第一章 有理数 习题课件 2025-2026学年冀教版（2024）数学七年级上册

第一章 有理数 1.5 有理数的加法 第1课时 有理数的加法法则 1 1. 下列运算正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 基础提优题 2 2. 魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章 算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别 表示正数和负数（白色为正，黑色为负），图①表示的是 的计算过程，则图②表示的计算过程 是 ( ) ① ② A. B. C. D. D 返回 基础提优题 3 3. 某探测器所在的海拔高度是 米，在它的上方15米处有 一只海豚，则海豚所在的海拔高度是( ) B A. 米 B. 米 C. 15米 D. 45米 返回 基础提优题 4 4. 有理数， 的对应点在数轴上的位置如图所示，则下列关 系中正确的有( ) ；； ； ；； . C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 基础提优题 5 【点拨】，，， 的对应点在数轴上的位置如图所示， 由图可知，且 ，所以 ，，， ，所以正 确的有③④⑤，共3个. 返回 基础提优题 6 5. 若，，且 ，则 _________. 或 【点拨】因为，，所以， .因 为,所以，.当， 时， ；当， 时， .综上，可得或 . 返回 基础提优题 7 6. 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 基础提优题 8 7. ［2025石家庄长安区月考］关于“三个有理数的和为0”这 个话题，甲、乙、丙、丁四位同学发表了下列说法： 甲：这三个有理数可能都是0； 乙：这三个数中最多有两个正数； 丙：这三个数中最少有两个数是负数； 丁：这三个有理数互为相反数. 则说法正确的是( ) A A. 甲、乙 B. 甲、乙、丙 C. 甲、丙、丁 D. 乙、丙、丁 返回 综合应用题 9 8. 绝对值大于2.1而不大于6的所有负整数的和是( ) C A. B. C. D. 【点拨】绝对值大于2.1而不大于6的所有负整数有， ， ，，所以其和为 . 返回 综合应用题 10 9. 马小哈在计算一道有理数运算题 时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中“ ” 是被墨水遮住看不清的一个数，他便问同桌，同桌故弄玄虚 地说：“该题计算的结果等于6”，那么被墨水遮住的数是( ) D A. 3 B. C. 3或 D. 或9 【点拨】因为 , 所以 ， 所以 或9.故选D. 返回 综合应用题 11 10. 如图，在一条不完整的数轴上从左到右 依次有三个点，，，其中，设点，， 所对 应的数的和为.若原点到点的距离为6，且 ，则 的值为________. 6或 综合应用题 12 【点拨】因为原点到点的距离为6，所以 ， ①如图①，当点位于点左侧时，点 对应的数为6， 因为，，所以， ， 所以，即点 对应的数为3， 所以，即点对应的数为 ， 所以 ； 综合应用题 13 ②如图②，当点位于点右侧时，点对应的数为 ， 因为，，所以， ， 所以，即点对应的数为 ， 所以，即点对应的数为 ， 所以 . 综上，的值为6或 . 返回 综合应用题 11. 定义：表示不超过 的最大整数，则下 列结论：； ； ；④若，则 的值可以是 2.5.其中正确的有___个. 2 综合应用题 15 【点拨】 ，故①正确；② 当时，有 ，所以 不成立，故②错误；③当 时，有 ，所 以不成立，故③错误；④当 时，，所以若 ，则 的值可以是 ，故④正确.综上，正确的有2个. 返回 综合应用题 16 12.如图，从左到右，在每个 小格子中都填入一个整数，使 其中任意三个相邻格子中所填 3 【点拨】因为任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，所 以,所以 .又因为 ,所以 .根据排列规律可得 ,故这列数为3,,2，3,,2, .因为 ，所以第212个格子中的数为 . 整数之和都相等，则 ___, 第212个格子中的数为____. 返回 综合应用题 17 13. 第十五届中国国际航空航天博览会在 广东珠海举办.保安部小王在南北方向的马路上巡逻，保障游 客安全，下表是他7个时间段巡逻的情况（单位： ），从 起点出发往南为正，往北为负： 时间段 1 2 3 4 5 6 7 南北巡逻 综合应用题 18 （1）请问小王巡逻的第3时间段巡逻后所在的地点与起点相 距多远？ 【解】 . 答：小王巡逻的第3时间段巡逻后所在的地点与起点相距 . （2）请你求出小王在上述7个时间段一共巡逻的路程. 小王一共巡逻的路程为 . 答：小王在上述7个时间段一共巡逻了 . 返回 综合应用题 19 14. （1）用“ ”“ ”或“ ”填空： ___ ； ___ ； ___ ； ___ ； ___ . = 综合应用题 20 （2）根据（1）中的大小比较，猜想并归纳得出以下结论， 请补充完整： ①当, ______（填“同号”或“异号”）时，有 ； ②当, ______（填“同号”或“异号”）时，有 ； 异号 同号 综合应用题 21 ③当,中至少有一个为0时，有___ （填“ ”“ ”或“ ”）; ④总之，对于有理数,，有___ . 综合应用题 （3）根据以上结论，请直接写出当 时， 的取值范围. 【解】的取值范围是 . 返回 综合应用题 23 15. “幻圆”游戏：将1， ，3，，5，，7， 分别填入 如图中的圆圈内，使横、竖以及内外两 圈上的4个数之和都相等，， ， ， 这四个数已经填入了圆圈，则图 中 的值为______. 1或8 创新拓展题 24 【点拨】设空白的两个圆圈内放的数为 ， ，如图.因为 ， 所以 .所以 .所以 .所以, 或， .所以 或8. 返回 创新拓展题 25 $第一章 有理数 1.7 有理数的加减混合运算 1 1. 把 统一成加法运算，下列变形正 确的是( ) C A. B. C. D. 返回 基础提优题 2 2. ［2025保定月考］甲、乙两人用简便方法进行计算的过程 如下所示，下列判断正确的是( ) 甲： . 乙： . D A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确 返回 基础提优题 3 3. 根据图中程序计算，若输入的数是 ， 则输出的结果是( ) C A. B. C. 1 D. 4 返回 基础提优题 4 4. ［2025石家庄栾城区模拟］已知， ， ，下列四个算式中运算结果最大的是( ) A A. B. C. D. 5. 列出一个仅含有3个有理数的加减混合运 算的算式，其中的加号要省略，且运算结果为 .你列出的 算式为______________________________（写出一个符合条 件的算式即可）. （答案不唯一） 返回 基础提优题 5 6.计算： （1） ； 【解】原式 基础提优题 6 （2） . 原式 . 返回 基础提优题 7 7. 观察前三个图形的计算规律，得到第四个图形的计算结果 为( ) D A. B. C. 5 D. 9 返回 综合应用题 8 8. “幻方”最早记载于 春秋时期的《大戴礼》中.如图①所示， 每个三角形的三个顶点上的数字之和都 B A. B. 5 C. 6 D. 与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将,2,, , 5, ,6,8填入如图②所示的“幻方”中（部分数据已填入），则 图中 的值为( ) 返回 综合应用题 9 9. 四个数，，， 满足 ，那么其中 最小的数是___，最大的数是___. 【点拨】因为 ，所以 ， ， ，所以,, ,所以 ,所以最小的数是，最大的数是 . 返回 综合应用题 10 10.［2025广州白云区月考］在“ ” 的小方格中填上“”“-”号，如果可以使其代数和为，就称数 是“可被表出的数”，否则，就称数 是“不可被表出的数”.如:1 是可被表出的数，因为 是1 的一种可被表出的方法,则25可被表出的不同方法有___种. 9 返回 综合应用题 11 11. 人工智能 和民用无人机的迅速发展， 大大提高了人们的生产效率.某草莓采摘园引进新设备改进工 作流程，利用无人机监控草莓生长情况.无人机以监控中心为 原点，在东西方向往返巡查，若规定向东为正方向，记录该 无人机的10次巡查飞行数据如下（单位：米） ,,,,,,,,, . 根据以上信息回答问题： 综合应用题 12 （1）无人机在这10次巡查中一共飞行了多少米？ 【解】 （米）. 答：无人机在这10次巡查中一共飞行了1 700米. 综合应用题 13 （2）已知无人机飞行一段时间以后需要回到监控中心更换 电池，在第10次飞行结束以后，无人机是否回到监控中心？ 如果不是，该无人机还需要向哪个方向飞行多少米才能回到 监控中心？ （米）. 答：无人机没有回到监控中心，还需要向西飞行200米才能 回到监控中心. 返回 综合应用题 14 12. 数轴是一个非常重要的数学工具，它使 数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间 的内在联系，它是“数形结合”的基础.若点, 在数轴上分别 表示有理数,，则, 两点之间的距离可表示为 .请你利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和 的两点之间的距离为___； （2）数轴上表示和 的两点之间的距离为_______； 3 创新拓展题 15 （3）如图，数轴上从左到右的三个点,, 所表示的数分别 为,,，其中， . 创新拓展题 16 ①若以点为原点，写出点，表示的数，并计算 的值； 【解】因为，，点为原点，所以点 表示的数，点 表示的数 ， ，所以 . 创新拓展题 17 ②若为原点，且，求 的值. 创新拓展题 18 当原点在点 左侧时， 因为，所以点表示的数 ， 所以点表示的数，点 表示的数 ， 所以 ； 当原点在点 右侧时， 因为，所以点表示的数 ， 创新拓展题 19 所以点表示的数，点 表示的数 ， 所以 . 综上所述，的值为或 . 返回 创新拓展题 $第一章 有理数 1.8 有理数的乘法 第2课时 有理数的乘法运算律 1 1. 下列运算过程中，有错误的是( ) A A. B. C. D. 返回 基础提优题 2 2. 小康在计算一道老师布置的作业题：计 B A. B. C. 53 D. 95 算 时， 老师告诉他，被|盖住的数是, ,53,95其中一个，并且 这道题直接计算非常简便，则算式中被|盖住的数是( ) 返回 基础提优题 3 3. 如图，这6个方格中每个方格里都有一个数，且每相邻三 个数之积为6，则 的值为( ) 2 B A. B. C. 1 D. 2 4.四个有理数相乘，积的符号是负号，则这四个有理数中， 正数有______个. 1或3 返回 基础提优题 4 5.若4个不相等的正整数,,, 满足 ，则 ____. 24 【点拨】因为，,, 是4个不相等的正整数， ， 所以四个括号内的值分别是， . 不妨令,,, ， 解得,,, ， 所以 . 返回 基础提优题 5 6.已知，，，， 五个数，取其中任意三个数， 积最小是_____. 返回 基础提优题 6 7.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . 基础提优题 7 （3） . 原式 . 返回 基础提优题 8 8. 在整数， ，0，6，2中，若选取两个整数分别 填入“”的和 中，并使等式成立，则填入“ ” 的数有( ) D A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 9. 若，则 的值可表示为 ( ) B A. B. C. D. 返回 综合应用题 9 10. 如图，数轴上点，，， 所表示 的数分别是，，，，若， ，则原点的 位置在( ) D A. 点的左边 B. 线段 上 C. 线段上 D. 线段 上 综合应用题 10 【点拨】因为，，所以 ， ，，或，，， .又因为 ，所以，，， ，所以原点的位 置在线段 上. 返回 综合应用题 11 11. 现有七个数：，，，， ， ， ，将它们填入图①（3个圆两两相交分成7个部分） 中，使得每个圆内部的4个数之积相等，设这个积为 ，如图 ②给出了一种填法，此时，在所有的填法中， 的最 大值为_____. 256 ① ② 综合应用题 12 【点拨】当 的值最大时，如图. 所以的最大值为 . 返回 综合应用题 13 12.如图是一个“乘法迷宫”游戏，需要选择 一条路线从入口走到出口，当走到出口时， 将经过的每个数字相乘，如果结果大于9， 则游戏过关.请你找出一条过关的路线并求 得最终出口的结果. 综合应用题 14 【解】路线： . ， 因为 ， 所以该路线能过关，出口的结果为20. （答案不唯一） 返回 综合应用题 15 13. 下面是博学小组研究性学习的部分内容. 阅读下列材料，完成后面的任务. 关于“用拆分法计算”的研究报告 研究对象：计算 . 研究思路：直接运算太麻烦了！观察算式，可得原式可分 为 ，再利用乘法分配律运算能简单很多. 综合应用题 16 研究方法：先利用拆分法，再利用乘法分配律. 研究步骤： 解：原式 （依据1） （依据2） . 续表 . . 综合应用题 17 任务: （1）上述研究报告中的依据1是指______，依据2是指_____ _______. （2）研究报告中，“ ”处空缺的内容是_____. 拆分 乘法 分配律 综合应用题 18 （3）请用拆分法计算： . 【解】原式 . 返回 综合应用题 19 解:设为,为 ,则原式 . 请用上面的方法计算： 14.计算: . 小明同学的解法如下： 创新拓展题 20 （1） ； 【解】设为 ， 为 ， 则原式 . 创新拓展题 21 （2） . 设为 ， 为 ， 则原式 . 返回 创新拓展题 22 $第一章 有理数 1.2 数轴 1 1. ［2025保定月考］下列图中所画的数轴，正确的是( ) A A. B. C. D. 返回 基础提优题 2 2. 下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数； ③有理数 在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点. 其中正确的是( ) D A. ①②③④ B. ②③④ C. ③④ D. ④ 返回 基础提优题 3 3. 如图，数轴上有，，，四棵小树，那么离原点 距 离最近的小树是( ) A A. B. C. D. 4. 在数轴上与表示 的点距离4个单位长度的点表示的数是 ( ) D A. 3 B. 5 C. D. 3或 返回 基础提优题 4 5.［2025邢台月考］在数轴上，若点， 在原点异侧, ，并且这两个点的距离是，点 在原点的左侧， 则点 表示的有理数为________. 返回 基础提优题 5 6.小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，如图，则被墨迹 盖住的整数共有___个. 9 【点拨】结合数轴得，左边部分盖住的整数有， ， ，， ，右边部分盖住的整数有1，2，3，4，所以两 部分一共盖住了9个整数. 返回 基础提优题 6 7.如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴上1个单位长度是 ），刻度尺上 对应数轴上的数3，那么刻度尺上 对应数轴上的数为______. 返回 基础提优题 7 8. 数轴上表示整数的点叫整点，某数轴的单位长度为 ， 若在数轴上随意画一条长为的线段，则线段 盖 住的整点的个数为( ) D A. 100 B. 99 C. 99或100 D. 100或101 【点拨】依题意得：①当线段 起点在整点时覆盖101个整 点，②当线段 起点不在整点，即在两个整点之间时，覆盖 100个整点.故选D. 返回 综合应用题 8 9. 如图，半径为2的半圆形，从原点 沿数轴向右滚动一周， 则点 所对应的数是( ) D A. B. C. D. 【点拨】由题意得 .故选D. 返回 综合应用题 9 10. 正方形的边 在数轴上的位置 如图所示，点,对应的数分别为0和1.若正方形 绕着 顶点顺时针方向在数轴上向右连续翻转，翻转1次后，点 所 对应的数为2；则翻转2 025次后，数轴上数2 026所对应的 点是( ) B A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 返回 综合应用题 10 11.如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端， 分别 落在点，处.将木棒在数轴上水平移动，当点移动到点 时，点所表示的数为20，当点移动到点时，点 所表示 的数为5，则木棒 的长为___. 5 【点拨】由题意知三根木棒的长是，则木棒 的长为 . 返回 综合应用题 11 12.长方形纸片上有一数轴，剪下8个单位长度（从 到6） 的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某 处剪一刀得到三条线段.若这三条线段的长度之比为 ， 则折痕处对应的点所表示的数可能是_________. 1或2或3 【点拨】因为三条线段的长度之比为 ， 所以设三条线段的长分别是，， . 因为到6的距离是8，所以，所以 ， 所以三条线段的长分别为2，2，4. 将三条线段分别记为，， . 综合应用题 12 ①如图①，当 时，折痕处对应的点表示的数是 ； ②如图②，当 时，折痕处对应的点表示的数是 ； 综合应用题 13 ③如图③，当 时，折痕处对应的点表示的数是 ； 综上所述,折痕处对应的点表示的数可能是1或2或3. 返回 综合应用题 14 13. 在数轴上，表示数1的点记为 ，我们把到 点距离相等的两个不同点和 ，称为基准1的对称点.例如： 如图，点表示数，点表示数3，它们与表示数1的点 的 距离都是2个单位长度，则点与点 互为基准1的对称点. 综合应用题 15 （1）已知点表示数，点表示数，点与点 互为基准1 的对称点. ①若，则 ____； ②用含的式子表示，则 ______； 综合应用题 16 （2）对点进行如下操作：先把点表示的数乘 ，再把所得 数对应的点沿着数轴向左移动2个单位长度得到点.若点 与 点互为基准1的对称点，求点 表示的数. 综合应用题 17 【解】设点表示的数为，则点表示的数为 ， 因为点与点 互为基准1的对称点， 所以 ， 所以 . 所以点表示的数为 . 返回 综合应用题 18 14. 探索“折线数轴”： 素材1:如图，将一条数轴在原点，点 ， 点处折一下，得到一条“折线数轴”.图中点表示，点 表 示12，点表示24，点表示36，我们称点与点 在数轴上 的“友好距离”为45个单位长度，并表示为 . 素材2:动点从点 出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着 “折线数轴”向其正方向运动.当运动到点与点 之间时,速度 变为初始速度的一半.当运动到点与点 之间时,速度变为初 始速度的两倍.经过点 后立刻恢复初始速度. 创新拓展题 19 【问题解决】 探索1： 动点从点运动至点 需要 多少时间？ 创新拓展题 20 【解】因为点表示，点 表示12， 点 为原点， 所以， . 因为在 段初始速度为2个单位长度 /秒，在 段速度为初始速度的一半， 所以在 段速度为1个单位长度/秒， 所以从点运动至点 的时间为 （秒）. 创新拓展题 21 探索2： 动点从点出发，运动秒至点和点 之间时，求 点表示的数（用含 的代数式表示）； 创新拓展题 22 因为的初始速度为2个单位长度/秒，在 段速度为初始速 度的两倍， 所以在 段速度为4个单位长度/秒， 所以 . 因为点 表示12， 所以点表示的数为 . 创新拓展题 23 探索3： 动点从点出发，运动至点 的过程中某个时刻满 足，请直接写出此时动点 运动的时间. 14.5秒或20.5秒. 创新拓展题 24 【点拨】设秒后 ， 由题意知分以下两种情况. ①当在 上时， 因为 ， 所以 . 因为，所以 ， 所以 . 创新拓展题 25 因为 ，所以 ； 创新拓展题 ②当在 上时， 因为 ， 所以 . 因为，所以 ， 所以 . 综上,此时动点 运动的时间为14.5秒或20.5秒. 返回 创新拓展题 27 $第一章 有理数 1.6 有理数的减法 1 1. ［2024天津］计算 的结果等于( ) D A. B. 0 C. 3 D. 6 返回 基础提优题 2 2. 沸点是液体沸腾时的温度，如表是几种 物质在标准大气压下的沸点，可以发现液氮的沸点比液氢的 沸点高( ) 液体名称 液氧 液氢 液氮 液氦 沸点/ A. B. C. D. B 返回 基础提优题 3. 下列说法正确的是( ) D A. 两个负数的差，一定是一个负数 B. 0减去一个数，结果仍是这个数 C. 两个正数的差，一定是一个正数 D. 减去一个正数，差一定小于被减数 返回 基础提优题 4 4. 如图，数轴上的点,分别对应数, ， 下列结论中正确的是( ) C A. B. C. D. 5.若的相反数是，的绝对值是4，则 _______. 或7 返回 基础提优题 5 6.［2025北京东城区模拟］如图，在数轴上点 表示的数是2， 点被墨水遮住了，已知，则点 表示的数为____. 返回 基础提优题 6 7.求下列各式中的 （1） ； 【解】， . （2） ； ， . （3） ； ， . 基础提优题 7 （4） . ， . 返回 基础提优题 8 8. 已知，，且 ， 则 的值为( ) D A. 或 B. 1或 C. 或5 D. 1或5 返回 综合应用题 9 9. ［2025邯郸月考］，， 是数轴上从左到右排列的三个 点，分别对应的数为， ，1，某同学将刻度尺如图放置， 使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点 对应刻度 ，点对应刻度，则数轴上点所对应的数 为 ( ) A A. B. C. D. 3 返回 综合应用题 10 10.嘉淇在计算 时，由于不小心，减数被墨水污染. 她误将后面的“-”看成了“”，算得结果为 ，则正确结 果是______. 【点拨】由题意得被墨水污染的数为 .所以正确结果是 . 返回 综合应用题 11 11.把这9个数填入 的方格中，使其任意一行、任意 一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九 宫格”.它源于 我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”.如图是仅可以看 到部分数值的“九宫格”，则____ 9 5 8 综合应用题 12 【点拨】这9个数的和为 .因为每一行、 每一列及两条对角线上的数之和均相等，所以每一行、每一 列及两条对角线上的数之和为15.所以下中为 ， 所以下右为，所以上左 ， 所以左中为，所以右中 ， 所以 . 返回 综合应用题 13 12. 在一条可以折叠的数轴上，， 表示的数 分别是，2，如图，以点 为折点，将此数轴向右对折，若 点在点的右边，且，则点 表示的数是____. 综合应用题 14 【点拨】因为，表示的数分别是 ，2，所以 .因为折叠后 ，所以 .因为点在点的左侧，所以点 表示的数为 . 返回 综合应用题 13.为丰富市民国庆小长假的节日生活，某图书馆十月一日至 十月七日开展“国庆享阅读 好书伴我行”活动，活动前该图书 馆平均每天借出图书200本，如果某天借出231本，就记作 ；如果某天借出172本，就记作 .在此期间该图书馆借 出图书记录如下： 十月一 日 十月二 日 十月三 日 十月四 日 十月五 日 十月六 日 十月七 日 综合应用题 16 （1）该图书馆十月二日比十月六日多借出多少本图书？ 【解】 （本）. 答：该图书馆十月二日比十月六日多借出98本图书. （2）该图书馆在此期间共借出多少本图书？ 由题意可知，该图书馆在此期间借出的图书本数分别为175， 266，274，249，235，168，149， （本）. 答：该图书馆在此期间共借出1 516本图书. 返回 综合应用题 17 14. 设表示不超过 的最大整数，例如： ，， . （1）求 的值； 【解】 . 综合应用题 18 （2）令，求 的值. . 返回 综合应用题 19 15.学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝 对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当 时，，当时， . 根据以上内容完成下面的问题： （1） ___； （2） _________； （3）若有理数，则 ______； 1 创新拓展题 20 （4）计算： . 【解】原式 . 返回 创新拓展题 21 $第一章 有理数 1.5 有理数的加法 第2课时 有理数的加法运算律 1 1. 下列变形，运用加法运算律错误的是( ) C A. B. C. D. 返回 基础提优题 2 2. 计算 是应 用了( ) C A. 加法交换律 B. 加法结合律 C. 加法交换律与结合律 D. 分配律 返回 基础提优题 3 3. ［2025沧州月考］在“ ”里填上一个数，使式子“ ”能用运算律进行简便运算，则这个数可能是 ( ) A. B. C. D. 4.绝对值小于2 025的所有整数的和为___. A 0 返回 基础提优题 5.王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记 作：,向下一楼记作: ,王先生从1楼出发，电梯上下楼层 依次记录如下（单位：层）：，,,,,, .请 问王先生最后____（填“是”或“不是”）回到出发点1楼. 是 返回 基础提优题 5 6. 小华探究“幻方”时，提出了 一个问题：如图，将0，， ，1，2这五个 数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之 0 和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的 数可以是___（写出一个符合题意的数即可）. 返回 基础提优题 6 7. 计算： （1） ; 【解】原式 . （2） ; 原式 . 基础提优题 7 （3） . 原式 . 返回 基础提优题 8 8. 在计算 时，下面四种方法中运算过程正 确且比较简便的是( ) D A. B. C. D. 返回 综合应用题 9 9. 若三个不等的有理数的和为0,则下面结论正确的是( ) C A. 3个加数全为0 B. 至少有2个加数是负数 C. 至少有1个加数是负数 D. 至少有2个加数是正数 返回 综合应用题 10 10. 现有一列数，，， ， ， ， ，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于 左右两个数的和，如果， ，则 的值为_______. 2 024 综合应用题 11 【点拨】因为任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两 个数的和，，,所以 , ，, ， , ,所以每6个数为一循环，且6个 数的和为0.因为 ，所以 . 返回 综合应用题 12 11.数学老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： . 解：原式 综合应用题 13 . 上述这种方法叫作拆项法，请仿照上面的方法计算： . 综合应用题 【解】原式 . 返回 综合应用题 15 12. 随着“ ”网络的不断发展，很多偏远山区 的农产品都可以借助网络平台对外销售.扶贫驻村干部小王通 过某平台帮助张大伯家对外销售一批冬枣，他原计划每天卖 出 冬枣，实际每天的销售量与计划量相比有出入.下表 是某周的销售情况（超出计划销量记为正，不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 销量/ （1）销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售____ . 32 综合应用题 16 （2）通过计算说明本周实际销售总量是否达到了计划销售总量. 【解】 . 答：本周实际销售总量达到了计划销售总量. 综合应用题 17 （3）若冬枣的售价为3元/，运费为0.25元/ ，则张大伯家 这周销售冬枣共收入多少元？ （元）. 答：张大伯家这周销售冬枣共收入1 947元. 返回 综合应用题 18 13. 探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫作“ ”运算.按照“ ”运算的运算法 则进行计算： ； ； ； ； ； ； ； . 创新拓展题 19 （1）观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习， 归纳“ ”运算的运算法则： 两数进行“ ”运算时，________________________________ _____； 一个数与0进行“ ”运算时，___________________________ ____________________________. 同号得正，异号得负，再把绝对值 相加 正数与0“ ”运算得它本身， 负数与0“ ”运算得它的相反数 创新拓展题 20 （2）计算： ； 【解】 . 创新拓展题 21 （3）有理数加法有结合律，结合律在有理数的“ ”运算中 还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一 个反例即可）. 结合律在有理数的“ ”运算中不适用. 例如： ； . 所以 ，所以结合律 在有理数的“ ”运算中不适用. 返回 创新拓展题 22 $第一章 有理数 1.8 有理数的乘法 第1课时 有理数的乘法法则 1 1. 时光见证信仰，岁月磨砺初心.2025年， 我们迎来了祖国母亲76周年华诞，数字76的相反数的倒数是 ( ) D A. 76 B. C. D. 2. 若的运算结果为正数，则 内的数可以为( ) D A. 2 B. 1 C. 0 D. 返回 基础提优题 2 3. 下列说法：①小于 的数的倒数大于其本身；②大于1的 数的倒数小于其本身；③ 的倒数是0；④互为相反数的两数 相乘，积一定为负；⑤两个有理数的积的绝对值等于这两个 有理数的绝对值的积.其中正确的有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.［2025北京东城区模拟］若，互为倒数，， 互为相反 数，，则 的值为_______. 或 返回 基础提优题 3 5. 按如图程序计算，如果输入的数是 ， 那么输出的数是______. 返回 基础提优题 4 6.在数，， 中任取两个数相乘，其中最大的 积是____，最小的积是_____. 关键是理解与运用有理数乘法法则，借助相关数的 大小关系及同号得正，异号得负进行计算，最后结合有理数 的大小比较，确定最大的积和最小的积. 返回 基础提优题 5 7. 数学运算奇妙无穷，小明在学习有理数 时发现，存在两个有理数之和等于这两个有理数之积，如： .请你再找两个满足以上规律且不相等的有理数， 这两个有理数可以是____________________（写一组即可）. （答案不唯一） 返回 基础提优题 6 8. 在化学实验中，常采用水冷却、真空冷 却等方式将物体温度降下来.现采用真空冷却的方式将某种标 本的温度稳定下降，每分钟的变化量是 .假设现在标本 的温度是，则后这种标本的温度是____ . 返回 基础提优题 7 9. 教材P38习题T3 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . （3） ； 原式 . 基础提优题 8 （4） . 原式 . 返回 基础提优题 9 10. 已知，，且，则 的值是 ( ) D A. B. C. 9 D. 9或 返回 综合应用题 10 11. 如图，点和点表示的数分别为和 ， 则下列结论正确的是( ) ； ； ； . A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ C 返回 综合应用题 12. 一座有两道环路的数字迷宫 如图所示，外环两个路口的数字分别为 , 内环两个路口的数字分别为 要想进入迷 宫中心需破解密码：内、外环两个路口的数相 乘，若乘积最大， 沿这两个路口就可到达迷宫中心，则乘积最大的值是____. 15 返回 综合应用题 12 13.如图，一个容积为 的玻璃瓶 里装有一些水，正立放置时水面高度 为 （玻璃瓶的下半部看成是圆 柱）， 倒立放置时上部空余部分的高度是 ，那么瓶内的水有_____ . 330 返回 综合应用题 13 14. 定义关于有理数， 的新运算： .例如：若, ，则 .若，则 的结果为 ___. 【点拨】因为 ，所以 ，所以 . 返回 综合应用题 14 15. 若 个互不相等的正整数的倒数和等于 ，那么 的最小值为___. 4 【点拨】因为，所以 的 最小值为 返回 综合应用题 15 16.已知， . （1）若，求 的值； 【解】因为， ， 所以， . 因为 ， 所以， 异号， 所以，或， ， 所以或 . 综合应用题 16 （2）求 的值. 由（1）知， . 当， 时， 原式 ； 当， 时， 原式 ； 当， 时， 原式 ; 综合应用题 17 当， 时， 原式 . 综上，的值为或或或 . 返回 综合应用题 17. 对于由若干个不相等的整数组成的数组 和有理数 ，给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个 单位长度的线段，使得将数组中的每一个数乘以 之后， 计算的结果都能够用线段上的某个点来表示，就称 为数 组 的收纳系数. 创新拓展题 19 例如，对于数组，因为， ， ，取为原点，为表示数1的点,那么, ,1这三个数 都可以用线段上的点来表示，可以判断是数组 的收 纳系数. 又例如，对于数组，，.因为 ， 创新拓展题 ，，取为原点，为表示数 的点，那么这三个数都可以用线段 上的点来表示，可以判 断是数组 的收纳系数. 已知是数组的收纳系数，此时线段的端点， 表示的 数分别为， . 创新拓展题 （1）判断____（填“是”或“不是”）数组， ， 的收纳系数； 是 创新拓展题 22 （2）对数组，1，，在下列各数中：1，，， ， 可能是_______； 或 【点拨】易知不可能为 . 因为，，， ， 所以可能为 ； 创新拓展题 23 因为，， ， ， 所以可能为 ； 因为，， ， ， 所以不可能为 . 故可能是或 . 创新拓展题 （3）已知100个连续整数组成数组，求出 的最大值和相应 的 的最小值. 【解】因为这100个数是连续整数， 所以数组 中的最大数与最小数之差为99， 所以的最大值为 . 所以的最大值为 . 易得第个或第个数为时， 最小. 创新拓展题 25 当第50个数为时，， ， 所以 ； 当第个数为时，， ， 所以 . 综上，的最大值为，相应的的最小值为 . 返回 创新拓展题 $第一章 有理数 1.10 有理数的乘方 1 1. ［2025沧州期末］下列计算结果不相等的是( ) D A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2. 当是正整数时， ( ) B A. 2 B. C. 0 D. 2或 3. ［2025承德模拟］ ( ) A A. B. C. D. 返回 基础提优题 2 4. 如图，某种细胞每过 便由1个分 裂成2个.经过 ，这种细胞能由1个分裂成( ) D A. 12个 B. 个 C. 个 D. 个 5.已知有理数，满足，则 ____. 16 返回 基础提优题 3 6.已知，，，那么，， 的 大小关系为__________.（用“ ”连接） 【点拨】因为， ， ， 所以 . 返回 基础提优题 4 7.若，互为相反数，，互为倒数，且 ，则 的值为___. 2 【点拨】因为，互为相反数，，互为倒数，且 ,所 以，， ， 所以 . 返回 基础提优题 5 8.（1）填空： ①_____，_____， ________； ②_____，_________， ________. （2）观察上述计算结果我们可以得出： ①底数的小数点每向左（右）移动一位，它的平方的小数点 向左（右）移动____位； ②底数的小数点每向左（右）移动一位，它的立方的小数点 向左（右）移动____位. 两 三 返回 基础提优题 6 9. 某软件等级用四个标识图展示，从低到 高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一 开始是星星，一个星星为1级，4个星星等于1个月亮，4个月 亮等于1个太阳，4个太阳等于1个皇冠.某用户的等级标识图 为2个皇冠，则其等级为( ) B A. 级 B. 级 C. 级 D. 级 返回 综合应用题 7 10. ［2025石家庄裕华区模拟］利用如图所 示的正方形，可求 的值 是( ) C A. B. C. D. 综合应用题 8 【点拨】假设正方形的面积为1， 根据题图可得 ， 即为 的面积. 因为 的面积 ， 故的值为 ，故选C. 返回 综合应用题 9 11. 为了求 的值，可令 ，则 ，因此 ，所以 .仿照以上推理方法 计算出 的值是( ) D A. B. C. D. 综合应用题 10 【点拨】设 ，所以 ， ,得 ，所以 ，即 .故选D. 返回 综合应用题 11 12. 大数据时代，“二维码”具有存储量大、保 密性强、追踪性高等特点，被广泛应用于人们的日常生活中. 通常，一个“二维码”由1 000个大大小小的黑白小方格组成， 其中约 的小方格作为纠错码和其他用途的编码，只有约 200个方格作为数据码.根据相关数学知识，这200个方格可以 生成个不同的数据二维码.现对 的说法如下： ① 就是200个2相乘； ② ； ③ ； 综合应用题 12 ④ 的个位数字是6. 其中正确的是______.（填序号） ①④ 综合应用题 【点拨】就是200个2相乘，故①正确； ， 故②不正确；，故③不正确； ， 个位数字是2，，个位数字是4， ，个位数字是 8，，个位数字是6， ，个位数字是2， ，个位数字是4， ，以此类推，可知，， ， ， 这一列数的个位数字是每4个数为一个循环，即2，4， 8，6循环出现.因为，所以 的个位数字是6， 故④正确.故答案为①④. 返回 综合应用题 14 13. 《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半， 万世不竭.”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一 半，永远也截不完.第1天截取它的一半，以后每天截取剩下 部分的一半.若按此方式截取一根长为1的木棍，则第5天截取 后木棍剩余的长度是___. 综合应用题 15 【点拨】由题意可知，第一天截取后木棍剩余长度为 ，第二天截取后木棍剩余长度为 ，第三天截取后木棍剩余长度为 ， ，第天截取后木棍剩余长度为 ，故 第5天截取后木棍剩余的长度是 . 返回 综合应用题 16 14. 新定义运算：如果 ， 则叫作以为底的对数，记作 .例如：因为 ，所以；因为 ，所以 . （1）填空：___， ___； 1 4 综合应用题 17 （2）如果，求 的值； 【解】因为 ， 所以 ， 解得或 ， 所以的值为29或 . 综合应用题 18 （3）若，求 的值. 因为， , 所以， . 因为 ， 即 ， 所以 , 所以 . 当时， . 返回 综合应用题 19 15. 阅读材料，解决问题: 由，，，， ， ，，， ，不难发现3的正整 数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以 得到： 因为，所以的个位数字与 的个位数字相同， 应为1； 创新拓展题 20 因为，所以的个位数字与 的个位数 字相同，应为3. （1）请你仿照材料，分别求出的个位数字及 的个位数字； 创新拓展题 【解】因为,,, , , , 所以的正整数幂的个位数字以 为一个周期循环出现. 因为 ， 所以的个位数字与的个位数字相同，应为 . 因为，,，, ， , 创新拓展题 22 所以8的正整数幂的个位数字以8,4,2,6为一个周期循环出现. 因为 , 所以的个位数字与的个位数字相同，应为 . 创新拓展题 （2）请探索 的个位数字； 由（1）同理可得，2的正整数幂的个位数字以 为 一个周期循环出现.因为,所以 的个位数字与 的个位数字相同，应为 因为 ， 所以的个位数字与的个位数字相同，应为 因为 ， 创新拓展题 24 所以的个位数字与的个位数字相同，应为 因为 ， 所以的个位数字是 创新拓展题 （3）请直接写出 的个位数字. 的个位数字是 返回 创新拓展题 26 $第一章 有理数 1.3 绝对值与相反数 1 1. 数，，， 在数轴上对应点的位置 如图所示，这四个数中绝对值最小的是( ) B A. B. C. D. 2. 下列各组数中，互为相反数的是( ) B A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 返回 基础提优题 2 3. ［2025张家口模拟］如图，若的相反数是，则表示 的点落在( ) C A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 基础提优题 3 【点拨】因为的相反数是 ， 所以 . 因为 ， 所以表示 的点落在段③. 返回 基础提优题 4 4. 手机信号的强弱通常采用负数来表示， 绝对值越小表示信号越强，则下列信号（单位： ）最强 的是( ) D A. B. C. D. 返回 基础提优题 5 5.下列说法正确的有___个. 一定是负数； ②只有两个数相等时，它们的绝对值才相等； ③若，则与 一定互为相反数； ④若，则 是非正数. 1 基础提优题 6 【点拨】因为，所以，故 一定是非 正数，故①错误；两个数相等或互为相反数时，它们的绝对 值相等，故②错误；若，则与互为相反数或 ， 故③错误；若，则，则 是非正数，故④正确. 故答案为1. 返回 基础提优题 7 6.若，则___；若，则 ____. 5 【点拨】因为，所以；因为 ，所 以，所以 . 返回 基础提优题 8 7. 和它的相反数之间的整数有___个. 8.［2025温州期中］如图（图中每小隔代表1个单位长度）， 若点和点表示的数互为相反数，则点 表示的数是____. 1 返回 基础提优题 9 9.已知 为整数. （1）有最____（填“大”或“小”）值是___，此时 ___. （2） 有最____（填“大”或“小”）值是___，此时 ___. 小 2 0 大 2 1 返回 基础提优题 10 10.若 ，求 的值. 【解】由题意，得，， ，解 得，， . 所以原式 . 返回 基础提优题 11 11. 已知，是非零有理数，且， ， ，用数轴上的点来表示， 正确的是( ) A A. B. C. D. 返回 综合应用题 12 12. 如图，，，，分别是数轴上四个整数，，， 所对应的点，其中有一点是原点，并且 .数对应的点在与之间，数 对应的点在与之间，若 ，则原点是( ) B A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 综合应用题 13 【点拨】因为 ，所以 ，所以，设数对应的点为点 ， 数对应的点为点，①当原点在或点时， ， 所以和题意相互矛盾，故原点不可能在或 点；②当原点在 或点，且时，，故原点应该在 或 点. 返回 综合应用题 14 13. 已知，互为相反数，则 ___. 0 【点拨】原式.因为， 互为相反数， 所以，所以原式 . 返回 综合应用题 15 14. 对于有理数，，， ，若 ，则称和关于的“美好关联数”为 .例 如，若 ，则2和3关于1的“美好关联数”为3. （1）1和2关于0的“美好关联数”为___； 和5关于2的“美好 关联数”为___； （2）若和2关于3的“美好关联数”为4，则 的值为______； 3 8 6或0 【点拨】因为，所以 ，所以 或，解得或 . 综合应用题 16 （3）和关于4的“美好关联数”为1，求 的最大值. 【解】根据题意可知 ， 所以在数轴上可以看作到4的距离与 到4的距离的和为1， 故 的最大值为9. 返回 综合应用题 17 15. 化简下列各式的符号，并回答问题： （1） ___； ____; ____; ____; ___. 2 4.5 6 综合应用题 18 （2）当前面有99个负号时，化简后的结果是____；当 前面有100个负号时，化简后的结果是____；你能总结出什 么规律？ 规律：一个数的前面有奇数个负号，化简后的结果等于它的 相反数；有偶数个负号，化简后的结果等于它本身. 综合应用题 19 （3）求数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离为多少. 综合应用题 20 【解】 , . 因为数轴上表示 与3的点之间的距离为4，所以数轴上表示 的点与表示 的点 之间的距离为4. 返回 综合应用题 21 16. 为响应垃圾分类，改善小区环境，物业 公司在小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋 楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大 排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位 置成为居民关心的问题.小明结合数轴与绝对值的知识进行数 学建模,并说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上连续的 6个整数点（记为1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中 相邻两栋楼之间，位置记为 . 创新拓展题 22 （1）根据问题的实际意义， 表示__________________ _____； 回收站到1号楼的 距离 创新拓展题 23 （2）当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每 栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记 ， 求 的最小值和回收站的位置. 创新拓展题 24 【解】 可以看作是数轴上表示 的点到1,2,3,4,5,6六点的距离之和. 当时， 有最小值5， 当时， 有最小值3， 当时， 有最小值1， 所以当 时， 有最小值 ，即 的最小值是9，回收站的位置建在3号楼和 4号楼之间. 返回 创新拓展题 25 $第一章 有理数 1.1 正数和负数 第2课时 有理数 1 1. ［2025石家庄新华区月考］下列各数：0，， ， ，， （相邻两个1之间0的个数逐次 加1）， ，其中负数的个数是( ) B A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 在，，0，，， ，2，， 这些数中，有 理数有个，自然数有个，分数有个，则 的值为 ( ) A A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 返回 基础提优题 2 3. 下列语句正确的有( ) ①不带“-”号的数都是正数； ②如果是正数，那么 一定是负数； ③一个有理数不是正数就是负数； ④一个整数不是正整数就是负整数； ⑤非正数就是负数; 不是有理数,是整数. B A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 返回 基础提优题 3 4. 请写出一个既是整数，又是负数的有理 数:__________________. （答案不唯一） 返回 基础提优题 4 5. 中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世 纪,摆法有纵式和横式两种（如图所示），以算筹计数的方法 是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵 横依次交替，宋代以后出现了笔算，在个位数上划上斜线以 表示负数.如果 表示 ， 表示 ，那么 表示________. 返回 基础提优题 6.把下列各数填在对应的大括号内： ，，0，，，，， ， ，，， . 正分数：{ …}； 负整数：{ …}； 整数：{ …}； 正有理数：{ …}； 基础提优题 6 负数：{ …}； 非负整数：{ …}； 分数：{ …}. 基础提优题 【解】正分数：,,,,… ； 负整数：,, ； 整数：,0,,,, ； 正有理数：,,,,,,… ； 负数：,,,, ； 非负整数：,,, ； 分数：,,,,,,… . 返回 基础提优题 8 7. ［2025保定模拟］如图， 某品牌乒乓球的产品参数中标 明球的直径是 ，下列乒乓 球的直径中，不合格的是 ( ) A A. B. C. D. 综合应用题 9 【点拨】由题意可得，乒乓球的直径在 和 之间都合格，分析各选项，可知只有 处 于该范围之外，故选A. 返回 综合应用题 10 8. 悉尼，墨西哥与北京的时差如下表（带“+”的数表示同一时刻 该地区时间比北京时间早的小时数）.当北京时间为10月8日15时， 悉尼、墨西哥的时间分别是( ) 城市 悉尼 墨西哥 时差/时 B A. 10月8日13时；10月9日3时 B. 10月8日17时；10月8日1时 C. 10月8日17时；10月9日3时 D. 10月8日13时；10月8日1时 返回 综合应用题 11 9.［2025邢台月考］如图，已知圈表示整数，圈 表示正数， 圈 表示分数. （1）圈表示______数，圈 表示______数. 正整 正分 综合应用题 12 （2）给出下列各数：15，，，0，，1， ， ， ，请将它们填入图中相应的圈中去. 【解】如图所示. 返回 综合应用题 13 10.在验光时，验光师经常会以“ ”的方式记录近视程度， 例如，将近视50度记录为“ ”，近视100度记录为“ ”等等.现有5位同学验光记录如下：“”“ ” “”“”“ ”，通常，近视超过200度时就要 持续配戴眼镜进行视力矫正，在这5位同学中，需要持续配 戴眼镜的有___位. 3 综合应用题 14 【点拨】由题意，可知记录为 的同学近视50度，记录 为的同学近视250度，记录为 的同学近视175 度，记录为的同学近视225度，记录为 的同学 近视350度.因为近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视力 矫正，所以在这5位同学中，需要持续配戴眼镜的有3位. 返回 综合应用题 15 11.如图是一个转盘型密码锁，每次开锁时需要把表 示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时 针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次.例如，按 逆时针方向旋转3个小格记为“ ”，此时标记线对 准的数是3，再顺时针方向旋转10个小格记为“ ”，此时， 标记线对准的数是33，再逆时针方向旋转17个小格记为“ ”，此时标记线对准的数是10，锁就打开，那么开锁密码 综合应用题 16 就可以记为“，，” .如果一组开锁密码为“ ，， ”，那么锁打开时标记线对准的刻 度线表示的数是____. 25 综合应用题 【点拨】因为开锁密码为“，， ”，所以 需要先顺时针方向旋转10个小格，此时标记线对准 的数是30，再逆时针方向旋转15个小格，此时标记 线对准的数是5，然后顺时针方向旋转20个小格，此 时标记线对准的数是25，即锁打开时标记线对准的刻度线表 示的数是25. 返回 综合应用题 18 12. 有一次同学聚会，小张的座位号与下列 这组数中的负数的个数相等，小李的座位号与下列这组数中 的正整数的个数相等. 8,,0,,,,,36,,,, . 综合应用题 19 （1）问：小张、小李的座位号分别是几？ 【解】在所给的数中，负数有,,,, , , ,共7个，所以小张的座位号是7. 在所给的数中，正整数有8,36, ,共3个，所以小李的座 位号是3. （2）若这次同学聚会的总人数是小张的座位号的2倍与小李 的座位号的4倍的和，则这次聚会共有多少名同学参加？ 这次聚会共有 （名）同学参加. 返回 综合应用题 20 13. 如图，将一串数按下列规律排列. （1）在 位置的数是正数还是负数？ 【解】在 位置的数是正数. （2）负数排在,,, 中的什么位置？ 负数排在和 的位置. 创新拓展题 21 （3）第100个数是正数还是负数？排在对应于,,, 中的哪 个位置上？ 观察可知奇数为负，偶数为正，故第100个数是正数.每4个数 看成一组，（组），故第100个数排在对应于 的位置上. 创新拓展题 22 通过观察，题目中每4个数为一组，用100除以4， 若能整除，则在的位置；若余数为1，则在 的位置；若余 数为2，则在的位置；若余数为3，则在 的位置. 返回 创新拓展题 23 $第一章 有理数 1.9 有理数的除法 1 1. 下列计算不正确的是( ) D A. B. C. D. 2. 将 转化为乘法运算正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 基础提优题 2 3. 两个不为0的有理数相除，如果交换它们的位置，商不变， 那么两数( ) D A. 相等 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 相等或互为相反数 4. 小林在计算“”时，误将“ ”看成“ ”，结果 得50，则 的值为( ) B A. 10 B. 16 C. D. 返回 基础提优题 3 5.已知，，且，则 ____. 【点拨】因为，，且，所以 ， 或，，所以 . 返回 基础提优题 4 6.［2025上海松江区期末］计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . （3） . 原式 . 返回 基础提优题 5 7. 已知 ，结果不可能的是( ) C A. 2 B. C. 1 D. 0 综合应用题 6 【点拨】因为当时，；当 时， ；当时，；当 时， ，所以当，时， ； 当，时， ；当 ，时，；当， 时，.综上所述， 的值可能为 2， ，0，不可能为1.故选C. 返回 综合应用题 7 8. ［2025保定月考］若，，且 为负有 理数，则 ( ) C A. B. 3 C. 或3 D. 或3 【点拨】因为，，所以 ， ，所以或，或.又因为 为负有理数，即，异号，所以，或 ， .当，时， ；当 ，时， .故选C. 返回 综合应用题 8 9. 取一个正整数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数， 则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1，这个结 论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的.例如： 如图,取5，经过下面5步运算可得到1.如果正整数 恰好经过7 步运算可得到1，则所有符合条件的数的和是( ) D A. 23 B. 151 C. 150 D. 172 综合应用题 9 【点拨】由题意知，第3步的运算结果为16，当 为偶数，且 第1步到第3步运算结果均为偶数时， ，当 为偶数，第2步的运算结果 为奇数5时，，当 为奇数，且第1步到第 3步运算结果均为偶数时，，当 为奇数， 且第2步的运算结果为奇数5时， ，所以所有符 合条件的数的和是 ，故选D. 返回 综合应用题 10 10. 规定 ，例如 ，则 ____. 【点拨】 ， . 返回 综合应用题 11 11.小明有5张写着不同数的卡片，请按要求抽取卡片，完成 下列问题： （1）从中抽取2张卡片，所得商的最大值记为，则 的值为 ___； （2）在（1）的条件下，从中抽取2张卡片，所得商的最小 值记为，则 的值为____. 5 返回 综合应用题 12 12.如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个有理数，且任意相 邻四个台阶上数的和都相等.若前 个台阶上所标有理数之和 第一次是，则 的值为_______. 4 053 综合应用题 13 【点拨】因为第 个台阶上数 的和为 ， 所以任意相邻四个台阶上数的和 都为 ，所以第5个台阶上的数 为 ，第6个台阶上的数为 ， 所以从第1个台阶开始，相邻 四个台阶上的数是按， ，0，1为一循环.因为 综合应用题 14 ，前 个台 阶上所标有理数之和第一次是 , ，所 以 . 返回 综合应用题 13. 阅读下列材料： 计算： . 解法一：原式 . 解法二：原式 . 解法三：原式的倒数 综合应用题 16 ，所以原式 . 综合应用题 （1）上述得到的结果不同，你认为解法____是错误的； 一 综合应用题 18 （2）请你选择合适的解法计算： . 【解】（任选其一即可）解法二： 原式 . 综合应用题 19 解法三： 原式的倒数 ， 所以原式 . 返回 综合应用题 20 14. 我们知道，在数学学习中，分类讨论是 一种重要的数学思想，能使思维更加严谨和全面.请你运用所 学知识，解答下面的问题： 创新拓展题 21 （1）若,，且，求 的值； 【解】因为,,且，所以, 或 , . 当,时， ; 当,时， . 综上， 的值是10或4. 创新拓展题 22 （2）若,都是非零的有理数，且满足,同号，求 的值； 因为,都是非零的有理数，且满足, 同号， 所以,或, . 当,时， ; 当,时， . 综上，的值为2或 . 创新拓展题 23 （3）若，求 的值. 创新拓展题 24 因为 , 所以，，中三正或一正两负，不妨设,, 或 ,, . 当,, 时， ; 当,, 时， . 综上，的值是3或 . 返回 创新拓展题 $第一章 有理数 1.11 有理数的混合运算 1 1. 下列各式化简后结果最大的是( ) C A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 基础提优题 2 3. 若-( ) ，则括号里应该填( ) A A. B. 0 C. 1 D. 4. 在算式中的“ ”里填 入下列运算符号，使得它的计算结果最小,则“ ”里应填入的 是( ) C A. B. - C. × D. 返回 基础提优题 3 5. 观察下列两行数，探究第②行数与第① 行数的关系： ，4，，16，，64， 0，7，，21，，71， 根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为_______； 取每行数的第2 025个数，则这两个数的和为_____________ _____. 基础提优题 4 【点拨】通过观察可得，第①行数的第10个数为 ，第 ①行数的第2 025个数为 ，第②行数的第2 025个数 为 .因为 ,所以取每行 数的第2 025个数，这两个数的和为 返回 基础提优题 5 6.计算： （1） ; 【解】原式 . （2） ； 原式 . 基础提优题 6 （3） . 原式 . 返回 基础提优题 7 7. ［2025唐山月考］按下图所示的程序进行计算，若输入的 数是4，则输出的数是 ( ) B A. 1 B. C. D. 返回 综合应用题 8 8. 在人工智能的众多算法和数据处理中，经常涉及不同进制 数之间的转换操作.二进制数 可用十进制表示为 ，同样地，三进制数 可用 十进制表示为 .现有二进制数 ，三进制数，那么， 的大小关 系是（对于非零有理数,有 ）( ) B A. B. C. D. 不能确定 综合应用题 9 【点拨】 ， . 因为，所以 ，故选B. 返回 综合应用题 10 9. 定义新运算：对于任意有理数和 ，规 定：则 ___. 3 【点拨】 . 返回 综合应用题 11 10.如图，在正五边形中，已知，，，， 为正整数，且 每条边上的三个数之和都等于，则 _____. 117 综合应用题 12 【点拨】由题意可知 , , , .因为 为正整 数，所以.当时， , ,,，所以 ;当 综合应用题 13 时，,,, .此 时 ， 与题意不符，所以不符合题意；当 时，,,，因为 为 正整数，所以不符合题意.故答案为117. 返回 综合应用题 11.［2025邢台月考］李老师设计了一个数学游戏，如图所示 的，，， 四张卡片分别代表一种运算，可以任意排列， 每次排列代表一种运算顺序，然后指定一个有理数 进行计算. 例如：设，按照 的顺序运算，得 . 综合应用题 15 根据以上运算规则，解答下列问题： （1）若，列式计算按照 的顺序运算 的结果. 【解】若 ，则 . 综合应用题 16 （2）若，按照 的顺序运算的结果为 64，请通过计算说明完整的运算顺序. ，若按照 的顺序运算，则 ，所以按照 的顺序运算不符合题意；若按照 的顺序运算，则 ，所以按照 的顺序运算符合题意，综上，应按照 的顺序运算. 综合应用题 17 （3）若，不按照 的顺序运算，所得 的结果能否等于2 025？如果能，请写出一种符合要求的运 算顺序，并列式计算；如果不能，请说明理由. 能.按照 的顺序运算， 则 . 返回 综合应用题 18 12. 【概念学习】定义：求若干个相同的有 理数（均不等于0）的除法运算叫作除方，如 , 等.类比有理数的乘方，我们把 记作 ，读作“2的下3次方”， 记作，读作“ 的下4次方”. 一般地，把记作，读作“的下 次方”. 创新拓展题 19 （1）直接写出计算结果： __， ___. 2 创新拓展题 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法 运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如 何转化为乘方运算呢？ 例如： . （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： _ ____， _______. 创新拓展题 21 【点拨】 ， . 创新拓展题 22 （3）将一个非零有理数“的下次方”写成幂的形式： _ ______. （4）【结论应用】计算： . 创新拓展题 23 【解】原式 . 返回 创新拓展题 24 $第一章 有理数 1.4 有理数的大小 1 1. ［2025黄冈模拟］下列各数中，最小的数是( ) D A. 0 B. C. D. 返回 基础提优题 2 2. 液体开始沸腾时的温度叫作沸点.下表 是几种物质在标准大气压下的沸点，这几种物质中，沸点最 低的是( ) 物质 液态氧气 酒精 液态一氧化碳 花生油 沸点/ 78.3 335 C A. 液态氧气 B. 酒精 C. 液态一氧化碳 D. 花生油 返回 基础提优题 3 3. 下列结论中，正确的有( ) 是绝对值最小的有理数； ②正数一定大于它的相反数； ③两个负数，绝对值大的负数反而小； ④一个数的绝对值越大，在数轴上表示它的点离原点越远； ⑤在数轴上表示的两个数，右边的数总大于左边的数. D A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 返回 基础提优题 4 4. 下列四个式子： ； ； ； .其中正确的是( ) D A. ③④ B. ①③ C. ①② D. ②③ 返回 基础提优题 5 5. 在 中用数字3替换其中的一个非零数字后，使所 得的数最大，则被替换的数字是( ) C A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【点拨】替换 中不同的非零数字后得到的数分别是 ，，， ，因为 ，所 以最大的数是 ，所以被替换的数字是4. 返回 基础提优题 6 6. 有理数， 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正 确的是( ) C A. B. C. D. 【点拨】由题意知 ，所以 .故选C. 返回 基础提优题 7 7.在和之间的整数是_______；写出一个大于 并且小 于 的整数:_________________________. 8.数轴上与表示 的点距离最近的整数点表示的数是____. 和0 （第2个空答案不唯一） 返回 基础提优题 8 9.回答下列问题： （1）过，两点画一条数轴，使点表示2，点表示 . 【解】画出数轴如图①. 基础提优题 9 （2）在所画的数轴上标出， 对应的点，并将2， ，，这四个数用“ ”连接起来. 基础提优题 10 标出， 对应的点如图②. 将2，，，用“ ”连接起来为 . 返回 基础提优题 11 10. 若,为有理数，，，且，那么 ， ，， 的大小关系是( ) C A. B. C. D. 【点拨】因为，，且，所以 ， ，，，所以 . 返回 综合应用题 12 11. 用符号表示， 两数中较小的一个 数，用符号表示， 两数中较大的一个数，则 ____. 12.若，，，，，，， 都不为零，并且，把，，， 四个数 用“ ”号连接为______________. 【点拨】由题意知，，， ，因为 ，所以 . 返回 综合应用题 13 13.已知在数轴上有，，三个点，点表示的数是 ，点 表示绝对值最小的数，点 表示的数是最大的负整数. 综合应用题 14 （1）在数轴上把，， 三个点表示出来，并比较三个点 表示的数的大小（用“ ”连接）； 【解】因为点表示绝对值最小的数，点 表示的数是最大的 负整数，所以点表示的数是0，点表示的数是 . A，， 三个点在数轴上表示如图所示. 由图可知 . 综合应用题 15 （2）如何移动点，使点到点和点 的距离相等 （点与点 不重合）. 将点向右移动2个单位长度，点到点和点 的距离相等. 返回 综合应用题 16 14. 如图，数轴上的点,,, 表示的数分 别是，，2， . （1）将点,,,表示的数按从小到大的顺序用“ ”连接起来. . 综合应用题 17 （2）若将原点改在点，则点,,, 所对应的数分别为多 少？将这些数按从小到大的顺序用“ ”连接起来. 【解】若将原点改在点，则点表示的数为，点 表示 的数为，点表示的数为0，点表示的数为 ，则 . 综合应用题 18 （3）改变原点位置后，点,,, 所表示的数的大小顺序改 变了吗？这说明了数轴的什么性质？ 改变原点位置后，点,,, 所表示的数的大小顺序不会改变， 这说明数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大. 返回 综合应用题 19 15. 在一次体检过程中，七（3）班班长记录 了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以5.0为标准， 大于5.0的记为正数，小于5.0的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 （1）这6名学生中哪名学生的视力最差？ 小杰的视力最差. 综合应用题 20 （2）若规定小于标准视力,且与标准视力相差大于0.2需要配 戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【解】因为，， , ，， ， 所以6名学生中有2人需要配戴眼镜. 返回 综合应用题 21 16. 请阅读材料，并解决问题. 比较两个数的大小的方法： 比较与 的大小时，若利用绝对值法比较这两个负数 的大小,涉及分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法： 解：因为, ， 所以，所以 . 创新拓展题 22 （1）上述方法是先通过找中间量__来比较出与 的大小， 再根据两个负数比较大小，________大的负数反而小，把这 种方法叫作中间值比较法； 绝对值 （2）利用上述方法比较与 的大小. 【解】因为， , 所以 ， 所以 . 返回 创新拓展题 23 $第一章 有理数 1.1 正数和负数 第1课时 相反意义的量 1 1. 下列不是具有相反意义的量的是( ) D A. 前进和后退 B. 节约水和浪费 水 C. 超过和不足 D. 身高增加和体重减少 返回 基础提优题 2 2. 《九章算术》是中国古典数学最重要的著 作之一，其中在“方程章”中提出了“正负术”.如果支出80元记 作 元，那么收入100元记作( ) B A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 返回 基础提优题 3 3. 2025年4月24日17时17分,我国长征二 号 遥二十运载火箭搭载神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发 射中心成功发射.若火箭发射点火前记为，那么 表示( ) D A. 火箭发射点火前 B. 火箭发射点火后 C. 火箭发射点火前 D. 火箭发射点火后 返回 基础提优题 4 4. 如图所示的是某用户微信支付情况， 表示的意思是( ) 零钱明细 微信红包 10月25日8：21 -100.00 余额888.88 微信转账 10月25日9：01 +100.00 余额988.88 微信红包 10月25日9：29 余额989.54 基础提优题 5 A. 发出100元红包 B. 转账收入100元 C. 余额100元 D. 抢到100元红包 √ 返回 基础提优题 6 5.［2025沧州质检］规定：表示向右移动2，记作 ， 则 表示向左移动3，记作____. 6.如图，如果把张军前面的第2个同学李 智记作，那么 表示的是张军周围的 ____同学.（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 丁 【点拨】因为张军前面的第2个同学李智 记作，所以 表示张军后面的第一个 同学丁. 返回 基础提优题 7 7. 某中学进行立定跳远测试，男生成绩合格 标准定为 ，体育老师记录了甲、乙、丙、丁四名男生 成绩,如下表（超出标准的部分记为“ ”，不足标准的部分记 为“-”），你认为立定跳远成绩最好的是( ) 学生 甲 乙 丙 丁 成绩/ B A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 返回 综合应用题 8 8. 日常生活中，许多具有相反意义的量都可以用带“ ”或“-” 的数来表示.例如：一个杯子的杯口“朝上”可记作“ ”，杯口 “朝下”可记作“ ”.现在桌子上有11个杯口朝上的杯子，如果 每次翻转3个，能否经过若干次翻转使这11个杯子的杯口全 部朝下？若能，则至少需经过多少次翻转？运用数学知识解 决该问题，你的答案是( ) C A. 不能 B. 能，4次 C. 能，5次 D. 能，6次 返回 综合应用题 9 9.向指定方向变化用正表示，向指定方向的相反方向变化用 负表示，“体重减少 ”换一种说法可以叙述为“体重增加 ____ ”. 10.小瑞规定以15分钟为1个时间单位，并记早上七点起床作 为标准时间，早于七点起床记为正，迟于七点起床记为负， 如果早上6：45起床记为“ ”，那么周末的时候，小瑞早上8: 15起床记为____. 返回 综合应用题 10 11. 唐朝是一个诗人辈出的时代，李白、杜甫、 白居易等为我们留下了不朽的篇章，杜甫出生于公元712年， 以公元712年为标准,白居易出生于公元772年记作 年，那 么李白出生于_________年，记作 年. 公元701 返回 综合应用题 11 12.某市质量技术监督局从某食品厂生产的袋装食品中抽出样 品6袋，检测每袋的质量是否符合标准，把超过或不足的部 分分别用带“ ”或“-”的数来表示，记录如下表： 与标准质量的差/ 0 1 3 4 综合应用题 12 （1）若标准质量为 ，则抽样检测的6袋食品的总质量为 多少克？ 【解】抽样检测的6袋食品的质量分别为 ， ， ， ， ， ， 故抽样检测的6袋食品的总质量为 . 答：抽样检测的6袋食品的总质量为 . 综合应用题 13 （2）若该种食品的合格标准为 ，求该种食品的抽 样检测的合格率（精确到 ）. 由题意得，不合格的袋数为1袋， . 答：该种食品的抽样检测的合格率约是 . 返回 综合应用题 14 13.如图为某周股市的股指变化情况折线统计图. 综合应用题 15 （1）用正数表示比前一天上涨的股指，用负数表示比前一 天下跌的股指，完成下表： 星期 一 二 三 四 五 股指变化/点 _____ _____ _____ _____ _____ 综合应用题 16 （2）本周星期五股指与上周 星期五相比有何变化?变化值 是多少?（星期六、日不开市） 【解】 （点）. 本周星期五股指与上周星期五相比上涨，变化值是10点. 返回 综合应用题 17 14.如图，一只甲虫在 的方格 （每小格边长为1）上沿着网格线运动.规 定：向上向右走均为正，向下向左走均 为负.如果从到记为： ， 从到记为： ，其中第一 个数表示左右方向，第二个数表示上下 方向. （1）图中（____，____）， （____，___）， ___ ； 0 创新拓展题 18 （2）若这只甲虫从处去处的行走路线依次为 ， ，，，请在图中标出 的位置； 【解】 的位置如图所示. 创新拓展题 19 （3）若这只甲虫的行走路线为 ，请计算该甲 虫走过的路程. 该甲虫走过的路程为 . 创新拓展题 20 （4）若图中另有两个格点， ，且 ， ，则 应记为什 么？ 因为 ， ， 所以点向右走2格，向上走2格到点 ， 所以应记为 . 返回 创新拓展题 21 $