,若ACB,则a= () A.{0,1} B.{0,1,2 A.2 B.1 C.1,2,3 D.{1,2,3,4 2 C.3 D.-1 4.已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若 1∈A,则2026°的值为 ;若1任A,则a不可能2.已知集合A=x-1≤x≤3}，集合B=x1-m≤ 取得的值为 x≤1+m.若BCA,则m的取值范围是 () 名师点拨： A.(-∞，2] B.[-1,3] 1.用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表 C.[-3,1] D.[0,2] 元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型， 考点3 集合的基本运算—一多维探究 是数集、点集还是其他类型的集合. 2.集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含 角度引集合的运算 有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中 例1.(2024·全国高考甲卷理)已知集合A=1,2, 复习 元素是否满足互异性.分类讨论的思想方法常用于解 3,4,5,9},B={xl元∈A},则C4(A∩B)=() 决集合问题 A.1,4,9 B.{3,4,9 擊 C.{1,2,3} D.{2,3,5} 夸点己 集合之间的基本关系一师生共研 2.(2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M= 003 xlx<1},N={xl-1<x<2},则{xx≥2}=( 例1若集合M={=受-平，A∈Z} A.C(MUN) B.NUC,M C.C(MON) D.MUCN N{xx=:平+受，ez}则 角度2利用集合的运算求参数 A.M=N B.MN 例1.（多选题）已知A=x12+x-6=01,B D.MnN=O {xlx+1=0,且AUB=A,则m的值可能为 C.NSM 描述法要从代表元素具有的性质入手，可用列 A. 3 R 举元素法和统一形式法解决问题 C.0 2.已知集合A={xlx<-1或x≥3}，B=xlax+ 1≤0}，若B二A,则实数a的取值范围是 2.已知集合A={xl-2≤x≤5}，B={xlm+1≤ x≤2m-1}≠☑，若A∩B=B,则实数m的取值范围为 A[-3,1) B[-3川 [引申1]本例2中若B={xlm+1≤x≤2m-1} 情况又如何？ C.(-0,-1)U[0,+∞) D[-30)u(0,山 [引申2]本例2中是否存在实数m,使AUB=B?【变式训练】 若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明1.（角度1）(2024·全国甲卷文)若集合A=1,2,3, 理由。 4,5,9},B={xlx+1∈A},则A∩B= () A.{1,3,4} B.2,3,4 C.{1,2,3,4 D.{0,1,2,3,4,9 2.(角度1)（多选题）已知集合A={x|x2-2x>0}, B=x11<x<3},则 () A.(CRA)UB=xI0≤x<3 B.(CRA)∩B={x1<x<2 C.A∩B={xl2<x<3 [引申3]本例2中，若B={xlm+1≤x≤1 D.A∩B是xI2<x<5}的真子集 2m},A季B,则m的取值范围为 3.(角度2)(2025·南昌模拟)已知集合A={x12a< 名师点拨：集合的基本运算的关注点 x<a+1,B={xl-2≤x<3},若A∩B≠☑，则实 1.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构 数a的取值范围是 () 成入手是解决集合运算问题的前提， A.(-3,1) B.[-3,1) 2.有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系 C.(-1,0) D.(-1,1) 并进行运算，可使问题简单明了，易于解决。 4.（角度2)(2024·北京模拟)已知集合A={xlx(x- 3.注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形 1)≤0}，B={xl In x≤a},为使得AUB=A,则实数 004 式有数轴、坐标系和Venn图. a可以是 () D26 4.根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成 A.0 B.1 C.2 D.e 文字语言，然后应用数形结合求解. 年 度 名师讲近·素养提升 新 计 集合中的新定义问题 衡 中 例(2025·长沙模拟)给定数集M,若对于任意4,6 名师点拨：集合新定义问题的“3定” ∈M,有a+b∈M,且a-b∈M,则称集合M为闭 1.定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举 集合，则下列说法中正确的是 ( 法写出所有元素. A.集合M={-4,-2,0,2,4}为闭集合 2.定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合 B.正整数集是闭集合 的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运 C.集合M={nln=3k,k∈Z}为闭集合 算问题，或转化为数的有关运算问题， D.若集合A,A2为闭集合，则AUA2为闭集合 3.定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法 [答案]C 或描述法写出所求集合中的所有元素， [解析]当集合M={-4,-2,0,2,4}时，2,4∈ 【变式训练】 M,而2+4=6M,所以集合M不为闭集合，A选项错 (多选题)(2025·青岛模拟)若一个集合是另一个 误；设a,b是任意的两个正整数，则a+beM,当a<b 集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合 时，a-b是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为 有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成 闭集合，B选项错误；当M={nln=3k,keZ}时，设a “偏食”，对于集合A={-1,2,,B=x1a2=1, =3k1,b=3k2,k1,k2eZ,则a+b=3(k1+k2)∈M,a- a≥0}，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a的值 b=3(k1-2)∈M,所以集合M是闭集合，C选项正 为 ( 确；设A1={nn=3k,k∈Z},A2={n|n=2k,k∈Z}, A.0 B.1 C.2 D.4 由C可知，集合A1,A2为闭集合，2,3∈(AUA2),而(2 温馨提示：复习至此，请完成练案[1】 +3)(AUA2),故AUA2不为闭集合，D选项错误.参考答案 全解全析 〔学案部分〕 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 a≠0，-2；a2+3a+3≠1，解得a≠-1，-2.又因为a+2, (a+1)2,a2+3a+3互不相等，所以a+2≠(a+1)2得a≠ 第一讲集合 -1±5 2 ;a+2≠a2+3a+3得a≠-1；(a+1)2≠a2+3a+3 知识梳理·双基自测 得a≠-2；综上a的值不可以为-2，-1,0， 知识梳理 -1+5-1-5 2 2 知识点一 1.确定性互异性无序性 考点2 2.e 例1：B解法一（列举法）： 3.列举法描述法 M={,平票要} 4.NN*(或N,)ZQR 知识点二 ={,平受0号平平} 相同=B中的元素C不属于A军022“-1 显然M军N. 2”-2非空集合C 双基自测 解法二（描述法）：x=k·牙-牙=(2k-1)·牙，keZ时， 24 1.(1)V(2)×(3)×(4)×(5)×(6)× 2k-1能取遍所有奇数： [解析](6)中A={x10<x<10},CA={xlx≤0或x≥10}，故 (6)错. =k牙+=(k+2)eZ时， 2.ADP={x∈NIx2=4}=2},故2eP,故A正确，B错误；⑦ k+2能取遍所有整数 不是P中的元素，故C错误；因为2∈N,故PN正确，故D 因此M军N,故选B. 正确。 例2：A·BCA, 3.2因为A∩B=B,所以B二A,所以a+2∈A.当a+2=3,即a= ∴.①若B=⑦，即ax+1≤0无解，此时a=0,满足题意 1时，A=1,3,1},不满足集合中元素的互异性，不符合题意.当 ②若B≠⑦，即ax+1≤0有解， a+2=a2时，即a=2或a=-1,当a=-1时，A={1,3,1},不 当a>0时，可得x≤-二，要使BCA, 满足集合中元素的互异性，不符合题意，故a=2. a 4.{xlx≥-1}{xlx<2或x≥3} a>U. 5.A因为0={1,2,3,4,5}，M={1,4},所以0M=12,3,5},所 则需要 解得0<a<1; <-1 以WUCM={2,3,5}.故选A. 6.A化简集合A,由交集的概念即可得解.因为A={x1-5<x 当a<0时，可得≥-日，要使BC4, <5},B={-3,-1,0,2,3},且注意到1<5<2，从而AnB= ra<O, {-1,0}.故选A. 则需要 解得-≤a<0, 7.C直接根据并集含义即可得到答案，由题意得MUV={xl-3 <x<4}.故选C 综上，实数a的取值范围是[-了1） 考点突破·互动探究 变式训练 考点1 :1.B依题意，有a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时，解得a=2, 例1：A由题意知，集合A=x|x≥-1}表示所有不小于-1的实 此时A={0,-2},B=1,0,2},不满足ACB;当2a-2=0时， 数组成的集合，所以1是集合中的元素，故1∈A. 解得a=1,此时A={0,-1},B={-1,0,1},满足ACB.所以 例2，C因为xe7,且2eZ.所以2-x的取值有-3，-1山， a=1,故选B. 3,所以x的值分别为5,3,1，-1，故集合A中的元素个数为2A当B≠时，要满足BCA,只需 4.故选C. r1-m≥-1， 例3：A因为A={xlx2≤4}=[-2,2]，B=xlxEN,且x+1∈ 1+m≤3，解得0≤m≤2；当B=☑时，1-m>1+m,此时 A},所以B={0,1}. 1-m≤1+m, <0.综上，m的取值范围为m≤2. 例41-2，-10,1士5,5若a+2=1,则a=1,考点 A=1,0,1},不符合题意；若(a+1)2=1,则a=0或-2，当角度1 a=0时，A=2,1,3},符合题意，当a=-2时，A=0,1,1,例1：D由集合B的代表元素的意义求出B,结合交集与补集运 不符合题意；若a2+3a+3=1,则a=-1或-2，显然都不符 算即可求解.因为A={1,2,3,4,5,9},B=xlx∈A};所以 合题意；因此a=0,所以2026°=1. B=1,4,9,16,25,81},则AB=1,4,9},C4(A∩B)= 因为1A,所以a+2≠1，所以a≠-1：(a+1)2≠1，解得 {2,3,5},故选D. 425 例2.A由题意可得MUW=xlx<2},则C(MUW)={xlx≥2}，选 项A正确：C,M={xlx≥1}，则NUCM={x1x>-1},选项 第二讲常用逻辑用语 B错误；M∩N=xl-1<x<1},则(M∩W)=xIx≤-1 知识梳理·双基自测 或x≥1}，选项C错误；C,N={xIx≤-1或x≥2}，则 MUCW={xlx<1或x≥2}，选项D错误 知识梳理 角度2 知识点一 例1：BCD由题意知A={xlx2+x-6=0,由x2+x-6=0,解得 一充分必要充分必要充分必要充要 x=2或x=-3,所以A={2,-3},因为AUB=A,所以 知识点三 BCA,当B=0时，m=0,满足题意；当B≠☑时，B= 3xeM,7p(x)Hx∈M,p(x) {}六-2或分-3，解得m=或m= 3,综 双基自测 1.(1)×(2)V(3)×(4)V 上.m=0或宁或3 [解析】(3)当a=B=受时，ama,amB都无意义因此不能 例2.[2,3]由A∩B=B知，BCA 推出tana=tanB,当tana=tanB时，a=B+kr,keZ,不一定 AB☐ α=B,因此是既不充分也不必要条件. -2m+12m-15x (4)在△ABC中，由A>B,则a>b,由正弦定理simA>sinB,反 2m-1≥m+1, 之也成立 又B≠☑，则{m+1≥-2，解得2≤m≤3， 2.C对全称量词命题的否定既要否定量词又要否定结论，P:Hx l2m-1≤5， eR,x>sinx,则p的否定为：了xeR,x≤sinx故选C. 则实数m的取值范围为[2,3] 3.B当a>b时，若c2=0,则ac2=bc2, [引申1] 所以a>bac2>bc2, [解析]应对B=⑦和B≠⑦进行分类， 当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b, ①若B=⑦，则2m-1<m+1,此时m<2. 所以ac2>bc曰a>b, ②若B≠⑦，由题得2≤m≤3. 即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(-∞，3]： 4.B [引申2] [解析]由AUB=B,即ACB得m+1≤-2， 5.B对于两个命题而言，可分别取x=-1、x=1,再结合命题及 l2m-1≥5， 其否定的真假性相反即可得解.对于p而言，取x=一1，则有 1x+11=0<1,故p是假命题，7p是真命题，对于q而言，取 即m≤，-3，不等式组无解，故不存在实数m,使AUB=B x=1,则有x=13=1=x,故9是真命题，7q是假命题，综上， [引申3] p和g都是真命题.故选B. （-0,-3]由题意可知m+1≤-2， 解得m≤-3. 6.C说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必 l1-2m≥5， 要条件.根据立方的性质和指数函数的性质，a3=b3和3“=3 都当且仅当a=b,所以二者互为充要条件，故选C. m+1-2 5 1-2m 考点突破·互动探究 变式训练 考点1 1.C依题意得，对于集合B中的元素x,满足x+1=1,2,3,4,5 例1：C全称量词命题的否定为存在量词命题，排除B、D选项， 9,则x可能的取值为0,1,2,3,4,8，即B={0,1,2,3,4,8},于是 A∩B={1,2,3,4}.故选C. -2<0可解得x<2,x<2的否定应是x≥2，A选项中， 其中1 2.ACD由x2-2x>0,得x<0或x>2,所以A={x1x<0或x> 2≥0可解得x>2,故A选项错误，C选项正确 1 2},所以CRA={x10≤x≤2}，对于A,因为B={x11<x<3},所 以(CRA)UB=xI0≤x<3},所以A正确：对于B,因为B= 例2：BD根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，即可求 {xI1<x<3},所以(CA)∩B=xI1<x≤2}，所以B错误；对于 解.对于A,某些平行四边形是菱形，是真命题；对于B,△=9 C,因为A={xlx<0或x>2},B={xI1<x<3},所以A∩B= -12=-3<0,则原命题是假命题；对于C,Vx∈R,Ixl+x2 {xI2<x<3},所以C正确；对于D,因为A∩B=xI2<x<3}, ≥0，是真命题；对于D,只有4=a2-4≥0，即a≤-2或a≥2 所以A∩B是xI2<x<5}的真子集，所以D正确. 时，x2-ax+1=0有实数解，是假命题；根据原命题和它的否 3.A由题得2a<a+1,解得a<1,所以a+1<2,又A∩B≠☑ 所以只需a+1>-2,解得a>-3,所以-3<a<1. 定真假相反的法则判断，选项BD中，原命题的否定是真命 4.A由题得A=[0,1],B=(0,e],因为AUB=A,所以BCA. 题.故选BD. 所以e“≤1=e°，所以a≤0. 例3：C因为命题“3x∈R,使ax2-x+2≤0”是假命题，所以命 名师讲坛·素养提升 题“Hx∈R,ax2-x+2>0”是真命题，当a=0时，得x<2,不 变式训练 符合题意；当a≠0时，得a>0, 解得a>日 ABD因为B={xlam2=1,a≥0}，若a=0,则B=☑，满足B为 l4=1-8a<0, A的真子集，此时A与B构成“全食”；若a>0,则B= 考点2 【}{后·}若1与8构成”全食”或角食，则肉花相铝响量重直和平行的座标表示即可得到方程，解出即 方法1 可.当a⊥b时，则a·b=0,以x·(x+1)+2x=0,解得x=0 石三1或石=解得a=1或a=4综上，a的值为0或1或 或-3，即必要性不成立，故A错误；对C,当x=0时，a=(1, 4.故选ABD. 0),b=(0,2),故a·b=0,所以a⊥b,即充分性成立，故C正 426