精品解析：云南省昭通市直中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题

昭通市市直中学2025年秋季学期高一年级第二次月考 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 设， 则“”是 的（ ）条件. A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 在上是增函数 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 10. （多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 11. 已知，则下列关于的说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 当时，的单调增区间为， C. 当时的值域 D. 当时，的值域为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集是_________． 13. 已知集合，则_____________ 14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，定义函数，则函数的最小值为_________；函数的图象与直线有无数个交点，则满足条件的m的取值范围为_________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）已知函数满足，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求的解析式． 16. 在①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.设全集，______， （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 17. 某公司研发了一款新型的洗衣液，其具有“强力去渍、快速去污”的效果.研发人员通过多次试验发现每投放克洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，且当水中洗衣液的浓度不低于16克/升时，才能够起到有效去污的作用.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和. （1）若一次投放4克的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ （2）如果第一次投放4克洗衣液，4分钟后再投放4克洗衣液，写出第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度（克/升）与时间（分钟）的函数关系式，其中表示第一次投放的时长，并判断接下来的4分钟是否能够持续有效去污. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为R，求实数m的取值范围； （2）当时，解关于x的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围． 19. 设，函数的定义域为．若对满足的任意，，均有，则称函数具有“性质”． （1）在上述条件下，判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）已知，且函数具有性质，求实数a的取值范围； （3）证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭通市市直中学2025年秋季学期高一年级第二次月考 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求集合，利用交集定义即可得解. 【详解】因为，， 由交集定义可得，. 故选：A. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式解决问题即可. 【详解】由全称命题的否定形式可知命题“”的否定为 “”. 故选：C. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据根号下的数非负以及分母不为零即可求出. 【详解】由题意得，则，故的定义域为， 故选：C． 4. 设， 则“”是 的（ ）条件. A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得的充要条件，然后即可判断. 【详解】由题意或， 而若，则有，所以肯定有或， 取，即满足或，但是不满足， 所以“”是的充分而不必要条件. 故选：A. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为在R上单调递增，所以，即， 又因为，又且在上单调递增， 所以，，所以. 故选：A. 6. 已知，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法求得函数解析式，进而求出函数的值域. 【详解】设，则，则， 因此，， 所以函数的值域为. 故选：C 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先保证每段函数都是增函数，再考虑断点处函数值的关系，解不等式组即可. 【详解】当时，函数单调递增，则，即； 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，函数单调递增，则， 由函数在上单调递增，有解得． 故选：C 8. 已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 在上是增函数 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，先令，可得，再令，可判断选项正误；对于B，令，结合定义域可判断选项正误；对于CD，设，令，根据题意比较、的大小即可判断上的单调性，再结合的奇偶性即可判断选项正误． 【详解】对于A，在中，令，得，解得，再令，得，解得，故A正确； 对于B，令，得，所以，又的定义域关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； 对于CD，设，则，所以， 所以，所以在上是增函数，因为是偶函数， 所以在上是减函数，从而，故C错误，D正确． 故选：C． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，若且，取，则，故A不正确； 对于B选项，若，则，所以，故B正确； 对于C选项，若且，则，则， 故，故C不正确； 对于D选项，， 故，故D正确. 10. （多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 故选：BD. 11. 已知，则下列关于的说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 当时，的单调增区间为， C. 当时的值域 D. 当时，的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的判定方法判断A的真假；结合函数的奇偶性与对勾函数的单调性判断B的真假；利用基本不等式，结合函数的奇偶性判断C的真假；求函数的值域判断D的真假. 【详解】对A：因为当时，函数定义域为；当时，函数定义域为；当时，函数定义域为， 且，所以当时，必为偶函数.故A正确； 对B：当时，为偶函数， 且当时，（当且仅当即时取“”）， 所以在上单调递增，在上单调递减. 又函数是偶函数，所以函数的单调递增区间为：，.故B错误； 对C：当时，为偶函数， 且当时，（当且仅当即时取“”）， 所以函数在上的值域为， 又，为偶函数，所以函数在上的值域为，故C正确； 对D：当，为偶函数， 且当时， 设，则在上单调递增，且当时，；当时，；当时，. 所以当时，； 又，为偶函数，所以函数的值域为，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点拨：判断函数的奇偶性，首先应该确定函数的定义域，观察定义域的特点，若函数的定义域关于原点对称，再进一步讨论与的关系，确定函数的奇偶性；若函数的定义域不关于原点对称，则函数时非奇非偶函数. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式转化为不等式组求解即可. 【详解】不等式化为，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 13. 已知集合，则_____________ 【答案】2 【解析】 【分析】分类讨论，分别令，结合元素互异性和，得到答案. 【详解】若，此时，与元素互异性矛盾，舍去； 若，此时，则，满足， 若，此时，此时不满足， 若，此时，此时不满足， 综上，. 故答案为：2 14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，定义函数，则函数的最小值为_________；函数的图象与直线有无数个交点，则满足条件的m的取值范围为_________． 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】利用“高斯函数”的定义，得出的图象，结合图象，即可求解. 【详解】当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，，， 依此，可得的图象如图所示， 由图知，函数的最小值为，的值域为， 所以函数的图象与直线有无数个交点，则. 故答案为：0； 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）已知函数满足，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求的解析式． 【答案】（1）（且）；（2） 【解析】 【分析】（1），代入的表达式求解即可； （2）直接采用待定系数法设，再比较系数列方程组求解即可． 【详解】（1）令（），则，所以，其中且， 所以，函数的解析式为（且）． （2）因为是二次函数，故设（）， 由可得，即， 又， 所以， 又因为，比较系数可得方程组，解得， 因此，的解析式为． 16. 在①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.设全集，______， （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1）或. （2）. 【解析】 【分析】（1）若选①：先求解出分式不等式以及一元二次不等式的解集分别为，然后根据补集和并集的运算求解出结果； 若选②：先求解出绝对值不等式以及一元二次不等式的解集分别为，然后根据补集和并集的运算求解出结果； （2）通过分类讨论确定，然后根据“”是“”的充分不必要条件列出对应不等式组完成计算即可. 【小问1详解】 若选①： 因为，所以， 所以，解得，所以， 又因为时，，解得， 所以或，或， 所以或. 若选②： 因为，所以， 所以，所以， 又因为时，，解得， 所以或，或， 所以或. 【小问2详解】 由（1）知，， 若，即，此时， 所以（等号不同时取），解得，即； 若，即，此时，不符合题意舍去； 若，即，此时， 所以（等号不同时取），解得，即； 综上所述，的取值范围是. 17. 某公司研发了一款新型的洗衣液，其具有“强力去渍、快速去污”的效果.研发人员通过多次试验发现每投放克洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，且当水中洗衣液的浓度不低于16克/升时，才能够起到有效去污的作用.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和. （1）若一次投放4克的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ （2）如果第一次投放4克洗衣液，4分钟后再投放4克洗衣液，写出第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度（克/升）与时间（分钟）的函数关系式，其中表示第一次投放的时长，并判断接下来的4分钟是否能够持续有效去污. 【答案】（1）4 （2），能够持续有效去污 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，分类讨论，列出不等式，即可求解； （2）根据题意，求得当时，，当时，，结合基本不等式求得最小值，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，由，解得； 当时，由，解得； 综上可得，所以一次投放4克的洗衣液，则有效去污时间可达4分钟. 【小问2详解】 由（1）知，当时，可得， 当时，可得， 综上所述， 当时，， 当且仅当即时，等号成立， 因为，所以接下来的4分钟能够持续有效去污. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为R，求实数m的取值范围； （2）当时，解关于x的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3） 【解析】 【分析】（1）分为，以及讨论，根据解集列出不等式组，求解即可得出答案； （2）原不等式可化为.先求解的解集，进而解出时，得出的解集.然后分为与，结合的范围得出两根的大小关系，进而得出答案； （3）不等式转化为，分离参数得出.换元，整理得出，进而根据基本不等式，得出，即可得出范围. 【小问1详解】 ①当，即时，原不等式化为， 解集为，不合题意； ②当，即时， 的解集为R，即的解集为R， 则应有． 即，解得. 综上，m的取值范围是. 【小问2详解】 由已知可得， 即，即. （i）当，即时，不等式化为，解得； （ⅱ）当时，有， 解可得，或. ①当，又可得，即时，有， 则解可得，或； ②当，有， 解可得，． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【小问3详解】 不等式，即， 即． 恒成立，. 设，，． ． ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以m的取值范围是． 19. 设，函数的定义域为．若对满足的任意，，均有，则称函数具有“性质”． （1）在上述条件下，判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）已知，且函数具有性质，求实数a的取值范围； （3）证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件． 【答案】（1） 因为对任意， ，符合定义； 因此，函数具有性质. （2）； （3） 充分性： 若函数为增函数，则对任意均有， 即，因此，对任意，若， 则，函数具有性质，充分性得证； 必要性： 若对任意，函数均具有性质， 假设函数不是增函数，则存在，满足，即， 而，故存在，使，且，即， 即对于，存在，但是， 与“对任意，函数均具有性质”矛盾，因此假设不成立， 即函数为增函数，必要性得证． 【解析】 【分析】（1）根据函数具有性质的条件进行判断即可； （2）原问题等价于当时，恒成立，即恒成立，得； （3）利用函数的单调性以及不等式的性质判断充分性，利用反证法判断必要性. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 显然，所以设， 则， 当时，取最小值， 原问题等价于当时，恒成立.，即恒成立， 由，可得，所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $