专题3.3 一元一次方程的应用（第1课时）（8大题型+能力训练） 【精英班课程】2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学上册同步培优讲义

2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题3.3 一元一次方程的应用（第1课时） 知识点01 用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 题型01：和差倍分问题 【例1】甲班有54人，乙班有48人，要使甲班的人数是乙班的2倍，设从乙班调往甲班x人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【例2】在阅读课上，老师把一批文学名著分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本．求该班学生多少人？设该班有学生x人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【例3】甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求甲队人数是乙队的人数的3倍，应从乙队调多少人去甲队．如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是 ． 【例4】甲，乙两个工程队分别有员工80人，100人．现在从其他地方调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，调到甲队和乙队的人数分别是多少人？ 题型02：工程问题 【例5】一项工程，甲单独完成要20天，乙单独完成要25天，则由甲先做2天，然后甲、乙合做余下的部分还要       天才能完成. 【例6】某地为了疏通河道，将一段长为360m的河道整治任务由甲，乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m.求： （1）甲，乙两个工程队分别整治了多长的河道？ （2）甲、乙两工程队各整治河道的天数. 【例7】某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【例8】为了迎接亚洲冬季运动会，哈尔滨市现要修建一条公路，每个工程队单独修建需30天完成，现计划先安排若干个工程队修6天，然后增加3个工程队与之前的工程队一起修2天，完成这条公路修建． 请问具体应先安排几个工程队先修6天？ 题型03：图形问题 【例9】如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为(　　)cm2. A.400 B.500 C.300 D.750 【例10】有一种塑料杯子的高度是，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示，则个这种杯子叠放在一起高度是 cm．    题型04：配套问题 【例11】某生产车间有名工人生产太阳镜，名工人每天可生产镜片片或镜架个，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使每天生产的产品配套（两个镜片和一个镜架配套成一副太阳镜）？ 【例12】建水某紫陶坊有7名工人，每人每天可以制作茶壶8个或茶杯24个，1个茶壶和4个茶杯配成一套．为使每天制作的茶壶和茶杯刚好配套，设有名工人制作茶壶，余下工人制作茶杯，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【例13】有苹果若干，分给小朋友吃，若每个小朋友分3个则剩1个，若每个小朋友分4个则少2个，设共有苹果x个，则可列方程为(　　) A.3x+4=4x－2 B.= C.= D.= 【例15】一种正方体模具框架是由金属棒和卡扣组装而成（一条棱用一根金属棒，一个顶点用一个卡扣）．某车间18名工人负责加工材料，一个工人每天可加工金属棒300根或卡扣100个．请问如何分配工作，可使一天生产的金属棒和卡扣配套? 【例16】某工厂需要生产一批设备，每套设备由一个部件和3个部件组装而成；若工厂每人每天只能生产同一种部件，每人每天平均生产部件的个数比部件的个数少6个，且每天6个工人生产部件的数量与5个工人生产部件的数量相同． (1)工厂每人每天平均生产部件和部件各多少个？ (2)现共有21名工人，应如何分配工人才能使每天的生产的部件和部件配套？ 题型05：调配问题 【例17】学校组织义务劳动，已知在甲处有人，在乙处有人，现调人去支援，使在乙处的人数是在甲处人数的2倍．设应调往甲处x人，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【例18】某高校响应亚运会组委会号召组织学生志愿者参加志愿者活动．第一批志愿者共26人，其中去乒乓球赛场的有10人，去羽毛球赛场的有16人．现再调10人去支援，使在羽毛球赛场的人数是在乒乓球赛场人数的2倍，问应分别调往两个赛场各多少人？ 【例19】某学校组织七年级学生参加植树劳动，已知在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有24人． （1）若要使甲处劳动人数是乙处劳动人数的2倍，应从乙处调多少人去甲处？ （2）若为了尽快完成劳动任务，另调24人去支援甲、乙两处，并使甲处人数仍为乙处人数的2倍，则应调往甲处多少人？ （3）若任务快结束时，要从甲、乙两处共抽出m个学生去支援其它项目劳动，其中，并使甲处人数仍为乙处人数的2倍，则应从乙处抽出的人数为________人． 题型06：数字问题 【例20】一个两位数，十位上的数字是个位上的，把十位上数字与个位上数字调换后，新数比原数大18，则原数个位数字和十位数字之和是（　　） A．10 B．12 C．18 D．21 【例21】（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，例如解“幻方”模型试题．幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为 ． 【例22】如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数． (1)求这已知的四个数的和； (2)若横排三个数的和与竖列三个数的和相等． ①求的值； ②求这四个数的平均数． 【例23】幻方历史悠久，是我国的传统游戏．幻方的游戏规则是将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如图是一个的幻方的一部分，则的值是 ． 题型07：古代问题 【例24】（传统文化）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉、兔各几何．大意为有若干只鸡和兔关在同一个笼子里，它们一共有35个头，94只脚，问鸡和兔各有几只．设鸡有x只，可列方程为（   ） A．B．C． D． 【例25】《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短、引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则木长（   ） A．5.5尺 B．6.5尺 C．7.5尺 D．8尺 题型08：积分问题 【例26】在世界预防溺水日来临之际，河南省南阳市开展预防溺水主题活动．某校举行了一次安全防溺水知识竞赛，竞赛题目一共30题，记分规则如下：每对一题得5分，每答错或不答一题扣1分，明明一共得90分，则明明答对的题数为（   ） A．20 B．18 C．17 D．16 【例27】四初一年级学生参加有理数计算闯关，闯关共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 小于 25 0 100 小王 21 4 76 小李 15 10 40 … … … … (1)根据表格提供的数据，答对1题得 分，答错1题扣 分： (2)参赛者小赵得了64分，求他答对了几道题． 一、选择题 1.甲煤场存煤432吨，乙煤场存煤96吨，为了使甲煤场存煤量是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场?设应从甲煤场运吨煤到乙煤场，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2.“我与好书为伴，千里江山万里海”，某校七年级开展阅读好书活动．小明5天里阅读的总页数比小亮7天里阅读的总页数少12页，小明平均每天阅读的页数比小亮平均每天阅读的页数的2倍少12页，若设小亮平均每天阅读页，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3.一项工程，A独做10天完成，B独做15天完成，若A先做5天，再A、B合做，完成全部工程的，共需(　　) A.8天 B.7天 C.6天 D.5天 4.用A，B两种规格的长方形纸板(如图1)无重合无缝隙的拼接可得如图2所示的周长为32 cm的正方形，已知A种长方形的宽为1 cm，则B种长方形的面积是(　　) A.10 cm2 B.12 cm2 C.14 cm2 D.16 cm2 5.班主任老师在七年级(1)班新生分组时发现，若每组7人则多2人，若每组8人则少4人，那么这个班的学生人数是(　　)人. A.40 B.44 C.51 D.56 6.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房．问有多少间客房？多少客人？设有x间房，则可列出方程是（   ） A． B． C． D． 7.中国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“河上荡杯”题（注：荡杯即洗碗）：“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？”妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？其大意是：一位农妇在河边洗碗．渡口的官员问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只碗．”请问：她家里究竟来了多少位客人？设客人是人，可列方程为（  ） A． B． C． D． 8.某篮球联赛积分规则如表所示，某支球队一共打了20场比赛，共积分25分，设该支球队胜场为场，根据题意，可列方程（    ） 比赛结果 胜 负 积分 2 1 A． B． C． D． 二、填空题 9.某校组织七年级全体师生参加社会实践活动．如果单独租用30座客车若干辆，会有15人没有座位；如果单独租用45座客车，可少租3辆，且还余15个座位．由此可知，七年级全体师生的人数为 ． 10.某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个.设原计划每天生产x个，根据题意可列方程为            . 11.某车间有27名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天可生产甲零件16个或生产乙零件22个．某种仪器每套需甲种零件1个，乙种零件2个．若分配x名工人生产甲零件，其他工人生产乙零件，恰好使每天生产的零件配套．根据题意，可列出方程为 ． 12.《九辩求》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙购物，每人出8钱，多余3钱：每人出7钱，还缺4钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为人，根据题意，可列方程为 ． 三、解答题 13.某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的．已知甲队单独完成这项工程需40天，如果甲、乙两队先合作10天，接着甲队因故停工10天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)完成这项工程总共用了多少天？ (2)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 14.如图，小琪将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等，求正方形纸片剩余部分(图中空白部分)的面积. 15.如图，用直径为的圆钢锻造一个长、宽、高分别为，和的长方体毛坯底板，应截取多长的圆钢？（结果保留） 16.自上海迪斯尼开园后一直吸引众多游客，某玩具生产商打算生产米老鼠玩具作为旅游纪念品，并为每个米老鼠玩具配一副手套．如果某车间有28名工人，每人一天平均能生产手套24个或米老鼠玩具16个．那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ 17.我国古代数学名著《九章算术》中记载“粟米之法；粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有多少斗米？（不计损耗） 18.某校想了解同学们的历史知识储备情况，于是举办了“历史知识知多少”的知识竞赛．共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对1题得5分，答错1题扣1分．如表记录了部分参赛同学的得分情况，甲同学在整理的过程中，不小心将墨水倒在了该表上，致使表格中的一部分内容看不清，请回答相关问题． (1)求这次竞赛中E同学答对的题数和答错的题数； (2)D同学说他此次比赛得了73分，你认为可能吗？为什么？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题3.3 一元一次方程的应用（第1课时） 知识点01 用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 题型01：和差倍分问题 【例1】甲班有54人，乙班有48人，要使甲班的人数是乙班的2倍，设从乙班调往甲班x人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设从乙班调入甲班x人，则乙班现有人，甲班现有人．甲班人数是乙班的2倍，据此列方程即可． 【详解】解：设从乙班调入甲班x人，则乙班现有人，甲班现有人． 此时，甲班人数是乙班的2倍，所以所列的方程为：， 故选A． 【例2】在阅读课上，老师把一批文学名著分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本．求该班学生多少人？设该班有学生x人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程．设这个班有学生人，根据“每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本”，由此列出方程即可． 【详解】解：设这个班有学生人， 由题意得，， 故选：B． 【例3】甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求甲队人数是乙队的人数的3倍，应从乙队调多少人去甲队．如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是本题的关键．应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为人，乙处现有的工作人数为人，根据甲处的人数是乙处人数的3倍，列出方程即可． 【详解】解：设应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为人，乙处现有的工作人数为人． 根据“甲处的人数是乙处人数的3倍”列方程得：， 故答案为：． 【例4】甲，乙两个工程队分别有员工80人，100人．现在从其他地方调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，调到甲队和乙队的人数分别是多少人？ 【答案】调到甲队的人数是28人，调到乙队的人数是62人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设调到甲队的人数是x人，则调到乙队的人数是人，根据调配后甲队人数是乙队人数的建立方程求解即可． 【详解】解：设调到甲队的人数是x人，则调到乙队的人数是人， 由题意得，， 解得， ∴， 答：调到甲队的人数是28人，调到乙队的人数是62人． 题型02：工程问题 【例5】一项工程，甲单独完成要20天，乙单独完成要25天，则由甲先做2天，然后甲、乙合做余下的部分还要       天才能完成. 【答案】10 【解析】设余下部分需x天完成，则(2+x)+x＝1，解得x=10. 【例6】某地为了疏通河道，将一段长为360m的河道整治任务由甲，乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m.求： （1）甲，乙两个工程队分别整治了多长的河道？ （2）甲、乙两工程队各整治河道的天数. 【答案】解：（1）设甲工程队整治了x天，则乙工程队整治了(20－x)天， 由题意得24x+16(20－x)＝360，解得x＝5， 所以乙队整治了20－5＝15(天)， 所以甲队整治的河道长为：24×5＝120(m)； 乙队整治的河道长为：16×15＝240(m). 答：甲工程队整治了120 m，乙工程队整治了240 m. （2）由（1）得：甲工程队整治了5天，乙工程队整治了15天. 【例7】某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，明确题意，准确找出等量关系是解题的关键． 设甲、乙一共用天完成，则剩下的甲单独干天，然后根据题意，列出方程即可． 【详解】解：设甲、乙一共用天完成，则剩下的甲单独干天， 由题意可得：． 故选：D． 【例8】为了迎接亚洲冬季运动会，哈尔滨市现要修建一条公路，每个工程队单独修建需30天完成，现计划先安排若干个工程队修6天，然后增加3个工程队与之前的工程队一起修2天，完成这条公路修建． 请问具体应先安排几个工程队先修6天？ 【答案】应先安排3个工程队单独修6天 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设应先安排x个工程队先修6天，根据“前6天完成的工程量+后2天完成的工程量=总工程量”列出关于x的一元一次方程即可解答． 【详解】解：设应先安排x个工程队单独修6天’ ， 解得：． 答：应先安排3个工程队单独修6天． 题型03：图形问题 【例9】如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为(　　)cm2. A.400 B.500 C.300 D.750 【答案】A 【解析】根设小长方形的长为xcm，则宽为(50－x)cm， 根据题意可得：2x=x+4(50－x)，解得x=40，故50－x=10(cm). 则一个小长方形的面积为10×40=400(cm2). 故选：A. 【例10】有一种塑料杯子的高度是，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示，则个这种杯子叠放在一起高度是 cm．    【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找准等量关系正确列出方程是解题的关键. 设每多叠放个杯子高度增加，列方程得，解得，计算即可得到答案. 【详解】解：设每多叠放个杯子高度增加， 根据题意列方程得：， 解得：， ， 个这种杯子叠放在一起高度是， 故答案为：. 题型04：配套问题 【例11】某生产车间有名工人生产太阳镜，名工人每天可生产镜片片或镜架个，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使每天生产的产品配套（两个镜片和一个镜架配套成一副太阳镜）？ 【答案】人生产镜片，人生产镜架，才能使每天生产的产品配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键. 设人生产镜片，根据题意列方程得，解方程即可得到答案. 【详解】解：设人生产镜片， 由题意，得， 解得， ， 答：人生产镜片，人生产镜架，才能使每天生产的产品配套． 【例12】建水某紫陶坊有7名工人，每人每天可以制作茶壶8个或茶杯24个，1个茶壶和4个茶杯配成一套．为使每天制作的茶壶和茶杯刚好配套，设有名工人制作茶壶，余下工人制作茶杯，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设有名工人制作茶壶，则制作茶杯的工人为名．每天制作的茶壶数量为个，茶杯数量为个．根据配套要求，1个茶壶需配4个茶杯，故茶杯数量应为茶壶数量的4倍，可得出关于x的一元一次方程，即可得出结论． 【详解】解：设有名工人制作茶壶，则制作茶杯的工人为名． 每天制作的茶壶数量为个，茶杯数量为个． 根据配套要求，1个茶壶需配4个茶杯，故茶杯数量应为茶壶数量的4倍，即： 解得：． 故选D． 【例13】有苹果若干，分给小朋友吃，若每个小朋友分3个则剩1个，若每个小朋友分4个则少2个，设共有苹果x个，则可列方程为(　　) A.3x+4=4x－2 B.= C.= D.= 【答案】C 【解析】设苹果数为x，根据题意得=. 故选：C. 【例15】一种正方体模具框架是由金属棒和卡扣组装而成（一条棱用一根金属棒，一个顶点用一个卡扣）．某车间18名工人负责加工材料，一个工人每天可加工金属棒300根或卡扣100个．请问如何分配工作，可使一天生产的金属棒和卡扣配套? 【答案】分配6名工人加工金属棒，12名工人加工卡扣 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设分配名工人加工金属棒，则分配名工人加工卡扣，由每个正方体有12条棱及8个顶点，且生产的塑料棒和金属球正好配套，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出答案． 【详解】解：设分配名工人加工金属棒，则分配名工人加工卡扣， 由题意得： 解得： 答：应分配6名工人加工金属棒，12名工人加工卡扣． 【例16】某工厂需要生产一批设备，每套设备由一个部件和3个部件组装而成；若工厂每人每天只能生产同一种部件，每人每天平均生产部件的个数比部件的个数少6个，且每天6个工人生产部件的数量与5个工人生产部件的数量相同． (1)工厂每人每天平均生产部件和部件各多少个？ (2)现共有21名工人，应如何分配工人才能使每天的生产的部件和部件配套？ 【答案】(1)工厂每人每天平均生产部件30个，部件36个 (2)每天应分配6名工人生产部件，分配15名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； （1）设工厂每人每天平均生产B部件x个，则每人每天平均生产A部件个，根据每天6个工人生产A部件的数量与5个工人生产B部件的数量相同，即可列出方程，解方程即可； （2）设每天应分配y名工人生产部件，名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套，根据B部件的数量=A部件数量的3倍，即可列出方程，解方程即可得. 【详解】（1）解：设工厂每人每天平均生产B部件x个，则每人每天平均生产A部件个， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：工厂每人每天平均生产部件30个，部件36个. （2）解：设每天应分配y名工人生产部件，名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：每天应分配6名工人生产部件，15名工人生产部件时，可使每天的生产的部件和部件配套. 题型05：调配问题 【例17】学校组织义务劳动，已知在甲处有人，在乙处有人，现调人去支援，使在乙处的人数是在甲处人数的2倍．设应调往甲处x人，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系是解题关键． 设应调往甲处x人，则调往乙处人，根据支援后乙处的人数是在甲处人数的2倍，即可得出关于x的一元一次方程． 【详解】解：设应调往甲处x人，则调往乙处人， 由题意可得 故选：B． 【例18】某高校响应亚运会组委会号召组织学生志愿者参加志愿者活动．第一批志愿者共26人，其中去乒乓球赛场的有10人，去羽毛球赛场的有16人．现再调10人去支援，使在羽毛球赛场的人数是在乒乓球赛场人数的2倍，问应分别调往两个赛场各多少人？ 【答案】调去羽毛球赛场有人，调去乒乓球赛场有人． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，将第二次调往赛场中的调往某一赛场的人数设为，再根据“在羽毛球赛场的人数是在乒乓球赛场人数的2倍，”列出方程求解，即可解题． 【详解】解：设调去羽毛球赛场人， 由题可得：， 整理得：， 解得：， 调去乒乓球赛场有人， 答：调去羽毛球赛场有人，调去乒乓球赛场有人． 【例19】某学校组织七年级学生参加植树劳动，已知在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有24人． （1）若要使甲处劳动人数是乙处劳动人数的2倍，应从乙处调多少人去甲处？ （2）若为了尽快完成劳动任务，另调24人去支援甲、乙两处，并使甲处人数仍为乙处人数的2倍，则应调往甲处多少人？ （3）若任务快结束时，要从甲、乙两处共抽出m个学生去支援其它项目劳动，其中，并使甲处人数仍为乙处人数的2倍，则应从乙处抽出的人数为________人． 【答案】（1）应从乙处调7人去甲处；（2）应调往甲处23人；（3）22或23 【分析】（1）设应从乙处调x人去甲处，根据等量关系甲处劳动的人数=2×乙处劳动人数列出方程，再解即可； （2）设调往甲处y人，则调往乙处（24-y）人，由题意得等量关系：甲处人数=2×乙处人数，根据等量关系列出方程，再解即可； （3）设应从乙处抽出n人，则应从甲处抽出（m-n）人，由题意得等量关系：甲处人数=2×乙处人数，根据等量关系列出方程，再解方程，由即可求解． 【详解】解：（1）设应从乙处调x人去甲处，根据题意得 解得x=7， 答：应从乙处调7人去甲处； （2）设调往甲处y人，则调往乙处（24-y）人，由题意得 解得， 答：应调往甲处23人； （3）设应从乙处抽出n人，则应从甲处抽出（m-n）人，由题意得 ， ∵n是正整数，且， 由题意得 ∴m=45或m=48， m=45时，应从乙处抽出的人数为：， m=48时，应从乙处抽出的人数为：， 答：应从乙处抽出的人数为22或23． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． 题型06：数字问题 【例20】一个两位数，十位上的数字是个位上的，把十位上数字与个位上数字调换后，新数比原数大18，则原数个位数字和十位数字之和是（　　） A．10 B．12 C．18 D．21 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系并列出方程即可求解．设原数个位数字为，则十位数字为；原数为，调换后新数为；根据新数比原数大18，列方程求解，再求和． 【详解】解：设原数个位数字为，则十位数字为，原数为：； 新数为：； 根据题意：， 化简得， 即， 解得； 原数十位数字为，个位与十位数字之和为． 故选A 【例21】（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，例如解“幻方”模型试题．幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，先列方程求出左下角的数，再列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设左下角方格中的数是x， ∵每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． 【例22】如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数． (1)求这已知的四个数的和； (2)若横排三个数的和与竖列三个数的和相等． ①求的值； ②求这四个数的平均数． 【答案】(1)5 (2)①3 ②1 【分析】本题主要考查了有理数的加法，求平均数，解一元一次方程： （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）①根据题意列出关于a的一元一次方程，求解即可；②由①知，根据平均数的计算公式求解即可． 【详解】（1）已知的四个数的和为； （2）①由题意可知， ； ②由①知， 这四个数的平均数为 【例23】幻方历史悠久，是我国的传统游戏．幻方的游戏规则是将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如图是一个的幻方的一部分，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数加法的运算方法，一元一次方程的应用，以及幻方的特征和应用，首先根据图示，判断出它是一个三阶幻方，然后根据：三阶幻方的中心对称两数之和中间格的数，分别列方程求出、的值各是多少，再把求出的、的值相加即可． 【详解】解：根据图示，判断出它是一个三阶幻方， 由，可得：， 由，可得：， ∴． 故答案为：． 题型06：古代问题 【例24】（传统文化）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉、兔各几何．大意为有若干只鸡和兔关在同一个笼子里，它们一共有35个头，94只脚，问鸡和兔各有几只．设鸡有x只，可列方程为（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列一元一次方程， 根据题意，鸡的数量为x只，则兔的数量为只，利用鸡和兔的脚数总和为94，建立方程即可. 【详解】解：设鸡有x只，则兔有只，每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚，总脚数为94，因此方程为：. 故选：D. 【例25】《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短、引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则木长（   ） A．5.5尺 B．6.5尺 C．7.5尺 D．8尺 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设长木的长度为尺，根据绳子的总长度不变建立方程求解即可得到答案，读懂题意，准确列出一元一次方程是解决问题的关键． 【详解】解：设长木的长度为尺， 则， ， 解得， 故长木长尺， 故选：B． 题型07：积分问题 【例26】在世界预防溺水日来临之际，河南省南阳市开展预防溺水主题活动．某校举行了一次安全防溺水知识竞赛，竞赛题目一共30题，记分规则如下：每对一题得5分，每答错或不答一题扣1分，明明一共得90分，则明明答对的题数为（   ） A．20 B．18 C．17 D．16 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，设明明答对题，则答错或不答的题数为，根据得分规则，答对得分，答错或不答扣分，总得分为90分，可列方程求解，读懂题意，准确列出一元一次方程是解决问题的关键． 【详解】解：设明明答对题，则答错或不答的题数为， 则， 解得， 则明明答对20题， 故选：A． 【例27】四初一年级学生参加有理数计算闯关，闯关共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 小于 25 0 100 小王 21 4 76 小李 15 10 40 … … … … (1)根据表格提供的数据，答对1题得 分，答错1题扣 分： (2)参赛者小赵得了64分，求他答对了几道题． 【答案】(1)4，2 (2)小赵答对了题 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解表格信息，正确列出方程求解是关键． （1）设答对1题得分，根据小于的分数得到答对1题得分，结合小王的分数可得答错1题扣分，由此即可求解； （2）设小赵答对了题，则答错了题，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：设答对1题得分， ∴根据小于的成绩得到，， 解得， ∴答对1题得分， ∴根据小王的分数得到，， ∴答错1题扣分， 故答案为：4，2； （2）解：设小赵答对了题，则答错了题， ∴， 解得，， ∴小赵答对了题． 一、选择题 1.甲煤场存煤432吨，乙煤场存煤96吨，为了使甲煤场存煤量是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场?设应从甲煤场运吨煤到乙煤场，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设从甲煤场运煤吨到乙煤场，根据调运后甲煤场存煤是乙煤场的2倍，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设从甲煤场运煤吨到乙煤场， 依题意得， 故选：A． 2.“我与好书为伴，千里江山万里海”，某校七年级开展阅读好书活动．小明5天里阅读的总页数比小亮7天里阅读的总页数少12页，小明平均每天阅读的页数比小亮平均每天阅读的页数的2倍少12页，若设小亮平均每天阅读页，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题关键．设小亮平均每天阅读页，则小明平均每天阅读页，再根据“小明5天里阅读的总页数比小亮7天里阅读的总页数少12页”，列方程求解即可． 【详解】解：设小亮平均每天阅读页，则小明平均每天阅读页， 由题意可知，， 故选：A． 3.一项工程，A独做10天完成，B独做15天完成，若A先做5天，再A、B合做，完成全部工程的，共需(　　) A.8天 B.7天 C.6天 D.5天 【答案】C 【解析】设共需x天，根据题意得+(x－5)(+)=，解得：x=6. 故选：C. 4.用A，B两种规格的长方形纸板(如图1)无重合无缝隙的拼接可得如图2所示的周长为32 cm的正方形，已知A种长方形的宽为1 cm，则B种长方形的面积是(　　) A.10 cm2 B.12 cm2 C.14 cm2 D.16 cm2 【答案】B 【解析】设A种长方形的长是x cm，则B种长方形的宽是(4－x)cm，B种长方形的长是(8－x)cm， 依题意有4[(4－x)+(8－x)]＝32，解得x＝4， (4－x)(8－x)＝(4－2)×(8－2)＝2×6＝12(cm2)，即B种长方形的面积是12 cm2. 故选：B. 5.班主任老师在七年级(1)班新生分组时发现，若每组7人则多2人，若每组8人则少4人，那么这个班的学生人数是(　　)人. A.40 B.44 C.51 D.56 【答案】B 【解析】设这个班的学生人数是x人，则由题意得，解得x=44. 故选：B. 6.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房．问有多少间客房？多少客人？设有x间房，则可列出方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．设有x间房，根据人数相等列一元一次方程即可． 【详解】解：设有x间房， 则， 故选：C． 7.中国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“河上荡杯”题（注：荡杯即洗碗）：“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？”妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？其大意是：一位农妇在河边洗碗．渡口的官员问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只碗．”请问：她家里究竟来了多少位客人？设客人是人，可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只碗，列出方程即可． 【详解】解：设客人是人，由题意，得：； 故选B． 8.某篮球联赛积分规则如表所示，某支球队一共打了20场比赛，共积分25分，设该支球队胜场为场，根据题意，可列方程（    ） 比赛结果 胜 负 积分 2 1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设该支球队胜场为场，则负场为 场，根据共积分25分列方程即可；解题的关键是弄清题中的数量关系． 【详解】解：设该支球队胜场为场，则负场为 场， 根据题意，可列方程：， 故选：B． 二、填空题 9.某校组织七年级全体师生参加社会实践活动．如果单独租用30座客车若干辆，会有15人没有座位；如果单独租用45座客车，可少租3辆，且还余15个座位．由此可知，七年级全体师生的人数为 ． 【答案】345 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设单独租用30座客车x辆，根据总人数不变，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【详解】解：设单独租用30座客车x辆，则七年级全体师生的人数为人， 由题意得：， 解得：， ∴， 即七年级全体师生的人数为345人， 故答案为：345． 10.某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个.设原计划每天生产x个，根据题意可列方程为            . 【答案】20x=15(x+4)－10 【解析】设原计划每天生产x个，则实际每天生产(x+4)个，由题意得，20x=15(x+4)－10. 11.某车间有27名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天可生产甲零件16个或生产乙零件22个．某种仪器每套需甲种零件1个，乙种零件2个．若分配x名工人生产甲零件，其他工人生产乙零件，恰好使每天生产的零件配套．根据题意，可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找出等量关系是解题关键．根据题意可直接列出方程． 【详解】解：根据题意可知生产乙零件的工人有名， 根据题意有：． 故答案为：． 12.《九辩求》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙购物，每人出8钱，多余3钱：每人出7钱，还缺4钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为人，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．根据题中钱的总数列一元一次方程即可． 【详解】解：设合伙人数为x人， 根据题意列方程； 故答案为：． 三、解答题 13.某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的．已知甲队单独完成这项工程需40天，如果甲、乙两队先合作10天，接着甲队因故停工10天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)完成这项工程总共用了多少天？ (2)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 【答案】(1)30天； (2)分配给甲队万元，分配给乙队万元，理由见解答 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设完成这项工程总共用了x天，则甲队工作了天，乙队工作了x天，利用甲队完成的工程量乙队完成的工程量总工程量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）求出甲、乙两队的工程量，按完成工程的比例来分配即可． 【详解】（1）解∶甲队单独完成这项工程需40天，且甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的． 乙队单独完成这项工程需 (天)． 设完成这项工程总共用了x天，则甲队工作了天，乙队工作了x天， 根据题意得∶， 解得∶． 答∶完成这项工程总共用了30天； （2）分配给甲队万元，分配给乙队万元， 理由如下∶甲队完成的工程量为，乙队完成的工程量为． 该企业为了这项工程一共支付a万元的费用， 按照完成工程量的比例来分配，应该分配给甲队万元，乙队万元． 14.如图，小琪将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等，求正方形纸片剩余部分(图中空白部分)的面积. 【答案】正方形纸片剩余部分(图中空白部分)的面积为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设原正方形的边长为，根据两次剪下的长条面积正好相等列出方程求解即可，进而求得空白部分的面积． 【详解】解：设正方形的边长为． 根据题意，得， 解得． ∴正方形纸片剩余部分(图中空白部分)的面积为 15.如图，用直径为的圆钢锻造一个长、宽、高分别为，和的长方体毛坯底板，应截取多长的圆钢？（结果保留） 【答案】应取长的钢． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据体积不变列方程求解即可． 【详解】解：设应截収圆钢xmm，根据题意得， ， 解得， 经检验，符合题意， 答：应取长的钢． 16.自上海迪斯尼开园后一直吸引众多游客，某玩具生产商打算生产米老鼠玩具作为旅游纪念品，并为每个米老鼠玩具配一副手套．如果某车间有28名工人，每人一天平均能生产手套24个或米老鼠玩具16个．那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ 【答案】应分配16名工人生产手套，则12名工人生产玩具． 【分析】本题考查用一元一次方程解决实际问题，得到手套和米老鼠玩具的等量关系是解决本题的关键． 设应分配x名工人生产手套，则名工人生产玩具，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设应分配x名工人生产手套，则名工人生产玩具， 根据题意得，， 解得， ∴（名）， ∴应分配16名工人生产手套，则12名工人生产玩具． 17.我国古代数学名著《九章算术》中记载“粟米之法；粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有多少斗米？（不计损耗） 【答案】原来有斗米 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题．设原来有x斗米，则后加入斗谷子，由题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：设原来有x斗米，则后加入斗谷子， 根据题意，得， 解得， 答：原来有斗米． 18.某校想了解同学们的历史知识储备情况，于是举办了“历史知识知多少”的知识竞赛．共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对1题得5分，答错1题扣1分．如表记录了部分参赛同学的得分情况，甲同学在整理的过程中，不小心将墨水倒在了该表上，致使表格中的一部分内容看不清，请回答相关问题． (1)求这次竞赛中E同学答对的题数和答错的题数； (2)D同学说他此次比赛得了73分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)E同学答对16道，答错4道 (2)比赛不可能得了73分，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设E同学答对x道，可得，即可解得E同学答对16道，答错4道； （2）设D同学答对m道，若，得，不符合题意，故比赛不可能得了73分． 【详解】（1）解：设E同学答对x道，则答错道， 根据表格数据可得， 解得， ， 答：E同学答对16道，答错4道； （2）解：不可能，理由如下： 设D同学答对m道，则答错道， 若得了73分，则， 解得， ∵m是整数， ∴不符合题意， ∴比赛不可能得了73分． 1 学科网（北京）股份有限公司 $