精品解析：北京市顺义牛栏山第一中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

牛栏山一中2025-2026学年度高三第一学期10月考试数学试卷 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 如果集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中满足定义域为且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数满足.且当，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 6. 设是所在平面内的一点，满足，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知数列为单调递增的等差数列、前项和为，若，，成等比数列，则当取最小值时，( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 某种生物的数量与时间（单位：天）之间的关系为：，其中表示该生物的初始数量，已知经过10天后，种群数量变为原来的2倍.求至少经过多少天，使该生物数量超过初始数量的10倍（参考数据：）（ ） A. 23 B. 24 C. 33 D. 34 10. 设，其中.当满足时，的最大可能取值为（ ） A. 127 B. 120 C. 113 D. 112 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上. 11. 函数的定义域为______. 12. 已知是定义域为的连续奇函数，则函数在区间上的最大值与最小值之和为______. 13. 若，则的最小值为______. 14. 已知函数，当时，函数的值域为______.若函数有三个不同零点，则的取值范围是______. 15. 定义，集合是的非空子集.若集合满足：对于任意均有，则称集合为的“凸子集”.对于下列命题： ①集合是的“凸子集”； ②集合是的“凸子集”； ③若集合、均为的“凸子集”，则集合也是的“凸子集”： ④若集合、均为的“凸子集”，且，则集合也是的“凸子集”； 其中正确结论的序号是______. 三、解答题：本大题共6%，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知. （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）若与的夹角余弦值等于，求的值.（直接写答案） 17. 已知函数. （1）求； （2）若，求的取值范围； （3）设函数的定义域为，若存在，使得，求的最小值. 18. 数列满足. （1）求； （2）当时，判断数列是否为等差数列，并说明理由： （3）求证：“”是“数列单调递增”的充分不必要条件. 19. 已知. （1）令，求的最小值； （2）求证：当时，. 20. 已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）已知，且直线是曲线在点处的切线.求证：当时，存在使得直线过点. 21. 已知是元数组集合，是的非空子集.对于任意元数组，定义与之间的距离为，记为子集的致密度，其中表示有限集中的最小数. （1）当时，直接写出的一个三元子集，使得其致密度； （2）当时，设是的子集.且满足致密度，求集合中元素个数的最大值，并说明理由： （3）设，记的致密度为，用表示集合中元素个数的最大值，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牛栏山一中2025-2026学年度高三第一学期10月考试数学试卷 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 如果集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，则. 故选：C. 2. 复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，结合复数模的运算公式进行求解即可. 【详解】， 所以， 故选：A 3. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数、幂函数、指数函数的单调性进行判断即可. 【详解】由， 由， 由，所以. 故选：C 4. 下列函数中满足定义域为且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对A，直接求出函数的定义域，即可判断正误；对B和D，利用基本函数的性质，求出其在的单调性，即可求解；对C，利用导数与函数单调性间的关系，直接求出其在上的单调性，即可求解. 【详解】对于A，易知的定义域为，所以A错误， 对于B，因为，则在上单调递减，所以B错误， 对于C，易知的定域为，又在上恒成立， 所以在上单调递增，故C正确， 对于D，因为，对称轴为， 由二次函数的性质知，当时，在上单调递减，所以D错误， 故选：C. 5. 若函数满足.且当，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，得到的一个周期为，从而有，再代入，即可求解. 【详解】因为，则，所以的一个周期为， 所以，又，所以，则， 故选：C. 6. 设是所在平面内的一点，满足，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，得到，从而有且，即可求解. 【详解】因为，得到， 如图，且，则到的距离等于到的距离相等， 又，所以， 故选：D. 7. 对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行运算判断即可. 【详解】设该等比数列的公比为， ，或， 当时，显然满足，显然数列不是单调递增数列； 当数列为单调递增数列时，则有 ，或， 因此”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件， 故选：B 8. 已知数列为单调递增的等差数列、前项和为，若，，成等比数列，则当取最小值时，( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项与公差，由此能求出前项和，再利用配方法能求出当取最小值时，的值． 【详解】设数列的公差为，则，，， 因为，，成等比数列， 所以，即，化简得， 解得或， 因为数列为递增的等差数列，所以， 故舍去，， 所以 开口向上，对称轴为直线，由于为正整数，且离更近， 所以当时，取得最小值。 故选：B 9. 某种生物的数量与时间（单位：天）之间的关系为：，其中表示该生物的初始数量，已知经过10天后，种群数量变为原来的2倍.求至少经过多少天，使该生物数量超过初始数量的10倍（参考数据：）（ ） A. 23 B. 24 C. 33 D. 34 【答案】D 【解析】 【分析】运用代入法，结合对数与指数互化公式、换底公式、对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为经过10天后，种群数量变为原来的2倍， 所以有， 设至少经过天，该生物数量超过初始数量的10倍， 所以有 ， 因为时间的单位为天，所以时间为正整数， 因此至少经过天，生物数量超过初始数量的10倍， 故选：D 10. 设，其中.当满足时，的最大可能取值为（ ） A. 127 B. 120 C. 113 D. 112 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得中有个，个，再利用，即可求解. 【详解】因为，且， 所以，又， 则中有个，个， 又，且， 要使最大，显然， 此时， 故选：C. 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上. 11. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用对数函数的性质和根式有意义的条件，得，即可求解. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 12. 已知是定义域为的连续奇函数，则函数在区间上的最大值与最小值之和为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用奇函数的性质，即可求解. 【详解】因为是定义域为的连续奇函数，其图象关于原点对称， 又区间关于原点对称， 所以函数在区间上的最大值与最小值之和为 故答案为：. 13. 若，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的性质，结合一次函数的单调性进行求解即可. 【详解】， 当时，则有，所以的最小值为， 当时，则有，此时没有最小值， 综上所述：的最小值为， 故答案为： 14. 已知函数，当时，函数的值域为______.若函数有三个不同零点，则的取值范围是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，结合指数函数与二次函数的性质，求得函数的值域，再由有三个不同零点，即有三个实数根，结合对数的运算性质和二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解. 【详解】当时，函数， 当时，可得，可得； 当时，可得，可得， 所以函数的值域为； 因为函数有三个不同零点，即有三个实数根， 当时，由，可得，解得， 若在上存在零点，则满足，解得； 当时，由，可得， 若方程在上两个实数根，设两根分别为， 则满足 解得， 综上可得，若函数有三个不同零点，实数的取值范围为. 故答案为：；. 15. 定义，集合是的非空子集.若集合满足：对于任意均有，则称集合为的“凸子集”.对于下列命题： ①集合是的“凸子集”； ②集合是的“凸子集”； ③若集合、均为的“凸子集”，则集合也是的“凸子集”： ④若集合、均为的“凸子集”，且，则集合也是的“凸子集”； 其中正确结论的序号是______. 【答案】①④ 【解析】 【分析】先分析出若对于任意，线段上一点，都有，则集合为的“凸子集”，对于①，画出图形，数形结合进行求解；对于②，举反例可求解；对于③，举出反例可求解；对于④，根据题设定义，任取，经过推导可得，即可求解. 【详解】设，，， 则，，即，，则点在线段上， 由题意得，若对于任意，线段上一点，都有，则集合为的“凸子集”， 对于命题①，集合， 设，， 如图，在的区域上，显然线段上任一点均在的区域上， 即，所以集合是的“凸子集”，故命题①正确， 对于命题②，因为，取，显然， 取，则，又，而， 又，所以，则集合不是的“凸子集”，故命题②错误； 对于命题③，取，， 若对于任意的满足，，则， 函数的图象如下图，显然线段上任意一点，都有，即，    故为的“凸子集”，同理可得为的“凸子集”， 如图所示，对于任意的满足，，则， 但线段上存在点，不满足，也不满足，即，    所以集合不是的“凸子集”，故命题③错误； 对命题④，若都是的“凸子集”，对于任意的，任意， 则，，故， 故也是的“凸子集”，所以命题④正确； 故答案为：①④. 三、解答题：本大题共6%，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知. （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）若与的夹角余弦值等于，求的值.（直接写答案） 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用向量共线的坐标表示，得到，即可求解； （2）根据条件，利用向量坐标的线性运算及向量垂直的坐标表示，得，即可求解； （3）根据条件，利用向量的夹角公式得，即可求解. 【小问1详解】 因为，又，则， 解得，此时，，满足题意，所以. 【小问2详解】 因为，则，， 又，则，所以， 整理得到，解得或，所以的值为或. 【小问3详解】 因为，整理得到， 解得或，当时，，所以不合题意， 所以的值为. 17. 已知函数. （1）求； （2）若，求的取值范围； （3）设函数的定义域为，若存在，使得，求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据绝对值的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可； （3）利用基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由该函数的解析式可知， 由，或， 因为，所以解得，或，或，或， 因此的取值范围为； 【小问3详解】 显然，， 即，当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号， 因为存在，使得， 所以，因此的最小值为. 18. 数列满足. （1）求； （2）当时，判断数列是否为等差数列，并说明理由： （3）求证：“”是“数列单调递增”的充分不必要条件. 【答案】（1） （2）不能， 假设数列能为等差数列，设它的公差为， ， 因此当时，恒成立， 所以等式在时恒成立， 所以有. 因为，所以数列不能是等差数列. （3） 当时，因为， 所以，因此数列单调递增， 当时，，显然数列单调递增， 但是不成立， 故“”是“数列单调递增”的充分不必要条件. 【解析】 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据等差数列的通项公式进行求解即可； （3）根据配方法，结合充分不必要性的定义进行运算证明即可. 【小问1详解】 因为数列满足， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知. （1）令，求的最小值； （2）求证：当时，. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件得，利用导数直接求出的单调区间，即可求解； （2）利用（1）中结果得在区间上单调递增，从而当时，，即可求解. 【小问1详解】 因为，则， 所以，易知，， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为. 【小问2详解】 因为，则， 由（1）可知在恒成立， 所以在恒成立， 即在区间上单调递增， 所以当时，， 即，命题得证. 20. 已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）已知，且直线是曲线在点处的切线.求证：当时，存在使得直线过点. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）把代入，令，将问题转化为直线是曲线在点处的切线，当时，存在使得直线过点，再利用零点存在性定理，结合导数推理得证. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以函数图象在点处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，函数，令，， 则直线是曲线在点处的切线，当时，存在使得直线过点， 等价于直线是曲线在点处的切线，当时，存在使得直线过点， 由，求导得，则，而， 于是直线的方程为，即， 由，得， 依题意，原问题转化为当时，方程有小于的解， 设，其中，且， 则，令，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 于是，即，而，且函数图象连续不断， 则存在，使得，即函数有小于1的零点， 因此当时，方程有小于的解， 所以当时，存在使得直线过点. 21. 已知是元数组集合，是的非空子集.对于任意元数组，定义与之间的距离为，记为子集的致密度，其中表示有限集中的最小数. （1）当时，直接写出的一个三元子集，使得其致密度； （2）当时，设是的子集.且满足致密度，求集合中元素个数的最大值，并说明理由： （3）设，记的致密度为，用表示集合中元素个数的最大值，证明： 【答案】（1） （2）8，理由为： 中有个元素，与间的距离为4. 要想满足，集合T中的任意两个4元数组中至少有两个数不同. 不妨选定是的子集中含数组，则集合中的元素有如下几种情况： 含有与有两个不同数的数组中的任意数组； 含有与有三个不同数的数组中的任意数组； 含有与有四个不同数的数组中的任意数组； 同时含有与有两个不同数的数组和与有四个不同数的数组. 因为，所以集合中最多有个元素，即. 故集合中元素个数的最大值为8. （3） 证明：因为，所以集合中至少可以包含两个元素，故， 不等式右侧为。 对于，恒成立，因此，，原不等式得证 【解析】 【分析】根据致密度的定义逐项分析即可求解（1），（2）；根据组合数的性质可证得（3）. 【小问1详解】 . 当时，满足题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $