精品解析：广东省惠州市第一中学2025-2026学年高二上学期第一次阶段考试数学试题

2027届高二上学期第一次阶段考考试试题 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间直角坐标系的定义求解． 【详解】点关于轴对称的点的坐标为. 故选：A. 2. 若异面直线的方向向量分别是，，设异面直线与的夹角为θ，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式计算求解即可. 【详解】∵，， ∴， ， 则. 故选：B. 3. 直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得直线的斜率以及倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率. 【详解】因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， 又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍， 所以直线的倾斜角为， 所以的斜率为， 故选：D. 4. 已知向量，，则向量 在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量，， 则，， 所以向量 在向量上的投影向量为. 故选：C. 5. 已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（ ） A. 1 B. C. 或 D. 2或1 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出直线在x轴和y轴上的截距，从而可得答案． 【详解】对于直线， 当时，不符合题意，故． 当时，；当时，， 所以直线在x轴和y轴上的截距分别为， 根据题意得，所以． 故选：A． 6. 直线过点与以为端点的线段有公共点， 则直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的倾斜角，直线的倾斜角，结合图形可得结果． 【详解】设直线倾斜角为，， 则，从而， 设直线的倾斜角为，， 则，从而， 要使直线与线段有公共点， 结合图形可知，直线倾斜角的范围是：， 故选：A. 7. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，分析即得解. 【详解】由题意可知， 因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以， 所以． 故选：D 8. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为 的平面的方程为 ，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量． 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线l的方向向量， 则，令，得， 则， 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知平面的一个法向量为，点在内，则下列点也在内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设为内的点，写出，再根据得方程，最后将点代入验证. 【详解】若为内点且与P不重合，则， 又平面的一个法向量为，则， 即，显然、不满足，、满足. 故选：BC 10. 如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. ，，，四点共面 B. 与所成角的大小为 C. 在线段上存在点，使得平面 D. 在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B选项，假设在线段上存在点，设，，利用坐标法验证线面垂直，可判断C选项；分别证明与上的所有点到平面的距离为定值，即可判断D选项. 【详解】以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，，，， 设， 则， 所以，解得， 故，即，，，四点共面，故A正确； 因为，， 所以， 所以与所成角的大小为，故B错误； 假设在线段上存在点，符合题意， 设（），则， 若平面，则，, 因为，， 所以，此方程组无解， 所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误； 因为，所以， 又平面，平面，所以平面， 故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值， 又的面积是定值， 所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D正确； 故选：AD. 11. 已知单位向量两两的夹角均为且．若空间向量满足，其中，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系(为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作，则下列说法正确的有（ ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 已知，则 D. 已知，则三棱锥的表面积 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知，利用向量的线性运算以及数量积运算进行求解． 【详解】对于A，，则， 可知，则，故A正确； 对于B， ， 因为且，则，所以，故B错误； 对于C，根据“仿射”坐标的定义可得， ，故C正确； 对于D，， ， ， ， 可得三棱锥是棱长为1的正四面体，其表面积，故D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与直线平行，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两条直线平行列方程，由此求得的值. 【详解】依题意可得，解得，当时，两条直线重合，故. 故答案为： 13. 已知点，若的夹角为锐角，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的夹角为锐角，可得，且不能同向共线解出即可得出． 【详解】，， 的夹角为锐角，，且不能同向共线． 解得，．则的取值范围为． 故答案为:． 14. 如图，木质正四棱锥模型，底面边长为，高为2．过点A作一个平面分别交于点，若，则的值为_______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】设，则，结合四点共面，从而得到，即可求得答案． 【详解】因为，所以， 设， 则 ， 因为四点共面，可设， 故， 即， 故， 则，解得， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的三顶点是，，，直线平行于，交，分别于，，且、分别是、的中点．求： （1）边上的高所在直线的方程． （2）直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)求出直线AB的斜率，再由边AB上的高所在直线过点C，借助直线的点斜式方程即可得解. (2)根据条件求出点E坐标，再结合即可求出直线的方程. 【小问1详解】 在中，，，，则直线AB的斜率为， 于是得边上的高所在直线斜率为，其方程为：，即， 所以边上的高所在直线的方程是：. 【小问2详解】 因直线平行于，则直线的斜率为，又边的中点在直线上， 于是得直线的方程为：，即， 所以直线的方程为. 16. 已知正方体中，M 为棱上的动点． （1）证明：平面平面； （2）求与所成角的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，从而平面，进而可证得结论； （2）以点D为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求与所成角的余弦值，进而可求得结果． 【小问1详解】 因为四边形为正方形，则， 在正方体中，平面， 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，故平面平面． 【小问2详解】 以点D为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为1，则， 设点，其中，则， 设与所成角为，其中， 所以， 因为，所以，可得， 又，可得， 所以与所成角的取值范围为． 17. 如图1，在中，，D、E两点分别在、上，使．现将沿折起得到四棱锥，在图2中． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量夹角公式求解即可． 【小问1详解】 在图1的中，， 所以，且， 因为，所以，则， 在中，，， 则， 在图2的中，， 满足，所以， 因为平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面，， 以点D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 可得为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，， 则， 所以， 因此，直线与平面所成角的余弦值为． 18. 在长方体中，点E，F分别在上，且. （1）求证：平面； （2）当时，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面得，又，可得平面，从而．由平面，得，又，可得平面，从而，进而可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式即可解决． 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以． 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 因平面，所以， 又因为平面， 所以平面． 【小问2详解】 以A为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图． 则， 所以，且是平面的一个法向量， ， 设平面的法向量为， 则，所以，令，得，则， 设平面与平面的夹角为， 所以， 则， 所以平面与平面的夹角的正弦值为． 19. 对于三维向量，定义“变换”：，其中.记. （1）若，求及； （2）已知， （i）求的值； （ii）将再经过次变换后，最小，求的最小值. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）505. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用定义求出，，进而求得及. （2）（i）设，列出方程组求出；（ii）由（i）可得，再通过变换，探讨最小值. 【小问1详解】 由，得，， 所以. 小问2详解】 （i）设，由，则有或， 当时，得，三式相加得，又，解得， 当时，也得，因此， 所以. （ii）设的三个分量为这三个数， 当时，的三个分量为这三个数，则； 当时，的三个分量为，则的三个分量为的三个分量为， 因此，由，得， 而，则任意的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于2， 于是的三个分量只能是三个数，的三个分量只能是三个数. 因此当时，；当时，， 所以的最小值为505. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高二上学期第一次阶段考考试试题 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若异面直线的方向向量分别是，，设异面直线与的夹角为θ，则等于（ ） A B. C. D. 3. 直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，则向量 在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（ ） A. 1 B. C. 或 D. 2或1 6. 直线过点与以为端点的线段有公共点， 则直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 或 7. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为 的平面的方程为 ，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知平面的一个法向量为，点在内，则下列点也在内的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. ，，，四点共面 B. 与所成角的大小为 C. 在线段上存在点，使得平面 D. 在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值 11. 已知单位向量两两夹角均为且．若空间向量满足，其中，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系(为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作，则下列说法正确的有（ ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 已知，则 D. 已知，则三棱锥的表面积 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与直线平行，则___________. 13. 已知点，若的夹角为锐角，则的取值范围为___________． 14. 如图，木质正四棱锥模型，底面边长为，高为2．过点A作一个平面分别交于点，若，则的值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的三顶点是，，，直线平行于，交，分别于，，且、分别是、的中点．求： （1）边上的高所在直线的方程． （2）直线的方程． 16. 已知正方体中，M 为棱上的动点． （1）证明：平面平面； （2）求与所成角的取值范围． 17. 如图1，在中，，D、E两点分别在、上，使．现将沿折起得到四棱锥，在图2中． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 18. 长方体中，点E，F分别在上，且. （1）求证：平面； （2）当时，求平面与平面的夹角的正弦值． 19. 对于三维向量，定义“变换”：，其中.记. （1）若，求及； （2）已知， （i）求的值； （ii）将再经过次变换后，最小，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $