第11讲 对数（3个知识点+9大题型）（讲义+精练）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第11讲 对数 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一、对数概念 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 知识点诠释： 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 2、对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 知识点二、对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 知识点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： ， ， ． 知识点三、对数公式 1、对数恒等式： 2、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． 题型一：对数的基本定义 【典例1-1】若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D 【典例1-2】对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C 【变式1-1】有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确， 只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误， 故选：C 【变式1-2】若，则的取值范围是 A． B．且 C． D．且 【答案】B 【解析】由. 故选B. 【变式1-3】下列命题中：①；②一个数如果不是正数，它就没有对数；③指数式和对数式一定能互相转化；④.其中真命题的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】对①，，故①正确； 对②，对数式中的真数恒大于0，所以一个数如果不是正数，它就没有对数，故 ②正确； 对③，因为，但它不能化成对数式，故③错误； 对④，由对数式知，所以，故④错误. 故选B. 题型二：指数式与对数式的相互转换及应用 【典例2-1】将下列指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）由，得. （2）由，得. （3）由，得. 【典例2-2】把下列指数式写成对数式： (1)； (2). 【解析】（1）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （2）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. 【变式2-1】将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). (4)； (5)； (6)； (7). 【解析】（1）由可得. （2）由，可得. （3）由，可得. （4）由，可得； （5）由，可得； （6）由，可得； （7）由，可得. 【变式2-2】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1） （2） （3） （4） 【变式2-3】将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)2－7＝； (2)； (3)lg1000＝3； (4) 【解析】（1）由2－7＝，可得log2＝－7. （2）由，可得＝32. （3）由lg 1 000＝3，可得103＝1 000. （4）由，可得e2＝x. 题型三：运用对数恒等式进行化简与求值 【典例3-1】计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 【答案】D 【解析】. 故选：D 【典例3-2】（2025·高一·安徽·期中）计算（   ） A．14 B．49 C． D． 【答案】B 【解析】因为． 故选：B． 【变式3-1】（2025·高一·江苏宿迁·期中）计算（   ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得：. 故选：B. 【变式3-2】（2025·高一·四川广元·期末） ． 【答案】18 【解析】. 故答案为：18 【变式3-3】（2025·高一·四川泸州·期末）计算 . 【答案】4 【解析】原式. 故答案为：4. 题型四：积、商、幂的对数运算规则 【典例4-1】（2025·高一·北京怀柔·期末）计算： ； ． 【答案】 3 【解析】， . 故答案为：3；. 【典例4-2】（2025·高一·浙江衢州·期末）若，则 . 【答案】2 【解析】因为，所以，所以. 故答案为：2 【变式4-1】（2025·高一·辽宁丹东·期中）求值： . 【答案】3 【解析】原式. 故答案为： 【变式4-2】（2025·高一·贵州贵阳·期中）已知为自然对数的底数，则 ． 【答案】 【解析】. 故答案为：. 【变式4-3】（2025·高一·江苏徐州·期中）计算： ． 【答案】3 【解析】原式. 故答案为：3 题型五：求解涉及对数的方程问题 【典例5-1】若，是方程的两个实根，则的值等于（   ） A．2 B． C．100 D． 【答案】C 【解析】由韦达定理可得：， 所以，所以. 故选：C 【典例5-2】方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】依题意， 原方程等价于 即，显然只有一个正实根. 故选：B. 【变式5-1】已知，是方程的两根，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由韦达定理可得：，. 所以. 故选：D 【变式5-2】方程的根为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】由，得， 即，解得， 所以方程的根为. 故选：B 【变式5-3】方程解的个数是（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个 【答案】A 【解析】根据对数符号有意义可得，即且， 再根据题意可得，即， 解得或， 因为和均不满足且， 所以原方程解的个数为0. 故选：A. 题型六：对数运算法则的实际应用 【典例6-1】化简下列各式： (1)； (2). 【解析】（1）原式. （2）根据分数指数幂的定义，得 ，，， 原式. 【典例6-2】计算下列各式的值 (1) (2) (3) 【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式. 【变式6-1】（2025·高一·浙江杭州·期末）求值 (1)； (2)． 【解析】（1）； （2） . 【变式6-2】（2025·高一·贵州毕节·期末）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【解析】（1） ； （2），故， 故 . 【变式6-3】（1）求值：； （2）求值：； （3）已知，，求的值． 【解析】（1） . （2） . （3）由，，得，， 则. 题型七：换底公式的灵活运用 【典例7-1】（2025·宁夏吴忠·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， ∴. A. ，A错误. B. ，B错误. C.，C正确. D. ，D错误. 故选：C. 【典例7-2】（2025·高一·上海·期末）已知，则= ． 【答案】 【解析】因为，所以，， ，所以． 故答案为：. 【变式7-1】（2025·高一·浙江温州·期末）已知则 . 【答案】1 【解析】由题意得，， ∴. 故答案为：1. 【变式7-2】（2025·高一·广东肇庆·期末） ． 【答案】1 【解析】由题意得， ． 故答案为：1. 【变式7-3】已知，且，则实数m的值为 ． 【答案】45 【解析】由，得， ， ， ． 故答案为：45. 题型八：根据已知对数求解其他对数表达式 【典例8-1】（2025·高一·上海·期末）已知，，若用，表示，则 ． 【答案】/ 【解析】因为，则，又因为，则. 故答案为：. 【典例8-2】（2025·高一·上海徐汇·期末）已知，则用表示 . 【答案】 【解析】因为，所以. 故答案为：. 【变式8-1】已知，则 （用含和的式子表示）． 【答案】 【解析】. 故答案为：. 【变式8-2】（2025·高一·上海·期中）已知，，则 .（结果用表示） 【答案】 【解析】因为，， 所以. 故答案为：. 【变式8-3】（2025·高一·上海·期中）已知，，则用表示 . 【答案】 【解析】因为，， 所以. 故答案为：. 题型九：证明常见的对数恒等关系 【典例9-1】证明： （1）； （2）. 【解析】证明：（1）. 故. （2）， 【典例9-2】阅读下面材料： 由于， 设，，① 于是.② 根据对数的定义，由①得，，③ 由②得④， 把③代入④得. (1)仿照上述过程，证明：； (2)已知，求的值. （提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（1）中的结论） 【解析】（1）由①知：， 将③代入上式，有，得证. （2）由题设，，， 所以. 【变式9-1】阅读下面材料： 由于， 设，① 于是.② 根据对数的定义，由①得，③ 由②得④， 把③代入④得. (1)仿照上述过程，证明：； (2)已知，求的值. （提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（1）中的结论） 【解析】（1）由①知：， 将③代入上式，有，得证. （2）由题设，，， 所以. 【变式9-2】设，，，，，证明：，. 【解析】设 ， 因为，所以, 由对数的定义得到， 所以； 因为，所以，即 【变式9-3】（2025·高一·浙江·开学考试）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若 ，则叫做以为底的对数，记作.比如指数式可以转化为，对数式可以转化为..我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： .理由如下：设，，所以，，所以 ，由对数的定义得:，又因为，所以 解决以下问题： （1）将指数转化为对数式： . （2）仿照上面的材料，试证明：. （3）拓展运用：计算. 【解析】（1）将指数转化为对数式：. 故答案为：. （2）证明：设，，所以，，所以 ，由对数的定义得，又因 ， 所以； （3） 故答案为：2. 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】． 2．计算的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【解析】原式． 3．利用对数运算可以求大数的位数，已知，则是（   ） A．9位数 B．10位数 C．11位数 D．12位数 【答案】B 【解析】记，则，则，则，故是10位数． 4．若，则x，y的关系式是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由题设得，即，即，所以或．由对数定义知，所以只能是． 5．下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D． 【答案】B 【解析】对于A，，所以A错误；对于B，，所以B正确；对于C，由，得，所以C错误；对于D，无意义，所以D错误． 6．（2025·高一·湖北·期中）努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（    ）天后进步的是落后的200倍 A．264 B．266 C．268 D．270 【答案】A 【解析】设天后进步的是落后的200倍，则，， 即， 所以有（天）. 故选：A. 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ，. 故选：D. 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，所以， 又， 所以. 故选：A 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，则， 即. 故选：C. 10．（多选题）已知实数a，b满足，则的可能取值是（   ） A．9 B．3 C．2 D．6 【答案】ABD 【解析】由得， 变形得．因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以． 11．（多选题）下列关系表示正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若设，且，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】对于A，，所以，所以，所以A正确；对于B，由，得，故，所以B正确；对于C，设，取对数得.所以.所以C正确；对于D，因为，所以，所以，所以D错误. 12．（多选题）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】，所以，所以，故A正确，B错误；，故C错误，D正确． 13．若，则 ． 【答案】 【解析】由题意得， . 故答案为： 14．已知是方程的两个实数根，则的值等于 ． 【答案】 【解析】设，则原方程化为，，即，所以． 15．数学家欧拉曾得到这样的结论：小于数字x的素数个数可以表示为．根据欧拉得出的结论，可估计以内的素数的个数为 （注：素数即质数，）． 【答案】8686 【解析】． 16．已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 【解析】（1）①因为，所以，所以． ②因为，且，所以，解得． （2）由不等式，得，所以t的最大值． 17．（2025·高一·湖北武汉·开学考试）（1）已知，求a，b，并用a，b表示. （2）求值 【解析】（1）因为，所以由对数的定义可知， 所以. （2） . 18．化简与求值： (1)计算； (2)已知，求的值. 【解析】（1）原式 . （2）由，可得， 所以. 19．（2025·高一·四川资阳·开学考试）计算下列各值． (1) (2) 【解析】（1）原式 ． （2） . 20．（2025·高一·广东·期末）定义一种新运算“”，. (1)计算，并判断与的大小关系； (2)若函数有最小值，且最小值大于0，求所有满足题意的整数的值； (3)已知关于的不等式的解集为中的整数恰有4个，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为. 所以. ， ， 所以. （2） ， 令，则问题转化为二次函数在区间上有最小值，且最小值大于0， 因为二次函数过定点， 故只需 解得，而是整数，所以. （3）由题意，不等式， 即，即， 即， 要想满足题意，则必有，则，或.① 令，则， 所以的一个零点在内， 因为解集中的整数恰有4个， 所以4个整数解是， 故的另一个零点在区间内. 所以即② 由①②解得，或. 所以实数的取值范围是或. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 对数 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一、对数概念 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 知识点诠释： 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 2、对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 知识点二、对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 知识点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： ， ， ． 知识点三、对数公式 1、对数恒等式： 2、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． 题型一：对数的基本定义 【典例1-1】若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】若，则的取值范围是 A． B．且 C． D．且 【变式1-3】下列命题中：①；②一个数如果不是正数，它就没有对数；③指数式和对数式一定能互相转化；④.其中真命题的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：指数式与对数式的相互转换及应用 【典例2-1】将下列指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)． 【典例2-2】把下列指数式写成对数式： (1)； (2). 【变式2-1】将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). (4)； (5)； (6)； (7). 【变式2-2】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-3】将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)2－7＝； (2)； (3)lg1000＝3； (4) 题型三：运用对数恒等式进行化简与求值 【典例3-1】计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 【典例3-2】（2025·高一·安徽·期中）计算（   ） A．14 B．49 C． D． 【变式3-1】（2025·高一·江苏宿迁·期中）计算（   ） A． B．7 C． D． 【变式3-2】（2025·高一·四川广元·期末） ． 【变式3-3】（2025·高一·四川泸州·期末）计算 . 题型四：积、商、幂的对数运算规则 【典例4-1】（2025·高一·北京怀柔·期末）计算： ； ． 【典例4-2】（2025·高一·浙江衢州·期末）若，则 . 【变式4-1】（2025·高一·辽宁丹东·期中）求值： . 【变式4-2】（2025·高一·贵州贵阳·期中）已知为自然对数的底数，则 ． 【变式4-3】（2025·高一·江苏徐州·期中）计算： ． 题型五：求解涉及对数的方程问题 【典例5-1】若，是方程的两个实根，则的值等于（   ） A．2 B． C．100 D． 【典例5-2】方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-1】已知，是方程的两根，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】方程的根为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式5-3】方程解的个数是（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个 题型六：对数运算法则的实际应用 【典例6-1】化简下列各式： (1)； (2). 【典例6-2】计算下列各式的值 (1) (2) (3) 【变式6-1】（2025·高一·浙江杭州·期末）求值 (1)； (2)． 【变式6-2】（2025·高一·贵州毕节·期末）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【变式6-3】（1）求值：； （2）求值：； （3）已知，，求的值． 题型七：换底公式的灵活运用 【典例7-1】（2025·宁夏吴忠·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2025·高一·上海·期末）已知，则= ． 【变式7-1】（2025·高一·浙江温州·期末）已知则 . 【变式7-2】（2025·高一·广东肇庆·期末） ． 【变式7-3】已知，且，则实数m的值为 ． 题型八：根据已知对数求解其他对数表达式 【典例8-1】（2025·高一·上海·期末）已知，，若用，表示，则 ． 【典例8-2】（2025·高一·上海徐汇·期末）已知，则用表示 . 【变式8-1】已知，则 （用含和的式子表示）． 【变式8-2】（2025·高一·上海·期中）已知，，则 .（结果用表示） 【变式8-3】（2025·高一·上海·期中）已知，，则用表示 . 题型九：证明常见的对数恒等关系 【典例9-1】证明： （1）； （2）. 【典例9-2】阅读下面材料： 由于， 设，，① 于是.② 根据对数的定义，由①得，，③ 由②得④， 把③代入④得. (1)仿照上述过程，证明：； (2)已知，求的值. （提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（1）中的结论） 【变式9-1】阅读下面材料： 由于， 设，① 于是.② 根据对数的定义，由①得，③ 由②得④， 把③代入④得. (1)仿照上述过程，证明：； (2)已知，求的值. （提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（1）中的结论） 【变式9-2】设，，，，，证明：，. 【变式9-3】（2025·高一·浙江·开学考试）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若 ，则叫做以为底的对数，记作.比如指数式可以转化为，对数式可以转化为..我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： .理由如下：设，，所以，，所以 ，由对数的定义得:，又因为，所以 解决以下问题： （1）将指数转化为对数式： . （2）仿照上面的材料，试证明：. （3）拓展运用：计算. 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．计算的值为（   ） A． B．4 C． D． 3．利用对数运算可以求大数的位数，已知，则是（   ） A．9位数 B．10位数 C．11位数 D．12位数 4．若，则x，y的关系式是（   ） A． B． C． D．或 5．下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D． 6．（2025·高一·湖北·期中）努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（    ）天后进步的是落后的200倍 A．264 B．266 C．268 D．270 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）已知实数a，b满足，则的可能取值是（   ） A．9 B．3 C．2 D．6 11．（多选题）下列关系表示正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若设，且，则 D．若，则 12．（多选题）若，则（   ） A． B． C． D． 13．若，则 ． 14．已知是方程的两个实数根，则的值等于 ． 15．数学家欧拉曾得到这样的结论：小于数字x的素数个数可以表示为．根据欧拉得出的结论，可估计以内的素数的个数为 （注：素数即质数，）． 16．已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 17．（2025·高一·湖北武汉·开学考试）（1）已知，求a，b，并用a，b表示. （2）求值 18．化简与求值： (1)计算； (2)已知，求的值. 19．（2025·高一·四川资阳·开学考试）计算下列各值． (1) (2) 20．（2025·高一·广东·期末）定义一种新运算“”，. (1)计算，并判断与的大小关系； (2)若函数有最小值，且最小值大于0，求所有满足题意的整数的值； (3)已知关于的不等式的解集为中的整数恰有4个，求实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$