第一章 第四讲 基本不等式-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习学案

5.Cx,yeR,且x>y>0,则<，imx与simy的大小关系 于是A+“=3解得 不确定，（分）‘<（分）广，即（行）广-（分）广<0，nx+ny 4-λ=2， 5 u= 2, 与0的大小关系不确定，故选C 3x+2=x-0+3x+ 考点突破·互动探究 .-1<x-y<4,2<x+y<3 考点1 例1：ADx2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0， <(-<25<+)<5 x2-2x>-3,故A正确； a+b-a"b-ab2=a2(a-b)+b(b-a) 01(x-y)+2（无+37< 25- =(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). :(a-b)2≥0，a+b的符号不确定 故3+2的取值范圈是（号，9）】 a+b与ab+ab2的大小不确定，故B错误； 变式训练 a2+62-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0， a2+b≥2(a-b-1),故C错误； 1.Ac由日<石<0，可知6<a<0因为a+b<0,ab>0,所以 d-8-(合-古)=(a-ba+6)- 1 ab +6<0,沾>0，所以。十6<品故A正确：因为b<a<0,所以 =(a-b)a+6+1） -b>-a>0.故-b>1al,即1al+b<0,故B错误；因为b<a ab >0,故D正确 例2：B解法一：易知a,b,c都是正数， <0,。<石<0，则-立>方>0，所以a-日>6-方故 b3In 4 C正确：因为b<a<0,可得b2>a2>0,而y=lnx在定义域(0， a 4ln 3 =logs164<1,所以a>b; +o)上为增函数，所以lnb2>lna2,故D错误 名-g-lns104>1,所以6>，即c<6<a 2.(-60,30)(4,240)因为15<b<36,所以-72<-2b< -30.又12<a<60,所以12-72<a-2b<60-30,即-60<a 解法二：构造函数fx)=n, -2b<30.因为12<a<60,所以144<a2<3600,又15<b<36. 则f'(x)=1-lnx 所以6<<5所以若<号<30即4<号<240，即a 、15 x21 由f'(x)>0,得0<x<e; 2的取值范围是(-60,30)，云的取值范围是(4,240). 由f'(x)<0,得x>e. .fx)在(0，e)上为增函数，在(e,+o)上为减函数. 名师讲坛·素养提升 ∴.f3)>f(4)>f(5),即a>b>c. 变式训练 考点2 1.< ln2+ln5、n2 ①因为0<1og2<1,所以可得lg2= 角度1 In3+In5>In 3 例1：AB因为a>b,所以a-b>0,故A正确：因为a>b,且指数 logs2 logs2 +1 logs 10 1g3<1og3+1ig,15=logs10:②由①可得log,2<1og510→ 函数y=2在R上单调递增，所以2“>2，故B正确；若c< 0,则ac<bc,故C错误；当a=1,b=-2时，a2<b,故D 号c等哈等号 In 3+In 5>In 3' 错误. 5 例2：ACD因为x>y>z,x+y+z=0, 所以x>0,2<0,y的符号无法确定 In 5+ln3 25m8=6,a=log3 2.A.-1.3=ln3<3-ln5ln5_ 由题意得x>z,若y<0,则xy<0<z,故A不成立； 因为y>z,x>0,所以xy>xz,故B成立： 39 3 In 3 +in'5 n 5 In8 因为x>y,z<0,所以xz<2,故C不成立； 当1yl=0时，xlyl=lyz,故D不成立. a5t加马n百n百6，由以上知a最水结合 角度2 选项可知选A 例：AC因为1≤x≤2,3≤y≤5， 所以4≤x+y≤7，-2≤-x≤-1,1≤y-x≤4， 第四讲 基本不等式 所以x+y的取值范围为[4,7]，y-x的取值范围为[1,4]，故 知识梳理·双基自测 A正确，B错误； 知识梳理 因为1≤x≤2,3≤y≤5， 所以≤10,≤≤兮≤宁 知识点一 11 2 y 1.a>0,b>0 所以灯的取值范周为[3.10]，产的取值范围为[与号]，故算术平均数 2.a=b 几何平均数 C正确，D错误 知识点二 [引申] :1.x=y [解析]设3x+2y=A(x-y)+u(x+y), 双基自测 即3x+2y=(入+u)x+（4-入)y, 1.(1)×(2)×(3)×(4)× —428— 2.A因为0<x<1,所以1-x>0, 所以1-≤（飞+号”=子， 时，等号成立，所以函数y=2+3x+的最小值为45-1 故选A 当组仅当=1-x即=之时，等号成立， 例2：9因为x>-1,则x+1>0, 所以y=[(x+1)-L2+7[(x+1)-1]+10 故x(1-)的最大值为好 x+1 =（x+1)2+5(x+1)+4 3D因为x<0,所以-x>0,-x+≥2，当且仅当x=-1时， x+1 -x1 等号成立，所以+≤-2 =x+)+有+5 4.C当x>2时，x-2>0,f(x)=(x-2)+x-2+22 ≥2Wx+1)4 +1+5=9， 2√-2活+2-4当组仅当x-2=>2.即= 当且仅当x+1=车即=1时等号成立。 所以函数的最小值为9. 3时，取等号，即当f(x)取得最小值时x=3,即a=3. 例3：4 0<x< 5.A解法一：=21，少2=22， 六1+h=21+22>2√21·2=2·21" y=x-4=F(1-4)=分4(1-4)≤分 og”>1g2-,故选 2 48+14=子， 2 解法二（特值法）：令x1=1, 当且仅当4x2=1-4x2, 则y1=2,令2=3，则y2=8. oa”=le2生-lhs5>l-2-卢放选 即-孕时取等号。 2 6ABm由a>0,6>0,a+b=1,得≥（生=子即 则=-4证的最大值为子 角度3 。2+6≥7，当且仅当a=6=)时取等号，故A正确：由a>0, 例1：C 8a+6=(8a+6)(8+4）-0+丝+40≥ b>0,a+6=1,得a-6=2a-1>-1,放2>7，故B正确： 2√受，要+0=72，当且仅当-兰用a=6,0=24时 ga+lagb=log,(a6)≤lg(=ls(分） =-2,当且 取等号. 仅当a=b=子时，等号成立，故C错误；（后+6）2=a+6+ [引申] 28a+4h=b,a>0.b>0.+=1 2√ab-1+2ab≤1+a+b=2,得a+b≤2，当且仅当a= a 6=2时，等号成立，放D正确， 8a+h=(8a+6)(受+)】 考点突破·互动探究 _64u++40≥2√6 /40.5 b a +40=72, a 考点1 角度1 当且仅当4_也，即a=6,b=24时取等号. 例：Cy=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3，A不符合题意 例2：B由a+2b=3得(a+1)+2b=4, y=血1+7令1=lsn1,则y=1+手e(0,小.由 4 于是++层-（什+2）a+24 4 于y=1+4在区间(0,1]上单调递减，因此)≥1+4=5，最小 ={1+42a+2】 ba+1」 值是5，B不符合题意. y2+2=2+是.2e(0.+).所以y≥22 4 2] 2 4,当且仅当2=2，即x=1时取等号，C符合题意. 当组仅￥0-头且a>06>0, b 当e(0,1)时，h<0,y=h+<0,D不符合题意故 即a=分，6=子时，等号成立 选C 角度2 所以十+云的最小值为2 例1：A因为x>0,所以x+1>1,所以y=2+3x+4 72+3(x角 例：6解法一：（换元消元法） 4 +0-3+年=3(x+10+-1≥2√3(+0 由已知得9-(x+3)=3·3≤3·(， -1=4厅-1，当且仅当3：+)=4即x=29-1>0 当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号. 3 即(x+3y)2+12(x+3y）-108≥0， —429— 令x+3y=t,则t>0且2+12t-108≥0， 4.Bx2+2y-3=0,y= 3-x2 得t≥6，即x+3y的最小值为6. 2x,2x+y=2x+3 2x 解法二：（代人消元法） 由x+3y+xy=9,得x= 9-3y 受+2√层23，当日仅当受-云即1 3x.3 1+y 时取等号.故选B. 所以+372-21+ 考点2 1+y =9+3y_31+2-6(1+)+2 例：B 1000 由题意得，N=0.7m+0.3r+300 1000 1+y 1+y 7+0.30+30s 12-6≥2√3(1+)1+y =3(1+y)+1+y 、12 -6 1000 0.7+2/0.3×30 149,当且仅当03=0，即e=10时取 =12-6=6, “=”,所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故 当且仅当3(1+)=子，即y=1x=3时取等号： 选B 所以x+3y的最小值为6. 变式训练 [引申] D因为1里=300步，则由题图知EB=1200步=4里，GA= [解析]解法一：9-y=x+3≥2√3， 750步=2.5里.由题意得GA=EFGF,则EF·GF=EB·GA EB .9-y≥2√3y, =4×2.5=10,所以该小城的周长为4(EF+GF)≥8/EF·GF 令√xy=t,.t>0, =8I0(里)，当且仅当EF=GF=√0（里）时等号成立.故 .9-t≥23t,即t+23t-9≤0， 选D 解得0<t≤3， 名师讲坛·素养提升 ≤5，xy≤3， 当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号， 变式训练 y的最大值为3 1.2由柯西不等式得（车+y）(+)≥（受×1+yx1）厂 解法二子 y (空+y）,所以1×2≥（空+y）,当且仅当2=，即x= 1+y =-3(y+1)2+15(y+1)-12 厄，y=号时等号成立，所以号+y≤厄，即竖+万y的最大值 y+1 是2. =-3(y+1)-12 *7*15 2.5因为y=22-x+V√2x-3=2-x+√2-x+√2x-3 ≤-2√3()+1)2 ≤√+1+I·√/(2-x)+(2-x)+(2x-3)=5,当且仅当 +7+15=3, 2-x=V2x-3,即x=?时等号成立，所以函数y的最大值 当且仅当3(y+1D十，即y=1,x=3时取等身 为3. y的最大值为3. 变式训练 第五讲 一元二次不等式及其解法 1.Dx+4y=40,且x>0,y>0 知识梳理·双基自测 .x+4y≥2√x·4y=4y(当且仅当x=20,y=5时取“=”)， 知识梳理 .4y≤40，.xy≤100， 知识点一 lgx+lgy=lg(x灯y）≤lg100=2. 一2 2C<号3x-2<0, 知识点二 9 两相异两相等没有{xx>x2或x<x,}{xxeR且x≠ f代x)=3x-2+3x-2+3 x}R{xx1<x<2}☑☑ =-[2-3)+2’3+3 双基自测 1.(1)×(2)×(3)V(4)V(5)× 9 ≤-2√2-3)·223x+3=-3. 2.B由x2-2x-3≤0，解得-1≤x≤3，.B={xl-1≤x≤3}， .AUB=[-1,4).故选B. 9 当且仅当2-3x=2-3x -=-2+ 11 3· 即x=兮时取=” 3.-14。依题意知 a 解得-12， 2=（-) 1 a=（-2 ×3 b=-2,a+6 3.D图为>0，>0.且+=2，所以+寸=2(+）✉ =-14. 4.[0,4) +=(4++）≥2+√·=2+，当且仅当 当m=0时，显然成立；当m≠0时，由已知得 「m>0, 解得0<m<4.综上，实数m的取值范围是 宁每y3=厅-1时取等9 4=m2-4m<0, x Y [0,4). 430名师#坛·素手提升 “糖水不等式”的应用 例：中含茶被经令【变式训维 溶解后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼出 1.依据糖水不等式可得出log2 log1s10(用 一个不等式吗？试给出证明. “<”或“>”填空)；并写出上述结论所对应的一个 [解析]因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变 糖水不等式 大，所以提炼出的不等式为6+m>:,其中a>6>0,m a m 2.已知55<84,134<85.设a=log3,b=l0g5,c= >0.下面用作差比较法给出证明，6+m-6。 a+m a 1og138,则 () a(b+m)-b(a+m)m(a-b .因为a,b,m都是正 A.a<b<c B.b<a<c a(a+m) a(a+m 数，且a>b,所以a+m>0,a-b>0.所以m(a-b) C.b<c<a D.c<a<b a(a+m) 0,即6+m>6 温馨提示：复习至此，请完成练案[3 a+m a 第四讲 基本不等式 010 知识梳理·双皇自测 度 知识梳理 (2)d≤((a,6eR).(当且仅当a=b时取等 号) 知识点一 基本不等式√ab≤a+b 均值定 计 ≤4+(a,beR).(当且仅当a=b时 2 理) 衡 取等号)》 中 1.基本不等式成立的条件： 、 学 2.等号成立的条件：当且仅当 时等号 (4)b+4≥2(a,b同号).（当且仅当a=b时取等号）. b 案 L 成立； 3其中2叫做正数，6的 (5) √ab 上+ s√adsa+b 2 ≤ C+B（u,b>0当且 a b 叫做正数a,b的 仅当a=b时取等号). 知识点二利用基本不等式求最大、最小 值问题 双基自测 1.如果x,y∈(0，+)，且y=P(定值)， 题组一 走出误区 那么当 时，x+y有最小值2√P.(简记： 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或 “积定和最小”) “×”) 2.如果x,y∈(0，+∞)，且x+y=S(定值)， (1)不等式42+2≥2b与“+≥√品有相同的成 那么当=y时，有最大值子（简记“和定积 2 立条件 最大”) (2)y=x+的最小值是2. () 归纳拓展 (3)函数f(x)=sin2x+.4 +in的最小值等于4 常用的几个重要不等式 (1)a+b≥2√ad(a>0,b>0).(当且仅当a=b时 取等号) 4)”>0且>0"是号+兰≥2”的充要条件（） 题组二走进教材 题组三走向高考 2.（必修1习题2.2T1(2)改编)已知0<x<1,则x(15.(2024·北京卷，9,4分)已知(x1,y1),(x2y2)是函 -x)的最大值为 数y=2”图象上不同的两点，则下列正确的是 B D.1 3.(必修1习题2.25改编)若x<0,则x+元 A.log 2 2 +2+2 B.log22 2 A.有最小值，且最小值为2 B.有最大值，且最大值为2 y1+2>x1+X C.log2 C.有最小值，且最小值为-2 D.有最大值，且最大值为-2 l:”<+ 4.（必修1习题2.2T1(1)改编)若函数f(x)=x+6.（多选题)(2020·新高考I卷，11,5分)已知a>0, 2x>2)在x=a处取最小值，则a等于( b>0,且a+b=1,则 () A.1+2 B.1+3 入d+6≥分 B2>分 C.3 D.4 C.log2a+log2b≥-2 D.a+i≤2 考点突破·互动探究 考点 名师点拨：拼凑法求最值的技巧 利用基本不等式求最值一 多维探究 1.用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二 角度」直接法 定、三相等.“一正”不满足时，需提负号或加以讨论， 例下列函数中最小值为4的是 “二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用 4 A.y=x2+2x+4 B.y=Isinsin 函数单调性。 轮 2.求乘积的最值.同样要检验“一正、二定、三相 C.y=2+22-x 4 D.y=x+ 复 等”，如本例中的3题的关键是变形，凑出和为常数 名师点拨： 角度3常数代换法求最值 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的 擊 三个条件：“一正二定三相等” 例1已知正数，h满足氵+=1，则8a+6的最分 a 0 1.“一正”就是各项必须为正数。 值为 ( 2.“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的 A.54 B.56 C.72 D.81 二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成 [引申]已知正数a,b满足8a+4b=ab,则8a+b 积的因式的和转化成定值. 的最小值为 3.“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验 证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是 2已知正数0,6清足a+26=3恒成立，则十十 所求的最值. 角度2配凑法 云的最小值为 例1.设实数x满足x>0,则函数y=2+3x+ 4 的 x+1 C.2 D.3 最小值为 名师点拨：常数代换法的技巧 A.43-1 B.43+2 1,常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与 C.42+1 D.6 “1”的积、商都是自身的性质，通过代数式的变形构造 2.(2024·天津模拟)函数y-+7x+10(x>-1） x+1 和式或积式为定值，然后利用基本不等式求最值. 的最小值为 2.利用常数代换法求解最值应注意：(1)条件的灵 3.(2025·沈阳模拟)若0<x<2,则y= 活变形，常数化成1是代数式等价变形的基础；(2)利 用基本不等式求最值时“一正、二定、三相等”的检验， x√1-4x的最大值为 否则容易出现错解. 角度4消元法 例已知x>0,y>0,x+3+y=9,则x+3y的最小 考点C 利用基本不等式解决实际问题一师生共研 值为 例单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为 [引申]本例条件不变，求y的最大值. “道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等 诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 1000e 满足关系N= 0.7v+0.32+d ,其中d。为安全距离，v 为车速(m/s).当安全距离d。取30m时，该道路一小 时“道路容量”的最大值约为 A.135 B.149 C.165 D.195 名师点拨：利用基本不等式解决实际问题的 策略 1.根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基 本不等式求得函数的最值， 名师点拨： 2.解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其 要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数 取值范围 的形式，然后再利用基本不等式。 3.在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不 【变式训练】 到，可利用函数的单调性求解。 1.（角度1)(2025·沧州七校联考)设x>0,y>0,且 【变式训练】 012 x+4y=40,则lgx+lgy的最大值是 ( (2024·湖北孝感模拟) 北 B.10 《九章算术》是中国古代最 →东 D26 A.40 C.4 D.2 0. 2(角度2)若x<号则)=3+1+3”2有 9 重要的数学著作之一，其 东门 年 南门 度 中第九章“勾股”中记载： G “今有邑，东西七里，南北 新 A.最大值0 B.最小值9 九里，各中开门.出东门一十五里有木.问出南门几何 计 C.最大值-3 D.最小值-3 步而见木？”其算法为：从东门向南走到城角的距离， 衡 3.（角度3)(2025·昆明模拟)已知实数x>0,y>0, 乘从南门向东走到城角的距离，乘积作被除数，以树 学 距离东门的距离作除数，被除数除以除数得结果，即 x+3y=2,则+1的最小值为 ( (9x3)×(7x2) A.3 B.1+5 设出南门x里见到树，则x= 15 C.2+ D.2+3 若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门 2 750步恰好能看到此树，则该小城的周长的最小值 4.（角度4)(2025·聊城一中月考)已知正数x,y满足 为（注：1里=300步） () x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是 ( A.2√/10里 B.4/10里 A.1 B.3 C.6 D.12 C.6/10里 D.8/10里 名师#近·素养提升 何西不等式 柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还 常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果. 1.柯西不等式的代数形式 设a,b,c,d均为实数，则(a2+b2)(c2+d)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立. 推广：设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,则(a+a+…+a)(b+b+…+b2)≥(ab1+a2b2+…+ anbn)2,当且仅当b:=0(i=1,2,…,n)或存在一个实数k,使得a:=b:(i=1,2,…,n)时，等号成立 2.柯西不等式的向量形式 设&，B为平面上的两个向量，则IxB1≥Ix·B1,当且仅当B是零向量，或存在实数k,使=邱时，等号 成立. 3.柯西不等式的三角不等式 设x1,少12y2,xy3为任意实数，则√(x1-x2)2+(y-y2)2+√(x2-x)2+(y2-y3)2≥√(x1-x)2+(y1-y3)2. 利用柯西不等式求最值 [答案]A 例1.(2024·浙江模拟)若sinx+eosy+in(x+) [解析]由柯西不等式可知，(25-x+√x-4)2 =2,则sinx的最小值是 ( ≤(2+12)[(5-x)2+(√x-4)2]=5,所以25-x A.0 B.2-5 C.3-7 n方 +V4≤5，且仅普24=用= 时取等号，故函数∫(x)=2√5-x+√x-4的最大值 [答案]C [解析]由已知sinx+cosy+sin xcos y+cos xsin y 及取得最大值时x的位分别为5，号 =2整理得2-sinx=(sinx+1)cosy+cos xsin y, 名师点拨：柯西不等式求解最值的策略 由柯西不等式得(sinx+1)cosy+cos xsin y≤ 关键是构建条件与结论之间的联系，通过合理的 √(sinx+1)2+cos2x·√cos2y+sin2y=V√2+2sinx, 恒等变形与配凑转化，使之符合柯西不等式的结构，利 当且仅当(sinx+l)siny=cos ycos x时取等号， 用柯西不等式来转化所求的代数关系式，联系条件来 所以(2-sinx)2≤2+2sinx,即sin2x-6sinx+2 确定对应的最值问题 ≤0，解得3-√7≤sinx≤1， 【变式训练】 所以sinx的最小值为3-√7 2.函数f代x)=2√5-x+√x-4的最大值及取得 1.已知x>0,y>0, 4+y2=1,则2 x+2y的最大值 最大值时x的值分别为 是 15,号 R5号 2.函数y=2√/2-x+√2x-3的最大值为 g n西g 温馨提示：复习至此，请完成练案[4 总 第五讲 一元二次不等式及其解法 擊 013 知识梳理·双基自测 知识梳理 元二次方程 有 实 有 知识点一一元二次不等式 ax+bx+c=0 根x1,x2 实根x1=x2 b 实数根 只含有 个未知数，并且未知数的最高次 (a>0)的根 (x1<x2》 -2a 数是 的不等式，称为一元二次不等式，一元二 ax +bx+c>0 次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c (a>0)的解集 <0(a,b,c均为常数，a≠0) 知识点二 三个二次之间的关系 ax +bx+c<0 (a>0)的解集 判别式 4>0 4=0 4<0 △=b-4ac y 归纳拓展 二次函数 1.ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且 y=ax+bx+c b2-4ac <0(xER). (a>0)的图象 0x=x2 2.ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且 b2-4ac<0(x∈R).