精品解析：四川省自贡市荣县荣县中学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

四川省荣县中学校2025-2026学年高三上10月月考 数学试题 一、单选题 1. 已知命题，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在性量词命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得： 命题的否定是． 故选：D 2. 复数，其中i为虚数单位，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数模的计算公式求解即得. 【详解】因为，则 故选：C 3. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】求函数在处的导数即可. 【详解】因为， 所以 曲线在点处的切线的斜率为． 故选：B 4. 已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的定义，写出通项公式，结合题意，可得答案. 【详解】由题意得，即，则． 故选：A． 5. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 7. 若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由恒成立，分离常数，利用基本不等式求得的取值范围. 【详解】依题意，即对任意恒成立， 即恒成立，因为（当且仅当时取“=”）， 所以. 故选：D 8. 已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答. 【详解】取的中点，连接，因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有， 又是等边三角形，则，从而为二面角的平面角，即， 显然平面，于是平面，又平面， 因此平面平面，显然平面平面， 直线平面，则直线在平面内的射影为直线， 从而为直线与平面所成角，令，则，在中，由余弦定理得： ， 由正弦定理得，即， 显然是锐角，， 所以直线与平面所成的角的正切为. 故选：C 二、多选题 9. 若．且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】结合基本不等式对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】，当且仅当时等号成立， 则或， 则， 即AB错误，D正确. 对于C选项，，C选项正确. 故选：CD 10. 随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据正态分布对称性得到A正确；BC选项，根据正态分布和二项分布求期望和方差公式求出答案；D选项，利用二项分布求概率公式进行求解. 【详解】A选项，根据正态分布的定义得，故A正确； B选项，，，故，故B正确； C选项，，，故，故C正确； D选项，，故D错误 故选：ABC． 11. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法计算可判断A错误，BC正确，对二项展开式两边同时求导并令计算可判断D错误. 【详解】对于A：令，则，故A错误； 对于B：令，则，故B正确； 对于C：令，则，故C正确； 对于D，由， 两边同时求导得， 令，则，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12. 已知向量，，若，则________，若，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平面向量共线以及垂直的坐标运算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，若，则； 若，则 故答案为:; 13. 函数在上的最大值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时， 故答案为：2 14. 对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知结合新定义及元素与集合的关系，利用不等式的性质可求． 【详解】由与都是集合的元素， 不妨设， 因为，所以， 由已知，所以，则， 又，所以，即， 所以， 所以，， 则，即， 因为，所以，则，即. 故答案为：． 四、解答题 15. 如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． （1）证明：直线直线; （2）求直线与平面所成的角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明垂直； （2）求出平面的法向量，利用线面角的公式可求答案. 【小问1详解】 不妨设，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， ,. ,因为，所以. 【小问2详解】 ，, 易知平面的一个法向量为, 设直线与平面所成的角为，则， 所以，即直线与平面所成的角的大小为. 16. 2021年，中国新能源汽车销售火爆，A省相关部门调查了该省2021年1月份至10月份的新能源汽车销量情况，得到一组样本数据（，）（i＝1，2，…，10），其中表示第i个月，表示第i个月A省新能源汽车的销量（单位：万辆），由样本数据的散点图可知，y与x具有线性相关关系，并将这10个月的数据作了初步处理，得到下面一些统计量的值： 1.5 89.1 385 15 （1）建立y关于x的线性回归方程，并估计A省12月份新能源汽车的销量； （2）为鼓励新能源汽车销售商积极参与调查，A省汽车行业协会针对新能源汽车销售商开展抽奖活动，所有费用由某新能源汽车厂商赞助．奖项共设一、二、三等奖三个奖项，其中一等奖、二等奖、三等奖分别奖励2万元、1万元、5千元，抽中一等奖、二等奖、三等奖的概率分别为，，．现有甲、乙两家汽车销售商参加了抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求这两家汽车销售商所获奖金总额X（单位：万元）的分布列及数学期望． 附：对于一组数据（，），（，），…，（，），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 【答案】（1），A省12月份新能源汽车的销量约为万辆 （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）根据直线回归方程求出，代入便可求出线性回归方程 （2）根据独立事件的概率计算方法算出两个参加抽奖车商的分布列，然后根据期望计算公式求出期望值. 小问1详解】 解：由题意得： ， 当时， 故A省12月份新能源汽车的销量约为万辆. 【小问2详解】 这两家汽车销售商所获得的奖金总额X（单位：万元）可取4，3，2.5，2，1.5，1； ,,, ,,, 分布列如下： X（单位：万元） 4 3 2.5 2 1.5 1 P 数学期望为： 17. 在△中，内角所对的边分别是，已知，，. （1）求的值； （2）求△的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解； （2）先用同角三角函数关系式求出，再用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由余弦定理可得 ，即， 解得， 【小问2详解】 ∵，且， ∴, 由得，, ∴. 故△的面积为. 18. 已知二阶行列式，三阶行列式，其中分别为的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）． （1）计算． （2）设函数． ①若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求； ②若且，函数，证明：． 【答案】（1）18 （2）① ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题设定义，即可求解； （2）根据题设定义，得到，（i）先利用极值点的定义，求得，进而有，即可求解；（ii）构造函数，利用导数与函数单调性间的关系得到，再构造函数，利用二次函数的性质得到的单调性，从而得到，即可求解. 【小问1详解】 原式 ． 【小问2详解】 ． （i）． 当或时，；当时，． 所以在和上是增函数，在上是减函数， 所以的极大值点为，极小值点为1． 因为的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0， 所以， 则公差，所以， 所以． （ii）因为， 所以在上无零点，在上存在唯一零点，且． 令， 则， 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以， 而，所以． 令，则． 因为在上单调递诚， 所以当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以， 而，所以． 综上，． 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 19. 已知函数，其中为自然对数的底，. （1）求证：； （2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求的取值集合，若不存在请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）令，其中，利用导数法可得出，再利用余弦函数的有界性以及不等式的基本性质可证得结论成立； （2）令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，验证对任意能否恒成立，综合可得出实数的取值集合. 【小问1详解】 证明：令，其中，则，. 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，即， 故对任意的，. 【小问2详解】 解：令，其中， 若存在实数，使得恒成立，则，其中， 令，令. 令. ①当时，由（1）可知，且不恒为零，、 此时，函数在上为增函数， 因为，所以，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，合乎题意； ②当时，，当时，， 当时，， 所以，函数在上为增函数， 因为，， 所以，存在，使得， 当时，，则函数在上单调递减， 则当时，，则函数在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递减， 故当时，，不合乎题意； ③当时，若，则存在，使得， 且当时，； 若时，可取，当时，. 因此，当时，函数在上为增函数， 当时，，所以，函数在上为增函数， 当时，，所以，函数在上为增函数， 故当时，，不合乎题意. 综上所述，存在，使得恒成立， 故实数的取值集合为. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省荣县中学校2025-2026学年高三上10月月考 数学试题 一、单选题 1. 已知命题，则为（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 2. 复数，其中i为虚数单位，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 3. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 5. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 8. 已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 若．且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即，，则（ ） A. B. C. D. 11. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知向量，，若，则________，若，则________． 13. 函数在上的最大值是______． 14. 对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则__________． 四、解答题 15. 如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． （1）证明：直线直线; （2）求直线与平面所成的角的大小． 16. 2021年，中国新能源汽车销售火爆，A省相关部门调查了该省2021年1月份至10月份的新能源汽车销量情况，得到一组样本数据（，）（i＝1，2，…，10），其中表示第i个月，表示第i个月A省新能源汽车的销量（单位：万辆），由样本数据的散点图可知，y与x具有线性相关关系，并将这10个月的数据作了初步处理，得到下面一些统计量的值： 1.5 89.1 385 15 （1）建立y关于x线性回归方程，并估计A省12月份新能源汽车的销量； （2）为鼓励新能源汽车销售商积极参与调查，A省汽车行业协会针对新能源汽车销售商开展抽奖活动，所有费用由某新能源汽车厂商赞助．奖项共设一、二、三等奖三个奖项，其中一等奖、二等奖、三等奖分别奖励2万元、1万元、5千元，抽中一等奖、二等奖、三等奖的概率分别为，，．现有甲、乙两家汽车销售商参加了抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求这两家汽车销售商所获奖金总额X（单位：万元）的分布列及数学期望． 附：对于一组数据（，），（，），…，（，），其回归直线斜率和截距的最小二乘估计分别为． 17. 在△中，内角所对的边分别是，已知，，. （1）求值； （2）求△的面积. 18. 已知二阶行列式，三阶行列式，其中分别为的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）． （1）计算． （2）设函数． ①若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求； ②若且，函数，证明：． 19. 已知函数，其中为自然对数的底，. （1）求证：； （2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求的取值集合，若不存在请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $