精品解析：山西省大同市云冈区北京师范大学大同附属中学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

北师大大同附中2025-2026学年第一学期 初三年级第一次学情检测 （数学试卷） （试卷总分：120分 考试时长：120分钟） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列函数中是二次函数的是（　　） A. y=2x+1 B. C. y=- D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义进行判断． 【详解】解：A、该函数是一次函数，不是二次函数，故本选项错误； B、该函数是二次函数，故本选项正确； C、该函数是反比例函数，故本选项错误； D、该函数是三次函数，故本选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的定义．熟知一般地，形如（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键． 2. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根．把代入即可得出关于m的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：， 故选：B． 3. 如图，一个正方体的边长为，它的表面积为，则y与x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，这6个正方形的面积和就是该正方体的表面积． 【详解】解：∵正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形， ∴表面积． 故选：C． 【点睛】本题考查了列二次函数关系式，理解两个变量之间的关系是得出关系式的关键． 4. 将一元二次方程配方后可得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后两边同时，再根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故选C． 5. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 6. 等腰三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是（    ） A. 7 B. 10 C. 8 D. 10或8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系；解方程求出两根，由等腰三角形的定义得、、或、、，由三角形的三边关系，即可求解；理解等腰三角形的定义，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解： 解得：，， 三角形是等腰三角形， 、、或、、， ， 此种情况不存在； 三角形的三边为：、、， 三角形的周长为：， 故选：B． 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的取值范围是且， 故选：． 8. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解： A. 函数图形可得，则开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确；     B. 函数图形可得，则开口方向向下正确，顶点坐标为,故选项B正确； C. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选B． 9. 已知二次函数．下列说法： ①其图象的开口向下； ②其图象的对称轴为直线； ③其图象顶点坐标为； ④当时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的性质判定即可． 本题考查了抛物线的性质，正确掌握抛物线的对称性，增减性，顶点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而增减小， ∴①②③都是错误的，④是正确的， 故选：A． 10. 如图，二次函数的函数图象经过点，且与 轴交点的横坐标分别为 、，其中，，下列结论： ①； ②； ③； ④当时，；其中正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ② D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，不等式的性质，根据二次函数的图象和性质，由函数图象可得，，，根据函数图象可知，对称轴，可得，进行判断①和②，当，，可判断③，当，则，推出，根据题意，二次函数的函数图象经过点，可得，，得到，进行判断，即可． 【详解】解：由函数图象可得，，，对称轴， ∴， ∴， ∴①错误； 由函数图象可得，对称轴， ∴， ∴②错误； 由函数图象可知，当时，， ∴③错误； 由函数图象可知，当，， ∴， ∵二次函数的函数图象经过点， ∴当时，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴④正确； 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知a是方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， 即， ∴． 故答案为：． 12. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，根据一元二次方程的定义，可知且，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，且， 解得或， 解得：， ∴， 故答案为：． 13. 若，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据函数解析式的可得抛物线开口向下，对称轴为直线，根据3点与对称轴的距离求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为． ∵，∴当时，随的增大而减小． ∵， ∴， 故答案为：． 14. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 【答案】600 【解析】 【详解】解：∵﹣1.5＜0， ∴函数有最大值． ∴， 即飞机着陆后滑行600米才能停止， 故答案为：600． 15. 如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B，D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形ABCD为它的内接正方形．当抛物线是“美丽抛物线”时，________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质、正方形性质，新定义等，利用新定义的性质和二次函数的性质，即可得出答案． 【详解】解：抛物线的顶点A的坐标为，得点D的坐标为，将点D的坐标代入，得， 解得（舍去）， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共55分） 16. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（）利用配方法法求解即可； （）先移项，再提公因式，利用因式分解法求解即可； 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：配方得， 两边同时开平方得或， 解得，； 【小问2详解】 解：方程变形得， 因式分解得． ∴或． 解得，． 17. 清徐葡萄产于山西省太原市清徐县，这里素有“葡萄之乡”的美称．某超市经销某种清徐葡萄，中秋节前售价为每千克8元，中秋节后随着葡萄上市量的增加，该种清徐葡萄经过连续两次降价后，售价变为每千克6.48元．若两次降价的百分率相同，求这种清徐葡萄每次降价的百分率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这种清徐葡萄每次降价的百分率为．利用经过连续两次降价后的价格为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这种清徐葡萄每次降价的百分率为． 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：这种清徐葡萄每次降价的百分率为． 18. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． （1）请求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）怎样围才能使矩形场地的面积为？ 【答案】（1）； （2）为，为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确理解题中各量间的数量关系是解答本题的关键． （1）由，可求得矩形场地的宽，根据矩形的面积公式即可求得答案： （2）令，得到一元二次方程，求解可得答案； 【小问1详解】 解：由可知边所用篱笆为， ， ， 墙的长度不超过， ， ； 【小问2详解】 解：在中， 令，则， 解得（不合题意，舍去）， ， 当为为时，矩形场地的面积为； 19. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为． （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），其表达式是的形式．请根据所给的数据求出a，c的值． （2）求支柱的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）根据题意可知该抛物线经过点和点，据此利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求得到抛物线解析式，进而求出点N的纵坐标，从而可求出支柱的长度即可． 【小问1详解】 解：由题意得该抛物线经过点和点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得该抛物线解析式为， 在中，当时，， ∵， ∴支柱的长度为． 20. 阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 通过解一元二次方程分解某些二次三项式 我们把形如是常数，的多项式叫做关于的二次三项式．通过所学内容可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用一元二次方程的两个根，把某些二次三项式因式分解呢？ 设一元二次方程的两个实数根为，计算：． 下面是代数推理过程： 解：．即． 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，则可将二次三项式因式分解为，即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式因式分解． 任务： （1）已知是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，则将二次三项式因式分解的结果是______． （2）因式分解：______． （3）请用阅读内容中的方法，因式分解：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，因式分解，读懂题目根据题意写出因式分解即可得到答案； （1）结合题意分解因式即可得到答案； （2）先求出的两个根，再根据定义因式分解； （3）先求出的两个根，再根据定义因式分解． 【小问1详解】 解：由题意可得， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得， 解得，，， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：解：由题意可得， 解得， ， ∴，， ∴． 21. 综合与实践 “道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆安全行驶的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离，已知某汽车研发中心设计研发了一款新型汽车，模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行测试．数学小组的同学对测试的数据进行了收集、整理，发现开始刹车后行驶的距离与刹车后行驶的时间之间满足二次函数关系，函数图象如图所示，请根据以上信息，回答下列问题： （1）求关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）求汽车刹车后，行驶了多远； （3）若汽车司机行驶过程中发现正前方处停有一辆抛锚的车后，立刻刹车，问：该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？请说明理由． 【答案】（1） （2）汽车刹车后，行驶了 （3） 解：∵， ∴当时，汽车停下，此时该汽车行驶的距离为， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用等知识点， （1）利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式； （2）将代入（1）中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离； （3）求出（1）中函数的最大值，与比较，即可解决问题； 熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图可知二次函数的图象过原点，所以可设关于的函数解析式为， 将，代入，得 ， 解得， ∴关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴汽车刹车后，行驶了； 【小问3详解】 略 22. 项目化学习 项目主题：大同黄花的最优销售单价． 项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤： （1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为80元/千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 黄花销售单价（元/千克） … 92 96 100 104 108 … 每月销售数量（千克） … 880 840 800 760 720 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： （1）根据表中信息可知：该黄花每月的销售数量（千克）是黄花的销售单价（元/千克）的__________函数（选填“一次”或“二次”），与的函数关系式为__________； （2）若要使每月销售黄花获得的利润（元）最大，请通过计算说明黄花的最优销售单价，并求出最大利润． 【答案】（1）一次， （2）黄花的最优销售单价为130元/千克，最大利润为25000元 【解析】 【分析】本题二次函数的综合问题，求一次函数关系式，求二次函数的关系式，求二次函数的最值问题． （1）根据数据变化特点可知是一次函数，再将数值代入求出关系式即可； （2）求出利润的二次函数关系式，配方再讨论得出最值． 【小问1详解】 解：观察表格可知黄花每天的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数． 设一次函数关系式为，将点代入，得 ， 解得， 一次函数关系式为． 故答案为：一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意，得 ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 即当时，， 答：当黄花的单价为130元/千克，最大利润为25000元． 23. 综合与探究 如图，抛物线与轴相交于，两点，且经过点，点为抛物线与轴的交点． （1）求抛物线的解析式和点C的坐标； （2）若点为抛物线图象上的一点，，求点的坐标； （3）设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线解析式为，将，，代入得求出a、b、c的值，即可得出函数解析式，把代入解析式，求出，即可得出； （2）根据，得出，则或，即可求出点P的坐标； （3）先用待定系数法求出所在直线的函数解析式为，设，则，则，将其化简并化为顶点式，即可求出有最大值． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 将，，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 把代入得：， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴或， 把代入得：， 把代入得：， ∴或； 【小问3详解】 解：设所在直线的函数解析式为， 将，代入得： ，解得：， ∴所在直线的函数解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大大同附中2025-2026学年第一学期 初三年级第一次学情检测 （数学试卷） （试卷总分：120分 考试时长：120分钟） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列函数中是二次函数的是（　　） A. y=2x+1 B. C. y=- D. 2. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 3. 如图，一个正方体的边长为，它的表面积为，则y与x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 4. 将一元二次方程配方后可得方程为（ ） A. B. C. D. 5. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 6. 等腰三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是（    ） A. 7 B. 10 C. 8 D. 10或8 7. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A. B. C. D. 9. 已知二次函数．下列说法： ①其图象的开口向下； ②其图象的对称轴为直线； ③其图象顶点坐标为； ④当时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，二次函数的函数图象经过点，且与 轴交点的横坐标分别为 、，其中，，下列结论： ①； ②； ③； ④当时，；其中正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ② D. ④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知a是方程的一个实数根，则的值为______． 12. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 13. 若，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为________．（用“”连接） 14. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 15. 如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B，D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形ABCD为它的内接正方形．当抛物线是“美丽抛物线”时，________． 三、解答题（共55分） 16. 解方程： （1）． （2）． 17. 清徐葡萄产于山西省太原市清徐县，这里素有“葡萄之乡”的美称．某超市经销某种清徐葡萄，中秋节前售价为每千克8元，中秋节后随着葡萄上市量的增加，该种清徐葡萄经过连续两次降价后，售价变为每千克6.48元．若两次降价的百分率相同，求这种清徐葡萄每次降价的百分率． 18. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． （1）请求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）怎样围才能使矩形场地的面积为？ 19. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为． （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），其表达式是的形式．请根据所给的数据求出a，c的值． （2）求支柱的长度． 20. 阅读与思考 下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 通过解一元二次方程分解某些二次三项式 我们把形如是常数，的多项式叫做关于的二次三项式．通过所学内容可知，利用因式分解可解某些一元二次方程．反过来，是否可以利用一元二次方程的两个根，把某些二次三项式因式分解呢？ 设一元二次方程的两个实数根为，计算：． 下面是代数推理过程： 解：．即． 这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，则可将二次三项式因式分解为，即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式因式分解． 任务： （1）已知是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，则将二次三项式因式分解的结果是______． （2）因式分解：______． （3）请用阅读内容中的方法，因式分解：． 21. 综合与实践 “道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆安全行驶的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离，已知某汽车研发中心设计研发了一款新型汽车，模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行测试．数学小组的同学对测试的数据进行了收集、整理，发现开始刹车后行驶的距离与刹车后行驶的时间之间满足二次函数关系，函数图象如图所示，请根据以上信息，回答下列问题： （1）求关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）求汽车刹车后，行驶了多远； （3）若汽车司机行驶过程中发现正前方处停有一辆抛锚的车后，立刻刹车，问：该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？请说明理由． 22. 项目化学习 项目主题：大同黄花的最优销售单价． 项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤： （1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为80元/千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 黄花销售单价（元/千克） … 92 96 100 104 108 … 每月销售数量（千克） … 880 840 800 760 720 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： （1）根据表中信息可知：该黄花每月的销售数量（千克）是黄花的销售单价（元/千克）的__________函数（选填“一次”或“二次”），与的函数关系式为__________； （2）若要使每月销售黄花获得的利润（元）最大，请通过计算说明黄花的最优销售单价，并求出最大利润． 23. 综合与探究 如图，抛物线与轴相交于，两点，且经过点，点为抛物线与轴的交点． （1）求抛物线的解析式和点C的坐标； （2）若点为抛物线图象上的一点，，求点的坐标； （3）设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $