第四章 第二讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式-【衡中学案】2026年高考数学一轮总复习学案

则以00,0：为终边的角的余弦值为-分，其对 由图可知sina>cosa的解集{a 2km+平<a< 应的角分别为2km+2红2k-20(keZ),终边落在阴2m+5,k∈Z},sin<sa的解集{a2km-3< 3 3 4 影部分的角的余弦位大于等于-分 a<2m+平，keZ}: c0sx≥- 的解集为{x2km-2≤x≤2km+ |sin al>Icos al的解集 {ak+子<a<+平ez} |sin al<lcos al的)解集 名师点拨： 1.利用单位圆解三角不等式的步骤为：(1)确定区 {abm-平<a<m+年kez 域的边界；(2)确定区域；(3)写出解集 【变式训练】 sin a >cos o 函数y=lg(3-4sinx)的定义域为 sin 温馨提示：复习至此，请完成练案[22 第二讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 知识梳理·双基自测 知识梳理 sin a = sino =tan'a sin'a cos'a tan'a+1 a≠号+km,ke2Z小： 知识点一同角三角函数的基本关系式 cosa = sna+cosaa+ia≠号+hm,keZ cos'a 1 2 总 1.平方关系： 2.诱导公式的记忆口诀 复习 2.商数关系： (x≠km+,keZ） “奇变偶不变，符号看象限”，“奇”与“偶”指的是诱 数 知识点二 三角函数的诱导公式 导公式·受+a(k∈Z)中的整数k是奇数还是偶 组数 二 三 四 五 六 数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是 089 2kπ+a 奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不 T+0 T-Q -a +a (k∈Z) 2 变“符号看象限”指的是在k·受+Q(k∈Z)中，将 正弦 sin a 余弦 a看成锐角时·受+a(keZ)所在的象限。 cos 正切 tan q 双基自测 题组一 走出误区 归纳拓展 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或 1.同角三角函数基本关系式的常见变形 “x”) sin2a =1-cos2a =(1 cos a)(1-cos a) (1)sin(π+a)=-sina成立的条件是a为锐角. ( cos2a =1-sin2a=(1 sin a)(1-sin a); (sina±cosa)2=1±2 sin acos; (2)若u∈R,则tana=sin恒成立. cos a sin a+cos a)2+(sin a-cos a)2=2; (3)若&，B为锐角，则sin2a+cos2B=1.( (sin a+cos a)2-(sin a cos a)2=4sin acos a; (④若血(k-)=了k=Z),则na=了 sina=an≠受+km,ke☑： 题组二走进教材 4.（必修1Ps5T16改编)化简c0sa 1 -sin a+ 2.(必修1P1练习T1改编)若a是钝角且sina=3, 1+sin a 1-cos a/ 则tana= ( sin a 石<m<得 () 1+cos a 19 B② A.sin a cos a-2 B.2-sin a cos a e号 n C.sin a-cos a 3.（必修1Ps6T15改编)已知ana=3,则 D.cos a-sin a sin(m-a)+2cos(T+a) 题组三走向高考 ( n受+a+om受+a 5.(2023·全国乙卷文，14,5分)若0∈(0，，an0= 1 B.4 C. 4 D. 3,则sin0-cos9= 考点突破·互动探究 点 2.化简√2-2sin20°-√1+cos20°的结果是（) 同角三角函数的基本关系式一 师生共研 A.2cos 10 B.-√2cos10% ,则13sin+5ana= 5 例1.已知cosa= C./2sin10° D.-√2sin10° 090 am&-=-l,则n-3cos& 2.已知tana 3.已知0为第四象限角，sin0+3cos0=1,则tan0= sin a cos a sin a sin acos a+2= D26 耆点已 诱导公式及其应用—多维探究 名师点拨： 度 1.已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角 角度1 利用诱导公式化简三角函数式 新 函数值时，主要是利用公式sin+cos2a=1,ana= 例1.化简 计 c求解，解题时，要注意角所在的象限.并由此确定 m-a3-r(2-） cos a 衡 h 根号前的正、负号，若不能确定角所在象限要分类 a(受-am(+ain(mta 学 讨论 2.化简个-2sin10°sin1009 2.遇sina,cosa的齐次式常“弦化切”，如： cos80°-√1-sin2170° asin a +bcos a atan a+b 角度2 “换元法”的应用 csin a dcos a ctan a+di sin acos a=sin acos a=sin acos a tan a 例已知o(石-)=a,则m+)+im(- 1 sin'a cos'a 1 tan'a' 的值是 sin'a sin acos a-2cos'a 名师点拨： =sin+sin acos a-2cosa 1.诱导公式的两个应用方向与原则 sin a cos a (1)求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化 lan'a +tan a-2 到锐角为终了 1 +tan a (2)化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同 【变式训练】 角名少为终了. 1.(多选题)(2015·福建高考题改编)若sina= 2.注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互 13 则tan= ( 补关系、巧用诱导公式解题，常见的互余关系有牙-@ A号 R号 与君+u:号+a与君-a:浮+a与年-a等，互补关系 c音 【变式训练】 2.（角度2)(2024·唐山模拟)已知a为钝角， 1.（角度1)(2024·江苏扬州期中)已知tana=2,则 cos(T+a)+os(受-a） sin年+a）=子，则sin(平-a sin(a)+cos(a-T) cs(a-） 1 A.一3 B.-1 C.1 D.3 名师坛·素美提升 sinx+cosx、sinx-cosx、sin xcos x之间的关系 例(2024·北京东城模拟)已知sin0+cos6= 7 7 13 解法三：解方程组 sin0+cos0=13: 0∈(0，π)，则an0= [sin20+cos20 =1. 12 5 [答案] 12 (sin 0= 13 「sin0=-i3' 5 得 或 (舍去) 5 [解析] 7 解法一：因为sin0+cos0= ,b∈(0，m) c0s0=- 12 c0s6=13 故tan0=- 12 所以(sin0+cos0)2=1+2sin0cos0= 49 169 名师点拨： ins6=-89 60 sinx+cosx、sinx-cosx、sin xcos x之间的关系为 (sin x +cos x)2=1 +2sin xcos x,sin x cos x)2 =1- 由根与系数的关系，知sin0,cos0是方程x2- 7 总 3t 2sin xcos x,sin x+cos x)2+(sin x-cos x)2=2. 复习 因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的 细-0的有发所以1片西=一言 值，便可求其余两个代数式的值. 学 【变式训练】 因为0e(0,π)，所以sin0>0. 09 所以sin0=12 ,cos6=- 13,tan 0=sin 12 1.已知s血20=子，且好<0<受，则ms0-n0= cos 0 5 解法二：同解法一，得sin Ocos0=- 60 169 A. B.- 2 所以sin6cos9 =~169,弦化切，得1an6 60 1 sin 0+cos 0 tan0+1 C.2 s待m8=号我m0=言 60 2.(2024·山东师大附中模拟)已知- -<a<0,sin a 5 +sa=5,则 1 1 7 又0∈(0，m）,sin8+cos8=13>0,sin9cos8= 的值为 () os'a-sin'a 7 7 60 169<0 8.25 6e(受，m小，且sn0>cs9l c 温馨提示：复习至此，请完成练案[23 sin 0 cos 0 =lan01>1,∴ang=-12例2：C由sin atan o<0可知sina,tan异号，则a为第二或第 /10 5. 三象限角.由csg<0可知cosu,tam异号，则a为第三或 5 由加0=子，可得如8子 c0s0=3, tan 第四象限角.综上可知，a为第三象限角.故选C 又sin0+cos0=1,0e(0,)月 变式训练 10 所以sin0= 因为a的终边过点(x,4),且cosa=- 10 -,所以x<0.因 10os0310 5 0_30=-0 3 4 所以sin0-cos0= 为c0sa= =-方，所以x=-3,所以ana=-3 10 10 5 x2+16 考点突破·互动探究 2A受<2<3<m<4<2in2>0,s3<0,m4>0, 考点1 .∴.sin2cos3tan4<0.故选A. 例1：0c0s0= 5 13 <0且cosa≠-1，∴.a是第二或第三象限角. 名师讲坛·素养提升 ①若α是第二象限角， 变式训练 (km-号，km+号)kez) 则sina=√1-cos2a= M 3 .…3-4sin2x>0 12 '.tan a=sin a= 13 12 3 ..23..-2<mx× cos Q 5 2 13 利用三角函数定义画出x满足条件 y= 的终边范围（如图阴影部分所示）， 此时13sma+5ma=13×号+5x(-号)=0 xe(m-哥，m+于}keZ). ②若α是第三象限角， 则sina=-/1-cos2a 第二讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 2 12 知识梳理·双基自测 12 知识梳理 'tan a sin a 1312 知识点一 cos a 5 13 1.sin'x +cos2x =1 2热兰=如： 此时，1 3i+5ama=1Bx(-号)+5×号=0 综上，13sina+5tana=0. 知识点二 sin a -sin a sin a cos a cos a cos a cos o 例2：-号 13 由已知得tana=2, -cos a sin a -sin a tan a -tan a -tan a 双基自测 所u品-8号 1.(1)×(2)×(3)×(4)× [解析](1)根据诱导公式知a为任意角.(2)cosa≠0时才成 sini orcos ss cos 2 sin'a +cos'a 立.(3)根据同角三角函数的基本关系式知当α，B为同角时才 1) 2 1 正确.(4)sin(km-a)=±sina,sina=± =tan'a +tan a+2 +2= tan'a+1 2 (2)+ 5 2.A由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解.因为α是 纯角且血a=子，所以su=--:2,则ma 变式训练 3 1.CD因为sina=- <0a为第三或四象限角，cosw= 5 12 5 ±V-ma=±片an=±立故选CD, 3.B利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案 sin(π-a)+2cos(π+a）=sina-2cos&_tan&-2_3-2 2.D利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简即可求解 sm(受+d小+om(受+a】 cos a+sin a 1 tan a 1+3 √2-2sin2°-√1+cs2°=√/2(sin10°+c0s210°-2sin10°c0s10°) -√/2cos210°=√/2(cos10°-sin10°)2-√2cos210°=，2(cos10 子放选B -sim10°)-√2cos10°=-√2sim10°.故选D. 4.A原式=cosa (1-sin a) -sin a /(1-cos a)2 3.- cos-a sin o 3由(sin6+3cos0)2=1=sin20+cos20,得6 sin 0cos0= -8cos20,又因为0为第四象限角，所以cos0≠0，所以6sin0= m<<2π，.cosa<0,sina<0. ∴.原式=-(1-sina)-(1-cos)=sina+cosa-2. -8cas,所以m0=-手 463 考点2 :nu=0&=-子 3 角度1 cos a 例1：-1 cos a(-cos a)tan'a 1 sin'a cos'a1 +tan'a sin a 原式=sina-ina(-sima cos'a -sin'a cos a-sin'a 1 -tan'o -cos'a.sin'a = cos'a-- 1 sin'a 1、9 7,故选C sin a 16 例2：-1.cos10°>sim10°， :原式=-2sim10°cos10 第三讲 两角和与差的三角函数二倍角公式 sin10°-cos10° =/sin210°-2sin10°c0s10°+c0s'109 第一课时三角函数公式的基本应用 sin10°-cos10° =11818e-9090=-t 知识梳理·双基自测 sin10°-cos10° 知识梳理 角度2 知识点二 例：0因为cs(石+0）=co[m-(若-0]=-co(无-0） 1.2sin acos a 2.cos'a-sin'a 2cos'a 2sin'a asin(写-0）=m[受+（石-0】]=os(石-0）=a, 3 2tan a 1-tan a 所以(g+0)+in(号-0)=-a+a=0 双基自测 变式训练 1.(1)V(2)×(3)×(4)×(5)× [解析]根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知(2)(3) cs(r+am)+cas(号-a】 cos a sin a (4)(5)是错误的，(1)是正确的. 1,A由诱导公式可得n(-)+(a-) -sin a cos a 2.A原式=sin43°cos13°-cos43°sin13°=sin(43°-13°)= 一导将ma=2代入计算可得，原式=一号 血30=分放选A 2誓子m(子--m[臣-(j川=（子+ 另解：原式=c0s47°cos13°-sin47°sin13°=cos(47°+13°)= 因为a为钝角， s60=子故选A 所以子<+a<, 5 3.A因为s2a=号=2sa-1,所以cmsa=子，又u为第三 所以os(年+a<0 象限角，所以caa:-放选A 所以m(骨+a√-(-名 4Dm2晋-as沿=m晋-w(受-）=m晋 a(a-4）-sim[受+(a-平】=sim平+a=子 -w君-县 名师讲坛·素养提升 5.A因为cos(a+B)=m, 所以cos acos B-sin asin B=m, 变式训练 而tan atan B=2,所以sin asin B=2 cos acos B, 1.B (cos 0-sin 0)2=1-2sin 0cos 0=1-sin 20=3 cos acos B-2cos acos B=m, .要求cos0-sin0,只需判断cos0-sin0的符号. 即c0saxc0sB=-m, ~平<0<受es0<in0,即s9-a8<0. 从而sin asin B=-2m,故cos(a-B）=-3m,故选A. 考点突破·互动探究 cos 0-sin 0=-(cos 0-sin 考点1 2 2C解法-油a+0asa=行 例1：D因为角a为第二象限角，且血a=子，所以csa 1 12 .(sin a cos c)5"sin areos a=5 29所以me-)-mam子+如a如号 又ae(-受，0）sina<0,sa>0, 2×号×号=。4 cos a-sin a=(sin a-cos a=I-2sin aeos a=5 1 25 cos'a-sin'a cos a-sin a)cos a+sin a) ，故选C gma+分sa=子所以m(e+君）=房m(2a 3 4 sin a cos a cosa= 5 +号）=2(a+看）=1-2sm(a+若）=1-2×号 解法二：由 sin a cos a = 5 sin a=- 5 =不放选B —464