6.4 平行线（7大题型）（题型专练）数学苏科版2024七年级上册

6.4 平行线 题型一 识别三线八角 1．如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 2．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 3．如图，直线被直线所截，与交于点A，则图中共有同旁内角 对． 4．如图，在中，，过点B作三角形的边上的高，过D点作三角形的边上的高． （1）的同位角是 ． （2）的内错角是 ． （3）点B到直线的距离是线段 的长度． （4）点D到直线的距离是线段 的长度． 题型二 利用直尺、三角板画平行线 1．利用直尺和三角尺画平行线的道理是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．平行于同一直线的两条直线互相平行 2．过图中的点A画直线的垂线和平行线． 3．在如图所示的方格纸上 (1)过点画直线的平行线． (2)作交于点． 4．如图，在内部有一点． (1)过点画； (2)过点画； (3)直接写出与的夹角与的数量关系． 题型三 平面内直线的位置关系 1．在同一平面内，若，，则与的关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 2．已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（    ） A． B．分别与相交与相交或平行 C． D．分别与相交或平行 3．如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 4．如图，P是直线l外一点，若经过点P画4条互不重合的直线，与直线l相交的直线至少有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型四 平行线的判定 1．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180° 2．如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DF的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠4+∠2＝180° C．∠2＝∠3 D．∠A＝∠1 3．如图，点E在AB的延长线上，下列条件中能够判定AB∥CD的条件有（　　）①∠BAD+∠ABC＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠E+∠5＝∠ADC． A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 4．如图，下列条件中，能判断AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠DAB+∠ABC＝180° D．∠B＝∠D 题型一 平行线间的距离 1．如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点．若，，则平行线，之间的距离是（    ） A．2 B．4 C．6 D．14 2．如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而 .（填“增大”、“保持不变”或“减小”） 3．已知直线，，在同一平面内，且，与的距离为，与的距离为，则与的距离是 ． 4．如图，在直角三角形中，，，，，若点到的距离是1，求与之间的距离． 题型二 平行线的性质与判定 1．泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终为（　　） A．270° B．250° C．230° D．180° 2．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 3．如图，AB∥EF，∠C＝135°，∠D＝72°，则∠A+∠E等于（　　） A．27° B．30° C．17° D．24° 4．如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG+∠PMN＝∠GPM．其中正确的是 　 ． 题型三 根据平行线的性质求角度 1．如果与的两边分别平行，比的4倍少，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 2．如图，，直线l分别交于点平分，若，则的度数是 ． 3．如图，直线交于点分别平分，且． (1)判断是否平行，并说明理由； (2)若，求的度数． 4．综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 1．如图1，为射线上一点，， ．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 2．如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 3．在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为M，机械臂与轨道的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，=___________（用含α的式子表示）直接写出，无需证明． 4．如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题： ①，则___________； ②用等式表示、、之间的数量关系，并证明． (2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4 平行线 题型一 识别三线八角 1．如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了内错角的定义，正确记忆内错角的定义是解决本题的关键．根据内错角是在截线两旁，被截线之内的两角，内错角的边构成” “形作答． 【详解】解：的内错角是 故选：D． 2．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了同位角的定义，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 【详解】解：图①、②、④中，和在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角； 图③中，和的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选：C． 3．如图，直线被直线所截，与交于点A，则图中共有同旁内角 对． 【答案】 【分析】本题考查了同旁内角的含义．根据两直线被第三条直线所截，根据角位于两直线的中间，截线的同一侧是同旁内角，可得同旁内角． 【详解】解：根据同旁内角的定义可知， 图中共有对同旁内角， 故答案为： 4．如图，在中，，过点B作三角形的边上的高，过D点作三角形的边上的高． （1）的同位角是 ． （2）的内错角是 ． （3）点B到直线的距离是线段 的长度． （4）点D到直线的距离是线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查了同位角、内错角、点到直线的距离，熟练掌握基础概念是解题的关键． 根据同位角、内错角的概念，点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离可得答案． 【详解】解：的同位角是， 的内错角是， 点B到直线的距离是线段 的长度， 点D到直线的距离是线段 的长度， 故答案为：； ； ；． 题型二 利用直尺、三角板画平行线 1．利用直尺和三角尺画平行线的道理是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．平行于同一直线的两条直线互相平行 【答案】A 【分析】本题考查了利用直尺和三角尺画平行线，熟练掌握利用直尺和三角尺画平行线的方法是解题关键．利用直尺和三角尺画平行线时，通过固定三角尺的角度并沿直尺平移，确保形成的同位角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：利用直尺和三角尺画平行线时，通过固定三角尺的角度并沿直尺平移，确保形成的同位角相等， 所以利用直尺和三角尺画平行线的道理是同位角相等，两直线平行， 故选：A． 2．过图中的点A画直线的垂线和平行线． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了学生画平行线和画垂线的能力． 用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可； 把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过点沿三角板的直角边画直线即可． 【详解】解：过点A画直线的垂线和平行线如下图所示： 3．在如图所示的方格纸上 (1)过点画直线的平行线． (2)作交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查利用方格纸的网格特性以及平行线、垂线的作图．借助网格的“平行关系”来画平行线：利用方格纸的“垂直网格”(横线与竖线互相垂直)，结合“垂线的定义(两条直线相交成直角时，互相垂直)”作图． （1）观察直线的“走向”：看经过了多少个横向、纵向的格子，确定其斜率(或说倾斜规律)过点，按照的“走向”，沿着网格线画出直线，使得与的倾斜程度完全相同(即平行)； （2）观察直线的方向，找到与“成直角”的网格方向． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求， 利用格点特点，由于格点先向右平移个单位，再向下平移个单位得到点， 则把点进行同样的平移可得到格点，则直线； （2）如图所示，直线即为所求， 把线段逆时针旋转得到，再延长交于，则． 4．如图，在内部有一点． (1)过点画； (2)过点画； (3)直接写出与的夹角与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)与的夹角与的数量关系：，见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据平行线的定义画出图形； （2）利用平行线的定义画出图形； （3）利用平行线的性质证明可得结论． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求； （3）结论：与的夹角与的数量关系：． 理由：∵，， ∴， ∴． 题型三 平面内直线的位置关系 1．在同一平面内，若，，则与的关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查了平面内的两直线的位置关系，熟练掌握垂直和平行线的判定是解题关键．根据垂直的定义、平行线的判定即可得． 【详解】解：在同一平面内，若，则； 在同一平面内，若与相交但不垂直，则与相交但不垂直； 在同一平面内，若，则； 综上，在同一平面内，与的关系可能平行，也可能相交，还可能垂直， 故选：D． 2．已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（    ） A． B．分别与相交与相交或平行 C． D．分别与相交或平行 【答案】B 【分析】本题考查直线与直线的位置关系，利用直线平行或垂直的性质逐项判断即可． 【详解】A：，但反推回去不一定成立（如图1）； B：正确（如图2） C：，但反推回去不一定成立（如图3）； D：分别与相交或平行（如图4，除去均与平行及均与相交的直线恰好相互平行的情形）． 3．如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 【答案】B 【分析】本题主要考查了同一平面内两条直线的位置关系，掌握在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种情形是解题的关键． 根据在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种进行判断即可． 【详解】解：如图中，直线c和直线d的位置关系是相交． 故选：B． 4．如图，P是直线l外一点，若经过点P画4条互不重合的直线，与直线l相交的直线至少有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是平行公理（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）；解题的关键是利用平行公理，分析出过点的条直线中最多有条与直线平行，进而确定相交直线的最少数量． 【详解】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 过点的条直线中最多有条与直线平行，至少有条与直线相交． 故选C． 题型四 平行线的判定 1．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180° 【解答】解：当∠1＝∠3时，a∥b； 当∠4＝∠5时，a∥b； 当∠2+∠4＝180°时，a∥b． 故选：B． 2．如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DF的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠4+∠2＝180° C．∠2＝∠3 D．∠A＝∠1 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴EF∥AB， 故A符合题意； ∵∠4+∠2＝180°， ∴AC∥DF， 故B不符合题意； ∵∠2＝∠3， ∴AC∥DF， 故C不符合题意； ∵∠A＝∠1， ∴AC∥DF， 故D不符合题意； 故选：A． 3．如图，点E在AB的延长线上，下列条件中能够判定AB∥CD的条件有（　　）①∠BAD+∠ABC＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠E+∠5＝∠ADC． A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【解答】解：∵∠BAD+∠ABC＝180°， ∴BC∥AD， 故①不符合题意； ∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， 故②符合题意； ∵∠3＝∠4， ∴BC∥AD， 故③不符合题意； ∵∠E+∠5＝∠ADC，∠EDC+∠5＝∠ADC， ∴∠E＝∠EDC， ∴AB∥CD， 故④符合题意； 故选：B． 4．如图，下列条件中，能判断AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠DAB+∠ABC＝180° D．∠B＝∠D 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， 故①选项符合题意； ∵∠3＝∠4， ∴AD∥BC， 故②选项不符合题意； ∵∠DAB+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， 故③选项不符合题意； ∵∠B＝∠D，不能判定AB∥CD， 故④选项不符合题意； 故选：A． 题型一 平行线间的距离 1．如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点．若，，则平行线，之间的距离是（    ） A．2 B．4 C．6 D．14 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，平行线间的距离．利用数形结合的思想是解题关键． 根据题意可求出，再根据平行线间的距离的定义即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点， ∴平行线b，c之间的距离是6． 故选：C． 2．如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而 .（填“增大”、“保持不变”或“减小”） 【答案】保持不变 【分析】本题考查三角形的面积、平行线的性质，掌握三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等是解题的关键．根据三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等判断即可． 【详解】解：设平行线与之间的距离为，则， 而， ， 在点运动过程中，的面积随着的增大而保持不变． 故答案为：保持不变． 3．已知直线，，在同一平面内，且，与的距离为，与的距离为，则与的距离是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线间的距离，理解两平行线间的距离的概念是解题的关键；分两种情况考虑：当直线b位于两平行直线，之间时；当直线b位于两平行直线，外时；画出图形即可求解． 【详解】解：在直线上任取点A，过点A作于点C，交直线b于点B， ∵， ∴， ∴， 当直线b位于两平行直线，之间时，如图； ∴； 当直线b位于两平行直线，之外时，如图； 则； 综上，与的距离是或； 故答案为：或． 4．如图，在直角三角形中，，，，，若点到的距离是1，求与之间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，关键是掌握三角形的面积公式．根据三角形的面积和点到直线的距离解答即可． 【详解】解：因为在直角三角形中，，，，， 所以点到的距离， 因为， 所以与的距离是． 题型二 平行线的性质与判定 1．泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终为（　　） A．270° B．250° C．230° D．180° 【解答】解：过点B作BG∥AE， ∴∠BAE+∠ABG＝180°， ∵CD∥AE， ∴CD∥BG， ∴∠DCB+∠CBG＝180°， ∴∠BAE+∠ABG+∠DCB+∠CBG＝360°， 即∠DCB+∠CBA+∠BAE＝360°， ∵BA⊥AE， ∴∠BAE＝90°， ∴∠ABC+∠BCD＝270°， 故选：A． 2．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC ∴AB∥CD ∴①正确； 过点F作FP∥AB，HQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴FP∥AB∥HQ∥CD， 设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y ∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y， ∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣2y）＝3x+3y﹣180°， ∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°， ∴∠EHG≠2∠EFM ∴②错误； ∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°， ∴③错误； ∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①④． 故选：D． 3．如图，AB∥EF，∠C＝135°，∠D＝72°，则∠A+∠E等于（　　） A．27° B．30° C．17° D．24° 【解答】解：如图，作CM∥AB，DN∥EF， ∴∠A＝∠1，∠E＝∠4， ∵AB∥EF， ∴AB∥CM∥DN∥EF， ∴∠2+∠3＝180°， ∵∠1+∠2＝∠C＝135°，∠3+∠4＝∠D＝72°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝207°， ∴∠A+∠E＝∠1+∠4＝207°﹣（∠2+∠3）＝27°， 故选：A． 4．如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG+∠PMN＝∠GPM．其中正确的是 　 ． 【解答】解：∵△EGF，△MPN是直角三角形， ∴∠EGF＝∠MPN＝90°， ∵∠GPM＝180°﹣∠MPN＝180°﹣90°＝90°， ∴∠GPM＝∠EGF， ∴GE∥MP， ∴①正确； ∵∠GEF＝60°，∠EGF＝90°， ∴∠EFG＝30°， ∵∠EFG+∠EFN＝180°， ∴∠EFN＝150°； ∴②正确； 过点G作AB∥JK， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥JK， ∴∠KGN＝∠MNP＝45°，∠AEG＝∠EGK， ∵∠EGF＝90°＝∠EGK+∠KGN， ∴∠EGK＝45°， ∴∠AEG＝45°， ∵∠GEF＝60°， ∴∠BEF＝180°﹣∠AEG﹣∠GEF＝180°﹣45°﹣60°＝75°； ∴③错误； ∵∠MNP＝45°，∠MPN＝90°， ∴∠PMN＝180°﹣∠MNP﹣∠MPN＝180°﹣90°﹣45°＝45°； ∵∠AEG＝45°， ∴∠AEG+∠PMN＝45°+45°＝90°＝∠GPM； ∴④正确； 综上所述，正确的为：①②④； 故答案为：①②④． 题型三 根据平行线的性质求角度 1．如果与的两边分别平行，比的4倍少，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，难点在于熟记两边分别平行的两个角相等或互补，是易错题．根据两边分别平行的两个角相等或互补用表示出，然后列出方程求解即可． 【详解】解：与的两边分别平行， 或， ∵比的4倍少， 或， 解得或， ∴的度数是或． 故选：C． 2．如图，，直线l分别交于点平分，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 若两直线平行，则同旁内角互补，内错角相等，据此得角的等量关系，即可求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，直线交于点分别平分，且． (1)判断是否平行，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)； 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．（1）由角平分线定义可得，则可求得，从而可求得，即可判定； （2）由（1）可知，再根据，结合角的和差倍分进一步求解，然后根据两直线平行，内错角相等求得的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∵，平分， ∴， ∴， 又∵， ∴，代入， ∴， 解得：， 由（1）得， ∴． 故的度数为． 4．综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由：如图，过点作， ， ， ， ， 即． （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 1．如图1，为射线上一点，， ．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查平行线的判定以及性质，几何图中角度的计算问题． （1）根据角的和差关系得出，再根据同位角相等两直线平行即可证明． （2）如图，根据角的和差关系得出，根据平行线的性质得出，代入计算即可． （3）过点作，则，，由平行线的性质得出，由垂直的定义得出，然后分两种情况根据角度的和差关系计算即可． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：如图： 过点B作， ， ， ． ∵， ； （3）解：过点作， 则， ， 由（2）知， 则， ． ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，． 综上，的度数为或． 2．如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化，的度数为； (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：不发生变化，，理由为： 由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作， ，， ， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上，的度数为或． 3．在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为M，机械臂与轨道的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，=___________（用含α的式子表示）直接写出，无需证明． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论，熟知相关定理，根据题意正确添加辅助线是解题关键． （1）延长交于点E，根据得到，根据得到，即可证明； （2）分别过点P、Q作，根据得到，即可求出进而求出，根据求出，即可求出 【详解】（1）解：如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，分别过点P、Q作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 4．如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题： ①，则___________； ②用等式表示、、之间的数量关系，并证明． (2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质； （1）①直接根据平行线的性质求解即可； ②过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论； （2）过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论． 【详解】（1）解∶①如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶45； ②； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $