第7章 第3节 累加法、裂项相消法的应用-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案聚焦累加法（求通项、前n项和）与裂项相消法核心考点，按“原理阐释-例题示范-巩固应用”架构组织，通过问题链引导学生自主推导累加关系式、裂项规律，构建数列求通项与求和的知识网络。 亮点在于诊断性练习与分层任务设计，如巩固练习中3道不同类型裂项题及等差数列综合题，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（裂项表达）。学生可通过错题诊断薄弱环节，教师依据学情精准指导，助力个性化提升与自主复习能力培养。

第三节　累加法、裂项相消法的应用 1.累加法 (1)在已知数列{an}中，如果有an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)是可求的，则可将其中的n分别用1，2，…，(n－1)去代换得到(n－1)个关系式，再将(n－1)个关系式相加即可求出该数列的通项. (2)在已知数列{an}中，如果有an＝f(n)－f(n＋1)，则可将其中的n分别用1，2，…，n去代换得到n个关系式，再将n个关系式相加即可求出该数列的前n项和. 2. 裂项相消法 该法是建立在累加法(2)的基础之上的，如果在已知数列{an}中，an＝(k为常数)，则该通项通常可拆成an＝f(n)－f(n＋1)的形式，再用累加法求得该数列前n项和. 例1　在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，求数列{an}的通项公式. 例2　已知数列{an}的通项公式an＝，求数列{an}的前n项和. 例3　已知数列{an}的通项公式为an＝，求数列{an}的前n项和. 例4　已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，求数列{an}的前n项和. 例5　已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，求数列{an}的前n项和. 例6　 已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，求数列{an}的前n项和. 1.求下列各数列的前n项和 (n∈N *)： (1) an＝； 　　　　　　　　 (2) an＝； 　　　　　　　　　 (3) an＝. 2. 已知等差数列{an}满足a3＝7，a5＋a7＝26. (1)求等差数列{an}的通项公式； (2)设cn＝，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn. 3. 正项数列{an}满足－(2n－1)an－2n＝0，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 第三节　累加法、裂项相消法的应用 典例精析 例1　由题意得an＋1－an＝n＋1，可采用累加法，当n≥2时， a1＝2， a2－a1＝ 2， a3－a2＝ 3， a4－a3＝ 4， … an－an－1＝n， 累加得an＝2＋(2＋3＋4＋…＋n)＝1＋， 当n＝1时也满足an，所以an＝1＋. 例2　令f(n)＝，则an＝f(n)－f(n＋1)，可采用累加法. a1＝1－， a2＝， a3＝， … an＝， 将上述各式相加易得Sn＝1－.(相消后只剩两项) 例3　把看作f(n)，则可看作f(n＋2)，于是该数列通项可化成an＝f(n)－f(n＋2)的形式，可采用累加法. 由题设， a1＝1－，a2＝，a3＝，a4＝，…，an－1＝，an＝. 将上列各式相加即得Sn＝1＋. 例4　an＝，可用累加法. a1＝， a2＝， a3＝， … an＝， 累加得Sn＝－1. 例5　将题设中通项裂项得an＝， 从而有Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝＋…＋＝1－. 例6　将题设中通项裂项得an＝，从而有 a1＝×， a2＝×， a3＝×， … an＝×， 将上列各式相加易得Sn＝. 巩固练习 1. (1)Sn＝　(2)Sn＝　(3)Sn＝ 2. (1)设等差数列的公差为d， 则由题意可得解得 ∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1. (2)∵cn＝， ∴cn＝， ∴Tn＝＝ . 3.(1)由－(2n－1)an－2n＝0， 得(an－2n)(an＋1)＝0， 由于{an}是正项数列，则an＝2n. (2)由(1)知an＝2n，故bn＝＝ ， ∴Tn＝. 学科网（北京）股份有限公司 $