第二章有理数及其运算题型突破-2025-2026学年北师大版七年级数学上册

第二章有理数及其运算题型突破2025-2026学年 北师大版七年级上册（十五大题型） 题型一：正负数的定义与相反意义的量 1．在，0，0.5，3四个数中，是负数的是（    ） A． B．0 C．0.5 D．3 2.下列各数，，，，，，中负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3.古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图，这是某古筝调音器的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（    ）    A． B． C．10 D．20 4.我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高时，水位变化记作，则水库的水位下降时，水位变化记作 ． 5.一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为 ． 题型二：有理数的定义与分类 1．在数π，0，，，，25中，有理数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 2.在中，非负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列说法正确的是（　　） A．整数就是自然数 B．0不是自然数 C．正数和负数统称有理数 D．0是整数而不是负数 4.在，，，，，中，分数的个数为 ，整数的个数为 ，非负数的个数为 ． 5.将下列各数填入它所属的集合内：，，2024，，0，，，，，． (1)正有理数集合：{              …}． (2)负有理数集合：{              …}． (3)整数集合：{                 …}． 题型三：数轴 1.以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 2.如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（    ） A． B． C． D． 3.从原点向左个单位长度的点表示的数是____________. 4.数轴上点，到原点的距离分别是和，则，两点间的距离是 ． 5．在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们按照从小到大的顺序排列． 题型四：相反数 1.的相反数是（　　） A．2 B． C． D． 2.下列两数互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3.如图，数轴上点表示的数的相反数为（  ） A．2 B． C． D． 4.若一个数的相反数等于它本身，那么这个数一定是（    ） A．0 B．1 C． D． 5.已知数轴上A、B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是6，点A在点B的左边，则点B表示的数是______________． 题型五：绝对值 1.的绝对值是（    ） A． B．7 C． D． 2.若，则数轴上到有理数对应的点与到对应的点的距离相等的点是（　　） A．3 B． C．3或6 D．3或 3.绝对值小于的整数有 个，它们分别是 ；绝对值大于且小于的整数是 ． 4.已知，则 ； ． 5.若，则x的值为 ． 题型六：比较大小 1.下列有理数的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2.下列四个数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 3.下列四个数中，其绝对值大于1的是（    ）． A．1 B．0 C． D． 4.若有理数，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则______（请用“＜，＞或＝”符号填写）． 5.用“”、“”或“”填空： （1）__；（2）__；（3）__． 题型七：省略括号的和的形式 1.把统一为加法运算，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．把6﹣（+4）﹣（﹣7）+（﹣3）写成省略加号的和得形式为（　　） A．6﹣4+7+3 B．6+4﹣7﹣3 C．6﹣4+7﹣3 D．6﹣4﹣7+3 3.把写成省略括号的形式是(   ) A． B． C． D．3 4.把写成省略加号和括号的代数和形式为 ． 5.把写成省略括号的和的形式是 ． 题型八：有理数加减运算 1.小红家的冰箱冷藏室温度是3℃，冷冻室的温度是﹣1℃，则她家的冰箱冷藏室比冷冻室温度高（　　） A．4℃ B．﹣4℃ C．2℃ D．﹣2℃ 2.这个运算中运用了（   ） A．加法的交换律 B．加法的结合律 C．加法的交换律和结合律 D．以上均不对 3.已知，，且，则的值为　　 A． B．或 C．或7 D．或 4.计算： (1)；(2)． 5.计算： (1)；(2)． 题型九：有理数加减的实际应用 1.入冬以来，某品牌的羽绒服统计了在西乡市场某一周的销售情况，以每天100件为标准，超过的件数记作正数，不足的件数记作负数，记录如下： ， ， ， ， ， ， ． (1)求销量最多的一天比销量最少的一天多销售______件； (2)该品牌羽绒服这一周的销售总量是多少件？ 2.暴雨天气，交通事故频发，一辆警车从位于一条东西走向的主干道上的某交警大队出发，一整天都在这条主干道上执勤和处理事故，如果规定向东行驶为正，这辆警车当天处理交通事故的行驶记录如下（单位：千米）：；请问： (1)第 个交通事故刚好发生在某交警大队门口？ (2)当交警车辆处理完最后一个事故时，该车辆在哪个位置？ (3)这一天该警车从出发值勤到回到交警大队一共行驶多少千米？ 3.某工厂在上一星期的星期日生产了台彩电，下表是本星期的生产情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减  /辆 比前一天的产量多的台数计为正数，比前一天产量少的台数记为负数． (1)请你回答哪一天的产量最多？ (2)请算出这星期最后一天星期日的产量是多少？ (3)本星期的总产量是多少？ 题型十 有理数的乘方 1.对乘积记法正确的是　　 A． B． C． D． 2.比较和，下列说法正确的是（    ） A．它们底数相同，指数也相同 B．它们底数相同，但指数不相同 C． D． 3.若|a+3|+（b﹣2）2＝0，则ab的值为（　　） A．﹣6 B．﹣9 C．9 D．6 4.下列两个数互为相反数的是　　 A．3和 B．和 C．和 D．和 5.计算： (1)； (2)； (3) 题型十一 含乘方的有理数混合运算 1.计算：　　 A． B． C． D． 2.． 3.计算：． 4.计算： (1)；(2)； 5.计算： (1)；(2)． 题型十二 科学记数法 1.港珠澳大桥主体工程及三地口岸、连接线共投资约1200亿元，用科学记数法表示1200亿为（    ） A． B． C． D． 2.铜仁市到贵阳市的车程约为324000m．数据324000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3.据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示35000000是　　 A． B． C． D． 4.旅游业可以促进当地经济的发展，我县武陵不夜城景区开街以来，吸引了大量游客游玩，截至2024年九月，武陵不夜城共接待游客约1182万人次，请将1182万这个数字用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 5.我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 题型十三 乘方的实际应用 1 ．一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（　　） A． B． C． D． 2.二进制记数法是指只使用数字0，1，进行计数，计数的进位方法是“逢二进一”，如：二进制数1101记为11012，11012通过式子1×23+1×22+0×2+1可以转换为十进制数13，仿上面的转换，将二进制数110002转换为十进制数是（　　） A．48 B．24 C．64 D．66 3.将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折次可以得　　条折痕． A． B． C． D． 4．如图，量得一个纸杯的高为，6个叠放在一起的纸杯高度为，则10个纸杯叠放在一起的高度是（    ） A． B． C． D． 5.我国古代《易经》一书中有“结绳而治”的记载．如图，在从右往左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录物品的数量．由图可知，物品的数量为 个． 6.某品种兔子，一对兔子每个月能繁殖3对小兔子，而每对小兔子，一个月后也能繁殖3对新小兔子，总之，所有的每对兔子，都是每月繁殖3对小兔子，如果开始只有一对兔子，那么半年后有　 　对兔子（不考虑意外死亡）． 题型十四：流程图背景下的有理数混合运算 1.按照如图所示的计算程序，若x=3，则输出的结果是（    ） A．1 B．9 C． D． 2.如图是一个数值转换机，若输入a的值为，则输出的结果为（    ） A．7 B． C．1 D．5 3.如下图是计算机程序计算图，若开始输入，则最后输出的结果是__________． 4.下图是一个数值转换机，若输入的a的值为2，则输出的结果应为 ． 5．根据下图所示的程序回答问题： (1)当小明输入和这两个数时，输出的结果是多少？ (2)当小明输入和这两个数时，输出的结果是4，求被墨水污染的数． 题型十五：乘方背景下的自定义运算 1．定义运算“@”的运算法则为：x@y＝xy﹣y，如：3@2＝3×2﹣2＝4．那么（﹣3）@（﹣2）的运算结果是（　　） A．8 B．﹣3 C．4 D．﹣4 5．“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b＝2a﹣b，如果x△（1△3）＝2，那么x等于（　　） A．1 B． C． D．2 3.若定义一种新的运算，规定 =ab-cd,则 = ． 4.规定一种新运算“☆”，对于任意两个有理数a和b，有，请你根据新运算，计算的值是 ． 5．对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】 第二章有理数及其运算题型突破2025-2026学年 北师大版七年级上册（十五大题型） 题型一：正负数的定义与相反意义的量 1．在，0，0.5，3四个数中，是负数的是（    ） A． B．0 C．0.5 D．3 【答案】A 2.下列各数，，，，，，中负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 3.古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图，这是某古筝调音器的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（    ）    A． B． C．10 D．20 【答案】B 4.我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高时，水位变化记作，则水库的水位下降时，水位变化记作 ． 【答案】 5.一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为 ． 【答案】 题型二：有理数的定义与分类 1．在数π，0，，，，25中，有理数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 2.在中，非负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 3．下列说法正确的是（　　） A．整数就是自然数 B．0不是自然数 C．正数和负数统称有理数 D．0是整数而不是负数 【答案】D 4.在，，，，，中，分数的个数为 ，整数的个数为 ，非负数的个数为 ． 【答案】 4 2 3 5.将下列各数填入它所属的集合内：，，2024，，0，，，，，． (1)正有理数集合：{              …}． (2)负有理数集合：{              …}． (3)整数集合：{                 …}． 【答案】（1）解：正有理数集合：{，2024，，，，…}． （2）解：负有理数集合：{，，，，…}． （3）解：整数集合：{，，2024，0，…}． 题型三：数轴 1.以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） B． B． C． D． 【答案】D 2.如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3.从原点向左个单位长度的点表示的数是____________. 【答案】 4.数轴上点，到原点的距离分别是和，则，两点间的距离是 ． 【答案】2或4 5．在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们按照从小到大的顺序排列． 【答案】数轴见解析， 【详解】，，，，， 在数轴上表示为： ． 题型四：相反数 1.的相反数是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 2.下列两数互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 3.如图，数轴上点表示的数的相反数为（  ） A．2 B． C． D． 【答案】C 4.若一个数的相反数等于它本身，那么这个数一定是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 5.已知数轴上A、B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是6，点A在点B的左边，则点B表示的数是______________． 【答案】3 题型五：绝对值 1.的绝对值是（    ） A． B．7 C． D． 【答案】B 2.若，则数轴上到有理数对应的点与到对应的点的距离相等的点是（　　） A．3 B． C．3或6 D．3或 【答案】D 3.绝对值小于的整数有 个，它们分别是 ；绝对值大于且小于的整数是 ． 【答案】 4.已知，则 ； ． 【答案】 8 6 5.若，则x的值为 ． 【答案】或. 题型六：比较大小 1.下列有理数的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.下列四个数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.下列四个数中，其绝对值大于1的是（    ）． A．1 B．0 C． D． 【答案】D 4.若有理数，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则______（请用“＜，＞或＝”符号填写）． 【答案】 5.用“”、“”或“”填空： （1）__；（2）__；（3）__． 【答案】 题型七：省略括号的和的形式 1.把统一为加法运算，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2．把6﹣（+4）﹣（﹣7）+（﹣3）写成省略加号的和得形式为（　　） A．6﹣4+7+3 B．6+4﹣7﹣3 C．6﹣4+7﹣3 D．6﹣4﹣7+3 【答案】C 3.把写成省略括号的形式是(   ) A． B． C． D．3 【答案】C 4.把写成省略加号和括号的代数和形式为 ． 【答案】 5.把写成省略括号的和的形式是 ． 【答案】 题型八：有理数加减运算 1.小红家的冰箱冷藏室温度是3℃，冷冻室的温度是﹣1℃，则她家的冰箱冷藏室比冷冻室温度高（　　） A．4℃ B．﹣4℃ C．2℃ D．﹣2℃ 【答案】A． 2.这个运算中运用了（   ） A．加法的交换律 B．加法的结合律 C．加法的交换律和结合律 D．以上均不对 【答案】C 3.已知，，且，则的值为　　 A． B．或 C．或7 D．或 【答案】． 4.计算： (1)；(2)． 【答案】(1)；(2)1． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5.计算： (1)；(2)． 【答案】(1)(2)4.5 【详解】 （1）解： （2）解： 题型九：有理数加减的实际应用 1.入冬以来，某品牌的羽绒服统计了在西乡市场某一周的销售情况，以每天100件为标准，超过的件数记作正数，不足的件数记作负数，记录如下： ， ， ， ， ， ， ． (1)求销量最多的一天比销量最少的一天多销售______件； (2)该品牌羽绒服这一周的销售总量是多少件？ 【答案】(1)23件 (2)这一周的销售总量是714件 （2）可以先求出7天的标准件数，再加上比标准多或少件数即可； 【详解】（1）（件） （2） （件） 答：该品牌羽绒服这一周的销售总量是714件． 2.暴雨天气，交通事故频发，一辆警车从位于一条东西走向的主干道上的某交警大队出发，一整天都在这条主干道上执勤和处理事故，如果规定向东行驶为正，这辆警车当天处理交通事故的行驶记录如下（单位：千米）：；请问： (1)第 个交通事故刚好发生在某交警大队门口？ (2)当交警车辆处理完最后一个事故时，该车辆在哪个位置？ (3)这一天该警车从出发值勤到回到交警大队一共行驶多少千米？ 【答案】(1)5 (2)该车辆在交警大队门口西面4千米处 (3)44千米 【详解】（1）∵， ∴第5个交通事故刚好发生在某交警大队门口． 故答案为：5； （2）∵， ∴当交警车辆处理完最后一个事故时，该车辆在交警大队门口西面4千米处； （3） ＝ ＝44（千米）． 答：这一天该警车从出发值勤到回到交警大队一共行驶44千米． 3.某工厂在上一星期的星期日生产了台彩电，下表是本星期的生产情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减  /辆 比前一天的产量多的台数计为正数，比前一天产量少的台数记为负数． (1)请你回答哪一天的产量最多？ (2)请算出这星期最后一天星期日的产量是多少？ (3)本星期的总产量是多少？ 【答案】(1)周五的生产量最多 (2)台 (3)台 【详解】（1）周一的生产量为（台）； 周二的生产量为（台）； 周三的生产量为（台）； 周四的生产量为（台）； 周五的生产量为（台）； 周六的生产量为（台）； 周日的生产量为（台）； ∴周五的生产量最多； （2）由（1）可知，这星期最后一天星期日的产量是台； （3）（台）； 答：本星期的总产量是台． 题型十 有理数的乘方 1.对乘积记法正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】． 2.比较和，下列说法正确的是（    ） A．它们底数相同，指数也相同 B．它们底数相同，但指数不相同 C． D． 【答案】C 3.若|a+3|+（b﹣2）2＝0，则ab的值为（　　） A．﹣6 B．﹣9 C．9 D．6 【答案】C 4.下列两个数互为相反数的是　　 A．3和 B．和 C．和 D．和 【答案】． 5.计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)8(2)(3) 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 题型十一 含乘方的有理数混合运算 1.计算：　　 A． B． C． D． 【答案】． 2.． 【答案】44 【详解】解：原式 ． 3.计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 4.计算： (1)；(2)； 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5.计算： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】 （1）解： ； （2）解：原式 ． 题型十二 科学记数法 1.港珠澳大桥主体工程及三地口岸、连接线共投资约1200亿元，用科学记数法表示1200亿为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2.铜仁市到贵阳市的车程约为324000m．数据324000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3.据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示35000000是　　 A． B． C． D． 【答案】． 4.旅游业可以促进当地经济的发展，我县武陵不夜城景区开街以来，吸引了大量游客游玩，截至2024年九月，武陵不夜城共接待游客约1182万人次，请将1182万这个数字用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 5.我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】． 题型十三 乘方的实际应用 2 ．一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 2.二进制记数法是指只使用数字0，1，进行计数，计数的进位方法是“逢二进一”，如：二进制数1101记为11012，11012通过式子1×23+1×22+0×2+1可以转换为十进制数13，仿上面的转换，将二进制数110002转换为十进制数是（　　） A．48 B．24 C．64 D．66 【答案】B 3.将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折次可以得　　条折痕． A． B． C． D． 【答案】． 4．如图，量得一个纸杯的高为，6个叠放在一起的纸杯高度为，则10个纸杯叠放在一起的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 5.我国古代《易经》一书中有“结绳而治”的记载．如图，在从右往左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录物品的数量．由图可知，物品的数量为 个． 【答案】 6.某品种兔子，一对兔子每个月能繁殖3对小兔子，而每对小兔子，一个月后也能繁殖3对新小兔子，总之，所有的每对兔子，都是每月繁殖3对小兔子，如果开始只有一对兔子，那么半年后有　 　对兔子（不考虑意外死亡）． 【答案4 096． 题型十四：流程图背景下的有理数混合运算 1.按照如图所示的计算程序，若x=3，则输出的结果是（    ） A．1 B．9 C． D． 【答案】C 2.如图是一个数值转换机，若输入a的值为，则输出的结果为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【答案】B 3.如下图是计算机程序计算图，若开始输入，则最后输出的结果是__________． 【答案】 4.下图是一个数值转换机，若输入的a的值为2，则输出的结果应为 ． 【答案】0 5．根据下图所示的程序回答问题： (1)当小明输入和这两个数时，输出的结果是多少？ (2)当小明输入和这两个数时，输出的结果是4，求被墨水污染的数． 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）根据程序可知 ． 为正数，所以输出结果为． （2）设被墨水污染的数为． 输出结果为，则菱形框中的结果为． 当菱形框中的结果为时，可知，则． 当菱形框中的结果为时，可知，则． 综上所述，或，即被墨水污染的数为或． 题型十五：乘方背景下的自定义运算 1．定义运算“@”的运算法则为：x@y＝xy﹣y，如：3@2＝3×2﹣2＝4．那么（﹣3）@（﹣2）的运算结果是（　　） A．8 B．﹣3 C．4 D．﹣4 【答案】A 5．“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b＝2a﹣b，如果x△（1△3）＝2，那么x等于（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 3.若定义一种新的运算，规定 =ab-cd,则 = ． 【答案】14 4.规定一种新运算“☆”，对于任意两个有理数a和b，有，请你根据新运算，计算的值是 ． 【答案】 5．对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)49；(2)109． 【详解】（1）解： ． 所以的值为49． （2）解： ； ． 所以的值为109． 学科网（北京）股份有限公司 $