第一章 第五讲 一元二次不等式及其解法-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习学案

2.柯西不等式的向量形式 设&，B为平面上的两个向量，则IxB1≥Ix·B1,当且仅当B是零向量，或存在实数k,使=邱时，等号 成立. 3.柯西不等式的三角不等式 设x1,少12y2,xy3为任意实数，则√(x1-x2)2+(y-y2)2+√(x2-x)2+(y2-y3)2≥√(x1-x)2+(y1-y3)2. 利用柯西不等式求最值 [答案]A 例1.(2024·浙江模拟)若sinx+eosy+in(x+) [解析]由柯西不等式可知，(25-x+√x-4)2 =2,则sinx的最小值是 ( ≤(2+12)[(5-x)2+(√x-4)2]=5,所以25-x A.0 B.2-5 C.3-7 n方 +V4≤5，且仅普24=用= 时取等号，故函数∫(x)=2√5-x+√x-4的最大值 [答案]C [解析]由已知sinx+cosy+sin xcos y+cos xsin y 及取得最大值时x的位分别为5，号 =2整理得2-sinx=(sinx+1)cosy+cos xsin y, 名师点拨：柯西不等式求解最值的策略 由柯西不等式得(sinx+1)cosy+cos xsin y≤ 关键是构建条件与结论之间的联系，通过合理的 √(sinx+1)2+cos2x·√cos2y+sin2y=V√2+2sinx, 恒等变形与配凑转化，使之符合柯西不等式的结构，利 当且仅当(sinx+l)siny=cos ycos x时取等号， 用柯西不等式来转化所求的代数关系式，联系条件来 所以(2-sinx)2≤2+2sinx,即sin2x-6sinx+2 确定对应的最值问题 ≤0，解得3-√7≤sinx≤1， 【变式训练】 所以sinx的最小值为3-√7 2.函数f代x)=2√5-x+√x-4的最大值及取得 1.已知x>0,y>0, 4+y2=1,则2 x+2y的最大值 最大值时x的值分别为 是 15,号 R5号 2.函数y=2√/2-x+√2x-3的最大值为 g n西g 温馨提示：复习至此，请完成练案[4 总 第五讲 一元二次不等式及其解法 擊 013 知识梳理·双基自测 知识梳理 元二次方程 有 实 有 知识点一一元二次不等式 ax+bx+c=0 根x1,x2 实根x1=x2 b 实数根 只含有 个未知数，并且未知数的最高次 (a>0)的根 (x1<x2》 -2a 数是 的不等式，称为一元二次不等式，一元二 ax +bx+c>0 次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c (a>0)的解集 <0(a,b,c均为常数，a≠0) 知识点二 三个二次之间的关系 ax +bx+c<0 (a>0)的解集 判别式 4>0 4=0 4<0 △=b-4ac y 归纳拓展 二次函数 1.ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且 y=ax+bx+c b2-4ac <0(xER). (a>0)的图象 0x=x2 2.ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且 b2-4ac<0(x∈R). 3.一元高次不等式的解法，数轴穿根法：先因式分解再 (4)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x1,x2),则 用穿根法，依据：从左至右，从上至下，依次穿根，奇 u<0. () 过偶不过，注意x系数为正 (5)1 x-204(x-1)(x-2)≥0. 如(x-1)2(x-2)(x-3)>0在数轴上标根穿线，点 题组二走进教材 1处的线过而不穿。 2.（必修1习题2.3T3改编)设集合A={x11<x< 偶不过 奇过穿线方向 4},B={xlx2-2x-3≤0，则AUB= A.[-1,3] B.「-1,4) C.(1,3] D.(1.4) 3.（必修1习题2.3T4改编)若关于x的不等式ax2+ 大于0 大于0 小于0 大于0 的区间 的区间 的区间 的区间 +2>0的解集为{-<<} 则a+b= 4.简单分式不等式的解法 (1)/x>0(<0)/(x)g(x)>0(<0): g(x) 4.(必修1复习参考题2T6)不等式mx2+mx+1>0 (2)x) f(x)·g(x)≥0（≤0）， 对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是 g(x) ≥0（≤0）9 lg(x)≠0. 题组三走向高考 双基自测 5.(2024·上海卷，3,4分)设x∈R,则不等式x2-2 -3<0的解集为 题组一 走出误区 014 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V√”或 6.(2012·重庆卷，2,3分)不等式+0的解架为 “×”) () 22 (1)不等式(x+1)(2-x)<0的解集为(-1,2). 4(-2] ( 度 (2)不等式x2≤a的解集为[-√a,√a]. ( R【-川 设 (3)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞，x1)U (x2,+∞)，则方程ax2+bx+c=0的两个根是 c(-0,-)u[1,+) 衡 x1和x2 n(,]u1,+) 考点突破·互动探究 (4)x2<6x-10. 点 一元二次不等式的解法 多维探究 角度引不含参数的不等式 例求下列不等式的解集 (1)2x2+5x-3<0; 名师点拨：解一元二次不等式的一般方法和 步骤 (2)-3x2+6x≤2； 化 把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式 判 计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程 有没有实根（无实根时，不等式的解集为R或⑦） (3)9x2-6x+1>0; 求 求出对应的一元二次方程的根 利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式 写 的解集 角度2含参数的不等式 【变式训练】 例解下列关于x的不等式： 1.(角度1)（多选题）下列四个不等式中，解集为☑的 (1)a2-(a+1)x+1<0(a<0); 是 () (2)x2-2a+2≤0(aeR). A.-x2+x+1≤0 B.2x2-3x+4<0 C.x2+3x+10≤0 D.x2-2x+3<0 2.（角度2)解不等式12x2-ax>a2(aeR). [引申1]把本例(1)中a<0改为a>0呢？ [引申2]若再改为aeR呢？再增加a=0情况， 轮总复习 考点己 三个二次间的关系一师生共研 例（多选题）已知关于x的一元二次不等式r?+r 015 +c≥0的解集为{xx≤-4或x≥5}，则下列说法 正确的是 名师点拨：含参数的不等式的求解往往需要分 A.a>0 类讨论 B.不等式bx+c>0的解集为xlx<-5} 1.若二次项系数为常数，若判别式△≥0，可先考 C.不等式cx2-bx+a<0的解集 虑分解因式，再对根的大小分类讨论（分点由x,=x2 为{<写或>} 11 确定)；若不易分解因式，可考虑求根公式，以便写出解 集，若△<0，则结合二次函数图象写出解集，若判别式 D.a+b+c>0 符号不能确定，则需对判别式分类讨论（分点由△=0 【变式训练】 确定) (2024·黑龙江大庆实验中学期未)已知不等式ax2 2.若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数 -6饭-1>0的解集是{-号<<-}则不等 是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便 式x2-x-a≥0的解集是 () 确定解集形式. A.{xl2<x<3 3.解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式 B.{xx≤2或x≥3 不等式求解，要注意分母不能为零 4.解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数， 11y C{3<x<2 则需对其是否大于1分类求解，注意对数的真数必须 为正. 名师点拨：一元二次不等式恒成立问题 考点3 -元二次不等式恒（能）成立问题一多维探究 1.一元二次不等式在R上恒成立的条件 角度引 恒成立问题 不等式类型 恒成立条件 代x)最大值小于0，需讨论二次项系数m=0和 ax'+bx+c>0 a>0,4<0 m≠0，当m≠0时孔x)<0需满足m<0且△<0 ax2+bx+c≥0 a>0,4≤0 例已知fx)=mr-mr-l. ax2+bx+c<0 a<0,△<0 (1)若对于x∈R,fx)<0恒成立，求实数m的 ax2+bx+c≤0 a<0,4≤0 取值范围； 2.在给定区间上恒成立问题的求解策略 (2)若对于x∈[1,3]，fx)K-m+5恒成立，求 若f八x)>0在给定集合上恒成立，可利用一元二 实数的取值范围；」先分离参数，再求最值 策略 次函数的图象转化为等价不等式（组）求范围 (3)若对于ml≤1，fx)<0恒成立，求实数x 的取值范围. 转化为函数值域问题，即已知函数(x)的值域为 策略二 [m,n],则f(x）≥a恒成立→f(x)m≥a,即 转移变量，形成关于m的不等式，x看作常数， m≥a;f代x）≤a恒成立→fx)m≤a,即n≤a 再求解 3.转移变量 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参 016 数.一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范 围，谁就是参数.（如本例中(3）) 角度2能成立或有解问题 2PP年度创新设计 例若关于x的不等式-x+7>0在(2,7)上有实 数解，则a的取值范围是 A.(-0,8) B.(-0,8] C.(-0,27) n(-x》 名师点拨：一元二次不等式在给定区间上的有 中学案 解问题解题策略 1.分离参数法：把不等式化为a>f(x)或a<f(x) 的形式，只需a>f(x)mim或a<f(x)mx: 2.最值转化法：若f(x)>0在集合A中有解，则函 数y=f(x)在集合A中的最大值大于0；若f(x)<0在 集合A中有解，则函数y=(x)在集合A中的最小值小 于0. 3.数形结合法：根据图象列出约束条件求解. 4.最后一定要注意检验区间的开闭. 【变式训练】 1.(角度1)若不等式(a-3)x2+2(a-3)x-4<0对 一切xeR恒成立，则实数a取值的集合为(（) A.(-0,3) B.(-1,3) C.[-1,3] D.(-1,3] 2.（角度1)(2024·山西忻州第一中学模拟)已知关于 x的不等式x2-4x≥m对任意的x∈(0,1]恒成立， 则有 A.m≤-3 B.m≥-3 C.-3≤m<0 D.m≥-4 3.(角度2)(2024·九江模拟)若关于x的不等式x2-4.（角度1)(2025·宿迁模拟)若不等式x2+px>4x+ 4x-2-a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值 p-3,当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围为 范围是 ( () A.（-∞，-2) A.[-1,3] B.(-2,+∞) B.(-∞，-1] C.(-6,+0) C.[3,+o) D.（-∞，-6) D.(-∞，-1)U(3,+∞) 名师#坛·素美提升 一元二次方程的根的分布情况 元二次方程的根的分布情况多样，比较复杂，常 ·! 结合二次函数的图象从判别式“△”、端点函数值、对称 rA=0, b 轴三方面入手综合考虑.设二次函数y=f(x)=ax2+ m<- <n 2a bx+c(a≠0)对应方程a2+bx+c=0的根为x1,x2,其 r4>0. 或f(m)·f(n)<0 b af(m)>0, 根的分布情况如下： 满足 m<- 2a Sn, af(n)<0, fm）=0 条件 或 根的分 af(m)>0, afp）>0 x<x<m m <x <x &<m<x m<-2a 2 布情况 f(n)>0 fn)=0, a>0 m+< b a>0 a>0 2a 5n 例若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2(m+1)x 图象的 m=0,分别满足下列条件时，求m的取值范围. 大致 (1)一根在(1,2)内，另一根在(-1,0)内； 形状 a<0 a<0 a<0 (2)一根在(-1,1)，另一根不在(-1,1)内； 总复习 (3)一根小于1，另一根大于2； (4)一根大于-1，另一根小于-1： 擊 (5)两根都在区间(-1,3)； 017 4>0, 4>0, (6)两根都大于0； 满足 b 2a <m, f(m)<0 (7)两根都小于1； 条件 2a>m, (8)在(1,2)内有解. Laf(m)>0 Laf(m)>0 [解析]设f(x)=(m-1)x2+2(m+1)x-m, 根的分 m<x1< m<x<n< 只有一根在 4=4(m+1)2+4m(m-1)=8m2+4m+4=4(2m2+ 布情况 x<n X2<p (m,n)之间 m+1)>0. (1)一根在(1,2)内，另一根在(-1,0)内应满足 a>0 a>0 a>0 1)2)<0, 即m(2m+1)<0, n解得- f0)f(-1)<0,l(-2m-3)(-m)<0, Nxnx m 图象的 <m<0,所以m的取位花压为m-宁<<0 大致 a<0 (2)一根在(-1,1)内，另一根不在(-1,1)内，应 形状 a<0 a<0 满足f(-1)f1)<0,即(2m+1)(-2m-3)<0,∴.m >方或m<-是又：m-140m1m的取值 范图为(-，子)u(,1)u1,+) (3)一根小于1，另一根大于2，应满【变式训练】 足m-1)1)<0, 关于x的一元二次方程mx2+(m+1)x+m=0,分 l(m-1)f(2)<0, 别满足下列条件时，求m的取值范围. pm-1)(2m+1)<0, (1)两不等实根； 解得0<m<1,.m的 l(m-1)m<0, (2)两不等负根； 取值范围为m0<m<1{. (3)一根大于0小于1，另一根大于1. (4)一根大于-1，另一根小于-1， 应满足(m-1)f(-1)<0,即(m-1)(-2m-3) <0. 解得m<-3或m>1, m的取值范图为{mm<-子或m>1小 A≥0， (5)两根都在(-1,3)内，应满足 (m-1)f(-1)>0, (m-1)f3)>0, 得<m< 3 018 m的取值范为-<m< 22 (6)两根都大于0，应满足 A≥0， 度 m+1 解得0<m<1,.m的取值范 m-1s0, 计 (m-1)f0)>0, 衡 围为{ml0<m<1}. 4≥0， (7)两根都小于1，应满足 m+1 m11, (m-1)f(1)>0, 解得m>1或m< 2 m的取值范围为{mm>1或m<- 11 2 4≥0， 1<-m+1 (8)在(1,2)内有解应满足{ m-1c2, (m-1)f1)>0, (m-1)f(2)>0, 或1)2)≤0，解得-≤m0, 经检验m=-号及m=0春不合复意合去， 解得-7<m<0, 温馨提示：复习至此，请完成练案[5 m的取值笼圈为{叫-<m<令x+3y=t,则t>0且2+12t-108≥0， 4.Bx2+2y-3=0,y= 3-x2 得t≥6，即x+3y的最小值为6. 2x,2x+y=2x+3 2x 解法二：（代人消元法） 由x+3y+xy=9,得x= 9-3y 受+2√层23，当日仅当受-云即1 3x.3 1+y 时取等号.故选B. 所以+372-21+ 考点2 1+y =9+3y_31+2-6(1+)+2 例：B 1000 由题意得，N=0.7m+0.3r+300 1000 1+y 1+y 7+0.30+30s 12-6≥2√3(1+)1+y =3(1+y)+1+y 、12 -6 1000 0.7+2/0.3×30 149,当且仅当03=0，即e=10时取 =12-6=6, “=”,所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故 当且仅当3(1+)=子，即y=1x=3时取等号： 选B 所以x+3y的最小值为6. 变式训练 [引申] D因为1里=300步，则由题图知EB=1200步=4里，GA= [解析]解法一：9-y=x+3≥2√3， 750步=2.5里.由题意得GA=EFGF,则EF·GF=EB·GA EB .9-y≥2√3y, =4×2.5=10,所以该小城的周长为4(EF+GF)≥8/EF·GF 令√xy=t,.t>0, =8I0(里)，当且仅当EF=GF=√0（里）时等号成立.故 .9-t≥23t,即t+23t-9≤0， 选D 解得0<t≤3， 名师讲坛·素养提升 ≤5，xy≤3， 当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号， 变式训练 y的最大值为3 1.2由柯西不等式得（车+y）(+)≥（受×1+yx1）厂 解法二子 y (空+y）,所以1×2≥（空+y）,当且仅当2=，即x= 1+y =-3(y+1)2+15(y+1)-12 厄，y=号时等号成立，所以号+y≤厄，即竖+万y的最大值 y+1 是2. =-3(y+1)-12 *7*15 2.5因为y=22-x+V√2x-3=2-x+√2-x+√2x-3 ≤-2√3()+1)2 ≤√+1+I·√/(2-x)+(2-x)+(2x-3)=5,当且仅当 +7+15=3, 2-x=V2x-3,即x=?时等号成立，所以函数y的最大值 当且仅当3(y+1D十，即y=1,x=3时取等身 为3. y的最大值为3. 变式训练 第五讲 一元二次不等式及其解法 1.Dx+4y=40,且x>0,y>0 知识梳理·双基自测 .x+4y≥2√x·4y=4y(当且仅当x=20,y=5时取“=”)， 知识梳理 .4y≤40，.xy≤100， 知识点一 lgx+lgy=lg(x灯y）≤lg100=2. 一2 2C<号3x-2<0, 知识点二 9 两相异两相等没有{xx>x2或x<x,}{xxeR且x≠ f代x)=3x-2+3x-2+3 x}R{xx1<x<2}☑☑ =-[2-3)+2’3+3 双基自测 1.(1)×(2)×(3)V(4)V(5)× 9 ≤-2√2-3)·223x+3=-3. 2.B由x2-2x-3≤0，解得-1≤x≤3，.B={xl-1≤x≤3}， .AUB=[-1,4).故选B. 9 当且仅当2-3x=2-3x -=-2+ 11 3· 即x=兮时取=” 3.-14。依题意知 a 解得-12， 2=（-) 1 a=（-2 ×3 b=-2,a+6 3.D图为>0，>0.且+=2，所以+寸=2(+）✉ =-14. 4.[0,4) +=(4++）≥2+√·=2+，当且仅当 当m=0时，显然成立；当m≠0时，由已知得 「m>0, 解得0<m<4.综上，实数m的取值范围是 宁每y3=厅-1时取等9 4=m2-4m<0, x Y [0,4). 430 5.(-1,3)对于方程x2-2x-3=0,可解 所以原不等式的解集为{xa-√a2-2≤x≤a+√a2-2} 得其根为1=-1，x2=3. 综上，当a>2或a<-2时，解集为{xla-√2-2≤x≤at :x2-2x-3<0,.可作图如右： 由图象可知原不等式的解集为(-1,3). √a-2};当a=2时，解集为{xlx=2};当a=-√2时，解集 6A0s-D2x+0 为{xlx=-√2}；当-2<a<2时，解集为⑦. 2x+1≠0 [引申1] 日之<x≤1…不等式的解架为(-分1小 1 [解析】因为a>0,原不等式等价于(x-。）(x-1)<0, 考点突破·互动探究 ①当a=1时，女=1，(e-）x-1)<0无解 考点1 角度1 ②当a>1时，<1，解(-)(x-1)<0得<x<1: 例：[解析]（1).△=49>0， 方程2x2+5x-3=0有两个不等的实数根， ③当0<a<1时，。>1，解(x-)(x-1)<0得1<x<日 1 解得x1=-3,=2, /1 所以当0<a<1时，解集为{1<<} 画出函数y=22+5x-3的图象，如图① 当a=1时，解集为0； 所示. ① 由图可得原不等式的解集 当a>1时，邂为{日<< 为{-3<<} [引申2] (2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0. [解析]若a=0,原不等式等价于-x+1<0,解得x>1. .4=12>0, 综上所述：当a<0时，解集为{xx<或x>1h当a=0时，解 方程3x2-6x+2=0有两个不等的实数根， ② 解得名33，画出西数y=3-6r+2的图象 荣为x>1:当0<a<1时，解集为{<<}当a=1 3 如图②所示，由图可得原不等式的解集为 时，解集为O;当a>1时，解集为{日<< 变式训练 3 1.BCD根据函数的开口方向和根的判别式，即可得出正确的选 (3)4=0,·方程9x2-6x+1=0有两个相等 项.A选项，开口向下，不可能为空集，故A选项错误；B选项，开 的实数根，解得4=名=了画出函数)=9w 口向上，4=9-4×2×4=-23<0，解集为空集，故B选项正 确；C选项，开口向上，4=9-4×10=-31<0，解集为空集，故 6x+1的图象如图③所示.由图可得原不等式的 C选项正确；D选项，开口向上，△=4-4×3=-8<0，解集为空 解集为{xx≠3 11 集，故D选项正确.故选BCD. (4)原不等式可化为x2-6x+10<0,4=-4< 2.[解析]原不等式可化为12x2-ax-a2>0, 0,∴.方程x2-6x+10=0无实数根，画出函数y= 即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0, x2-6x+10的图象如图④所示，由图象可得原不 10 等式的解集为⑦ 解得一出号 角度2 03 当a>0时，不等式的解集为(-”，子)U(号+四）： 例：[分析](1)根据a<0,注意两根1与1的 ④ 当a=0时，不等式的解集为(-0,0)U(0,+∞)； 大小； 当a<0时，不等式的解集为 (2)由于系数中含有字母，故需考虑对应的方程有无实根，以 (-,号)u(-￥，*m） 及有根时根的大小关系. [解析](1)因为a<0,则原不等式等价于考点2 :例：AC由题意得，二次函数y=ax2+bx+c的开口向上，即a>0, (x-石)(x-1)>0,解得x<。或x>1.所以解集为(-0， 故A正确； 日）u1,+) 因为-4,5是方程ax2+bx+c=0的根， b=-4+5, (2)对于方程x2-2ax+2=0,因为4=4a2-8,所以当△<0，即 所以 -2<a<2时，x2-2ax+2=0无实根.又二次函数y=x2- =-4×5, 2ax+2的图象开口向上，所以原不等式的解集为0； 当4=0，即a=±，2时，x2-2ax+2=0有两个相等的实根， 解得厂6=-a, c=-20a. 当a=2时，原不等式的解集为{xlx=2}, 所以bx+c>0,即-ax-20a>0, 当a=-√2时，原不等式的解集为{xlx=-√2}： 解得x<-20,故B错误； 不等式cx2-bx+a<0等价于-20ax2+ax+a<0. 当△>0，即a>√2或a<-√2时，x2-2ax+2=0有两个不相等 即20x2-x-1>0, 的实根，分别为=a-√a2-2,x=a+√a-2,且<2， 即(5x+1)(4x-1)>0, —431— 解得x<-了或x>子，故C正确； 所以f(x)m<f(7)=8,所以a<8,即实数a的取值范围 是(-0,8). 因为1{xlx≤-4或x≥5}，所以a+b+c<0,故D错误. 解法二：（最值转化法）原不等式在(2,7)上有解， 变式训练 它的否定是不等式x2-ax+7>0在(2,7)上无解 B[分析]利用根与系数的关系求解. [解析]不等式ax2-bx-1>0的解集是 则。2a+7≤0。解得a≥8，因此不等式-a心+7>0在 l49-7a+7≤0 (2,7)上有解时a<8. 变式训练 5ar2-加-1=0的解是x=-号和%=-分，且a<0, 1.D当a=3时，-4<0恒成立： 11 当a≠3时，a<3, 14=4(a-3)2+16(a-3)<0, 解得∫a=-6, 解得-1<a<3.所以-1<a≤3.故选D. 1b=5 2.A令f(x)=x2-4x,xe(0,1],f(x)图象的对称轴为直线 a 则不等式x2-bx-a≥0即为x2-5x+6≥0，解得x≤2或x≥3 x=2,…f(x)在(0,1]上单调递减，.当x=1时，f(x)取得最小 值-3，.m≤-3，故选A. 故选B. 3.A解法一：由函数f代x)=x2-4x-2-a图象的对称轴为x=2. 考点3 不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解f(4)>0,即 角度1 a<-2,故选A. 例：[解析](1)要使mx2-mx-1<0恒成立， 解法二：（分离参数法）不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4) 若m=0,显然-1<0； 内有解等价于a<(x2-4x-2)mm,令g(x)=x2-4x-2,x∈(1， 若m≠0，则{A=m2+4m<0→-4<n≤0 4),∴.g(x)<g(4)=-2,∴.a<-2.故选A 4.D不等式x2+px>4x+p-3可化为(x-1)p+x2-4x+3>0, 所以m的取值范围为(-4,0]. 令f代p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4)，可得 (2)要使f(x)<-m+5在[1,3]上恒成立， f0)=x2-4x+3>0, 只需mx2-mx+m<6恒成立(xe[1,3]), f(4)=4(x-1)+x2-4x+3=x2-1>0. 又因为-+1=(x-分）广+子>0， .x<-1或x>3. 名师讲坛·素养提升 6 所以m<2-x+1 变式训练 [解析](1)方程有两个不相等的实根， 6 6 令y=2-x+1 + m≠0即m0, x-2) d0, 1(m+1)2-4m2>0, 因为1=(-)广+子在红1,3]上是增数， 2 ∫m≠0， 3m2-2m-1<0 所以y。在[13]上是碳面数 rm≠0， -<m<1,解得-3<m<0或0<m<1. 1 因此函数的最小值=号 故实数m的取值范国为(-行0）U(0.1) 所以m的取值范国是(-”，号） (2)~方程有两个不相等的负根， (3)将不等式f代x)<0整理成关于m的不等式为(x2-x)m-1 m≠0， <0. 4=(m+1)2-4m2>0, 令g(m)=(2-x)m-1,me[-1,1]. +=-m+<0,解得0<m<1 m 则1)<0，即：+x-1<0, 1g(1)<0,1x2-x-1<0, =D>0, m 解得l,5<<1+5 故m的取值范围为(0,1). 2 (3)由于方程有两个不相等的实根，所以m≠0，令f代x)=mx2+ 即x的取值范围为（八，5,1+5） (m+1)x+m,根据题意画出满足“一个根大于0且小于1，另一 2,2 个根大于1”的二次函数的大致图象，如图所示.由图象可知，要 角度2 使方程f(x)=0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1，则 例：A解法一：（分离参数法）不等式2-x+7>0在(2,7)上有 0)<0即(3m+》0解得- -<m<0 实数解， lmf1)<0, lm(3m+1)<0, 等价于不等式a<x+子在(2,7)上有实数解。 因为函数fx)=x+7在(2，万)上单调递减，在（万，7）上单 木小 调递增， 又由2)-2+子-号7)=7+子-8 故m的取值范围为（-，0） —432