精品解析：四川省南充市南部县第二中学2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试卷

2025-2026学年度上八年级第一次阶段性学情诊断 数学试卷 满分150分时间120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 已知三角形的两边长分别为2，7，则第三边的长可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 2. 如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 长方形的对称性 D. 三角形具有稳定性 3. 如图，已知，则下列等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则以a，b为边的等腰三角形的周长为（ ） A. 10 B. 10或11 C. 11 D. 无法确定 5. 如图，D，E分别是的边的中点，则下列说法错误的是（　　） A. B. 是的中线 C. 是的中线 D. 的对边是 6. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（　　） A. ， B. C. D. 7. 如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ） A. 2.4 B. 5 C. 3 D. 4 8. 如图，，且，，，分别交于E、F两点，若，，，则的长为（ ） A. 12 B. 11 C. 8 D. 10 9. 如图，在中，，，是边上一点，若为直角三角形，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 10. 如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 已知三角形的三边长分别为1，x，9，则x的取值范围为_______________． 12. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，若的面积为6，则的面积为___________． 13. 如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠AFE＝_______°． 14. 小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则______． 15. 如图，已知中，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由A点向C点运动．当与全等时，点Q的速度为__________________． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．若，，且c为小于7的偶数，求的周长． 17. 如图，已知分别是的高和中线，， （1）求的长． （2）求的面积． 18. 如图，在中，，平分交于点E． （1）求的度数； （2）若于点D，．判断的形状，并说明理由． 19. 如图，已知B、E、C、F在同一条直线上，，，，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. 如图，在和中，点C在边上，交于点F．若，，，请探究与的数量关系． 21. 如图，是内部的一条射线．若于点于点． （1）证明：； （2）猜想三条线段的数量关系，并证明你的猜想． 22. 如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得． （1）求证：； （2）连接，若平分，平分，且，求的度数． 23. 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，，在射线上找一点A，过点A作于点A，交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C，规定． （1）_____（填“是”或“不是”）灵动三角形； （2）当为“灵动三角形”时，求的度数（不满足题意的情况解答时不用讨论）． 24. 在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种类型的方法是倍延中线． （1）如图1，是的中线，，，求的取值范围，我们可以延长到点，使，连接，易证，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ； （2）如图2，是的中线，点在边上，且，求证：； （3）如图3，在四边形中，，点E为AB中点，连接，，试猜想线段，，之间的关系，并予以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上八年级第一次阶段性学情诊断 数学试卷 满分150分时间120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 已知三角形的两边长分别为2，7，则第三边的长可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的三角形三边关系求出第三边的范围即可求解． 【详解】解：设第三边为x， 则，即， 故选：C． 2. 如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的依据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 长方形的对称性 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的依据是三角形具有稳定性． 故选：D． 3. 如图，已知，则下列等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的对应边，对应角相等进行推导即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴，即， 因此选项A、B、D的等式正确，不符合题意； 选项C的等式根据已知条件无法得出，故不正确，符合题意； 故选：C． 4. 已知，则以a，b为边的等腰三角形的周长为（ ） A. 10 B. 10或11 C. 11 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值和完全平方非负性的应用、等腰三角形的判定与性质．先根据绝对值和完全平方非负性的性质求出a、b的值，再讨论即可． 【详解】解：∵， ∴要使， 则，即， 以a，b为边的等腰三角形有两种情况： 当4为腰，3为底边时， ∵， ∴可以构成三角形， 这时，其周长为； 当3为腰，4为底边时， ∵， ∴可以构成三角形， 此时，三角形周长为； 综上，以a，b为边的等腰三角形的周长为10或11， 故选：B． 5. 如图，D，E分别是的边的中点，则下列说法错误的是（　　） A. B. 是的中线 C. 是的中线 D. 的对边是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中线、中位线的定义，在三角形中，从三角形的一个顶点到对边中点的线段叫三角形的中线；在三角形中，两边中点的连线叫作中位线． 根据中线、中位线的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．由D，E分别是的边的中点，即，故A正确，不符合题意； B、是的中线，故B选项说法正确，不符合题意； C、是的中线，故C选项说法正确，不符合题意； D、在中，的对边是，故D说法错误，符合题意． 故选：D． 6. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（　　） A. ， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和． 根据三角形内角和逐一计算，看是否有90度角即可． 【详解】解：A．，，则，是直角三角形，不符合题意； B．，则，，即，解得，则，，是直角三角形，不符合题意； C．，则，是直角三角形，不符合题意； D．，即，解得，则，，不是直角三角形，符合题意； 故选：D 7. 如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ） A. 2.4 B. 5 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故选：A． 8. 如图，，且，，，分别交于E、F两点，若，，，则的长为（ ） A. 12 B. 11 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟记相关结论是解题关键．根据题意证明出，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，    由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵． 故选：C． 9. 如图，在中，，，是边上一点，若为直角三角形，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角的和与差，三角形的内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据为直角三角形可得或，分两种情况讨论，根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵为直角三角形 ∴或， ①当时，如图所示， ∵，， ∴， ∴； ②当时，如图所示， 则， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或． 故选：C． 10. 如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意逐个证明即可，①只要证明，即可证明; ②利用三角形的外角性质即可证明; ④作于，于,再证明即可证明平分. 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴，①正确； ∴， 由三角形的外角性质得： ∴°，②正确； 作于，于，如图所示 则°， 在和中，， ∴， ∴， ∴平分，④正确； 正确的个数有3个； 故选B． 【点睛】本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，角相等. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 已知三角形的三边长分别为1，x，9，则x的取值范围为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，利用三角形“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的边长关系即可求解． 【详解】解：由题可知：， 即， 故答案为：． 12. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，若的面积为6，则的面积为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分是解题的关键． 先根据三角形的中线的性质求得的面积，再根据三角形中线的性质即可求得的面积． 【详解】解：∵是的中点，的面积为6， ∴的面积为， ∵是边上的中线， ∴的面积等于的面积12． 故答案为：12． 13. 如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠AFE＝_______°． 【答案】85 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC＝25°，再根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠ACB＝105°， ∴∠BAC＝25°， ∵∠CAD＝10°，∠B＝50°， ∴∠AFE＝∠BAD+∠B＝∠BAC+∠CAD+∠B＝25°+10°+50°＝85°， 故答案为：85． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键． 14. 小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形内角和定理得到，，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：如图． ∵，，， ∴ ． 故答案为：． 15. 如图，已知中，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上由A点向C点运动．当与全等时，点Q的速度为__________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形性质，分两种情况讨论求解即可，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，点为的中点， ∴， ， 设点，的运动时间为， 则，， ①当时，， 解得：， 则，， 故点的运动速度为， ②当时，，则， ∵， ∴， ∴， 故点的运动速度为， ∴点Q的速度为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．若，，且c为小于7的偶数，求的周长． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系．利用三角形三边关系求出c的范围，再根据c是小于7的偶数求出其数值，利用三角形周长公式即可求解． 【详解】解：由三角形的三边关系可知：，即， ∵c是小于7的偶数， ∴， ∴三角形的周长为． 17. 如图，已知分别是的高和中线，， （1）求的长． （2）求的面积． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的中线和高线、三角形的面积等知识点，熟练掌握三角形的中线和高线的定义和性质是解题的关键： （1）用等面积法求解即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积即可求解． 【小问1详解】 解：∵，是的高， ∴，即， 解得：． 【小问2详解】 解：∵，是的中线， ∴． 18. 如图，在中，，平分交于点E． （1）求的度数； （2）若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ． ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案． 【小问1详解】 解：， ， 平分， ， ； 【小问2详解】 略 19. 如图，已知B、E、C、F在同一条直线上，，，，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， 即， 在和中，， ； （2）60° 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由得，根据平行线的性质求出，然后根据可证明； （2）根据全等三角形的性质求出，由三角形内角和定理可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ． 20. 如图，在和中，点C在边上，交于点F．若，，，请探究与的数量关系． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用证得，从而推出，然后利用三角形外角的定义与性质即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 21. 如图，是内部的一条射线．若于点于点． （1）证明：； （2）猜想三条线段的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）利用同角的余角相等证明即可； （2）证明，再利用即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 22. 如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得． （1）求证：； （2）连接，若平分，平分，且，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵E为中点， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据两直线平行内错角相等，利用即可证明； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质可推出，，然后根据三角形内角和定理即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分，，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 23. 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，，在射线上找一点A，过点A作于点A，交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C，规定． （1）_____（填“是”或“不是”）灵动三角形； （2）当为“灵动三角形”时，求的度数（不满足题意的情况解答时不用讨论）． 【答案】（1）是 （2）或或 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，新定义问题，准确理解新定义，灵活运用分类思想是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理求得，根据“灵动三角形”的定义即可得到答案； （2）分三种情况讨论，①当，②当，③当，利用三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴是“灵动三角形”． 故答案为：是． 【小问2详解】 解：①当时， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当时， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴； ③当时， 由（1）可知，， ∵ ∴， ∴， ∴； 综上所述，满足条件的值为或或． 24. 在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种类型的方法是倍延中线． （1）如图1，是的中线，，，求的取值范围，我们可以延长到点，使，连接，易证，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ； （2）如图2，是的中线，点在边上，且，求证：； （3）如图3，在四边形中，，点E为AB中点，连接，，试猜想线段，，之间的关系，并予以证明． 【答案】（1） （2） 证明：如图2中，延长到，使，连接． 同法可证， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）， 理由：如图3中，延长交的延长线于点． ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长到点，使，连接．证明，推出，再根据，可得结论； （2）如图2中，延长到，使得，连接．由，推出，，推出，再证明，可得结论； （3）结论：．如图3中，延长交的延长线于点．利用全等三角形的性质证明，，可得结论． 【小问1详解】 解：如图1中，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，倍长中线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $