精品解析：广东省惠州市实验中学2025-2026学年高二上学期第一次阶段性考试（10月月考）数学试题

惠州市实验中学2025-2026学年高二年级上学期第一次阶段性考试试题（数学） 考试时长：120分钟满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选择项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，且，则（ ） A B. 1 C. D. 2 2. 已知在正四面体中，为棱的中点，为的重心，设，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量两两夹角均为60°，其模均为1，则＝（ ） A. 5 B. 6 C. D. 4. 已知，，，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知点.若直线与线段相交，则的范围是（ ） A B. C. D. 7. 已知点，在直线上存在一点P，使最小，则P点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 非零向量，，若，则 B 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线 10. 下列说法正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线必过定点 C 方程与方程表示同一条直线 D. 经过点，且在轴上截距相等的直线方程为 11. 已知方程，下面四个命题是真命题的是（ ） A. 当时，（*）表示一个圆 B. 当时，（*）的曲线关于直线对称 C. 当时，（*）的曲线具有中心对称性 D. 当时，的最大值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知，，则向量在向量上的投影向量是____________． 13. 直线经过点，且它的一个方向向量为，则直线的方程为______． 14. 在正方体中，点P是线段上的一点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，总计77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线;直线. （1）若，求实数的值; （2）若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程. 16. 已知点，求 （1）过点A，B且周长最小的圆的标准方程； （2）过点A，B且圆心在直线上的圆的标准方程. 17. 如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点． （1）证明，并求直线到直线的距离； （2）求点到平面的距离． 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是边长为的菱形．E，F分别为AB，PD的中点，． （1）求证：； （2）若四棱锥P-ABCD的体积为，求平面EFC与平面DFC的夹角． 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市实验中学2025-2026学年高二年级上学期第一次阶段性考试试题（数学） 考试时长：120分钟满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选择项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示计算可得. 【详解】由可得， 解得. 故选：A 2. 已知在正四面体中，为棱的中点，为的重心，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算可求得. 【详解】因为为的重心， 所以，因为为棱的中点， 所以， 则. 故选：C. 3. 已知空间向量两两夹角均为60°，其模均为1，则＝（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用向量模的公式计算得解. 【详解】解：由题得 . 故选：C 4. 已知，，，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，从而得到方程组，解得即可． 【详解】因为，，，且共面， 则存在实数满足，即， 所以，解得． 故选：B 5. 已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首项得，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，两角差的余弦公式即可得解. 【详解】由题意两直线均有斜率，所以， 若取，则有，但； 若，又， 所以，而， 综上所述，“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 6. 已知点.若直线与线段相交，则的范围是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求直线恒过的定点，再应用两点式求斜率，根据斜率范围求参即可. 【详解】直线恒过定点，又， 直线的斜率为，要使直线与线段有公共点，，解得. 故选：A. 7. 已知点，在直线上存在一点P，使最小，则P点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，点在直线的同侧，利用轴对称的性质求出点关于直线的对称点的坐标，可知直线与的交点就是所求的点，进而求得答案． 【详解】设为点关于直线的对称点， 则的中点为， 由轴对称的性质，可得，解得，即． 故直线的方程为，即， 由，解得， 即直线与交于点． 由于，故当点三点共线时， 即直线上的点与重合时，达到最小值， 故满足条件的点坐标为． 故选：C 8. 过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】D 【解析】 【分析】先求得横截距和纵截距，然后根据三角形面积列方程，解方程求得正确答案. 【详解】可化为①， 要使与两坐标轴能围成三角形，则且， 由①令得；令得， 依题意， ，所以或, 所以或， 设，则或， 则或 解得或， 即或， 即或， 所以这样的直线有条. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 非零向量，，若，则 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量垂直的定义可判断A的正误，根据四点共面的判断方法可判断B的正误，根据基底向量的条件可判断C的正误，根据三点共线的判断方法可判断D的正误. 【详解】对于A，对于非零向量，，若，则，正确； 对于B，若对空间中任意一点，有， ∵，∴，，，四点共面，故正确； 对于C，∵ ∴，，共面，不可以构成空间的一组基底，故错误； 对于D，若空间四个点，，，，， ∵，则，，三点共线，故正确． 故选：ABD． 10. 下列说法正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线必过定点 C. 方程与方程表示同一条直线 D. 经过点，且在轴上截距相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】A：先求斜率，然后根据求解出倾斜角；B：根据直线过定点列出关于的方程组，求解出结果即可知定点坐标；C：根据分式方程的特点作出判断即可；D：考虑直线的横纵截距是否为，由此分类讨论. 【详解】对于A：直线的斜率，所以倾斜角的正切值，所以，故正确； 对于B：因为直线，令，所以，所以直线过定点，故正确； 对于C：方程中，方程中，故错误； 对于D：当直线的横纵截距均为时，设直线方程，代入，解得， 当直线的横纵截距均不为时，设直线方程，代入，解得， 故所求直线方程为或，故错误； 故选：AB. 11. 已知方程，下面四个命题是真命题的是（ ） A. 当时，（*）表示一个圆 B. 当时，（*）的曲线关于直线对称 C. 当时，（*）的曲线具有中心对称性 D. 当时，的最大值为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，将代入（*）得，即可判断；对于B，将代入（*）得，将与交换位置判断即可；对于C，将代入（*）得，用待定系数法求解对称中心即可判断；对于D，将代入（*）得，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】对于A：当时，则方程为， 若，则方程化为，一条直线，故A不正确； 对于B：当时，则方程为， 即， 将与交换位置得，方程没有变化， 故方程（*）的曲线关于直线对称，故B正确； 对于C：当时，则方程为， 易知当时，（*）的曲线具有中心对称性， 当时，设（*）曲线的对称中心为，则， 展开得， 与对照得， 所以曲线关于点对称， 即（*）的曲线具有中心对称性，故C正确； 对于D：当时，方程化为， 则 ，当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值为1，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于D选项中式子的变形，要观察式子结构，巧妙选择基本不等式及其变形公式求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知，，则向量在向量上的投影向量是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义直接计算求解． 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故答案：． 13. 直线经过点，且它的一个方向向量为，则直线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点斜式求直线方程. 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为， 直线的方程为，即， 故答案为：. 14. 在正方体中，点P是线段上的一点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，代入空间线面角公式，分和再利用换元法结合二次函数的性质求出范围即可. 【详解】 设正方体的棱长为2， 以为原点建立空间直角坐标系，， 设， 则， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成的角为， 则， 当时，， 当时，， 设，， 所以， 综上，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键是能够利用空间线面角公式表示出所求角，再利用二次函数的性质求解. 四、解答题：本题共5小题，总计77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线;直线. （1）若，求实数的值; （2）若，且它们之间的距离为，求直线的斜截式方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由，得到，即可求解； （2）由，求得，再结合两平行线间的距离公式，求得的值即可求解. 【小问1详解】 由题意，直线，， 因为，可得，解得. 【小问2详解】 由直线，， 因为，可得，可得， 此时直线， 又由间距离为， 根据两平行线间的距离公式，可得，解得或. 所以直线的斜截式方程为或. 16. 已知点，求 （1）过点A，B且周长最小的圆的标准方程； （2）过点A，B且圆心在直线上的圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）所求的圆，即以AB为直径的圆，求出圆心和半径，可得结果； （2）解法一：求出的垂直平分线的方程是，又圆心在直线上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是，，可得圆的标准方程；解法二：利用待定系数法求解． 【小问1详解】 当为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小． 即的中点为圆心，半径， 则圆的标准方程为． 【小问2详解】 解法一：的斜率为，则的垂直平分线的方程是，即， 由圆心在直线上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是． ． 故所求圆的标准方程是． 解法二：待定系数法 设圆的标准方程为， 则 故所求圆的标准方程为． 17. 如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点． （1）证明，并求直线到直线的距离； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，证明，从而可得，利用空间点到直线的距离公式求出直线到直线的距离； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式求解． 【小问1详解】 以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，． 由上可知，，，故，故． ，设直线到直线的距离为，则即为到直线的距离， 又，，， ， 则直线到直线的距离为． 【小问2详解】 设平面的法向量为， 由（1）可知，，， 则即 令，则，所以． 设点到平面的距离为， ， 则点到平面的距离为． 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是边长为的菱形．E，F分别为AB，PD的中点，． （1）求证：； （2）若四棱锥P-ABCD的体积为，求平面EFC与平面DFC的夹角． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证得平面，进而求证平面，即可； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解． 【小问1详解】 平面平面， ， 平面， 平面，又平面，， 又平面 平面，又平面； 【小问2详解】 由（1）可知，又， ，底面为菱形，为的中点， ，是等边三角形， 由（1）知， 所以四棱锥的体积 ， 如图，以为原点，以为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， 平面法向量为， 设平面法向量为， 则 令，则 为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 故 ， 故平面与平面的夹角为． 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，，求的最大值； （3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存，和 【解析】 【分析】（1）代入和的公式，即可求解； （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式，结合余弦值，即可求解； （3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，即可判断直线方程. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形， 其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为． 【小问3详解】 易知，设，则 当时，，则，，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立，当且仅当时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条，和． 【点睛】关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $