第四章 第一讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习学案

变式训练 所以当c<一 B由方程x3-x2-x-1-2k=0有3个不同的根， 时，心)只有大于1的零点 即x3-x2-x-1=2k有3个不同的根， 因为-D=()=- 令fx)=x3-x2-x-1,xeR, 则f'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), 所以当c>子时)只有小于-1的客点 令()>0，解得x<-弓或x>1, 1 由题设可知-4≤c≤4 令r()<0,解得-方<x<1, 当c=时)只有两个零点-子和1 所以函数f(x)在(-0，-号）和(1。 当c=子时)只有两个零点-1布分 +×)上单调递增，在(-分，1）上单 当-子<c<时，f()有三个零点新，，且e 调递减，且f(-分）=号) (-1,)(方)（分 /11 -2,作出f(x)图象如图， 综上，若f代x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零 所以-2<2<号 点的绝对值都不大于1. 变式训练 即ke（-1,贵)放选B [证明](1)fx)的定义域为(0，+0). 考点3 f(e)=+nx-1=n- 例1：(-2,1)令x2-3x=-(x-1)2+a, 因为y=hx在(0，+0)上单调递增，y=在(0，+如)上单调 即a=x3+x2-5x+1, 令g(x)=x3+x2-5x+1(x>0), 递减， 则g'(x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-1), 所以f'(x)在(0，+∞)上单调递增. 令g'(x)=0(x>0)得x=1, 又f')=-1<0(2)=ln2-3-4>0, 2 当x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 故存在唯一e(1,2),使得f'(x)=0. 当xe(1,+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 又当x<xo时，f'(x)<0,f(x)单调递减， g(0)=1,g(1)=-2, 当x>x。时，f'(x)>0f(x)单调递增， 因为曲线y=x2-3x与y=-(x-1)2+a在(0，+∞)上有 因此f代x)存在唯一的极值点. 两个不同的交点， (2)由(1)知f(xo)<fe)=-2,又f(e2)=e2-3>0, 所以等价于y=a与g(x)有两个交点，所以ae(-2,1). 所以f(x)=0在(xo,+∞)内存在唯一根x=a. 由a>>1得0<日<1< '=g(x ）(位h。女-1i00 故日是)=0在(0,6)的唯一根 综上(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数， 例2：[解析](1)f'(x)=3x2+b. 第四章三角函数、解三角形 依题意得f(宁）=0，即产+6=0， 第一讲任意角和弧度制及任意角的三角函数 知识梳理·双基自测 (2)证明：由(1)知f(x)=x- 知识梳理 4x+c, 知识点一 了()=3-子令f()=0,解得x=弓或x=分 3 1.负角零角 2.象限角轴线角 x变化时f'(x)与f代x)的变化情况为： 3.BlB=2km +a,keZ 行，+ 知识点二 1.半径长 '(x) 0 0 f(x) c+ 4 3m(9)j 因为f)=f(-)=c+4 一461— 知识点三 当长=2m+1,meZ时，年+m2m<受<受+m2m, 2 1.yx士(x≠0) m∈Z, 2.一全正二正弦三正切四余弦 双基自测 所以号终边在第三象限，综上，受的终边在第一或三象限。 1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)× 故选AC [解析]根据任意角的概念知(1)(2)(4)(5)均是错误的. [引申] sina>0,a也可落在y轴正半轴上，故(3)也不对. (I)号的终边在第二或第四象限。 2.B-2025°=-6×360°+135°，-2025°和135°的终边相同， (2)在第一、二或四象限(3)一第三或第四象限或y轴负半 所以-2025°的终边在第二象限. 轴上 3.C由tan0>0知，0是一、三象限角，由sin0<0知，0是三、四 考点2 象限角或终边在y轴非正半轴上，故0是第三象限角. 4.-3利用任意角的三角函数的定义求解。 例：解折]（0a=60号1=10×号19(em 已知角a的终边经过点P(-4,m),且sina=- 5,sin a (2)设弓形面积为Sg·由题知1=2？cm 3 列而房解得m3 m ,=5-S=×号×2-×2×m号 5.D解法一”a是第四象限角-受+2km<a<2k,keZ。 (写-5）em -π+4hr<2Q<4hπ，keZ,.角2a的终边在第三、四象限或 (3)由已知得，l+2R=20, y轴非正半轴上，.sin2a<0,cos2a可正、可负、可零.故选D. 所以S=2R=2(20-2R)R=10R-R=-(R-5)'+25. 解法二：sin2a=2 sin acos a<0. 所以当R=5时，S取得最大值25cm2, 考点突破·互动探究 此时1=10，a=2 考点1 变式训练 例1：C当=2m(neZ)时，2nm+牙≤a≤2nm+受，此时a表.ABC设扇形半径为，圆心角弧度数为a, 示的范围与牙≤a≤受表示的范围一样；当k=2n+1(ne {合2*e64 2r+0r=6, 则由题意得1 Z)时，2nm+m+年≤a≤2nm+m+受，此时a表示的范围 可得圆心角的弧度数是4或1. 与元+牙≤a≤m+受表示的范围一样，故选C 2D由条件可得9=3，然后根据扇形的面积公式可得答案 例2：D根据题意，角α的终边在直线y=5x上， 设∠B0C=a,则 =10:=3,所以0A=3,所以 =10B1· 10BI a为第一象限角时，a=号+2m(keZ): 2a10M12-a·10B12 1 10A12-10B2=910BI2-I0B2 1 a为第三象限角时.a=号+2km(eZ: 2·10B12 1OB12 1OB12 =8,故选D. 综上，角a的取值集合是{aa=km+牙，keZ故选D, 考点3 角度1 例3：D当k=0时，a=石终边位于第一象限， ±至设P(,.由题言知=-万y=m,所以F 当k=1时，a=严，终边位于第二象限， : 6 =0P2=(-5)2+m2(0为坐标原点)，即r=√3+m,所以 当=2时，a=终边位于)轴的非正半轴上， ima=m=5m=0所以r=小+m=2巨，即3+m2: 422 当k=3时，a=2m+石，终边位于第一象限， 综上可知，则α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴的 8,解得m=±5.当m=5时，c0sa=-5 非正半轴上.故选D. 例4：AC由角a的终边在第二象限， 4,lan a =15 m=-5时，cosa=-5,t 3 角度2 所以牙+k,2m<a<m+k2m,keZ, 例1：AB300°=360°-60°，则300°是第四象限角，故sin300°< 所以+2m<号<受+今2meZ。 0,-305°=-360°+55°，则-305°是第一象限角，故 as(-305)>0.而-号=-8m+,所以-号是第 当k=2m,meZ时，平+m2m<受<号+m·2m,m∈Z, 象限角，故m(-号<0，因为3<10<受，所以10是第 所以号终边在第一象限； 三象限角，故sim10<0.故选AB. 462 例2：C由sin atan o<0可知sina,tan异号，则a为第二或第 /10 5. 三象限角.由csg<0可知cosu,tam异号，则a为第三或 5 由加0=子，可得如8子 c0s0=3, tan 第四象限角.综上可知，a为第三象限角.故选C 又sin0+cos0=1,0e(0,)月 变式训练 10 所以sin0= 因为a的终边过点(x,4),且cosa=- 10 -,所以x<0.因 10os0310 5 0_30=-0 3 4 所以sin0-cos0= 为c0sa= =-方，所以x=-3,所以ana=-3 10 10 5 x2+16 考点突破·互动探究 2A受<2<3<m<4<2in2>0,s3<0,m4>0, 考点1 .∴.sin2cos3tan4<0.故选A. 例1：0c0s0= 5 13 <0且cosa≠-1，∴.a是第二或第三象限角. 名师讲坛·素养提升 ①若α是第二象限角， 变式训练 (km-号，km+号)kez) 则sina=√1-cos2a= M 3 .…3-4sin2x>0 12 '.tan a=sin a= 13 12 3 ..23..-2<mx× cos Q 5 2 13 利用三角函数定义画出x满足条件 y= 的终边范围（如图阴影部分所示）， 此时13sma+5ma=13×号+5x(-号)=0 xe(m-哥，m+于}keZ). ②若α是第三象限角， 则sina=-/1-cos2a 第二讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 2 12 知识梳理·双基自测 12 知识梳理 'tan a sin a 1312 知识点一 cos a 5 13 1.sin'x +cos2x =1 2热兰=如： 此时，1 3i+5ama=1Bx(-号)+5×号=0 综上，13sina+5tana=0. 知识点二 sin a -sin a sin a cos a cos a cos a cos o 例2：-号 13 由已知得tana=2, -cos a sin a -sin a tan a -tan a -tan a 双基自测 所u品-8号 1.(1)×(2)×(3)×(4)× [解析](1)根据诱导公式知a为任意角.(2)cosa≠0时才成 sini orcos ss cos 2 sin'a +cos'a 立.(3)根据同角三角函数的基本关系式知当α，B为同角时才 1) 2 1 正确.(4)sin(km-a)=±sina,sina=± =tan'a +tan a+2 +2= tan'a+1 2 (2)+ 5 2.A由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解.因为α是 纯角且血a=子，所以su=--:2,则ma 变式训练 3 1.CD因为sina=- <0a为第三或四象限角，cosw= 5 12 5 ±V-ma=±片an=±立故选CD, 3.B利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案 sin(π-a)+2cos(π+a）=sina-2cos&_tan&-2_3-2 2.D利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简即可求解 sm(受+d小+om(受+a】 cos a+sin a 1 tan a 1+3 √2-2sin2°-√1+cs2°=√/2(sin10°+c0s210°-2sin10°c0s10°) -√/2cos210°=√/2(cos10°-sin10°)2-√2cos210°=，2(cos10 子放选B -sim10°)-√2cos10°=-√2sim10°.故选D. 4.A原式=cosa (1-sin a) -sin a /(1-cos a)2 3.- cos-a sin o 3由(sin6+3cos0)2=1=sin20+cos20,得6 sin 0cos0= -8cos20,又因为0为第四象限角，所以cos0≠0，所以6sin0= m<<2π，.cosa<0,sina<0. ∴.原式=-(1-sina)-(1-cos)=sina+cosa-2. -8cas,所以m0=-手 463第四章 三角函数、解三角形 考情探究 考题 考点 考向 关键能力 考查要求 核心素养 2023新课标I,8; 2023新课标Ⅱ，7 三角恒等变换 求值 运算求解 基础性 数学运算 2023新课标Ⅱ，16 三角函数的图象及其 变换 由图象求解析式 运算求解 综合性 数学运算 逻辑思维 逻辑推理 2023新课标I,15 三角函数的性质及其 由函数零点个数求w的取值 运算求解 数学运算 综合性 应用 范围 逻辑思维 逻辑推理 2023新课标I,17; 解三角形及其综合 利用正、余弦定理及面积公式 2023新课标Ⅱ，17； 运算求解 综合性 数学运算 应用 求边和角 逻辑思维 2024新课标I,15 逻辑推理 高 2022新课标I,18; 2022新课标Ⅱ，17； 解三角形及其综合 求角度及最值：求面积及边长 运算求解 综合性 数学运算 应用 2024新课标Ⅱ，15 总 2022新课标Ⅱ，6； 三角恒等变换 求正切值 运算求解 2024新课标Ⅱ，13 综合性 数学运算 学 2022新课标Ⅱ，9； 三角函数的性质及其 求单调区间、对称轴 运算求解 综合性 数学运算 2021新课标1,4 应用 089 同角三角函数的基本 2021新课标I,6 关系式及诱导公式 给值求值问题 运算求解 综合性 数学运算 解三角形及其综合 求三角形的面积、应用余弦定 运算求解 数学运算 2021新课标Ⅱ，18 应用 理判断三角形的形状 逻辑思维 基础性 逻辑推理 2024新课标I 三角函数和图象 求图象交点个数 运算求解 基础性 逻辑推理 2024新课标Ⅱ 三角函数的图象及 数学运算 性质 求零点、周期、最值、对称轴 运算求解 综合性 逻辑推理 【命题规律与备考策略】 本章是高考常考内容，结合往年命题规律，命制三角恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求 值”，给定函数y=Asin(wx+p)的部分图象，求解函数解析式.以选择题、填空题为主，分值为5分，而结合三角 恒等变换与三角函数图象与性质、解三角形的题目多以解答题形式出现，分值为10分. 针对本章公式比较多，知识点比较多的特点，备考时可以采用如下策略与方法：①扫除公式、定理“障碍”， 将公式、定理、推论归类整理，形成条理性；②固定解题模式与规范步骤；③注意解题中容易忽略的角的范围问 题或多解问题；④注重将多个知识点融合交汇的综合题目的处理方法与思路解析明晰化 第一讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 知识梳理·双县自测 2.轴线角 知识梳理 终边落在轴上的角{aa=kπ，k∈Z》 知识点一角的有关概念 1.从旋转的角度看，角可分为正角 终边落在轴上的角a=牙+kπ，k∈Z 和 2.从终边位置来看，角可分为 与 终边落在坐标轴上的角α=，k∈Z 3.若B与是终边相同的角，则B用α表示为 3.终边相同的角与对称性拓展 (1)B,终边相同B=&+2hπ，k∈Z. 知识点二弧度制及弧长、扇形面积公式 (2)B,a终边关于x轴对称B=-+2kπ，k∈Z. 1.1弧度的角 (3)B,a终边关于y轴对称B=π-a+2kT,k∈Z 长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度 (4)B,a终边关于原点对称B=T+a+2kT,k∈Z. 的角 2.角α的弧度数 4若角a∈(0，引 ,则sina<a<tana. 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那 086 双基自测 么角α的弧度数的绝对值是Iαl= 3.角度与弧度的换算 题组一 走出误区 D26 (1)1°= 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V√”或 ;(2)1rad= “×”) 度 4.弧长、扇形面积的公式 (1)小于90°的角是锐角 () 设扇形的弧长为l,圆心角大小为ax(ad),半径为 (2)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定 设 r,则l= ,扇形的面积为S= 相等. ( 计 (3)若sina>0,则终边落在第一、二象限. 衡 知识点三 任意角的三角函数 ( ) 学 1.定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交 于点P(x,y),那么sinx= (4)角a=m+写(keZ)是第一象限角 tan a= 2.三角函数的符号 (5)若血a=sin号，则a= 7 ( 题组二走进教材 2.（必修1P1T3改编)-2025°的角的终边所在的象 限是 () A.第一象限 B.第二象限 sin C.第三象限 D.第四象限 三角函数在各象限的符号一定要熟记口诀： 3.(必修1Ps2T4改编)若角0满足tan0>0,sin0<0, 则角0所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 归纳拓展 C.第三象限 D.第四象限 1.象限角 4.（必修1P16T10改编)已知角a的终边经过点 P(-4,m),且sina=- 3 第一象限角 2km<a<2kπ+,k∈Z ,则m= 题组三走向高考 第二象限角 @2km+<a<2km+,k∈Z) ak+k,kEZ 5.（2020·课标Ⅱ，2)若x为第四象限角，则() 的 第三象限角 A.cos 2a>0 B.cos 2a<0 合 第四象限角 k+3<a<2k+2,kEZ C.sin 2a>0 D.sin 2a<0 考点突破·互动探究 点 角的基本概念一自主练透 3.确定：(keN)的终边位置的方法 例1.集合{akm+平≤a≤m+受，keZ中的角所 (1)讨论法： ①用终边相同角的形式表示出角α的范围. 表示的范围（阴影部分）是 ②写出g的范围。 年长半 ③根据：的可能取值讨论确定g的终边所在 位置 2.（2025·湖北模拟)若角的顶点为坐标原点， (2)等分象限角的方法：已知角α是第m(m=1, 始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y=3x上，则 角α的取值集合是 2,3,4)象限角，求是是第几象限角 a{aa=2m+号kez ①等分：将每个象限分成k等份 y Bfua-2kr+e tcz D{aa=m+号，kez 3.(2024·湖北黄冈期中)若角a满足a=2m+ ②标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次 3 循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴. 石（keZ),则a的终边一定在 ③选答：出现数字m的区域，即为受所在的象限 A.第一象限或第二象限或第三象限 B.第一象限或第二象限或第四象限 如g判断象限问题可采用等分象限法。 2 C.第一象限或第二象限或x轴非正半轴上 总复习 D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上 考点C 扇形的弧长、面积公式的应用一师生共研 4.(多选题)已知角α的终边在第二象限，则号的 例已知扇形的圆心角是a,半径为R,弧长为2 学 终边必在第几象限 (1)若&=60°，R=10cm,求扇形的弧长l; 087 A.一 B.二 C.三 D.四 [引申](1)本例4中，若把第二象限改为第三象 (2)若a=号，R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的 限，则结果如何？ 面积； (2)在本例4中，条件不变，号的终边所在的位置 (3)若扇形的周长是20cm,当扇形的圆心角a为 多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 是 (3)在本例4中，条件不变，则π-α是第 象 限角，2a终边的位置是 名师点拨： 1.迅速进行角度和弧度的互化，准确判断角所在 的象限是学习三角函数知识必备的基本功，若要确定 一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化成 2kπ+ax(0≤a<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据a所 在的象限予以判断，这里要特别注意是π的偶数倍，而 不是π的整数倍. 2.终边相同角的表达式的应用 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的 角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集 合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所 需角. 名师点拨：弧长和扇形面积的计算方法 1.在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度 考点3 三角函数的定义—多维探究 制下更方便、简捷.但要注意圆心角的单位是弧度， 角度1 定义的直接应用 2.从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关 例已知角a的终边经过点P(-5,m)(m≠0)，且 于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应 最值. sin a= m,则cosa= tan a= 4 3记住下列公式：①1=ak:②S=2k;③S= 角度2三角函数值符号的应用 R.其中R是扇形的半径，1是孤长，a(0<a<2m) 例1.（多选题下列各选项中正确的是 A.sin300°<0 B.c0s(-305°)>0 为圆心角，S是扇形面积 221 【变式训练) C.tanm>0 D.sin 10>0 1.（多选题)(2024·青岛质检)已知扇形的周长是6， 2.若sin atan&<0,且osc<0,则角a是( 面积是2，下列选项可能正确的是 tan o A.圆的半径为2 A.第一象限角 B.第二象限角 B.圆的半径为1 C.第三象限角 D.第四象限角 C.圆心角的弧度数是1 名师点拨：定义法求三角函数值的两种情况 D.圆心角的弧度数是2 1已知角a终边上一点P的坐标，可先求出点P 2.如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮到原点的距离1OP1=r,然后利用三角函数的定义 涌”，如图是会徽的几何图形，设弧AD长度是1，弧 求解 088 BC长度是L2,几何图形ABCD面积为S,扇形BOC 2.已知角α的终边所在的直线方程，可先设出终 2b26 面积为8号=3 S1 边上一点的坐标，求出此点到原点的距离「，再利用三 角函数的定义求解，应注意分情况讨论 年 【变式训练】 1.（角度1)已知a的终边过点(x,4),且cosa= 3 新 5 计 19th astan Ga 则tana= Hangzhou 2022 2.（角度2)sin2cos3tan4的值 ( 衡 中 A.5 B.6 C.7 D.8 A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在 名师讲坛·素养提升 利用三角画数定义解三角不等式 例1.不等式sinx≥ 的解集为 2 正弦值不小于 5≥白的释集 [答案] {2m+≤≤2m+2keZ 为{2m+号≤x≤2m+2,eZ [解析] 过点0，作平行于 2.不等式cosx≥- 2的解集为 的直线，交单位圆于点(】 [答案] {2m-≤≤2m+4ez P》 [解析] 进点(-70作垂 直于x轴的直线与单位圆交于点 则以0P,、0P,为终边的角分别为号+2m, T (》4》, 2m(GeZ,其正弦值为汽，终边落在阴影部分的角的 则以00,0：为终边的角的余弦值为-分，其对 由图可知sina>cosa的解集{a 2km+平<a< 应的角分别为2km+2红2k-20(keZ),终边落在阴2m+5,k∈Z},sin<sa的解集{a2km-3< 3 3 4 影部分的角的余弦位大于等于-分 a<2m+平，keZ}: c0sx≥- 的解集为{x2km-2≤x≤2km+ |sin al>Icos al的解集 {ak+子<a<+平ez} |sin al<lcos al的)解集 名师点拨： 1.利用单位圆解三角不等式的步骤为：(1)确定区 {abm-平<a<m+年kez 域的边界；(2)确定区域；(3)写出解集 【变式训练】 sin a >cos o 函数y=lg(3-4sinx)的定义域为 sin 温馨提示：复习至此，请完成练案[22 第二讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 知识梳理·双基自测 知识梳理 sin a = sino =tan'a sin'a cos'a tan'a+1 a≠号+km,ke2Z小： 知识点一同角三角函数的基本关系式 cosa = sna+cosaa+ia≠号+hm,keZ cos'a 1 2 总 1.平方关系： 2.诱导公式的记忆口诀 复习 2.商数关系： (x≠km+,keZ） “奇变偶不变，符号看象限”，“奇”与“偶”指的是诱 数 知识点二 三角函数的诱导公式 导公式·受+a(k∈Z)中的整数k是奇数还是偶 组数 二 三 四 五 六 数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是 089 2kπ+a 奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不 T+0 T-Q -a +a (k∈Z) 2 变“符号看象限”指的是在k·受+Q(k∈Z)中，将 正弦 sin a 余弦 a看成锐角时·受+a(keZ)所在的象限。 cos 正切 tan q 双基自测 题组一 走出误区 归纳拓展 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或 1.同角三角函数基本关系式的常见变形 “x”) sin2a =1-cos2a =(1 cos a)(1-cos a) (1)sin(π+a)=-sina成立的条件是a为锐角. ( cos2a =1-sin2a=(1 sin a)(1-sin a); (sina±cosa)2=1±2 sin acos; (2)若u∈R,则tana=sin恒成立. cos a sin a+cos a)2+(sin a-cos a)2=2; (3)若&，B为锐角，则sin2a+cos2B=1.( (sin a+cos a)2-(sin a cos a)2=4sin acos a; (④若血(k-)=了k=Z),则na=了 sina=an≠受+km,ke☑：