精品解析：海南省文昌中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

2025—2026学年度第一学期高二第一次月考试题 数学 （满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1.答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置. 2.填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写.选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效.写在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为 A. B. C. D. 2. 椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点，则的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 14 D. 16 3. 若直线：与直线：平行，则＝（ ） A. B. 或3 C. D. 3 4. 现采用随机模拟的方式估计一运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离 7. 从点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 设为坐标原点，动点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若A，B互斥，则 B. 若A，B互斥，则 C. 若A，B独立，则 D. 若A，B独立，则 10. 已知圆，直线．则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1 C. 直线与圆有一个交点 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 11. 一个圆柱沿着轴截面截去一半，得到一个如图所示的几何体．已知四边形MNPQ是边长为2的正方形，点E为半圆弧上一动点（点E与点P，Q不重合），则（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 存在点E，使得 C. 当点E为上的三等分点时，二面角的正切值为 D. 当点E为的中点时，四棱锥外接球的体积为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为________. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为2，若直线与椭圆交于点M，满足，则离心率是________. 14. 如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两点，直线． （1）若直线经过点P，且，求直线的方程； （2）若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点，为的中点，解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离． 17. 甲、乙两人组成“龙队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求“龙队”在一轮活动中猜对成语的总数至少1个的概率； （2）若“龙队”在两轮活动中猜对成语的总数不少于3个，即可晋级.求“龙队”晋级的概率. 18. 如图甲，在矩形中，，为线段的中点，沿直线折起，使得，点为的中点，连接、，如图乙． （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点、使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由：若存在，求出点的位置． 19. 已知椭圆，，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设A，B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点M，N，且，证明：直线l过定点，并求出此定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期高二第一次月考试题 数学 （满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1.答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置. 2.填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写.选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效.写在试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设直线的倾斜角为，直线经过两点，所以， 即， 又因为， 所以 考点：直线的斜率与倾斜角 2. 椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点，则的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆方程可得参数的值，进而求出的值，根据椭圆的定义求焦点三角形的周长. 【详解】由椭圆可得，所以， 故的周长为. 故选：. 3. 若直线：与直线：平行，则＝（ ） A. B. 或3 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，系数满足的关系求的值即可. 【详解】因为两直线平行，所以： ， 所以或. 故选：B 4. 现采用随机模拟的方式估计一运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用随机模拟的方法以及古典概型的计算公式即可求解. 【详解】这三组表示三次投篮恰有两次命中， 所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为， 故选： 5. 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量法求解即可. 【详解】因为直三棱柱，所以底面， 又底面，所以，， 又因为，所以两两垂直， 以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B 6. 已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系. 【详解】根据题意，化简得圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 圆心距， 所以两圆内含． 故选：A 7. 从点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可知点在直线上，根据题意利用勾股定理求切线长，结合圆的性质求最小值. 【详解】圆的圆心为，半径， 点在直线上， 则圆心到直线的距离， 可知直线与圆相离， 设其中一个切点为A， 则切线长， 所以切线长的最小值为. 故选：C. 8. 设为坐标原点，动点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，因为轴，且，所以，又动点在圆上，所以，化简，得，即点的轨迹方程为；故选B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若A，B互斥，则 B. 若A，B互斥，则 C. 若A，B独立，则 D. 若A，B独立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据事件互斥和独立的概率公式以及概率的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，，所以A正确； 对于B，若互斥，则，所以B错误； 对于C，若独立，则， 所以，C正确； 对于D，，D正确， 故选：ACD. 10. 已知圆，直线．则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1 C. 直线与圆有一个交点 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 【答案】AD 【解析】 【分析】化简直线的方程为，可判定A正确；根据圆心到直线的距离，可判定B错误；根据点在圆内部，可判定C错误；根据两圆的位置关系，列出方程，求得的值，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为直线， 可得，令，解得， 所以直线恒过点点，所以A正确； 对于B中，由圆，可得圆心，半径为， 要使得圆上恰有四个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离，则满足， 当时，直线， 可得圆心到直线的距离为，所以B错误； 对于C中，因为直线恒过点点，设为点， 可得，所以点在圆内部， 所以直线圆圆有两个交点，所以C错误； 对于D中，因为圆，可得， 要使得圆与圆恰有三条公切线， 可得，即，解得，所以D正确. 故选：AD. 11. 一个圆柱沿着轴截面截去一半，得到一个如图所示的几何体．已知四边形MNPQ是边长为2的正方形，点E为半圆弧上一动点（点E与点P，Q不重合），则（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 存在点E，使得 C. 当点E为上的三等分点时，二面角的正切值为 D. 当点E为的中点时，四棱锥外接球的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】换顶点求体积可知，则取得最大值可求，故可判定选项A；从反推平面可得，故可判定选项B；利用二面角的平面角的作法，即可计算其正切值，故可判定选项C；利用补形法可将四棱锥补成三棱柱，即可求得外接球的体积，故可判定选项D. 【详解】，当E到平面距离最大值1时 取得最大值，故选项A正确； 若存在点E，使得，又，可得平面，继而可得 ，在直角三角形不可能，故选项B错误； 当点E为上的三等分点时，过作于，过作于, 则为二面角的平面角，（如图） 中，故选项C正确； 当点E为的中点时，可取的中点将四棱锥补成 三棱柱,则其外接球的半径为,（如图） 四棱锥外接球的体积为，故选项D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】直线，即， 所以这两条平行线之间的距离为. 故答案为： 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为2，若直线与椭圆交于点M，满足，则离心率是________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，结合椭圆的定义及离心率公式求解即可. 【详解】依题意，直线经过椭圆的左焦点，且， 由，得，则， 因此，所以离心率. 故答案为： 14. 如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据线面角条件得出点在以为顶点的圆锥侧面上，再结合点P在正方体表面上的限制，找出轨迹在正方体表面上的具体形状，最后分段计算轨迹长度并求和. 【详解】因为直线与平面所成的角为，所以点的轨迹在以为顶点，底面圆的半径为，高为1的圆锥的侧面上， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以点的轨迹如图所示， 则点的轨迹长为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两点，直线． （1）若直线经过点P，且，求直线的方程； （2）若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）易知直线的斜率为2，再根据结合直线经过点求解； （2）方法一：求得的中垂线方程，再由圆心C在直线l上，由求得圆心即可；方法二：根据圆C的圆心在直线l上，可设圆心C的坐标为，半径为r，再由P，Q两点在圆C上，代入圆的方程求解. 【小问1详解】 解：直线的斜率为2， 设直线的斜率为k，由，得，解得， 又直线经过点， 所以直线的方程为，即． 【小问2详解】 方法一：，所以的中垂线的斜率为， 又的中点为，所以的中垂线的方程为，即． 因为两点在圆C上，所以圆心C在的中垂线上， 又圆心C在直线l上，由得即圆心C的坐标为， 又圆C的半径， 所以圆C的方程为． 方法二：因为圆C的圆心在直线l上，所以可设圆心C的坐标为，半径为r， 所以圆C的方程为， 又P，Q两点在圆C上， 所以，解得 所以圆C的方程为． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点，为的中点，解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明:因为四棱锥中， 底面，底面，且底面是正方形， 所以两两垂直， 以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系， AI    则由题意可得，，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，取可得平面的一个法向量， 因为，又平面， 所以直线平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量，利用空间向量求解即可； （2）由点到面距离的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离. 17. 甲、乙两人组成“龙队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求“龙队”在一轮活动中猜对成语的总数至少1个的概率； （2）若“龙队”在两轮活动中猜对成语的总数不少于3个，即可晋级.求“龙队”晋级的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件“在一轮活动中甲猜对成语”，事件“在一轮活动中乙猜对成语”，事件“龙队在一轮活动中猜对成语的总数至少1个”，则事件与事件相互独立，且，，，由对立事件的概率公式及相互独立的概率公式即可求解； （2）设事件“在两轮活动中甲猜对个成语”，事件“在一轮活动中乙猜对个成语”， ，事件“龙队晋级”，则由题可知，且事件，，两两互斥，由对立事件的概率公式及相互独立的概率公式即可求解. 【小问1详解】 设事件“在一轮活动中甲猜对成语”，事件“在一轮活动中乙猜对成语”，事件“龙队在一轮活动中猜对成语的总数至少1个”， 则由题可知事件与事件相互独立，且，，， ∴，， ∴， 即“龙队”在一轮活动中猜对成语的总数至少1个的概率为. 【小问2详解】 设事件“在两轮活动中甲猜对个成语”，事件“在一轮活动中乙猜对个成语”， ，事件“龙队晋级”， 则由题可知，且事件，，两两互斥， ，，，， ∴， ∴ “龙队”晋级的概率为. 18. 如图甲，在矩形中，，为线段的中点，沿直线折起，使得，点为的中点，连接、，如图乙． （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点、使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由：若存在，求出点的位置． 【答案】（1）取线段的中点，连接， 在中，， ， 在中，， 由余弦定理可得：， ， 在中，， ， 因为，，，平面， 所以平面； （2）存在，点是线段的中点 【解析】 【分析】（1）取线段的中点可得，由余弦定理求出，根据勾股定理逆定理可得，结合以及线面垂直的判定定理即可得证； （2）以为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设的坐标为，，可求出平面的法向量，利用二面角的向量求法可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ， 平面的法向量， 在平面直角坐标系中，直线的方程为， 设的坐标为，， 则， 设平面的法向量为， ， 所以， 令，则， 由已知， 解之得：或9（舍去）， 所以点是线段的中点． 19. 已知椭圆，，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设A，B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点M，N，且，证明：直线l过定点，并求出此定点. 【答案】（1） （2） 证明：法一：由（1）知，设， 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程为，直线的方程为， 由，得， 由，得，即， 由，得， 由，得，即， 则， 因此直线的方程为，即， 所以直线过定点． 法二：由（1）知，设， 直线斜率分别为， 则，由，得， 于是，由，得， 设直线的方程为， 由，得， 由，得，解得， 则，， 则，解得， 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出，进而得到椭圆方程. （2）法一：设，直线的方程为，直线的方程为，分别联立椭圆方程，求出的坐标，得到直线的方程为，所以直线过定点；法二：设，求出，所以，设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由得到，由得到方程，求出，所以直线过定点. 【小问1详解】 由的最大值为3，得，由为椭圆上顶点时，为等边三角形， 得，联立解得，则， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $