精品解析：广西梧州市普通高中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度高二年级上学期期中考 数学 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合一元二次不等式解法化简集合，根据并集的定义求结论. 【详解】不等式的解集为， 所以，又， 所以. 故选：C. 2. 若直线的倾斜角为则实数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线一般方程中倾斜角与斜率的关系可得. 【详解】由题意知，，则，解得. 故选：D. 3. 与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出椭圆方程，由短轴长求出，求出双曲线的焦点坐标，进而求出，得到椭圆方程. 【详解】设椭圆方程为， 双曲线的焦点坐标为， 又短轴长为2，故，解得：， 则，故椭圆方程为. 故选：C 4. 如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可. 【详解】因为E为CD的中点，则.因为D为AB的中点，则.所以. 故选：D. 5. 已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由，得到直线与平面的法向量垂直，得出，进而求得的值. 【详解】因为，所以，所以，解得． 故选：. 6. 在2024年梧州“半程马拉松”活动中，组委会将小明等四位志愿者分配到三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且小明不能被分配到场馆，则不同分配方案的种数是（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】分“小明单独一人执勤一个场馆”、“小明和另一个人一起执勤一个场馆”两种情况分析计算即可得解. 【详解】分两种情况：第一种情况，小明单独一人执勤一个场馆，共有种； 第二种情况，小明和另一个人一起执勤一个场馆，共有种. 综上，共有24种不同分配方案. 故选：A 7. 函数的部分图象如图，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则的单调减区间为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 【答案】C 【解析】 【分析】根据的图象，可求出的解析式，进而根据图象平移变换规律，可得到的解析式，然后求出单调增区间即可. 【详解】由的图象，可得，，即， 则，所以， 由，可得， 所以（），则（），又，所以，故. 将的图象向左平移个单位长度得到函数， 故函数， 令（），解得（）， 所以的单调递增区间为（）. 故选：C. 8. 已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的定义，确定周长最小时，的坐标，即可求出周长最小时，该三角形的面积． 【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，， 的周长为， 由于是定值，要使的周长最小，则最小，即、、共线， ，，直线的方程为， 即代入整理得， 解得或（舍），所以点的纵坐标为， . 故选：D. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 人均国内生产总值是人们了解和把握一个国家或地区的宏观经济运行状况的有效工具，即“人均GDP”，常作为发展经济学中衡量经济发展状况的指标，是最重要的宏观经济指标之一.在国家统计局的官网上可以查询到我国2013年至2022年人均国内生产总值（单位：元）的数据，如图所示，则（ ） A. 2013年至2022年人均国内生产总值逐年递增 B. 2013年至2022年人均国内生产总值的极差为42201 C. 这10年的人均国内生产总值的80%分位数是71828 D. 这10年的人均国内生产总值的增长量最小的是2020年 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图中数据和极差、百分位数、增长量的定义判断. 【详解】由图可知，2013年至2022年人均国内生产总值逐年递增，A正确；2013年至2022年人均国内生产总值的极差为85698-43497=42201，B正确；因为10×80%=8，所以这10年的人均国内生产总值的80%分位数是.C不正确；由图中数据分析可知，2020年人均同内生产总值的增长为71828-70078=1750（元），是这10年中增长量最小的，D正确. 故选：ABD. 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ） A. 某学生从中选2门课程学习，共有30种选法 B. 课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C. 课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，由分步、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可. 【详解】对于A，某学生从中选2门课程学习，共有种选法，故A错误； 对于B，课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有种排法，故B正确； 对于C，课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有种排法，故C错误； 对于D，课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，分两种情况： 若课程“礼”排在最后一周，有种排法， 若课程“礼”不排在最后一周，有种排法， 共有种排法，故D正确. 故选：BD. 11. 已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 为定值 D. 为钝角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由已知结合抛物线性质可得，解方程可得，判断A；对于B，由确定抛物线方程，设过点的动直线的方程为，联立抛物线方程，由韦达定理有，，结合弦长公式判断即可；对于C，结合抛物线定义、韦达定理即可判断；对于D，只需判断是否成立即可. 【详解】对于A，因为抛物线的焦点为， 所以，所以， A错误；   对于B，因为，所以抛物线的方程为， 若直线的斜率为，直线的方程为， 直线与抛物线只有一个交点，交点坐标为，与已知矛盾， 故可设过点的动直线的方程为， 代入得，， 方程的判别式， 设，，则，， 则， 由得，，解得， 所以，B正确； 对于C，， 所以为定值，C正确； 对于D，因为， 所以， 所以为钝角，D正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算_____． 【答案】120 【解析】 【详解】试题分析：． 考点：组合及组合数公式． 13. 若圆和圆恰有三条公切线，则实数____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两圆之间的位置关系可知两圆恰有三条公切线时两圆外切，由圆心距等于两半径之和即可求得. 【详解】根据圆与圆的位置关系可知， 两圆恰有三条公切线时当且仅当两圆外切，所以圆心距等于两圆半径之和， 易知圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径； 即可得，得． 故答案为： 14. 在正四棱柱中，已知，，则点到平面的距离为______；以A为球心，2为半径的球面与该棱柱表面的交线的总长度为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空1：利用等体积法球点到面的距离；空2：由题意可知：球A仅与平面、平面、平面和平面相交，分别分析球A与各面交线的形状，运算求解即可. 【详解】空1：由题意可得：， 因为平面，平面，可得， 设点到平面的距离为d, 因为，则，解得， 即点到平面的距离为； 空2：由题意可知：球A仅与平面、平面、平面和平面相交， 因为，此时球A与平面的交线为半径为2的圆的， 则交线的长度为； 设球A与棱的交点为，即，可得， 则， 且为锐角，则，即， 所以球A与平面的交线为半径为2的圆的， 则交线的长度为； 同理可得：球A与平面的交线的长度； 可知，所以球A与平面的交线为半径为的圆的， 则交线的长度为； 所以球面与该棱柱表面的交线的总长度为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 （1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解． （2）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若的面积为边上的高为1，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得，则得到的大小； （2）利用三角形面积公式得，再结合余弦定理得的值，则得到其周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，得， 即，即. 因为在中，， 所以. 又因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，得. 由，即， 所以.由余弦定理，得，即， 化简得，所以，即， 所以的周长为. 16. 近年来，中学生的体质健康情况成了网络上的一个热门话题，各地教育部门也采取了相关的措施，旨在提升中学生的体质健康，其中一项便是增加中学生一天中的体育活动时间．某地区中学生的日均体育活动时间均落在区间内，为了了解该地区中学生的日均体育活动时间，研究人员随机抽取了名中学生进行调查，所得数据统计如下图所示． （1）求的值以及该地区中学生日均体育活动时间的平均数； （2）求这人日均体育活动时间不少于的人数； （3）现按比例进行分层抽样，从日均体育活动时间在和的中学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求至多有1人体育活动时间超过的概率． 【答案】（1）， （2）人 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率直方图的性质求解，并计算平均数； （2）利用频率直方图得出不少于的是两组，再利用频率直方图的性质计算求出人数； （3）先结合频率直方图计算出分层抽样在和中分别抽取的学生数，再利用组合公式计算概率． 【小问1详解】 频率分布直方图小矩形面积为1，即，解得， 所求平均数为：． 【小问2详解】 频率分布直方图中不少于的是两组， 这人日均体育活动时间不少于的人数为：人． 【小问3详解】 日均体育活动时间在和的中学生频率之比为， ，，则日均体育活动时间在和的中学生分别抽取4人和2人， 方法一：设从这6人中抽取3人，至多有1人体育活动时间超过为事件A，则 ， 至多有1人体育活动时间超过的概率为． 方法二：设从这6人中抽取3人，至多有1人体育活动时间超过为事件A， ， 至多有1人体育活动时间超过的概率为． 17. 如图，在以A、B、C、D为顶点的多面体中，四边形是边长为2的正方形.平面，，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）解法1：记线段的中点M，连接，. ，，且. 四边形为平行四边形，，. ，；，. 四边形为平行四边形，. 又面，面，面； 解法2：，面，面. 同理，，面，面. 又，面面. 又面， 面. （2）. 【解析】 【分析】（1）记线段的中点M，方法一：通过证明四边形为平行四边形，进而可得，即可证得结论；方法二：证明面面，进而证得结论. （2）以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系.分别求得法向量，通过，进而可求得正弦值. 【详解】（1）略 （2）以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， ，. 设平面的法向量为，则，. 令，则，. 为平面的一个法向量. 易得为平面的一个法向量. 设二面角的大小为，则. ，即二面角的正弦值为. 【点睛】本题考查线面平行证明，考查向量法求二面角，考查计算能力，属于基础题. 18. 已知在平面直角坐标系中平面内动点T满足.记动点T的轨迹为曲线E. （1）求曲线E方程，并说明是什么曲线； （2）已知直线过点. ①若直线与曲线E相切，求直线的方程； ②若直线与曲线E交于不同的两点.已知设直线的斜率分别是 问是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由； 【答案】（1）；是一个圆，圆心为，半径 （2）①或；②是， 【解析】 【分析】（1）设，由列出关于的等式，整理得解； （2）①讨论的斜率不存在和存在，分别求解，在斜率存在时，设直线的解析式为点斜式，利用圆心到直线的距离，求解即可；②设直线的解析式为点斜式，设直线与圆E的交点为，，，，直线和圆E联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到和，利用斜率公式求出，代入和，整理求解即可. 【小问1详解】 设，则，化简得． 是一个圆，圆心为，半径 ． 【小问2详解】 ①解：当的斜率不存在时，易得的方程为适合题意； 当的斜率存在时，设，即 由题设知：圆心到直线的距离，此时， 直线的方程为或； ②，联立，可得． 设，，，，则，， . 19. 已知椭圆 的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，离心率为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线与椭圆C交于A，B两点； ①若直线过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线过定点，且，在x轴上是否存在点使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出得解； （2）①把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出面积等式，最后求解的值；②把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为，通过这个等式转化为的函数，即可求解取值范围. 【小问1详解】 由椭圆的一个顶点为，可得，又离心率为，则， 所以由，即椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 ①直线过椭圆右焦点可得：，即， 所以由直线与椭圆C的标准方程联立方程组，消去得： ， 设两交点，则有， 所以， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 所以， 解得：或（舍去），即； ②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形， 由于直线过定点，且，可知直线方程为， 与椭圆联立方程组，消去得：， 由，且，解得， 设两交点，中点，则有，且， 所以， 即，整理得， 又因为，所以，当且仅当，即， 所以，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高二年级上学期期中考 数学 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若直线的倾斜角为则实数值为（ ） A. B. C. D. 3. 与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 在2024年梧州“半程马拉松”活动中，组委会将小明等四位志愿者分配到三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且小明不能被分配到场馆，则不同分配方案的种数是（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 7. 函数的部分图象如图，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则的单调减区间为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 8. 已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 人均国内生产总值是人们了解和把握一个国家或地区的宏观经济运行状况的有效工具，即“人均GDP”，常作为发展经济学中衡量经济发展状况的指标，是最重要的宏观经济指标之一.在国家统计局的官网上可以查询到我国2013年至2022年人均国内生产总值（单位：元）的数据，如图所示，则（ ） A. 2013年至2022年人均国内生产总值逐年递增 B. 2013年至2022年人均国内生产总值的极差为42201 C. 这10年的人均国内生产总值的80%分位数是71828 D. 这10年的人均国内生产总值的增长量最小的是2020年 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ） A. 某学生从中选2门课程学习，共有30种选法 B. 课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C. 课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法 11. 已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 为定值 D. 为钝角三角形 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算_____． 13. 若圆和圆恰有三条公切线，则实数____________． 14. 在正四棱柱中，已知，，则点到平面的距离为______；以A为球心，2为半径的球面与该棱柱表面的交线的总长度为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若的面积为边上的高为1，求的周长． 16. 近年来，中学生的体质健康情况成了网络上的一个热门话题，各地教育部门也采取了相关的措施，旨在提升中学生的体质健康，其中一项便是增加中学生一天中的体育活动时间．某地区中学生的日均体育活动时间均落在区间内，为了了解该地区中学生的日均体育活动时间，研究人员随机抽取了名中学生进行调查，所得数据统计如下图所示． （1）求的值以及该地区中学生日均体育活动时间的平均数； （2）求这人日均体育活动时间不少于的人数； （3）现按比例进行分层抽样，从日均体育活动时间在和的中学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求至多有1人体育活动时间超过的概率． 17. 如图，在以A、B、C、D为顶点的多面体中，四边形是边长为2的正方形.平面，，且. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 18. 已知在平面直角坐标系中平面内动点T满足.记动点T的轨迹为曲线E. （1）求曲线E方程，并说明是什么曲线； （2）已知直线过点. ①若直线与曲线E相切，求直线的方程； ②若直线与曲线E交于不同的两点.已知设直线的斜率分别是 问是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由； 19. 已知椭圆 的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，离心率为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线与椭圆C交于A，B两点； ①若直线过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线过定点，且，在x轴上是否存在点使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $