4.2 对数【六大题型】讲义-2025-2026学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版必修第一册）

4.2：对数 【考点归纳】 【知识梳理】 考点一：对数的有关概念 对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg N，logeN简记为ln N. 知识点二：对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x. 对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)． 知识点三：对数的性质 1．1的对数为零．2．底的对数为1.3．零和负数没有对数． 知识点四：对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 知识点五：换底公式 1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论： (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)； (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 【题型归纳】 题型一：指数式与对数式的互化 【例1】．（24-25高一·全国·课堂例题）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式1】．（22-23高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．（22-23高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式： (1)；(2)；(3)；(4). 题型二：对数的运算 【例2】．（24-25高一上·全国·课堂例题）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式1】．（2023高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)； (2). (3)； (4) (5)． 【变式2】．（25-26高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)化简：． 题型三：对数运算性质的应用 【例3】．（24-25高一上·全国·周测）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【变式1】．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 【变式2】．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·阶段练习）计算下列各式的值： (1) (2)设，，用a，b表示； (3)已知，试求的值. 题型四：对数换底公式的应用 【例4】．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习） （1）； （2）已知，用表示. 【变式1】．（24-25高一上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)已知，，求（用表示）. 【变式2】．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习） （1）求值：； （2）设，，用m，n来表示． 题型五：对数换底公式证明等式 【例4】．（22-23高一·全国·随堂练习）已知：，求证：． 【变式1】．（21-22高一下·广西崇左·阶段练习）求满足下列条件的各式的值 (1)若，求的值； (2)设，求证：. 【变式2】．（25-26高一·全国·课后作业）证明： （1）； （2）. 题型六：对数运算综合问题 【例6】．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）； （2）； （3）已知，求的值． 【变式1】．（2023高一上·全国·专题练习） （1）； （2）； （3）； （4）已知，，试用，表示. 【变式2】．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）求下列各式的值. (1) (2)已知试用表示 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）下列指数或对数运算中不正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）计算：（    ） A．17 B． C．52 D． 3．（24-25高一下·广东·期末）计算：（     ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（    ）（注：，） A．30 B．31 C．32 D．33 5．（24-25高一上·江苏镇江·期末）式子的值为（   ） A． B．10 C．11 D．12 6．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，是方程的两个实根，则的值等于（   ） A．2 B． C．100 D． 8．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若实数，满足，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知，，，则的最小值是（    ）． A．18 B．9 C． D．3 二、多选题 10．（24-25高一上·江苏南京·期末）设a，b为实数，若，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·全国·课后作业）若实数a，b满足，则下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·贵州毕节·期末）下列四个命题：①；②若，则；③；④．其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 13．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 15．（22-23高一·全国·单元测试）若，则下列各式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 16．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）计算的值是 ． 17．（23-24高一上·广东广州·期末）已知，，则 . 18．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知，是方程的两个实数根，则 ． 19．（24-25高一上·江苏南京·期中）= ． 20．（23-24高一上·江苏南京·期中）设，，若，则的最大值为 ． 四、解答题 21．（2023高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式进行互化． (1)(2)(3).(4)；(5)；(6)；(7). 22．（25-26高一上·全国·单元测试）化简求值： (1) (2) (3)，，试用a，b表示. 23．（2025高一·全国·专题练习）求值： (1)； (2)； (3)． 24．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设，求的值； （2）已知，且，求的值． 25．（24-25高一上·江苏·课后作业）（1）已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b来表示下列式子 （ⅰ）lg6     （ⅱ）log312 （2）设3x＝4y＝36，求的值． 26．（23-24高一上·上海静安·期中）（1）已知，用a、b表示; （2）已知求b的值； （3）已知，试用表示； （4）已知，试用表示求. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2：对数 【考点归纳】 【知识梳理】 考点一：对数的有关概念 对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg N，logeN简记为ln N. 知识点二：对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x. 对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)． 知识点三：对数的性质 1．1的对数为零．2．底的对数为1.3．零和负数没有对数． 知识点四：对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 知识点五：换底公式 1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论： (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)； (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 【题型归纳】 题型一：指数式与对数式的互化 【例1】．（24-25高一·全国·课堂例题）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）因为，所以 （2）因为，所以 （3）因为，所以 （4）因为，所以 （5）因为，所以 （6）因为，所以 【变式1】．（22-23高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由可得； （2）由可得； （3）由可得； （4）由可得 【变式2】．（22-23高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式： (1)；(2)；(3)；(4). 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. 题型二：对数的运算 【例2】．（24-25高一上·全国·课堂例题）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 【变式1】．（2023高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)； (2). (3)； (4) (5)． 【答案】(1)(2)(3)2(4)(5)3 【详解】（1）解法一： 原式. 解法二：原式. （2）原式 . （3）原式 （4）原式 （5） ． 【变式2】．（25-26高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)化简：． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)17. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）. 题型三：对数运算性质的应用 【例3】．（24-25高一上·全国·周测）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）1 【详解】（1）由已知，， 所以. （2）因为，所以，解得， ，解得， 所以. 【变式1】．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由，，得. （2）由，，得， 所以. 【变式2】．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·阶段练习）计算下列各式的值： (1) (2)设，，用a，b表示； (3)已知，试求的值. 【答案】(1)(2)(3)1 【详解】（1）原式 . （2）. （3）因为，所以，则，， 则，，所以. 题型四：对数换底公式的应用 【例4】．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习） （1）； （2）已知，用表示. 【答案】（1）4；（2） （2）由条件，结合指数与对数的关系可得，再结合换底公式由表示. 【详解】（1） ； （2）因为，故， 故. 【变式1】．（24-25高一上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)已知，，求（用表示）. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）法一  因为，所以， 于是. 法二  因为，所以， 因为，所以，所以， 又，所以. 【变式2】．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习） （1）求值：； （2）设，，用m，n来表示． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）原式 . （2）， 因为，所以，即， 所以，即，所以， 故. 题型五：对数换底公式证明等式 【例4】．（22-23高一·全国·随堂练习）已知：，求证：． 【详解】设，显然， 则，可得， 所以. 【变式1】．（21-22高一下·广西崇左·阶段练习）求满足下列条件的各式的值 (1)若，求的值； (2)设，求证：. 【详解】（1）， ， ， （2）证明：设， 则，，. 所以，，. 所以， 所以. 【变式2】．（25-26高一·全国·课后作业）证明： （1）； （2）. 【详解】证明：（1）.故. （2）， 题型六：对数运算综合问题 【例6】．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）； （2）； （3）已知，求的值． 【答案】（1）3；（2）16；（3） 【详解】（1）原式 ． （2）由于，， ， 因此原式． （3）由条件． 由，得， 所以，化简得 所以， 得或（舍去），从而可得． 【变式1】．（2023高一上·全国·专题练习） （1）； （2）； （3）； （4）已知，，试用，表示. 【答案】（1）；（2）0；（3）1；（4） 【详解】（1）原式 ； （2）原式； （3）原式 ； （4）因为，所以. 【变式2】．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）求下列各式的值. (1) (2)已知试用表示 【答案】(1)(2) 【详解】（1） . （2）, 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）下列指数或对数运算中不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项 A：因为 ，所以 . 使用换底公式得：（因为 ）。 因此，，故选项A正确； 对于选项 B：左边：，右边：. 两边均等于 ，故选项B正确； 对于选项 C：两边平方验证： 左边：， 右边：. 两边平方后相等，且 ，故选项C正确；对于选项 D：， 故选项D错误.故选：D 2．（25-26高一上·全国·单元测试）计算：（    ） A．17 B． C．52 D． 【答案】C 【详解】方法一：． 方法二：，，故． 故选：C. 3．（24-25高一下·广东·期末）计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 4．（2025·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（    ）（注：，） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】C 【详解】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，由题意：，. 于是， 所以. 故选：C. 5．（24-25高一上·江苏镇江·期末）式子的值为（   ） A． B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】由题意可得：原式. 故选：C. 6．（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，. 故选：B． 7．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，是方程的两个实根，则的值等于（   ） A．2 B． C．100 D． 【答案】C 【详解】由韦达定理可得：， 所以，所以. 故选：C 8．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若实数，满足，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，， 由换底公式得：，. 所以. 故选：A 9．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知，，，则的最小值是（    ）． A．18 B．9 C． D．3 【答案】B 【详解】， 所以，且，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选：B. 二、多选题 10．（24-25高一上·江苏南京·期末）设a，b为实数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以， 对于A，，所以A正确； 对于B，，所以B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，，所以D正确. 故选：ACD 11．（24-25高一上·全国·课后作业）若实数a，b满足，则下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为，则，， 可得. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项CD：，故C，D不正确． 故选：AB. 12．（23-24高一上·贵州毕节·期末）下列四个命题：①；②若，则；③；④．其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AB 【详解】对于①，，故①正确； 对于②，由指对数互化知若，则，故②正确； 对于③，，所以，故③错误； 对于④，，所以，故④错误. 故选：AB． 13．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用对数运算法则计算，得到答案. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D错误. 故选：AC 14．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，若，则， 故，C正确； 对于D，若，则， 则，D正确， 故选：BCD 15．（22-23高一·全国·单元测试）若，则下列各式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A：当，时，等式右边无意义，A错； 对于B：当，时，等式右边无意义，B错； 对于C：，C正确；对于D：，D正确. 故选：CD． 三、填空题 16．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）计算的值是 ． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 17．（23-24高一上·广东广州·期末）已知，，则 . 【答案】 【详解】由，得，而，所以. 故答案为： 18．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知，是方程的两个实数根，则 ． 【答案】/ 【详解】方程，化为，解得， 依题意，不妨令，所以.故答案为： 19．（24-25高一上·江苏南京·期中）= ． 【答案】 【详解】 故答案为： 20．（23-24高一上·江苏南京·期中）设，，若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】由得. 又，，所以. 同理可得． 因为， 所以，所以． 又． 当，且时，即，. 由基本不等式知． 当且仅当，即， 即，时等号成立. 当时，，此时； 当时，，此时. 综上所述，的最大值为． 故答案为：． 四、解答题 21．（2023高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式进行互化． (1)(2)(3).(4)；(5)；(6)；(7). 【答案】(1)(2)(3)(4)；(5)；(6)；(7). 【详解】（1）由可得. （2）由，可得. （3）由，可得. （4）由，可得； （5）由，可得； （6）由，可得； （7）由，可得. 22．（25-26高一上·全国·单元测试）化简求值： (1) (2) (3)，，试用a，b表示. 【答案】(1)4(2)7(3) 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）由，，则. 23．（2025高一·全国·专题练习）求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)2(3)2 【详解】（1）原式． （2）方法一：原式． 方法二：原式 ． （3）原式． 24．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设，求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【详解】（1）因为，则， 则 所以； （2）因为，则，， 可得，，则． 由题意可得，则，且，所以． 25．（24-25高一上·江苏·课后作业）（1）已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b来表示下列式子 （ⅰ）lg6     （ⅱ）log312 （2）设3x＝4y＝36，求的值． 【答案】（1）（ⅰ）a+b；（ⅱ）；（2）1. 【解析】（1）（i）利用对数的运算法则求解；（ii）利用换底公式换化为以10为底的对数，进而运算可得；（2）先根据对数式求得的对数表达式，再利用换底公式求得的以36为底数的对数，然后换件即可得到答案. 【详解】（1）（ⅰ）∵lg2＝a，lg3＝b， ∴lg6＝lg（2×3）＝lg2+lg3＝a+b； （ⅱ）∵lg2＝a，lg3＝b， ＝＝； （2）， ， 利用换底公式可得，，, , 故的值为1． 26．（23-24高一上·上海静安·期中）（1）已知，用a、b表示; （2）已知求b的值； （3）已知，试用表示； （4）已知，试用表示求. 【答案】（1）；（2）或；（3）（4） 【分析】利用对数运算的法则和换底公式求解即可. 【详解】（1）因为，则，所以； （2），设则 则即或即或或. （3），则. ，，则 （4）， 2 学科网（北京）股份有限公司 $