精品解析：江苏省沭阳如东实验学校2025-2026学年八年级上学期数学第一次月考卷

2025~2026学年度第一学期八年级阶段性练习 数学 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列说法正确的个数为（　　） （1）周长相等的两个三角形是全等三角形； （2）面积相等的两个三角形是全等三角形； （3）对应边、对应角都相等的两个三角形是全等三角形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角的角平分线分别相等 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质与判定，逐一进行判断即可． 【详解】（1）周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，故错误； （2）面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故错误； （3）对应边、对应角都相等的两个三角形是全等三角形，故正确； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角的角平分线分别相等，故正确； 故有（3）、（4）正确，选C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，解题关键在于基础知识扎实． 2. 满足下列哪种条件时，能判定与全等的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理判定即可． 【详解】A、边不是两角的夹边，不符合； B、角不是两边的夹角，不符合； C、角不是两边的夹角，不符合； D、符合能判定三角形全等； 仔细分析以上四个选项，只有D是正确的． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 3. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A. SSS B. SAS C. SSA D. ASA 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用．图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出， 所以，依据是ASA． 故选：D． 4. 如图，在中，，点D，E，F分别在边，上，且满足，，则∠FDE的度数为（　　） A. 75° B. 80° C. 65° D. 95° 【答案】C 【解析】 【分析】由，，利用三角形内角和为得，由得，再由，，利用得到，利用全等三角形对应角相等得到，利用三角形内角和即可得证． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 5. 如图，在四边形中，.不能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，分别添加选项进行排查，即可完成解答；注意BD是公用边这个条件. 【详解】解：A.若添加AB=CD,根据AB∥CD，则∠ABD=∠CDB，依据SAS可得△ABD≌△CDB，故A选项正确； B.若添加AD=BC,根据AB∥CD，则∠ADB=∠CBD，不能判定△ABD≌△CDB，故B选项错误； C.若添加，则四边形ABCD是平行四边形，能判定△ABD≌△CDB，故C选项正确； D.若添加∠A=∠C，根据AB∥CD，则∠ABD=∠CDB，且BD公用，能判定△ABD≌△CDB，故D选项正确； 故选B. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边. 6. 如图，已知AB＝AC，AD⊥BC，AE＝AF，图中共有（ ）对全等三角形. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查两个三角形全等的条件:两边夹一角(SAS),两角夹一边(ASA),两角对一边(AAS),三条边(SSS),HL. 【详解】7对.理由:根据全等三角形判定可知:△ABE≌△ACF；△ABD≌△ACD；△ABO≌△ACO；△AEO≌△AFO；△COE≌△BOF；△DCO≌△DBO；△BCE≌△CBF.故选C. 【点睛】本题考查全等三角形的判定，学生们熟练掌握判定的方法即可. 7. 如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形两底角相等的性质；根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据等腰三角形两底角相等得，然后根据两直线平行，同旁内角互补，建立等式即可求出与之间的数量关系. 【详解】解：∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴. 故选：B. 8. 如图：在等腰中，D、E分别为腰、边上的动点，，连接，以为边在内作等腰，使顶角，连接，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，度数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在上截取，连接，由题意得，，根据等腰三角形的性质得，，，进而证得，得，，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得，由三角形的内角和求得，进而求解即可． 【详解】解：在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 9. 如图，， ， 则 ____________ ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5 10. 如图，已知，增加下列条件：①；②；③；④；能判定的_____________。（填序号） 【答案】①、③、④ 【解析】 【分析】根据题干信息，结合全等三角形的判定方法进行依次分析判断即可． 【详解】解：因为∠ABC=∠DCB，BC=CB，①AB=CD，根据SAS可以判定△ABC≌△DCB． ②AC=DB，无法判断△ABC≌△DCB．③∠A=∠D，根据AAS可以判定△ABC≌△DCB． ④∠ACB=∠DBC，根据ASA可以判定△ABC≌△DCB． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 11. 如图，，垂足为，，点在上，，，依据以上条件可以判定，这种判定三角形全等的方法，可以简写为__． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平行线的性质和垂直定义证明，再得出，然后得出是利用证明两个三角形全等． 【详解】解：∵， ∴， ∵，为公共部分， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． 12. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为_______． 【答案】4 【解析】 【详解】如图，过点D作DE⊥BC于点E，当DP=DE时，DP最小， ∵BD⊥DC，∠A=90°， ∴∠DEB=∠DEC=90°=∠A，∠BDC=90°， ∴∠C+∠CDE=90°，∠CDE+∠BDE=90°， ∴∠BDE=∠C， 又∵∠ADB=∠C， ∴∠ADB=∠BDE， ∴在△ABD和△EBD中 ， ∴DE=AD=4， 即DP的最小值为4． 故答案为：4． 13. 中，，当________时，是等腰三角形． 【答案】、、 【解析】 【分析】运用分类讨论的数学思想，借助三角形的内角和定理求出的值，即可解决问题． 【详解】解：若为顶角，且， 则； 若为底角，且为底角， 则； 若为底角，且为顶角， 则，， 故答案为：、、． 【点睛】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是运用分类讨论的数学思想，借助三角形的内角和定理来逐一判断、解析． 14. △ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC=115°，则∠EAF=___________． 【答案】50° 【解析】 【分析】利用垂直平分线的性质求EA=EB，则∠B=∠EAG，FA=FC，则∠C=∠FAH，再利用三角形的内角和计算． 【详解】AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E，F， 所以：(1)EA=EB，则∠B=∠EAG， 设∠B=∠EAG=x度， (2)FA=FC，则∠C=∠FAH， 设∠C=∠FAH=y， 因为∠BAC=115°， 所以x+y+∠EAF=115°， 根据三角形内角和定理，x+y+x+y+∠EAF=180°， 解得∠EAF=50°. 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质. 15. 如图，中，于D，要使，若根据“”判定，还需要加条件_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据“斜边直角边”的理解可得答案． 【详解】当时， 在和中， ， ∴． 故答案为：． 16. 如图所示，△ABC≌△ADE，且∠DAE=55°，∠B=25°，则∠ACG=_______. 【答案】80° 【解析】 【分析】由△ABC≌△ADE可证明∠ACB=∠AED，∠B=∠D，根据三角形内角和可求出∠ACB的度数，进而求出∠ACG的度数即可. 【详解】∵△ABC≌△ADE， ∴∠ACB=∠AED，∠B=∠D=25°，∠DAE+∠CAB=55°， ∵∠CAB+∠ACB+∠B=180°， ∴∠ACB=100°， ∴∠ACG=80°. 故答案为80° 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边、对应角相等，找准对应边、对应角是解题关键. 17. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为48和36，求△EDF的面积________. 【答案】6 【解析】 【分析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求． 【详解】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF=DN， ∵DE=DG， ∴DG=DM， ∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL）， ∵DG=DM， DN⊥AC， ∴MN=NG， ∴△DMN≌△DNG， ∵△ADG和△AED的面积分别为48和36， ∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=48-36=12， ∴S△DEF=S△MDG=12=6， 故答案为：6 【点睛】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求是解题关键． 18. 如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，， 由三角形的外角性质得，即， 此情况不存在； 当时， ，， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，， ∴， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，， ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键． 三、解答题（本大题共有10题，共96分．） 19. 如图，已知△ABC≌△BAD，AC与BD相交于点O，求证：OC=OD． ​ 【答案】 证明：∵△ABC≌△BAD， ∴∠CAB=∠DBA，AC=BD， ∴OA=OB， ∴AC﹣OA=BD﹣OB， 即：OC=OD． 【解析】 【分析】由△ABC≌△BAD，根据全等三角形的性质得出∠CAB=∠DBA，AC=BD，利用等角对等边得到OA=OB，那么AC﹣OA=BD﹣OB，即：OC=OD． 【详解】略 20. 如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF． 【答案】 证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠FBE=∠2+∠FBE，即∠ABE=∠CBF 在△ABE与△CBF中， ∴△ABE≌△CBF（SAS）． 【解析】 【详解】略 21. 如图，P是内的一点，连接，，求证：． 【答案】 证明：如图，延长交于点D． 在中，根据“三角形两边之和大于第三边”有， 因为， 所以①， 在中，根据“三角形两边之和大于第三边”，有②， 将①和②相加，得：， 两边同时减去，得：， 因为， 所以．即． 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用． 根据“三角形两边之和大于第三边”得到、，相加得到，减去得到，根据即可证明． 【详解】略 22. 如图，，是上的一点，且，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】利用等角对等边，推出，再根据即可证明． 【详解】略 【点睛】此题考查直角三角形的判定、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，灵活运用全等三角形的判定解决问题． 23. 如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【答案】 证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，由平分可得，利用可证得，于是可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合，进而可得，由平分可得，利用可证得，于是可得，然后利用等量代换即可得出结论． 【详解】略 24. （1）如图①，已知线段，分别以A、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，过、两点作直线．在上取点，作射线，连接．判断与的大小关系，并说明理由． （2）如图②，点A、在直线的同侧，请用无刻度的直尺和圆规，在直线上作点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 (1) ． 理由如下：如下图， ∵由作图可知：直线l是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； (2)如图，P点为所作． 【解析】 【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，利用对顶角相等得到，即得； (2)作A点关于的对称点，连接交于P点，即得∠． 本题主要考查了尺规作图——复杂作图，解决问题的关键是熟练掌握基本作图，线段垂直平分线的性质． 【详解】(1)略 (2)作A点关于的对称点，连接交于P点，则P点为所作． 25. 如图，△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一点，且ME=MF. （1）求证：BE⊥AC； （2）若∠A＝50°，求∠FME的度数． 【答案】 （1）证明：∵CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点， ∴MF=BM=CM=BC， ∵ME=MF， ∴ME=BM=CM=BC， ∴∠MEB=∠MBE，∠MEC=∠MCE， ∵2∠MEB+2∠MEC=180°， ∴∠MEB+∠MEC=90°， ∴BE⊥AC； （2）80° 【解析】 【分析】 【详解】（1） 略 （2）解：∵∠A=50°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°， ∵ME=MF=BM=CM， ∴∠BMF+∠CME=（180°-2∠ABC）+（180°-2∠ACB） =360°-2（∠ABC+∠ACB） =360°-2×130° =100°， 在△MEF中，∠FME=180°-100°=80°． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，难点在于（2）中整体思想的利用． 26. 如图，点A，B，C在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交，于点M，P，交于点Q，连接，． （1）求证：； （2）有下列结论：①；②为等边三角形；③平分． 其中正确的有__________（填序号）并在你选择正确的序号中，选择一个进行证明． 【答案】（1） 证明：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴． （2） 证明：正确的有：①②③，证明过程如下： ∵由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴①正确； ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴②正确； ∵， ∴，， ∴点B到、的距离相等， ∴B点在的平分线上，即平分； ∴③正确； 故答案为：①②③． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得，，，进而得，即可得证； （2）由（1）得，得，由三角形外角的性质求证即可；证明，得，由等边三角形的判定求证即可；由，得，，由三角形面积公式得点B到、的距离相等，再由角平分线的判定求证即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、等边三角形的性质与判定、角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 27. 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． （1）如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．写出∠BAD，∠BAC和∠BAE之间的数量关系，并证明． （2）如图②，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点D、点E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME． （3）如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）解：∠BAD+∠BAC＝∠BAE， 理由如下：∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠CAE＝∠BAD， ∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC＝∠BAE； （2）证明：如图②，过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H， ∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠CAE＝∠BAD， 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∵AG⊥DM，AH⊥EM， ∴AG＝AH， ∵AG⊥DM，AH⊥EM， ∴AM平分∠BME． （3）∠B+∠C＝180°， 理由如下：如图③，延长 DC至点P，使DP＝AD， ∵∠ADP＝60°， ∴△ADP为等边三角形， ∴AD＝AP，∠DAP＝60°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝∠CAP， 在△BAD和△CAP中， ， ∴△BAD≌△CAP（SAS）， ∴∠B＝∠ACP， ∵∠ACD+∠ACP＝180°， ∴∠B+∠ACD＝180°． 【解析】 【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC＝∠DAE，进而得到∠CAE＝∠BAD，得到答案；（2）过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的对应高相等得到AG＝AH，根据角平分线的判定定理证明结论； （3）延长DC至点P，使DP＝AD，证明△BAD≌△CAP，得到∠B＝∠ACP，根据邻补角的定义证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，以及角平分线的判定，以及等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线并证明是本题关键． 【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题,如图1，，,是中线，求的取值范围． 28. 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 29. （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ①；②；③；④ 30. （3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证： 31. （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______． 【答案】（1）； （2）②③； （3）证明：如图3，延长至，使，连接， 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， 又，， ， ， ； （4）． 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论； （4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是中线， ， 又，， ， ，， ，， ， 为中线， ， ， ， 又， ， ，， ， 故答案为：②③； （3）略 （4）如图3，，， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：8． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期八年级阶段性练习 数学 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列说法正确的个数为（　　） （1）周长相等的两个三角形是全等三角形； （2）面积相等的两个三角形是全等三角形； （3）对应边、对应角都相等的两个三角形是全等三角形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角的角平分线分别相等 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 满足下列哪种条件时，能判定与全等的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A. SSS B. SAS C. SSA D. ASA 4. 如图，在中，，点D，E，F分别在边，上，且满足，，则∠FDE的度数为（　　） A. 75° B. 80° C. 65° D. 95° 5. 如图，在四边形中，.不能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知AB＝AC，AD⊥BC，AE＝AF，图中共有（ ）对全等三角形. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图：在等腰中，D、E分别为腰、边上的动点，，连接，以为边在内作等腰，使顶角，连接，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，度数（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 9. 如图，， ， 则 ____________ ． 10. 如图，已知，增加下列条件：①；②；③；④；能判定的_____________。（填序号） 11. 如图，，垂足为，，点在上，，，依据以上条件可以判定，这种判定三角形全等的方法，可以简写为__． 12. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为_______． 13. 中，，当________时，是等腰三角形． 14. △ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC=115°，则∠EAF=___________． 15. 如图，中，于D，要使，若根据“”判定，还需要加条件_______． 16. 如图所示，△ABC≌△ADE，且∠DAE=55°，∠B=25°，则∠ACG=_______. 17. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为48和36，求△EDF的面积________. 18. 如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________． 三、解答题（本大题共有10题，共96分．） 19. 如图，已知△ABC≌△BAD，AC与BD相交于点O，求证：OC=OD． ​ 20. 如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF． 21. 如图，P是内的一点，连接，，求证：． 22. 如图，，是上的一点，且，．求证：． 23. 如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 24. （1）如图①，已知线段，分别以A、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，过、两点作直线．在上取点，作射线，连接．判断与的大小关系，并说明理由． （2）如图②，点A、在直线的同侧，请用无刻度的直尺和圆规，在直线上作点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 25. 如图，△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一点，且ME=MF. （1）求证：BE⊥AC； （2）若∠A＝50°，求∠FME的度数． 26. 如图，点A，B，C在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交，于点M，P，交于点Q，连接，． （1）求证：； （2）有下列结论：①；②为等边三角形；③平分． 其中正确的有__________（填序号）并在你选择正确的序号中，选择一个进行证明． 27. 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． （1）如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．写出∠BAD，∠BAC和∠BAE之间的数量关系，并证明． （2）如图②，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点D、点E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME． （3）如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由． 【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题,如图1，，,是中线，求的取值范围． 28. 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 29. （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ①；②；③；④ 30. （3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证： 31. （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $