精品解析：江苏省盐城市七校联盟2025-2026学年高三上学期第二次联考数学试题

2025/2026学年度第一学期七校联盟第二次学情检测 高三数学试题 2025.10 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷； 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分； 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由复数的模长公式计算出，再根据复数的除法运算，化简即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以的虚部为， 故选：C. 2. 已知命题，，则（ ） A. ，，且是真命题 B. ，，且是真命题 C. ，，且是假命题 D. ，，且是假命题 【答案】D 【解析】 【分析】先判断命题的真假，再由全称量词命题的否定是存在量词命题求解． 【详解】设， 则， 得函数在上单调递增， 则， 得，则命题是真命题，得是假命题， 且，， 故选：D 3. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出和，再由向量共线的坐标表示列方程求解. 【详解】由，，得，， 若，则，解得. 故选：B. 4. 为了解决大尺度问题的压缩，物理学家、地震学家里克特设计了一种度量方式：里克特震级，简称里氏震级，后来经同行古登堡的改进和完善，得到了震级的计算公式，其中是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅，并通过研究得出了地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系，.请问10.0级地震释放的能量是6.0级地震的约多少倍？（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实际问题分别计算10.0级地震释放的能量和6.0级地震释放的能量，结合对数运算性质即可求解． 【详解】解：10.0级地震释放的能量为，则， 6.0级地震释放的能量为，则， 所以，，则． 故选：C． 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两个等式平方相加，结合同角三角函数的平方关系式和和差角公式可得，然后结合角的范围可得答案. 【详解】由两边平方可得①， 由两边平方可得②， ①+②得：， 整理得，即， 又因为，所以. 故选：A 6. “，为正数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 通过举反例可得答案. 【详解】当时，，故“，为正数”是“”的不充分条件 当时，满足，但不满足，为正数，故“，为正数”是“”的不必要条件 综上：“，为正数”是“”的既不充分也不必要条件 故选：D 【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单. 7. 若对任意实数，函数在上至少有五个不同的零点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定函数的最小正周期，根据题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】函数的最小正周期为， 由于函数在上至少有五个不同的零点， 故需满足，即， 即的最小值为， 故选：B 8. 函数为偶函数，且满足对均有，对满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析函数的单调性，根据函数单调性把函数不等式转化为代数不等式，再根据分离参数求最值，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为函数满足：对均有，所以在上单调递增， 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式可化为，恒成立， 所以，，即，， 由，，， 由，，， 综上，. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为“下凹函数”.下列函数是下凹函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据定义与幂函数、指数函数、对数函数的单调性、基本不等式结合反例计算即可. 【详解】取， 对于A，显然， 等号仅在时成立，则有，故A正确； 对于B，令，则，故B错误； 对于C，因为，所以， 则，等号仅在时成立，故C正确； 对于D，令，因为，则，故D错误. 故选：AC 10. 如图，函数（，，）在一个周期内的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的对称轴方程为 C. 是函数图象的一个对称中心 D. 函数的减区间是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图易知,,可得，再将点代入可得，再由正弦曲线的值域、对称轴、对称中心、单调递减区间，求出的值域、对称轴、对称中心、单调递减区间即可. 【详解】由图可知,, 所以， 所以， 将点代入得：， 所以， 又， 所以， 所以， 所以函数的值域为，故A正确； 因为的对称轴为, 令 所以函数的对称轴方程为，故B正确； 因为的对称中心为, 令 所以不是函数图象的一个对称中心，故C错误； 因为的单调递减区间为, 令 函数的减区间是，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则（ ） A. 是的极值点 B. 函数的图象是一中心对称图形 C. 函数存在零点 D. 总有 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用定义和性质先判断函数的奇偶性和单调性判断AB；利用函数的单调性与零点存在性定理判断C；由题意函数为非减函数，转化为即，，构造，利用导数研究值域即可求解判断D. 【详解】令，由知其定义域为， 因为 ， 所以为奇函数，所以关于点对称， 所以关于点对称，故B正确； 令，则， 所以在单调递增， 又在单调递增，所以函数在上单调递增， 则不是的极值点，故A错误； 因为函数在上单调递增，且当趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大， 趋向于正无穷大，即趋向于正无穷大； 当趋向于负无穷大时，趋向于负无穷大， 趋向于负无穷大，即趋向于负无穷大； 所以由零点存在性定理可知函数存在零点，故C正确； 不妨设，因函数在上单调递增，所以， 则等价于， 即，令，则， 只需函数为非减函数即可， ，则， 由题意，有成立； 即，，构造， 令，，则， 因为，所以函数在上单调递增， 所以，所以， 所以，总有，故D正确． 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知全集，集合，或，则集合________. 【答案】 【解析】 【分析】求出，根据集合的并集运算，即可求得答案. 详解】由题意可得，而， 故， 故答案为： 13. 已知函数，若的值域为，则实数的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数的图象性质，可得二次函数值域包含正实数集，进而列式求解. 【详解】由函数的值域为，得的值域包含， 当时，显然不满足题意，故， 则函数，图象开口向上，且与轴有公共点， 于是，解得，所以实数的最小值为. 故答案为： 14. 已知函数，，若恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为在上恒成立，讨论的范围，可得，构造函数，利用导数研究单调性即可求解. 【详解】由于恒成立，则在上恒成立； 令, 当时，，所以的解为：，不满足条件； 当时，令，解得：,, 当时，若，则，不符合题意； 当时，若，则，不符合题意； 当时，在上恒成立； 所以要使在上恒成立，则，即, 所以，令，则, 当时，,在上单调递增； 当时，,在上单调递减； 所以，当时，，当时，， 所以的取值范围是： 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数在上单调递增，. （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值，然后结合单调性可得解析式； （2）求出的解析式，然后换元，利用导数讨论其单调性，由单调性可得值域. 【小问1详解】 由题意可知，，解得或， 又在上单调递增，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，所以，当时，， 即， 令，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因， 所以时，，即函数的值域为. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知恰好满足下面四个条件中的三个：①，②，③，④. （1）问满足的是哪三个条件？请列举出来，并说明理由； （2）求的面积. 【答案】（1）①③④ （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，即可得到条件①和②不可能同时满足，再由③和④确定①满足； （2）由余弦定理可得，再由三角形的面积公式即可得到结果． 【小问1详解】 满足的条件是①③④； 若，则， 若，则， 由，则条件①和②不可能同时满足， 故③和④都满足，由， 不可能为钝角，从而条件②不能满足， 故满足的条件是①③④. 【小问2详解】 由（1）可得， 由余弦定理， ，化简得， 解得：或（舍去）， 的面积为：． 17. 已知复数，，其中为虚数单位，. （1）若是实数，求的值； （2）设复数，对应的向量分别是，，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算结合三角恒等变换计算即可； （2）利用复数与向量的对应关系结合向量的数量积公式、同角三角函数的基本关系计算即可. 【小问1详解】 因是实数， 则，即，又，，则，即， 此时； 【小问2详解】 由题意可知， 则，， 因为， 所以 ， 即， 又因为，所以，故则， 所以 18. 已知数列前项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足 （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）设，问是否存在正整数，使得？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）答案见解析； （ⅱ）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用并验证的情况来求的通项公式； （2）（i）根据奇偶性分别讨论求的前项和； （ii）分为奇数和偶数两种情况讨论，并求解不等式. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 化简得：， 当时，，所以； 【小问2详解】 （ⅰ）当时： ，， ， ， 因为，所以， 当时： ； . （ⅱ）当时： ， 计算（，）： 所以；​ 所以当时，单调递增；   所以当时，， 当时， ， 当时，， 当时： ， 计算（，）： ， 因为（），所以，  所以当时，单调递减，  所以， 由，解得，此时. 19. 已知函数，. （1）若函数过点，求函数在点的切线方程； （2）若函数在上为单调递增函数，求的取值范围； （3）设，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据函数过点求出的值，确定函数的解析式，利用导数的几何意义，可求函数在点的切线方程. （2）先把问题转化成在上恒成立，再分离参数，利用基本不等式求参数的取值范围. （3）构造函数，利用（2）的结论，比较函数值的大小即可. 【小问1详解】 由，得. 所以，. 所以，. 所以函数在点的切线方程为即. 【小问2详解】 因为，. 所以，. 因为函数在上为单调递增函数，所以在上恒成立， 所以，. 又因为，当且仅当时取等号，所以. 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 设，则不等式可化为，. 两边取对数得，则，. 由（2）可知：当时，在上为单调递增函数，且. 所以当时，即成立. 所以原不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025/2026学年度第一学期七校联盟第二次学情检测 高三数学试题 2025.10 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷； 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分； 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知命题，，则（ ） A. ，，且是真命题 B. ，，且是真命题 C. ，，且是假命题 D. ，，且是假命题 3. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 为了解决大尺度问题的压缩，物理学家、地震学家里克特设计了一种度量方式：里克特震级，简称里氏震级，后来经同行古登堡的改进和完善，得到了震级的计算公式，其中是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅，并通过研究得出了地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系，.请问10.0级地震释放的能量是6.0级地震的约多少倍？（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. “，为正数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若对任意实数，函数在上至少有五个不同零点，则的最小值为（ ） A B. C. D. 8. 函数为偶函数，且满足对均有，对满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为“下凹函数”.下列函数是下凹函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，函数（，，）在一个周期内的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数值域为 B. 函数的对称轴方程为 C. 是函数图象的一个对称中心 D. 函数的减区间是 11. 已知函数，则（ ） A. 是的极值点 B. 函数的图象是一中心对称图形 C. 函数存在零点 D. 总有 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知全集，集合，或，则集合________. 13. 已知函数，若的值域为，则实数的最小值为______. 14. 已知函数，，若恒成立，则的取值范围是____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数在上单调递增，. （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的值域. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知恰好满足下面四个条件中的三个：①，②，③，④. （1）问满足的是哪三个条件？请列举出来，并说明理由； （2）求的面积. 17. 已知复数，，其中为虚数单位，. （1）若是实数，求的值； （2）设复数，对应向量分别是，，若，求的值. 18. 已知数列的前项和，且. （1）求数列通项公式； （2）设数列满足 （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）设，问是否存在正整数，使得？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数，. （1）若函数过点，求函数在点的切线方程； （2）若函数在上为单调递增函数，求的取值范围； （3）设，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $