【单元压轴八01】 勾股定理章末复习压轴培优50题（专项训练）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理章末复习压轴培优50题 【压轴要点归纳】 一、核心知识点 1.定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（若∠C=90°，则 )。 2.公式变形： 求斜边：；求直角边：。 3.证明方法： 赵爽弦图法（面积割补或双求法） 二、勾股定理逆定理  判定直角三角形：若三角形三边满足 （c为最长边），则此三角形为直角三角形。  应用场景：快速判断三边长度能否构成直角三角形（如：3，4，5）。 三、常见解题模型 模型类型 图形特征 关键技巧 折叠问题 矩形折叠后求线段长 利用对称性设未知数，列勾股方程 实际应用 梯子靠墙、航海距离 抽象为直角三角形，标已知量 最值问题 立体表面最短路径 展开为平面图形，化归为两点距离 四、压轴题型突破 1.动态几何问题： 示例：动点P从A出发沿边运动，求满足△PBC为直角三角形的运动时间。 解法：分类讨论∠B、∠C、∠P为直角三种情况，分别列方程求解。 2. 多三角形组合： 示例：网格中多个直角三角形嵌套。 解法：逐层使用勾股定理，结合方程思想建立关联。 3.逆定理综合应用： 示例：给定三边长度比例（如5k:12k:13k），证明角度关系。 解法：计算最大边的平方与其他两边平方和的关系。 五、易错点警示  隐含条件：未识别直角或最长边导致逆定理误用（例：误判钝角三角形为直角）。  计算错误：开方未保留根号或忽略负数解（边长取正值）。 模型疏漏：立体展开图未找全最短路径可能情况（例：长方体需3种展开方式）。 【备考策略与建议】 记忆口诀： "直边平方和等斜方，逆判直角是特长；折叠展开建模型，分类讨论破压轴。" 压轴题策略： ① 标注图形所有已知量 ② 优先尝试勾股方程 ③ 验证解的合理性（如三角形三边关系）。 注：建议结合教材经典例题（如"蚂蚁爬圆柱"问题）深化理解，考试重点关注与实际生活结合的创新题型。 【压轴实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一、单选题【18小题】 1．如图，中，，，，，，是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点落在直线上的点处，（   ） A． B． C．或 D．或 2．如图，将一张长方形纸片折叠，使得点的对应点落在上，折痕与交于点．若，则的长为（　　） A．8 B． C． D． 3．如图，中，，，，，若点M、N分别在边上，当四边形的周长最小时，的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图是一个长、宽、高的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 6．如图，在中，，，点D为边上的中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），过点A作交于点F，过点B作交的延长线于点G．若已知的长，则可求出（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 7．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论： ． 过点作于点，延长交于点，则平分．若，则．其中错误的结论有(   )    A．个 B．个 C．个 D．个 8．如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，交于点P，若，且的面积为4，则正方形的面积为（   ） A．20 B．30 C．40 D．50 9．如图，在中，，，，点在上，将沿直线翻折后，将点落在点处，如果，那么线段的长为(　　) A．1 B． C． D． 10．如图，在中，，，，平分交于点，点，分别是和边上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，，，M是延长线上一点，，P是边上一动点，连接，作与关于对称（点D与点B对应），连结，则长的最小值是（   ） A．0.5 B．0.6 C． D． 12．如图，在中，，斜边，分别以的三边长为边任上方作正方形，分别表示对应阴影部分的面积，则（    ）    A．2 B． C．4 D． 13．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：① ；② ；③ 过点B作于点I，延长B交于点J，则．④ 若，则．其中正确的结论个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（　　）   A． B． C． D． 15．如图，在等腰直角中，点E，F将斜边三等分，且，点P在的边上，则满足的点P的个数是（　　）    A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 16．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 17．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2），连接，并延长交于点K，连接．若，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 18．中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题【21小题】 19．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知倾斜放置的三个正方形的面积分别是1、3、5，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则 ． 20．如图，已知中，，若，，点D是边上的一个动点，以为折痕将折叠得到，与交于点E，当为直角三角形时，则的长为 ． 21．如图，在中，，，，点是边上一点，连接，将沿着翻折得到，且交于点，则的值为 22．如图，“羊头”形图案作法如下：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和正方形，……依此类推，若正方形①的边长为，则正方形③的边长为 ，正方形（）的边长为 ． 23．如图，已知在四边形中，连接，以为斜边构造直角，若，，，，则 ． 24．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图是由、组成的图形，其中，已知，，，则的面积为 ． 25．已知，的最小值是 ． 26．如图，已知，．直线l是过点A的一条动直线（不与直线重合），分别过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E、在直线l运动的过程中，的最大值为 ． 27．如图，在中，，平分，点N为线段上一点，连接，过点N作交于点D，连接．若，，，则 ．    28．如图，在中，，，，分别是上的动点，且，连接，则的最小值为 ． 29．如图，，以为斜边作直角，以的各边为边分别向外作正方形，于M，于N，则图中阴影面积和的最大值为 ． 30．如图，长方形中，，点分别为线段上动点，且，点是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当 时，点与点重合，在运动过程中，线段长度的最大值是 ． 31．如图，在中，D为边上一点，连接，将△ABD沿折叠至所在平面内，得到，与交于点F，连接，若，， ，则的长为 32．如图，在中，，，分别以，为边在外作等边和等边，连结，． （1）若，则 ； （2）若，则的长为 ． 33．如图，在中，，点、为边上的点，连接、，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处；再将沿翻折，使点的对称点落在的延长线上的点处．若，，则的长为 ． 34．如图，在等腰中， ，，以为边作等边 ，连接，若平分交于点E，则的长为 ． 35．如图，矩形中，，点F在的延长线上，，连接交于点M，点E在边上，，连接，点G为中点，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④四边形的面积为，其中所有正确结论的序号为 ．    36．我国古代伟大的数学家刘徽将一个直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，图中所示的长方形就是由两个这样的图形拼成.若（m、n为常数，且），则该长方形的面积是 ．（用含有m、n的代数式表示）    37．如图，在中，，，，是的中点，动直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为 ． 38．如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发以每秒的速度沿运动．设点运动的时间是秒，那么当 秒，的面积等于．    三、解答题【11小题】 39．我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．     (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长． 40．综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长都是正整数，那么称为勾股数． 设是两个正整数，且，直角三角形三边长都是正整数．下表中的，，（均小于）可以组成一些有规律的勾股数． ________ _________ ________ (1)请补全表中的勾股数． (2)对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含的代数式表示．请你用含的代数式分别表示，然后证明． (3)某校计划在一块绿地画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且满足上表规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为米．如果最短边可种株花，那么该直角三角形上一共可以种植_______株花． 41．古希腊有一个著名的“将军饮马”问题，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营．他总是先去营，再到河边饮马，之后再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，，___________，___________， ___________， 当三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题补全证明过程； (2)模型应用 如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，两村到河岸的距离分别为千米，千米，且两村之间的距离千米，现要在河岸上建一水厂，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水． ①请在河岸上选择水厂的位置，使铺设管道的费用最少： ②若铺设水管的工程费用为每千米20000元，求出铺设水管时最节省的总费用； (3)模型迁移几何问题代数化是数学中解决问题的一种重要方法．请利用将军饮马模型直接写出当时，代数式的最小值． 42．【探究发现】 （1）如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，求证： 【拓展迁移】 （2）如图2，以三角形的边、为边向外作正方形和正方形，求证： （3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接，若，，，求 43．如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． (1)求证：≌； (2)试说明：； (3)如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值． 44．对于一个图形，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，图1中的面积关系可以解释等式． 【探索发现】 （1）用四个长与宽分别为a，b的小长方形拼成如图2所示的图形．根据图中条件，猜想与之间的关系为： ________； （2）用四个完全相同的直角三角形（其中直角边长分别为a，b，斜边长为c），拼出如图3所示的图形．根据图中条件，猜想并验证a，b，c之间的等量关系． 【拓展提升】 （3）对于自然数中前n个奇数之和，可以通过计算正方形的面积得到．如图4，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加1，形成了一系列的新正方形．新正方形与原正方形相比，面积逐步增加3，5，7，…，．请你依据这个图形补全下面的等式： ________． （4）类似的，如图5，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加2，3，4，…，n，形成了一系列的新正方形．请你依据这个图形直接写出一个关于n的等式． 45．【特例感知】 如图1，小秦把一块三角板（）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点，、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与之间的数量关系是___________； 【问题探究】 小秦在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型，如图2，在四边形中，，的面积是18且，求的面积． 【拓展应用】 如图3，在中，，点、分别是边上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，连接．如图3，已知，点是的中点，连接、，求周长的最小值． 46．如图，中，，，，若动点M从点C出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到C点，且速度为每秒，设出发的时间为t秒． (1)当t＝ 时，平分； (2)求t为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点N，从点C开始，沿着的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒，若M、N两点同时出发，当M、N中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 s时，直线把的周长分成相等的两部分？ 47．《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 48．【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 49．（阅读理解）问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． （方法感悟）当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法． （问题解决）（2）如图2，在中，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （问题拓展）（3）如图3，在中，，是的中线，，，且．直接写出的长=________． 50．【综合与实践】 【问题情景】 （1）如图1，点为线段上一动点．分别过点，作，连接，．已知．设，用含的代数式表示的长； 【数学思考】 （2）如图.2．在某河道一侧有，两家工厂，它们到河道的距离，分别是．，两工厂之间的距离是．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点，且使得抽水点到两家工厂的距离之和最短．求的最小值； 【深入探究】 （3）请结合上述思路，求代数式的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 勾股定理章末复习压轴培优50题 【压轴要点归纳】 一、核心知识点 1.定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（若∠C=90°，则 )。 2.公式变形： 求斜边：；求直角边：。 3.证明方法： 赵爽弦图法（面积割补或双求法） 二、勾股定理逆定理  判定直角三角形：若三角形三边满足 （c为最长边），则此三角形为直角三角形。  应用场景：快速判断三边长度能否构成直角三角形（如：3，4，5）。 三、常见解题模型 模型类型 图形特征 关键技巧 折叠问题 矩形折叠后求线段长 利用对称性设未知数，列勾股方程 实际应用 梯子靠墙、航海距离 抽象为直角三角形，标已知量 最值问题 立体表面最短路径 展开为平面图形，化归为两点距离 四、压轴题型突破 1.动态几何问题： 示例：动点P从A出发沿边运动，求满足△PBC为直角三角形的运动时间。 解法：分类讨论∠B、∠C、∠P为直角三种情况，分别列方程求解。 2. 多三角形组合： 示例：网格中多个直角三角形嵌套。 解法：逐层使用勾股定理，结合方程思想建立关联。 3.逆定理综合应用： 示例：给定三边长度比例（如5k:12k:13k），证明角度关系。 解法：计算最大边的平方与其他两边平方和的关系。 五、易错点警示  隐含条件：未识别直角或最长边导致逆定理误用（例：误判钝角三角形为直角）。  计算错误：开方未保留根号或忽略负数解（边长取正值）。 模型疏漏：立体展开图未找全最短路径可能情况（例：长方体需3种展开方式）。 【备考策略与建议】 记忆口诀： "直边平方和等斜方，逆判直角是特长；折叠展开建模型，分类讨论破压轴。" 压轴题策略： ① 标注图形所有已知量 ② 优先尝试勾股方程 ③ 验证解的合理性（如三角形三边关系）。 注：建议结合教材经典例题（如"蚂蚁爬圆柱"问题）深化理解，考试重点关注与实际生活结合的创新题型。 【压轴实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一、单选题【18小题】 1．如图，中，，，，，，是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点落在直线上的点处，（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，分两种情况：当点在点左边时和当点在点右边时，分别画出图形，利用折叠的性质和勾股定理解答即可求解，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当点在点左边时，如图所示， 由折叠可得，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 当点在点右边时，如图所示， 由折叠可得，， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 综上，或， 故选：． 2．如图，将一张长方形纸片折叠，使得点的对应点落在上，折痕与交于点．若，则的长为（　　） A．8 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∵将一张长方形纸片折叠，使得点的对应点落在上，折痕与交于点， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：，即， ∴． 故选C． 3．如图，中，，，，，若点M、N分别在边上，当四边形的周长最小时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作点P关于的对称点，点关于的对称点，连接交于M，交于，此时四边形的周长最小， 过点P作于H， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点作于K， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图是一个长、宽、高的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点P关于的对称点A，则，由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，故展开图中，，连接，交于点E，此时最短，解答即可． 本题考查了长方体的展开图，勾股定理，轴对称，熟练掌握定理和展开图是解题的关键． 【详解】解：作点P关于的对称点A，则， 由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖， 故展开图中，， 连接，交于点E，此时最短， 且 故选：D    ． 5．如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，进而判定①；根据勾股定理与等量代换可得②正确；根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③；再根据勾股定理以及等量代换即可得出④． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 与不一定相等， 故不成立，故①错误； 由①中证明， ∴， 连接，如图所示：    ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 设与的交点为， ∵，， ∴，， ∴， ∵, ∴，故③错误， ∵，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角三角形的性质，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大． 6．如图，在中，，，点D为边上的中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），过点A作交于点F，过点B作交的延长线于点G．若已知的长，则可求出（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【详解】解：延长，交的延长线于， ，， ， ， 点是的中点， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 已知的长， 可求的长， 故选：A． 7．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论： ． 过点作于点，延长交于点，则平分．若，则．其中错误的结论有(   )    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点作交延长线于点，   ， ， 又，， ， ， ， 即，故①正确 如图所示，过点作交的延长线于点，过点作    ， ， 又， ， 同理可证，， 若 ， ，则平分． 而，则， 不平分，故②错误． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得 ，故③正确 故错误的有1个，   故选：B． 8．如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，交于点P，若，且的面积为4，则正方形的面积为（   ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】B 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设， 由题意得：， ∴ ∴， ∵的面积为4， ∴， 解得：， ∴在中，由勾股定理得，， ∴正方形的面积为30， 故选：B． 9．如图，在中，，，，点在上，将沿直线翻折后，将点落在点处，如果，那么线段的长为(　　) A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折变换的性质可得，，，连接，可得是等腰直角三角形，然后求出，从而得到，再根据等腰三角形两底角相等求出，然后求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再求出，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，然后利用勾股定理列式求出，然后根据计算得到，即为的长． 【详解】解：沿直线翻折后点落在点处， ，，， 连接，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 又，， ， ， 即． 故选：D． 【点睛】本题考查翻折的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，翻折前后的两个图形全等，对应边相等，对应角相等；30°角所对的直角边等于斜边的一半；正确得出翻折后的对应边及对应角并熟练掌握直角三角形的性质是解题关键． 10．如图，在中，，，，平分交于点，点，分别是和边上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，，勾股定理，作点M关于对称的点，使得，连接，可得点在上，，则当三点共线，且时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出，再由等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点M关于对称的点，使得，连接， ∵平分， ∴点在上，， ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的最小值是， 故选：D． 11．如图，在中，，，，M是延长线上一点，，P是边上一动点，连接，作与关于对称（点D与点B对应），连结，则长的最小值是（   ） A．0.5 B．0.6 C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点A作于点E，当点A在的上时的值最小，根据勾股定理依次求出，，，的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A作于点E，连接， ∵ 当点A在上时的值最小，如图， ∵，， ∴， 由折叠得：， ∵， ∴∠， 又∵， ∴， 在中中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理，最值问题等知识，两边之差小于第三边，解题的关键是作出辅助线，从整体上把握题意，准确找到图形中数量关系． 12．如图，在中，，斜边，分别以的三边长为边任上方作正方形，分别表示对应阴影部分的面积，则（    ）    A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用和全等三角形的判定，根据题意过作于，连接，进而结合全等三角形的判定与性质得出进行分析计算即可. 【详解】解：在中，，斜边， ， ， 过作于，连接，    在和中， ， ， 同理，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 、、三点共线， ，， ， 图中， ， 在和中， ， ， 同理，， ． 故选：B． 13．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：① ；② ；③ 过点B作于点I，延长B交于点J，则．④ 若，则．其中正确的结论个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． 首先根据题意证明出，进而得到，即可判断①；过点F作交延长线于点O，证明出，得到，然后利用三角形面积公式即可得到，即可判断②；过点A作交的延长线于点P，过点C作，证明出，得到，同理得到，得到，然后证明出，得到，即可判断③；根据全等三角形的性质得到，然后利用勾股定理证明出，同理得到，然后得到，即可判断④． 【详解】∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴，故①正确； 如图所示，过点F作交延长线于点O， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∵， ∴，故②正确； 如图所示，过点A作交的延长线于点P，过点C作 ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ 同理可证， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，故③正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ 同理可证， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论个数是4． 故选：D． 14．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（　　）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题得：点的运动轨迹是以为圆心，以的长为半径的圆， 当落在上时，取得最小值， 作延长线，交于点，如下图所示， ，是的中点， ， 根据折叠可知，， 中，，， 且， ，， ，， 和中， ， ， ， 中，， ． 故选：． 15．如图，在等腰直角中，点E，F将斜边三等分，且，点P在的边上，则满足的点P的个数是（　　）    A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】D 【详解】解：如图，作点F关于的对称点，连接交于点N，连接交于点H，连接、、、，    点E，F将对角线三等分，且 ， 点M与点F关于对称， ， 即 则在线段存在点H到点E和点F的距离之和最小为 在点H右侧，当点P与点C重合时，则 点P在上时，，有一个点P使 在点H左侧，当点P与点B重合时， ，， 点P在上时，有一个点P使， 在线段上的左右两边各有一个点P使 同理在线段、上也都存在两个点使 即共有6个点P满足 故选：D． 16．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知八个全等的直角三角形，则设出三边，根据勾股定理可知三边的关系，然后用三边分别将三个正方形的面积表示出来，直接求和即可． 【详解】设中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是找到三个正方形边长之间的关系，直接列方程求解． 17．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2），连接，并延长交于点K，连接．若，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】过点K作，与的延长线交于点M，由图形关系求得，再求得，，求得与，进而由勾股定理求得结果． 【详解】解：过点K作，与的延长线交于点M， ∵，， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴中，． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，关键是构造直角三角形． 18．中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据“整弦数”的定义即可求解；②根据定义举出反例即可求解；③根据“整弦数”的定义即可求解；④先求出m与n之积，再根据“整弦数”的定义即可求解；⑤先设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），进一步得到两个连续正整数，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：①∵ ∴20是“整弦数”，符合题意； ②如5，2是“整弦数”， ∵不是“整弦数”， ∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意； ③若，则，，c2为“整弦数”，则c为正整数”，不符合题意； ④∵m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数， ∴m与n之积为“整弦数”，符合题意； ⑤设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数）， ∵（2n+1）2=4n2+4n+1且等于两个连续正整数的和， ∴较小的正整数为2n2+2n，较小的正整数为2n2+2n+1， ∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n）2+4n2+4n+1=（2n2+2n）2+2（2n2+2n）+1=（2n2+2n+1）2， ∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意． 故选：C． 二、填空题【21小题】 19．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知倾斜放置的三个正方形的面积分别是1、3、5，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识．根据正方形的性质求出，证明，可得，结合勾股定理求出，根据，，，可得，同理可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，    根据题意可得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， ∴， 故答案为：． 20．如图，已知中，，若，，点D是边上的一个动点，以为折痕将折叠得到，与交于点E，当为直角三角形时，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠和直角三角形中勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先在中，求得，得到，，然后再分当时和时的情况，然后根据折叠和勾股定理的知识即可求解； 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理得：， ∵以为折痕将折叠得到， ∴，， 如图所示：当时，过点作的延长线于点F． ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，（舍去）， ∴，， ∴； 如图所示：当时，点C与点E重合． ∵，， ∴，设，则， 在中，，即， 解得：， ∴，， ∴． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 21．如图，在中，，，，点是边上一点，连接，将沿着翻折得到，且交于点，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质；关键是作垂线构造全等三角形．过C作于点F；由勾股定理建立方程求得的长，从而求得；再证明，则得，证明，得出，设，在中，，建立方程得出，进而勾股定理求得结果． 【详解】解：如图，过C作于点F； 则， 由勾股定理得：， ∵，，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 由折叠性质得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 又∵ ∴ ∴ 设，则 在中， ∴ 解得：， ∴． 故答案为：． 22．如图，“羊头”形图案作法如下：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和正方形，……依此类推，若正方形①的边长为，则正方形③的边长为 ，正方形（）的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，规律探索，掌握相关知识解决问题的关键．由勾股定理可求出每个等腰三角形的直角边长，即每个正方形边长，找到规律进行解答即可． 【详解】解：设正方形②的边长为， ∵每个三角形为等腰直角三角形，且正方形①的边长为， 则， 解得：， 同理设正方形③的边长为， 则， 解得：， 同理可求出正方形④的边长为， 发现规律， 正方形①的边长为， 正方形②的边长为， 正方形③的边长为：， 正方形④的边长为：， ∴正方形（）的边长为． 故答案为：，． 23．如图，已知在四边形中，连接，以为斜边构造直角，若，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作交的延长线于点，先证明，得到，，不妨设，则，，，然后在中利用勾股定理求得，接着利用勾股定理求得和即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图所示： ，，， ， ，， 不妨设，则， ， ， ， ，，， ， 或（舍去）， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 24．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图是由、组成的图形，其中，已知，，，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，完全平方公式的应用，先求解，可得，结合，再进一步可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 的面积为． 故答案为：6． 25．已知，的最小值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查利用轴对称求最短路线的问题，勾股定理，三角形三边关系，两点之间线段最短，解题关键是将代数式的最小值巧妙地转化成几何问题．根据题意构造三角形，然后利用轴对称的性质求最短距离．，，设，，，在上取一点，设，，那么，，那么，过作关于对称点，使得，连接，根据对称，可知，，那么三点共线时，最短，此时等于，然后构造直角三角形，利用勾股定理求得答案． 【详解】解：如下图所示，，，设，，， 在上取一点，设，， 那么， ， ， ， ， 过作关于对称点，使得，连接， ， ， ， 三点共线时，最短，即最小，此时等于， 过作平行于，交延长线于， ，， ， ， 四边形为平行四边形，， ，， 在中，， ， 的最小值是5． 故答案为：5． 26．如图，已知，．直线l是过点A的一条动直线（不与直线重合），分别过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E、在直线l运动的过程中，的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵过点B，C作直线l的垂线，垂足为D，E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，当直线在内部时，， 当直线在外部时，， ∴的值最大时，直线在外部， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为： 27．如图，在中，，平分，点N为线段上一点，连接，过点N作交于点D，连接．若，，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，过作交延长线于，先证明，得到，再证明，，即可证明，得到，，求出，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，过作交延长线于，    ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 28．如图，在中，，，，分别是上的动点，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过点作且使，连接，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可得： ，所以当点在上时，有最小值, 即有最小值为， ∵，， ∴中，， ∴最小值为：， 故答案为：． 29．如图，，以为斜边作直角，以的各边为边分别向外作正方形，于M，于N，则图中阴影面积和的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，完全平方公式的应用． 向两端延长，交于点P，交于点Q，过点C作于点O，证明，得到，，同理得到，，从而 ．设，，则，根据完全平方公式可得，再根据的面积得到，即可解答． 【详解】解：向两端延长，交于点P，交于点Q，过点C作于点O， 由题意可得，，，，， ， ∵， ， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴，， 同理可证， ∴，， ∴ ∴当取得最大值时，阴影面积和为最大． 设，， ∵在中，， ∴， ∵，即， ∴ ∵， ∴， ∴的最大值为， 此时阴影面积的和最大为． 故答案为： 30．如图，长方形中，，点分别为线段上动点，且，点是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当 时，点与点重合，在运动过程中，线段长度的最大值是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理的应用，当与点合时，设设，则，，在中，由勾股定理得： 即可求出，再根据图形取中点，通过分析可知只有当三点共线时，长度最大，利用勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当与点重合时，如图： 由于轴对称性质可知：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 则； 如图：取中点， ∴， 由题意知，无论如何变动，经过点，连接，，， 在中，， ∵四边形关于对称得到四边形， ∴， 故只有当三点共线时长度最大， 此时， 过点作， ∵，， ∴在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故答案为：，． 31．如图，在中，D为边上一点，连接，将△ABD沿折叠至所在平面内，得到，与交于点F，连接，若，， ，则的长为 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，得到，求得过B作交的延长线于H，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：将沿折叠至所在平面内，得到，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过B作交的延长线于H， ， ， 设，则， ， ， ， 解得（负值舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 32．如图，在中，，，分别以，为边在外作等边和等边，连结，． （1）若，则 ； （2）若，则的长为 ． 【答案】 /35度 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴，故答案为：； （2）解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，过点E作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 33．如图，在中，，点、为边上的点，连接、，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处；再将沿翻折，使点的对称点落在的延长线上的点处．若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 34．如图，在等腰中， ，，以为边作等边 ，连接，若平分交于点E，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，先根据等边三角形得到，，即可得到，然后根据三线合一得到，然后分别在和中，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：过点D作于点F，连， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵，即， 解得， ∴． 35．如图，矩形中，，点F在的延长线上，，连接交于点M，点E在边上，，连接，点G为中点，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④四边形的面积为，其中所有正确结论的序号为 ．    【答案】①②④ 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．通过证明∽，可得，可证，故正确；由勾股定理可求，由等腰三角形的性质可求，故正确；求出时是等边三角形，可判断③错误；分别求出，，，的长，即可求四边形的面积为，故正确，即可求解． 【详解】解：，，，， ，， ，， ∽， ， ，故正确； 连接，    ， ， 点是的中点， ，，，故正确； ∵， ， 若，则， ， ， ， 是等边三角形， ，与题意不符合，故错误； ，， ，   ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． ， ， ，， 四边形的面积， 故正确； 故答案为：． 36．我国古代伟大的数学家刘徽将一个直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，图中所示的长方形就是由两个这样的图形拼成.若（m、n为常数，且），则该长方形的面积是 ．（用含有m、n的代数式表示）    【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明、矩形的面积、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先设出小正方形的边长为，然后根据题意和勾股定理，可以得到，然后再根据，可以得到的值，从而可以求得该长方形的面积． 【详解】解：设小正方形的边长为，则图中最大的直角三角形的斜边为，一条直角边为，另一条直角边为， ， ， ， ， 即， 解得， 大长方形的面积为， 长方形的面积为， 故答案为： 37．如图，在中，，，，是的中点，动直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点， ，， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是长方形， ， ， ， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， 当时，与重合，则最大为， 即的最大值为， 故答案为：． 38．如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发以每秒的速度沿运动．设点运动的时间是秒，那么当 秒，的面积等于．    【答案】或或 【分析】分当点在线段上运动时，当点在线段上运动且在点的左边时，当点在线段上运动且在点的右边时，三种情况讨论，根据的面积等于，计算点的运动路程，求出的值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 当点在线段上运动时， ∵的面积等于12， ∴， ∴（秒）； 当点在线段上运动且在点的左边时， ， ∴点的运动路程， ∴（秒）； 当点在线段上运动且在点的右边时， ， ∴点的运动路程， ∴（秒）． 故答案为∶或或． 三、解答题【11小题】 39．我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．     (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) 【详解】（1）证明：∵四边形为垂美四边形， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 同理：， ∴； （2）解：如图，连接， 由于四边形是长方形，则， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去负值） 即； （3）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴． 40．综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长都是正整数，那么称为勾股数． 设是两个正整数，且，直角三角形三边长都是正整数．下表中的，，（均小于）可以组成一些有规律的勾股数． ________ _________ ________ (1)请补全表中的勾股数． (2)对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含的代数式表示．请你用含的代数式分别表示，然后证明． (3)某校计划在一块绿地画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且满足上表规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为米．如果最短边可种株花，那么该直角三角形上一共可以种植_______株花． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了勾股数，数字规律，完全平方公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表格中提供的数据可得答案； （）根据表格中规律可得，，，然后通过完全平方公式即可求解； （）设，由于最短边可种株花，则有，从而求出，，从而求解． 【详解】（1）解：补全表中的勾股数如下： （2）解：根据表格信息可知，，，， 证明：∵，，， ∴， ∴； （3）解：设， ∵最短边可种株花， ∴， 由（）可得，， ∴该直角三角形上一共可以种植花（株）， 故答案为：． 41．古希腊有一个著名的“将军饮马”问题，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营．他总是先去营，再到河边饮马，之后再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，，___________，___________， ___________， 当三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题补全证明过程； (2)模型应用 如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，两村到河岸的距离分别为千米，千米，且两村之间的距离千米，现要在河岸上建一水厂，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水． ①请在河岸上选择水厂的位置，使铺设管道的费用最少： ②若铺设水管的工程费用为每千米20000元，求出铺设水管时最节省的总费用； (3)模型迁移几何问题代数化是数学中解决问题的一种重要方法．请利用将军饮马模型直接写出当时，代数式的最小值． 【答案】(1) (2)①见解析，②100000元 (3)17 【分析】本题考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意补全即可； （2）①根据轴对称的最短路径问题，作图即可； ②把求最少费用转化为求最短长度，根据作对称的方法，结合勾股定理求解即可． (3)的几何意义分别是以x，3为直角边和以，5为直角边的直角三角形的斜边长，进而通过构造图形，再利用几何图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，， ，， ， 当三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． 故答案为：； （2）①如图所示，作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置； ②如解图①，过点B作交的延长线于点E，连接 ， 四边形是矩形， 千米，千米． 千米， （千米）． 在中，由勾股定理得 （千米）． 点A与点关于对称， ， ∴千米， ∴铺设水管的最省总费用是（元）； （3）如解图②，作出点C关于的对称点，连接交于点P，使作交延长线于点E， ∴ ∴， ∴代数式的最小值为17． 42．【探究发现】 （1）如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，求证： 【拓展迁移】 （2）如图2，以三角形的边、为边向外作正方形和正方形，求证： （3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接，若，，，求 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【分析】（1）由，根据勾股定理得，，，，则； （2）由四边形ABDE和四边形都是正方形，得，，，则，即可证明，得，而，则，即可证明； （3）由（2）得，则，由，，，得，由勾股定理求得，由，，得，由，，得，则，即可求得结论． 【详解】（1）证明： 于点O， ， ，，，， ，， （2）证明：四边形和四边形都是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， （3）解：如图3，连接， 由得， ， ，，， ，， ，， ， ，， ， ， 43．如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． (1)求证：≌； (2)试说明：； (3)如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)或． 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证 ，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质，，则，再由全等三角形的性质得，，则，然后由勾股定理即可解决问题； （3）分两种情况，①点在延长线上时，过点作于点，由等腰三角形的性质得，再由（2）可知，，，再由勾股定理求出的长即可； ②点在延长线上时，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得，同（2）得 ，则；即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， 即， 是等腰直角三角形，且， ， 在和中， ， ； （2）解：，，是等腰直角三角形，且， ，， ， 由（1）可知，≌， ，， ， ， ， ； （3）解：和是等腰直角三角形，，， ，， ，，， 分两种情况： ①如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， 由（2）可知，，， ； ②如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 同（2）得： ， ； 综上所述，的值为或． 44．对于一个图形，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，图1中的面积关系可以解释等式． 【探索发现】 （1）用四个长与宽分别为a，b的小长方形拼成如图2所示的图形．根据图中条件，猜想与之间的关系为： ________； （2）用四个完全相同的直角三角形（其中直角边长分别为a，b，斜边长为c），拼出如图3所示的图形．根据图中条件，猜想并验证a，b，c之间的等量关系． 【拓展提升】 （3）对于自然数中前n个奇数之和，可以通过计算正方形的面积得到．如图4，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加1，形成了一系列的新正方形．新正方形与原正方形相比，面积逐步增加3，5，7，…，．请你依据这个图形补全下面的等式： ________． （4）类似的，如图5，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加2，3，4，…，n，形成了一系列的新正方形．请你依据这个图形直接写出一个关于n的等式． 【答案】（1）；（2），验证见解析；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了完全平方公式与图形面积、多项式乘多项式与面积、勾股定理、图形规律等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为小正方形与四个面积为矩形之和，据此即可解答； （2）由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为小正方形与四个面积为矩形之和，据此列式并整理即可解答； （3）由图形可知图形的面积为或，据此列出等式即可解答； （4）由图形可知大正方形的边长为，则大正方形的面积为；大正方形的面积为，进而得到． 【详解】解：（1）由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为面积为小正方形与四个面积为矩形之和，即． 故答案为：． （2），验证如下： 由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，大正方形的面积为面积为小正方形与四个面积为矩形之和，即，整理得． （3）由图形可知图形的面积为或，所以． 故答案为：． （4）由图形可知大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为； 又∵大正方形的面积为， ∴． 45．【特例感知】 如图1，小秦把一块三角板（）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点，、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与之间的数量关系是___________； 【问题探究】 小秦在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型，如图2，在四边形中，，的面积是18且，求的面积． 【拓展应用】 如图3，在中，，点、分别是边上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，连接．如图3，已知，点是的中点，连接、，求周长的最小值． 【答案】特殊感知：；问题探究：；拓展应用： 【分析】本题考查“一线三等角”模型，勾股定理，折叠的性质； 特殊感知：证明即可得到； 问题探究：过点C作，过点B作的延长线于点N，先证明，得到，，再根据面积得到，再由得到，，最后根据求解即可； 拓展应用：在上取一点，使，连接，将沿翻折得到，对应点，连接，先证明，得到，，，再由和得到，即可得到，再由翻折得到，，，则，最后根据周长为求解即可． 【详解】解：特殊感知： ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 问题探究： 如图，过点C作，过点B作的延长线于点N， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵的面积是18且， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 拓展应用：如图，在上取一点，使，连接，将沿翻折得到，对应点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴周长为， ∴当、、三点共线时，周长最小，最小值为． 46．如图，中，，，，若动点M从点C出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到C点，且速度为每秒，设出发的时间为t秒． (1)当t＝ 时，平分； (2)求t为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点N，从点C开始，沿着的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒，若M、N两点同时出发，当M、N中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 s时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1)3 (2)6或或12或13 (3)4或12 【分析】（1）过点M作于D，证明，得出，由勾股定理列方程，即可求得答案； （2）分情况讨论：①M在边上时，求出的长，即得答案；②点M在边上时，有三种情况，分别求出的值，即得答案；③在边上时，不能构成三角形；由此即得答案； （3）分两种情况：①当M、N没相遇前；②当M、N相遇后；分别由题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：过点M作于D， 则， 平分， ， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 设，则， 在中， ， 解得：， ， 即当t为3时，平分； （2）解:①当点M在上，如图，时，， 则； ②当点M在上，时，过点C作于D， ， ， 在中，， ，为边上的高， ， ， ， 则， 当时，， ， ， 当时， ，， ， ， ， ③当点M在边上时，不能构成三角形； 综上所述，当或或12或13时，为等腰三角形； （3）解：分两种情况： ①M、N相遇前，当M点在上，N在上，如图所示： 则， ； ②在M、N相遇后，当M点在上，N在上，如图所示： 则， ； 为4或12时，直线把的周长分成相等的两部分． 故答案为：4或12． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，一元一次方程的应用，正确画出图形变换时的图形是解题的关键． 47．《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【答案】(1) (2)，，，其中、、都是正整数，，证明见解析 (3)280 【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24． （2）解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； （3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 48．【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)的斜边的长为 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）证明，根据列式可得； （2）过点A作交延长线于H，设，由勾股定理得，整理得，由可得，故可得结论； （3）把代入得，求出的值，再求的值即可． 【详解】（1）证明：根据题意，由图1可知： ，，，，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ； 又∵ ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点A作交延长线于H，设， 在中，， 在中，， ∴， 化简得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，， ∵ ∴， ∴， 解得，， ∵ ∴， ∴（负值舍去） ∴的斜边的长为． 49．（阅读理解）问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． （方法感悟）当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法． （问题解决）（2）如图2，在中，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （问题拓展）（3）如图3，在中，，是的中线，，，且．直接写出的长=________． 【答案】（1），，， （2）见解析． （3）8 【分析】（1）利用证明，得到，利用三角形三边的关系，解答即可． （2）延长到点．使．连接，利用倍长中线思想，线段垂直平分线的判定和性质，三角形三边关系定理解答即可． （3）延长，交的延长线于点． 仿照（2）的证明解答即可． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是， 由，， 故． 故答案为：，，，． （2）证明：延长到点．使．连接， ∵是的中点， ∴． ∵． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）证明：延长，交的延长线于点． ∵是的中线， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形三边关系定理，线段垂直平分线的判定和性质，三角形的中线，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 50．【综合与实践】 【问题情景】 （1）如图1，点为线段上一动点．分别过点，作，连接，．已知．设，用含的代数式表示的长； 【数学思考】 （2）如图.2．在某河道一侧有，两家工厂，它们到河道的距离，分别是．，两工厂之间的距离是．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点，且使得抽水点到两家工厂的距离之和最短．求的最小值； 【深入探究】 （3）请结合上述思路，求代数式的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）15 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，列代数式，勾股定理，能够构造出符合代数式的几何图形是解题的关键． （1）根据图1，利用勾股定理即可用含x的代数式表示的长； （2）作点关于河道的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，连接，则易得四边形，四边形和四边形都是长方形，且，，可得的最小值为的长，再求解即可； （3）构造类似图1的图形，结合（2）的思路，即可求出答案． 【详解】解：（1）， ， ， ， 在中，， 由勾股定理，得， 在中， 由勾股定理，得 ； （2）如图1，作点关于河道的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，连接，则易得四边形，四边形和四边形都是长方形，且， ， 的最小值为的长． ， ， ，， 在中，由勾股定理，得， ． 在中，由勾股定理，得， 的最小值为． （3）构造图形如图2所示，其中点为线段上一点，分别过点作，连接， 其中 ． 连接． ， 代数式的最小值为的长， 过点作，交的延长线于点， 易知， ， 在中，由勾股定理，得， 代数式的最小值为15． 学科网（北京）股份有限公司 $