广西壮族自治区柳州市柳江中学2026-2027学年高二上学期10月自主练习数学试题

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D B D D C A A AD ABD BCD 12．或 13． 14． 15．（1）线段的中点，直线的斜率， 1分 则线段的中垂线方程为，即， 2分 由，解得，， 3分 因此圆的圆心，半径， 5分 所以圆的标准方程为； 6分 （2）当切线斜率不存在时，直线与圆相切，符合题意； 8分 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 9分 由，解得，因此方程为， 12分 所以经过点且与圆相切的直线方程为或． 13分 16．（1）记甲、乙、丙破译出密码分别为事件，，，则，，，且，，相互独立． 2分 三人都破译出密码的概率为． 5分 （2）密码被破译（至少一人破译出）的概率为． 10分 （3）设团队获一等奖为事件，即至少两人破译出密码，则 11分 13分 ． 15分 17．（1）因为，所以． 1分 在中，由正弦定理得：， 2分 展开得：，即． 3分 因为，得．又，故． 5分 （2）因为点是边的中点，由向量中线公式：， 6分 两边平方得：，即． 7分 因为，，由余弦定理得：， 8分 则，故．所以． 9分 因为，所以，即． 因为是锐角三角形，所以有，则． 10分 又， 则 11分 ． 12分 由，得，故， 所以，， 14分 故的长的取值范围为． 15分 18．（1）证明：因为，分别为，的中点，所以， 1分 又因为，所以，所以， 2分 因为，且，，平面， 3分 所以平面． 4分 （2）因为，，，所以，，两两垂直， 以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 5分 如图所示，可得，，，，，， 所以，，，， 6分 设平面的法向量为，则， 7分 取，可得，，所以， 8分 设直线与平面所成的角为，则， 9分 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 10分 （3）假设存在实数，使得平面和平面的夹角的正弦值为，即夹角的余弦值为， 由（2）得，所以 ，，， 由平面的一个法向量为， 12分 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 14分 则有， 15分 即，整理得，解得或，因为，所以， 所以存在，即，使得平面和平面的夹角的正弦值为． 17分 19．（1）由题意知，解得．∴椭圆的方程为； 4分 （2）①设，，直线的方程为． 5分 联立，得． 6分 ，由根与系数的关系得，． 7分 ． 8分 是关于轴的对称点，四边形的面积． 9分 当时，； 10分 ②当时，是关于轴的对称点，，的斜率之和为0， 11分 设直线的斜率为，则的斜率为，设直线， 代入椭圆方程，可得． 12分 ，将换为，可得． 13分 ，， 14分 ． 16分 故的斜率为定值． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高二（上）10月自主练习数学卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则等于（ ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的实轴长为2，且一条渐近线夹角为，则该双曲线的焦距为（ ） A． B． C．或 D．或 4．下列说法正确的有（ ） A．直线在轴上的截距为 B．过点且在，轴截距互为相反数的直线方程为 C．两条平行直线与之间的距离为 D．过点且与直线垂直的直线方程是 5．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于（ ） A． B． C． D． 6．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线，为垂足，则的中点所在曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 8．函数，对任意，，都有，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知曲线，则（ ） A．若曲线表示圆，则 B．若曲线表示椭圆，则 C．若曲线表示双曲线，则或 D．曲线不可能表示等轴双曲线 10．函数的部分图象如图所示，下列正确的是（ ） A．， B．函数的图象关于直线对称 C．函数为偶函数 D．若，则 11．已知圆，动圆的半径为1，其圆心在直线上，则（ ） A．若圆与圆相切，则 B．若圆与圆相交，则 C．若圆与圆相交于，两点，则的最大值为 D．过圆的圆心作圆的切线，切点为，，则直线恒过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是________． 13．已知实数，满足，则的最小值为________． 14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，直线与椭圆交于另一点，，，则椭圆的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知圆的圆心在直线上，且经过点，． （1）求圆的标准方程； （2）求经过点且与圆相切的直线方程． 16．（15分）甲乙丙三名同学独立破译一份密码，已知甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，丙能破译的概率为． （1）求三人都破译出密码的概率； （2）求密码被破译（至少一人破译出）的概率； （3）比赛规则：若至少两人破译出密码，则该团队获一等奖，求团队获一等奖的概率． 17．（15分）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，为边的中点，求线段的长的取值范围． 18．（17分）如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使平面与平面的夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分）已知是椭圆上的点，是关于轴的对称点，椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）A，B是椭圆上位于直线两侧的动点． ①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值． ②当A，B在运动过程中满足时，问直线的斜率是否为定值，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $