第一章 第二讲 常用逻辑用语-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习学案

例2.A由题意可得MUW=xlx<2},则C(MUW)={xlx≥2}，选 项A正确：C,M={xlx≥1}，则NUCM={x1x>-1},选项 第二讲常用逻辑用语 B错误；M∩N=xl-1<x<1},则(M∩W)=xIx≤-1 知识梳理·双基自测 或x≥1}，选项C错误；C,N={xIx≤-1或x≥2}，则 MUCW={xlx<1或x≥2}，选项D错误 知识梳理 角度2 知识点一 例1：BCD由题意知A={xlx2+x-6=0,由x2+x-6=0,解得 一充分必要充分必要充分必要充要 x=2或x=-3,所以A={2,-3},因为AUB=A,所以 知识点三 BCA,当B=0时，m=0,满足题意；当B≠☑时，B= 3xeM,7p(x)Hx∈M,p(x) {}六-2或分-3，解得m=或m= 3,综 双基自测 1.(1)×(2)V(3)×(4)V 上.m=0或宁或3 [解析】(3)当a=B=受时，ama,amB都无意义因此不能 例2.[2,3]由A∩B=B知，BCA 推出tana=tanB,当tana=tanB时，a=B+kr,keZ,不一定 AB☐ α=B,因此是既不充分也不必要条件. -2m+12m-15x (4)在△ABC中，由A>B,则a>b,由正弦定理simA>sinB,反 2m-1≥m+1, 之也成立 又B≠☑，则{m+1≥-2，解得2≤m≤3， 2.C对全称量词命题的否定既要否定量词又要否定结论，P:Hx l2m-1≤5， eR,x>sinx,则p的否定为：了xeR,x≤sinx故选C. 则实数m的取值范围为[2,3] 3.B当a>b时，若c2=0,则ac2=bc2, [引申1] 所以a>bac2>bc2, [解析]应对B=⑦和B≠⑦进行分类， 当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b, ①若B=⑦，则2m-1<m+1,此时m<2. 所以ac2>bc曰a>b, ②若B≠⑦，由题得2≤m≤3. 即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(-∞，3]： 4.B [引申2] [解析]由AUB=B,即ACB得m+1≤-2， 5.B对于两个命题而言，可分别取x=-1、x=1,再结合命题及 l2m-1≥5， 其否定的真假性相反即可得解.对于p而言，取x=一1，则有 1x+11=0<1,故p是假命题，7p是真命题，对于q而言，取 即m≤，-3，不等式组无解，故不存在实数m,使AUB=B x=1,则有x=13=1=x,故9是真命题，7q是假命题，综上， [引申3] p和g都是真命题.故选B. （-0,-3]由题意可知m+1≤-2， 解得m≤-3. 6.C说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必 l1-2m≥5， 要条件.根据立方的性质和指数函数的性质，a3=b3和3“=3 都当且仅当a=b,所以二者互为充要条件，故选C. m+1-2 5 1-2m 考点突破·互动探究 变式训练 考点1 1.C依题意得，对于集合B中的元素x,满足x+1=1,2,3,4,5 例1：C全称量词命题的否定为存在量词命题，排除B、D选项， 9,则x可能的取值为0,1,2,3,4,8，即B={0,1,2,3,4,8},于是 A∩B={1,2,3,4}.故选C. -2<0可解得x<2,x<2的否定应是x≥2，A选项中， 其中1 2.ACD由x2-2x>0,得x<0或x>2,所以A={x1x<0或x> 2≥0可解得x>2,故A选项错误，C选项正确 1 2},所以CRA={x10≤x≤2}，对于A,因为B={x11<x<3},所 以(CRA)UB=xI0≤x<3},所以A正确：对于B,因为B= 例2：BD根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，即可求 {xI1<x<3},所以(CA)∩B=xI1<x≤2}，所以B错误；对于 解.对于A,某些平行四边形是菱形，是真命题；对于B,△=9 C,因为A={xlx<0或x>2},B={xI1<x<3},所以A∩B= -12=-3<0,则原命题是假命题；对于C,Vx∈R,Ixl+x2 {xI2<x<3},所以C正确；对于D,因为A∩B=xI2<x<3}, ≥0，是真命题；对于D,只有4=a2-4≥0，即a≤-2或a≥2 所以A∩B是xI2<x<5}的真子集，所以D正确. 时，x2-ax+1=0有实数解，是假命题；根据原命题和它的否 3.A由题得2a<a+1,解得a<1,所以a+1<2,又A∩B≠☑ 所以只需a+1>-2,解得a>-3,所以-3<a<1. 定真假相反的法则判断，选项BD中，原命题的否定是真命 4.A由题得A=[0,1],B=(0,e],因为AUB=A,所以BCA. 题.故选BD. 所以e“≤1=e°，所以a≤0. 例3：C因为命题“3x∈R,使ax2-x+2≤0”是假命题，所以命 名师讲坛·素养提升 题“Hx∈R,ax2-x+2>0”是真命题，当a=0时，得x<2,不 变式训练 符合题意；当a≠0时，得a>0, 解得a>日 ABD因为B={xlam2=1,a≥0}，若a=0,则B=☑，满足B为 l4=1-8a<0, A的真子集，此时A与B构成“全食”；若a>0,则B= 考点2 【}{后·}若1与8构成”全食”或角食，则肉花相铝响量重直和平行的座标表示即可得到方程，解出即 方法1 可.当a⊥b时，则a·b=0,以x·(x+1)+2x=0,解得x=0 石三1或石=解得a=1或a=4综上，a的值为0或1或 或-3，即必要性不成立，故A错误；对C,当x=0时，a=(1, 4.故选ABD. 0),b=(0,2),故a·b=0,所以a⊥b,即充分性成立，故C正 426 确；当a∥b时，则2(x+1)=x2,解得x=1±5，即必要性不成 名师讲坛·素养提升 立，故B错误：当x=-1+3时，不满足2(x+1)=x2,所以 一、抽象命题间充要条件的判定 a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误.故选C. 变式训练 方法2 必要不充分由题意可知9→r军p,∴P是q的必要不充分 例：B不等式x2-5x<0的解集A={x10<x<5},由lx-11<1 条件 得-1<x-1<1,其解集B={x0<x<2},则集合B是A的真二、突破双变量“存在性或任意性"问题 子集，所以“x2-5x<0”是“1x-11<1”的必要不充分条件，故[引申1] 选B 当x∈[0,3]时，fx)min=f0)=0, 方法3 例：C解法一（集合法）：设全集U={(x,y)Ix∈R,y∈R},集合 当xe[1,2]时，g(x)=g(1)= 2-m, A=(x,y)lx≠y},B=(x,y)Icosx≠cosy,则A的补集C= {(x,y)Ix=y},B的补集D={(x,y)I cos x=cosy},显然C 由)≥x)得0≥行-m,所以m≥行 D,所以B军A,故“x≠y”是“c0sx≠c0sy”的必要不充分条件. [引申2] 解法二（等价转化法）：x=y→cosx=cosy,而cosx=cosy台x =y,故“x=y”是“cosx=cosy”的充分不必要条件，故“x≠y” [子-h10,+）当xe[0,3]时)=f3)=h10, 是“cosx≠cosy”的必要不充分条件. 变式训练 当xe[1,2]时，g()n=g(2)= 4-m, 1.A因为p是9的必要不充分条件，则g曰7p,但p台q,其 由)≥g)得n10≥壬-m, 等价命题为p一9，但g台p,所以p是g的充分不必要 条件 所以m≥子-h0. 2.B根据向量数量积分析可知(a+b)·(a-b)=0等价于1a[引申3] =b1,结合充分、必要条件分析判断.因为(a+b)·(a-b)= a2-b2=0,可得a2=b2,即1al=Ib1,可知(a+b)·(a-b)=0 [3-h10,+x）当xe0,3]时)=3)=h10, 等价于lal=lbl,若a=b或a=-b可得lal=Ib1,即(a+b) ·(a-b)=0,可知必要性成立：若(a+b)·(a-b)=0,即Ial 当xe[1,2]时，8)=g1)=号-m, =1b1,无法得出a=b或a=-b,例如a=(1,0),b=(0,1),满 由x)≥g()=,得1n10≥2-m,所以m≥号-n10. 足lal=1b1,但a≠b且a≠-b,可知充分性不成立；综上所述， 变式训练 “(a+b)·(a-b)=0”是“a=b且a=-b”的必要不充分条 D不妨设f(1)=g(x2)=a,.e1-e=lnx2+1=a,.x1= 件.故选B. n(a+e),2=e-l,故x-x2=ln(a+e)-e-l(a>-e).令 3B由（分）<1知x>0,所以p对应的x的范围为(0，+， Aa)=ln(e+e)-e,则r(a)=。-e,易知'(a)在 由logx<0知0<x<1,所以q对应的x的范围为(0,1)，显然 (-e,+∞)上是减函数，且h'(0)=0,故h(a)在a=0处有最 (0,1)(0,+∞)，所以p是q的必要不充分条件 考点3 大值，即-%的最大值为1-日 例：(1)[0,3](2)[9，+0)(1)由x2-8x-20≤0，得-2≤x 第三讲等式性质与不等式性质 ≤10，所以P=xl-2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件， ,1-m≤1+m, 知识梳理·双基自测 知SCP,则1-m≥-2，所以0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，知识梳理 1+m≤10， 知识点一 x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]. >=< (2)由已知可得P={xl-2≤x≤10}，因为P是7S的必要知识点二 不充分条件，所以S是P的必要不充分条件，所以xeP→xeSb=aa=c 且xeS台xeP.所以[-2,10][1-m,1+m].所以知识点三 -m≤-2或-m<-2, b<a azc a+c>b+e ac >be ac <be a+e>b+d ac>bd 1+m>101+m≥10. :a”>b" 所以m≥9，即m的取值范围是[9，+o). 双基自测 变式训练 1.(1)×(2)×(3)×(4)V(5)×(6)V(7)V 2.A因为M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=a2-2a+3=(a (1)3(2)(3,+】 (1)由已知可得A=B,则x=2是方 -1)2+2>0,所以M>N.故选A. 程征=1的解，解得6=2 3.(-m,0)由已知，得-号<a<受，-牙<-B<号，所以-m (2)若A是B的充分不必要条件，则A军B, a-B<T,又a<B,所以a-B<0,故-T<a-B<0. 所以6>0，且大<2，所以6>2， 4.B如取a=4,b=3,c=2,d=-4,此时a+d<b+c,故A错误； a+c>b+c>b+d,故B正确；如取a=4,b=-1,c=-2,d= 则6的取值范用是（分，+） -3,此时ad<bc,故C错误；如取a=4,b=-1,c=-2,d= -3,此时ac<bd,故D错误.故选B. —427—第二讲 常用逻辑用语 知识梳理·双县自测 知识梳理 归纳拓展 知识点一 充分条件、必要条件与充要条件1.从集合的角度理解充分条件与必要条件，若p以集 的概念 合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A= xlp(x)},B={xq(x)},则 命题“若p,则g”为“若p,则g”为 “若p,则g”和 (1)若ACB,则p是g的充分条件： 真假真命题 假命题 “若q,则p”都 (2)若A2B,则p是g的必要条件； 是真命题 (3)若A=B,则p是q的充要条件； (4)若AB,则p是q的充分不必要条件； 推出 关系 9 D 9 (5)若A吴B,则P是q的必要不充分条件： (6)若A￠B且A卫B,则P是q的既不充分也不必要 p是q的 p不是q的 条件. 条p是g的 2.p是g的充分不必要条件，等价于g是一p的充分 条件 条件，9 件，g不是p条件，简称 不必要条件 关系 是p的 的 条件 3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否 条件 条件 结论” 4.命题p和p的真假性相反，若判断一个命题的真假 老 知识点二 全称量词与存在量词 有困难，可判断此命题的否定的真假 轮 类别 全称量词 存在量词 双基自测 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 题组一 走出误区 数 符号 V 1.判断下列结论是否正确（请在括号内打“V√”或 “x”) 含有全称量词的命题 含有存在量词的命题 (1)“x2+2x-3<0”是命题 009 命题 叫做全称量词命题 叫做存在量词命题 (2)“三角形的内角和为180”是全称量词命题. ( “对M中任意一个x, “存在M中的元素x, (3)“a=B”是“tana=tanB”的充分不必要条件. 命题 p(x)成立”，可用符 p(x)成立”，可用符 形式 号简记为“Hx∈M, 号简记为“3x∈M, (4)在△ABC中，A>B是sinA>sinB的充要条件. p(x)” p(x)” () 题组二 走进教材 知识点三 全称量词命题和存在量词命题2.（必修1习题1.5T3改编）已知命题p:x∈R,x> 的否定 sinx,则p的否定为 () A.]x∈R,x<sinx B.Vx∈R,x≤sinx 名称 全称量词命题 存在量词命题 C.]xeR,x≤sinx D.VxER,x<sin x 对M中任意一个x, 存在M中的元素x, 3.（必修1习题1.4T2改编)“a>b”是“ac2>bc2”的 结构 p(x)成立 p(x)成立 () A.充分不必要条件 简记 Vx∈M,p(x) 3xEM,p(x) B.必要不充分条件 C.充要条件 否定 D.既不充分也不必要条件 4.(必修1复习参考题1T5改编)使-2<x<2成立的 C.p和g都是真命题 一个充分条件是 D.一p和g都是真命题 A.x<2 B.0<x<2 6.(2024·天津卷)设a,b∈R,则“a3=b3”是“3°=3” C.-2≤x≤2 D.x>0 的 题组三走向高考 A.充分不必要条件 5.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:Hx∈R,x+11> B.必要不充分条件 1;命题q:x>0,x3=x,则 C.充要条件 A.p和g都是真命题 D.既不充分也不必要条件 B.p和g都是真命题 考点突破·互动探究 考点 全称量词命题与存在量词命题一自主练透 点C 充分条件与必要条件的判断—多维探究 例1.(2025·西安模拟)若命题p:Yx∈R, <0 方法：定义法判断 -2 则一p表述准确的是 例(2024：全国甲卷理)设向量Q=(x+1,*),b= (x,2),则 ( A.3x∈R, x-2≥0 A.“x=-3”是“a1b”的必要条件 B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件 C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件 006 BYeR22≥0 C.3xER,-1 -2>0或x=2 D.“x=-1+√3”是“a∥b”的充分条件 22 方法2：集合法判断 D VseR.2>0或x=2 例设∈，则-5x<0是1x-1<1P的 ( A.充分不必要条件 度 2.(多选题)下列命题的否定中，是真命题的有 B.必要不充分条件 新 C.充要条件 计 A.某些平行四边形是菱形 D.既不充分也不必要条件 B.3x∈R,x2-3x+3<0 衡 方法3 等价转化法判断 中 C.Hx∈R,Ix|+x2≥0 D.Hx∈R,x2-ax+1=0有实数解 例如果x,)是实数，那么“x≠是“sx≠osy 3.已知命题“3x∈R,使ax2-x+2≤0”是假命 的 题，则实数a的取值范围是 ( A.充要条件 解决不相等问题转 A(-g0) (o,日) B.充分不必要条件 化为相等问题来处 C.必要不充分条件 理，即转化为等价 c(g+） D.(1,+∞) D既不充分也不必要条件命题来处理 名师点拨： 名师点拨：有关充要条件的判断常用的方法 1.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 1.根据定义判断：(1)弄清条件p和结论q分别是 命题名称真假 判断方法一 判断方法二 什么；(2)尝试p→9,9→p.若p→q,则p是g的充分条 全称量 所有对象使命题为真 否定为假 件；若q→p,则p是q的必要条件；若p→q,9台p,则p 词命题 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 是q的充分不必要条件；若p种q,9→p,则p是g的必 存在量 存在一个对象使命题为真 否定为假 要不充分条件；若p→q,9→p,则p是g的充要条件. 2.利用集合判断 词命题 假 所有对象使命题为假 否定为真 记法 A=xlp(x),B=x1q(x) 2.全称量词命题与存在量词命题的否定 关系 ASB B手A A=B AIB且BIA (1)改写量词：确定命题所含量词的类型，若命题 中无量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进 p是q的 p是q的 p是g的 P是9的既 行改写； 结论 充分不必 必要不充 不充分也不 充要条件 (2)否定结论：对原命题的结论进行否定， 要条件 分条件 必要条件 3.利用等价转化法：对于带有否定性词语的命题， 常用此法，即要判断p是q的什么条件，只需判断一q 考点 充分、必要条件的应用一师生共研 是p的什么条件。 【变式训练】 例已知P=x1-8x-20≤0，非空集合s {xl1-m≤x≤1+m.若x∈P是x∈S的必要条 1.给定两个条件p,9,若p是q的必要不充分条件， 件，则m的取值范围是 则p是g的 ( (2)在(1)的条件下，若把“x∈P是x∈S的必要 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 条件”改为“P是S的必要不充分条件，”则m的取 C.充要条件 值范围是 D.既不充分也不必要条件 名师点拨： 2.(2024·北京卷)设a,b是向量，则“(a+b)·(a-b) 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价 =0”是“a=-b或a=b”的 转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问 A.充分不必要条件 题来解决.一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要 B.必要不充分条件 关系问题时，常常要利用集合的包含、相等关系来考 C.充要条件 虑，这是破解此类问题的关键。 D.既不充分也不必要条件 【变式训练】 3已知p:(2) <1,9:log2x<0,则p是q的( （2024·衡水调研)若集合A={x1x>2},B={x1bx A.充分不必要条件 >1},其中b为实数 B.必要不充分条件 (1)若A是B的充要条件，则b= C.充要条件 (2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是 D.既不充分也不必要条件 名师讲坛·素美提升 一、抽象命题间充要条件的判定 例已知p是的充分不必要条件，9是r的充分条件， [解析] 由题意得》民公显然=r且一一 s是r的必要条件，g是s的必要条件，现有下列命 q,即q曰r,①正确；P→→s→9且9台p,②正确：r台4 轮 题：①r是q的充要条件：②p是g的充分不必要条件；③错误；由P→s知s→P,但s台p,.7p台1s,④ 总 ③r是g的必要不充分条件；④p是s的必要不充：正确；rs,⑤错误.故选B. 分条件；⑤r是s的充分不必要条件，则正确命题的序 名师点拨： 数 号是 命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求 A.①④⑤ B.①②④ 解，简洁直观，一目了然 C.②③⑤ D.②④⑤ 【变式训练 007 [答案]B 若p是r的必要不充分条件，9是r的充分条件，则p 是q的 条件. 二、突破叔变量“存在性或任意性”问题 逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达，解决双变量“存在性或任意性”问题关键就 是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系（或两个函数最值之间的关系）， 目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质. [答案] A 例已知fnd+g-(分)广m若对于 [解析]当x∈[0,3]时，f(x)min=f(0)=0, Vx∈[0,3]，3x∈[1,2]，使得fx)≥ g(x),则实数的取值范围是 当xe[1,2习时，g()m=g(2)=4-m, A[4,+） B(,] 由f(x)n≥g(x)m得0≥ 4-m,所以m≥ 4 D.(,3] 引申1]把本例中“3x,∈[1,2”改为：“x∈ Vx1E[0,3]是指{x)在[0,3]上的每一个函 [1,2”,其他条件不变，则实数m的取值范围是 数值即最小值. Vx,e[1,2]是指g(x,)在[1,2]上的 x∈[1,2]是指g(x)在[1,2]上有-个函数 每二个值即最大值， 值即最小值. 名师点拨： [引申2]把本例中，x∈[0,3改为]x∈[0,3 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问 其他条件不变，则实数m的取值范围是 题，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值） 3xE[0,3]是指代x)在[0,3]上有-个函 解决。 数值即最大值. 【变式训练】 已知函数f(x)=e-e,g(x)=lnx+1,若对于Hx, 3×E[0,3]是指代x)在[0,3]上有一个 ∈R,3x2∈(0，+o),使得f(x)=g(x2),则x1- 函数值即最大值. x,的最大值为 () [引申3]把本例中，Vx∈[0,3]，3x∈[1,2]改 A.e B.1-e 为]x,∈[0,3，Vx,∈[1,2]，其他条件不变，则实数 C.1 D.1- e m的取值范围是 Vxe[1,2]是指x)在[1,2]上的每-个 温馨提示：复习至此，请完成练案[2 函数值即最大值： 第三讲 等式性质与不等式性质 008 知识梳理·双基自测 年 知识梳理 a>61 同向可加性 知识点一 两个实数比较大小的方法 c>d] 计 ra-b>Oa b, 作差法{a-b=0-a b,(a,b∈R) 衡 同向同正 a>b>01 la-b<Oa 可乘性 学 c>d>0] 知识点二 等式的性质 性质1对称性：如果a=b,那么 性质2传递性：如果a=b,b=c,那么 a>b>0= 可乘方性 a,b同 性质3可加（减）性：如果a=b,那么a±c= (neN,n≥1) 为正数 b±C; 性质4可乘性：如果a=b,那么ac=bc; a>b>0=9a>6 性质5可除性：如果a=6,c≠0，那么名=号 可开方性 a,b同为正数 (neN,n≥2) 知识点三 不等式的基本性质 归纳拓展 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b台 S 1a>6ob>0=2行 传递性 axb,b>c → 可加性 axbe 台 2a<0<-片<行 a>bl 3a>6>0.d>c>0-2>号 c>0] 注意c 可乘性 4.若a>b>0,m>0,则2<6+m:名>6-m(6-m>0)为 a>b 的符号 aa+m'a a-m c<0