精品解析：湖北省宜昌市第三中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

25-26（上）九年级第一次月考数学试题 一、选择题（3×10=30分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是一元二次方程的一个根，则（ ） A. 9 B. C. 3 D. 3. 将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式为，则，的值分别是（ ） A. 2，3 B. ，3 C. 2， D. ， 4. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 关于函数y=﹣3，y=的图象及性质，下列说法不正确的是（ ）. A. 它们的对称轴都是y轴 B. 对于函数y=，当x＞0时，y随x的增大而减小 C. 抛物线y=﹣3不能由抛物线y=平移得到 D. 抛物线y=﹣3的开口比y=的开口宽 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将边长的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B． ①抛物线与直线有且只有一个交点； ②若点、点、点在该函数图象上，则； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为； ④点A关于直线的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确的判断有（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①③ 二、填空题（3×5=15分） 11. 已知实数a、b满足，则的值为___________． 12. 若矩形的长和宽是方程（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为_______． 13. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 14. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得拋物线与轴有两个公共点P、Q，则______． 15. 如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为______． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1）x2－6x－4＝0； （2）3x(x－2)＝2x－4． 17. 定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 18. 已知点是抛物线上的点，且点在第一象限内． （1）求的值； （2）过点作轴交抛物线于点．若的值为3，试求点、点及原点围成的三角形的面积． 19. 体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球垫球是体育中考中学生选择较多的两个考试项目，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为35元，销售价为58元．经统计，4月份的销售量为256套，6月份的销售量为400套． （1）求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，商店为了减少库存，采用降价促销方式调查发现，每套的销售价每降低1元时，月销售量就会增加20套，该商店要想使月销售利润达到8400元，这种跳绳和排球套装每套的销售价应为多少元？ 20. 如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． （1）求a的值和抛物线的顶点坐标； （2）延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程． 21. 如图，在周长为18的矩形中，点E，F分别在边上（均不与顶点重合），，，设，梯形的面积为S． （1）求S关于x的函数表达式及x的取值范围． （2）求S的最大值． 22. 已知关于的方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的一个实数根为，求另一个实数根； （3）若方程的两个实数根，满足，求的值． 23. 某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ （3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 24. 新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线．问题： （1）已知点，，求的外接抛物线的解析式； （2）如图，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点的坐标； （3）已知是抛物线的内接三角形，抛物线与轴交于点（在的左侧），当是等腰直角三角形时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25-26（上）九年级第一次月考数学试题 一、选择题（3×10=30分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先把方程整理成一般式，再根据一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：方程整理成一般式为， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选：． 2. 已知是一元二次方程的一个根，则（ ） A. 9 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义、代数式求值等知识点．由是一元二次方程的一个解，将代入原方程可得，即． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴，即， 故选：B． 3. 将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式为，则，的值分别是（ ） A. 2，3 B. ，3 C. 2， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是掌握函数图象的平移规律． 利用二次函数图像平移规律：上加下减，左加右减，可得平移后的函数解析式． 【详解】因为二次函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式为，与对照，可得，， 故选：A． 4. 用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上4得，， ∴． 故选：A． 5. 关于函数y=﹣3，y=的图象及性质，下列说法不正确的是（ ）. A. 它们的对称轴都是y轴 B. 对于函数y=，当x＞0时，y随x的增大而减小 C. 抛物线y=﹣3不能由抛物线y=平移得到 D. 抛物线y=﹣3的开口比y=的开口宽 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线解析式可得出对称轴、增减性及开口大小等，再进行逐项判断即可． 【详解】在y=﹣3中，对称轴为y轴，在y=中对称轴为y轴，开口向下，当x＞0时，y随x的增大而增大，故A、B正确； ∵2≠，∴抛物线y=﹣3不能由抛物线y=平移得到，故C正确； ∵2＞，∴抛物线y=﹣3的开口比y=的开口窄，故D不正确. 故选D． 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程展开并整理为标准形式：， 其中． ， ∴点，即，故位于平面直角坐标系的第二象限． 故选：B． 7. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：①二次项系数不为零，②在有个实数根下必须满足，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， 故选：D． 8. 一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，解题的关键是根据一次函数、二次函数的图象，分别确定系数的符号，再作出判断． 对每个图象中的一次函数的图象确定，的符号，再对照二次函数得出，的符号比较是否一致，然后作出选择． 【详解】从选项A中的直线可知，，，抛物线开口向下，所以错误； 从选项B中的直线可知，，，抛物线对称轴在轴左侧，所以错误； 从选项C中的直线可知，，，抛物线开口向上，所以错误； 从选项D中的直线可知，，，抛物线开口向上，对称轴在轴右侧，所以正确． 故选：D． 9. 如图，将边长的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2-x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解． 【详解】解：设AC交A′B′于H， ∵AC是正方形的对角线， ∴∠A=45°，∠D=90°， ∴△A′HA是等腰直角三角形， 设AA′=x，则阴影部分的底A′H=x，高A′D=2-x， ∴x•(2-x)=1，即， 解得：， 即AA′=1cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解一元二次方程，解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题． 10. 如图，抛物线（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B． ①抛物线与直线有且只有一个交点； ②若点、点、点在该函数图象上，则； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为； ④点A关于直线的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确的判断有（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数与二次函数图象的交点以及轴对称的性质，熟练掌握二次函数图象的对称性，增减性，函数图象的交点问题与方程的根的关系，二次函数的平移规律，利用轴对称性，求线段和的最小值，是解题的关键． 把二次函数的一般式转化为顶点式，即可发现函数图形与直线相切于顶点，据此判定①，根据“上加下减，左加右减”求出平移后的抛物线的解析式，可判定③，根据对称性质确定点的对称点，再根据二次函数的增减性质可判定②，求出时的抛物线的解析式，作关于轴对称点，作关于轴对称点，四边形周长最小值为与的和，计算后判定④． 【详解】解：将化为顶点式为：， ∴顶点坐标为，函数图象与直线相切于顶点，只有一个公共点，①正确； 将向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位得到：，③正确； 二次函数的对称轴是直线，故可对称到， ∵， 在对称轴左侧，随的增大而增大，故，②错误； 当时，函数解析式为：， 故， 作关于轴对称点，作关于轴对称点， 则， 连接， 则， 则为和的最小值，四边形周长最小值为与的和， 则有：， ∴当时，四边形周长的最小值为，④正确； 正确的有：①③④， 故选：C． 二、填空题（3×5=15分） 11. 已知实数a、b满足，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】设y=a2+b2，原式化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，即为a2-b2的值． 【详解】解：设y=a2+b2，原式化为y2-2y-8=0，即（y-4）（y+2）=0， 可得y-4=0或y+2=0， 解得：y1=4，y2=-2， ∵y=a2+b2>0 ∴a2+b2=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，学生做题时注意a2+b2的值为正数． 12. 若矩形的长和宽是方程（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为_______． 【答案】16 【解析】 【详解】解：设矩形的长和宽分别为，根据题意得； 所以矩形的周长=． 故答案为16． 13. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得拋物线与轴有两个公共点P、Q，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”是解题关键．先求出二次函数图象平移所得到的抛物线的解析式，再求出其与轴的两个交点坐标，由此即可得． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得到的抛物线的解析式为，即为， 当时，，解得或， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为和， ∵抛物线与轴有两个公共点、， ∴， 故答案为：1． 15. 如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意可得，，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而得出点的坐标即可求解，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， 设抛物线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1）x2－6x－4＝0； （2）3x(x－2)＝2x－4． 【答案】（1）x1＝3＋，x2＝3－；（2）x1＝ ，x2＝2 【解析】 【分析】（1）先配方、然后运用直接开平方法解答即可； （2）先对2x－4因式分解，然后再移项，最后运用因式分解法解答即可 【详解】解：（1）x2－6x＋9－9－4＝0 (x－3) 2＝13 x－3＝± x1＝3＋，x2＝3－ （2）3x(x－2)＝2(x－2) 3x(x－2)－2(x－2)＝0 (3x－2) (x－2)＝0 x1＝，x2＝2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握配方法、直接开平方法以及因式分解法是解答本题的关键． 17. 定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 【答案】（1） 是“C方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， 解得：， ∵， ∴一元二次方程是“C方程”； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，理解“C方程”的定义是解题的关键． （1）求出方程的解，再根据“C方程”定义即可判断； （2）根据“C方程”定义，得到，利用配方法，非负数的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程是“C方程”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 18. 已知点是抛物线上的点，且点在第一象限内． （1）求的值； （2）过点作轴交抛物线于点．若的值为3，试求点、点及原点围成的三角形的面积． 【答案】（1）2 （2）3 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入解析式即可求出的值； （2）根据题意得到点的坐标为，抛物线的表达式为，令，求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解： 点是抛物线上的点， ，解得或． 又点在第一象限内，． 【小问2详解】 的值为抛物线的表达式为． 点的坐标为． 轴交抛物线于点点纵坐标也为3． 令，即，解得或． 点的坐标为． ． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，已知函数值求自变量，正确掌握二次函数的性质是解题的关键． 19. 体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球垫球是体育中考中学生选择较多的两个考试项目，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为35元，销售价为58元．经统计，4月份的销售量为256套，6月份的销售量为400套． （1）求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，商店为了减少库存，采用降价促销方式调查发现，每套的销售价每降低1元时，月销售量就会增加20套，该商店要想使月销售利润达到8400元，这种跳绳和排球套装每套的销售价应为多少元？ 【答案】（1） （2）跳绳和排球套装售价为50元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为，拿4月份的销售量乘以等于6月份的销售量建立方程求解； （2）设该款跳绳和排球套装售价为元，则每件的销售利润为元，根据每件利润乘以数量得到总利润建立方程求解． 【小问1详解】 解：设该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该款跳绳和排球套装售价为元，则每件的销售利润为元． 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去） 答：该款跳绳和排球套装售价为50元时，月销售利润达8400元． 20. 如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． （1）求a的值和抛物线的顶点坐标； （2）延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程． 【答案】（1），抛物线的顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可求解函数解析式，然后把函数解析式配成顶点式即可求解； （2）由题意可得，然后得出平移后的表达式为，进而根据“两点之间，线段最短”可进行求解． 【小问1详解】 解：把点代入得：， 解得：， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， 令时，则， ∴， ∴，轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设平移后的表达式为， ∴， 解得：， ∴平移后的表达式为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为， 根据“两点之间，线段最短”可知：平移的最短路程为平移前后两抛物线顶点之间的距离，即为． 21. 如图，在周长为18的矩形中，点E，F分别在边上（均不与顶点重合），，，设，梯形的面积为S． （1）求S关于x的函数表达式及x的取值范围． （2）求S的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、梯形面积公式以及二次函数的性质． （1）先根据矩形周长求出与的关系，再结合已知条件表示出梯形的上底、下底和高，最后根据梯形面积公式列出函数表达式并确定x的取值范围． （2）根据二次函数的性质，结合x的取值范围求出S的最大值． 【小问1详解】 解：∵矩形周长为18， ∴，， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵梯形的上底，下底，高， ∴． ∵点E，F分别在边上（均不与顶点重合）， ∴， 解得． ∴S关于x的函数表达式为，x的取值范围是． 【小问2详解】 解：对于二次函数，其中， ∴该函数图像开口向下，对称轴为． ∵对称轴在的取值范围内， ∴当时，S有最大值． 将代入，可得． ∴S的最大值为9． 22. 已知关于的方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的一个实数根为，求另一个实数根； （3）若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（）根据列出不等式解答即可求解； （）把代入方程可求出或，再把的值代回方程，解方程求出另一个实数根即可； （）根据一元二次方程根和系数的关系得，，即得，解方程求出的值，再结合（）的取值范围即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程及一元二次方程解的定义，一元二次方程根和系数的关系，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程的一个实数根为， ∴， 整理得，， 解得或， 当时，方程为， 解得，， ∴方程的另一个实数根为； 当时，方程为， 解得，， ∴方程的另一个实数根为； 综上，另一个实数根为或； 【小问3详解】 解：由一元二次方程根和系数的关系得，，， ∴， 整理得，， 解得或， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴． 23. 某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ （3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）6元 （3）当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式； （2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可； （3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质， 即可解答． 【小问1详解】 解∶ 根据题意可得，该函数经过点， 设y与x的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为， 【小问2详解】 解；根据题意可得：， ∴， 整理得：， 解得：， ∵售价不低于成本价且不超过每千克7元， ∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元； 【小问3详解】 解：设利润为w， ， ∵，函数开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，此时， ∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质． 24. 新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线．问题： （1）已知点，，求的外接抛物线的解析式； （2）如图，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点的坐标； （3）已知是抛物线的内接三角形，抛物线与轴交于点（在的左侧），当是等腰直角三角形时，求的面积． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（）由点的坐标可得抛物线的对称轴为轴，设抛物线解析式为，利用待定系数法解答即可求解； （）设与轴交于点，由等边三角形的性质得，由抛物线的对称性得，，设，则，，即得，再把点坐标代入抛物线解析式求出的值即可求解； （）设抛物线的解析式为，抛物线的对称轴交于点，由抛物线和等腰直角三角形的对称性得，，，，可得，设，由对称轴为直线得点的坐标为，点的坐标为， 把坐标代入函数解析式由方程组可得，即得，，再根据三角形的面积公式解答即可求解． 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴抛物线的对称轴为直线，即轴， ∵在抛物线上， ∴设抛物线解析式为， 将代入，得， ∴， ∴的外接抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设与轴交于点，如图， ∵为等边三角形， ∴， 由抛物线的对称性得，， 设，则， ∴， ∴， 将坐标代入，得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴，； 【小问3详解】 解：如图，设抛物线的对称轴交于点， 由抛物线和等腰直角三角形的对称性得，C为抛物线的顶点，，，， 设， ∵对称轴为， ∴点的坐标为，点的坐标为， 将点的坐标代入得， ， 整理得，， 解得或（不合，舍去）， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $