第一章 有理数 专题培优课件 2025-2026学年冀教版（2024）数学七年级上册

第一章 有理数 专题4 有理数运算律的应用 1 应用1 直接应用 1.计算： 2 （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 4 应用2 混合应用 2.能简便计算尽量用简便方法计算： . 5 【解】原式 . 返回 6 应用3 逆向应用 3.计算： （1） ； 【解】原式 . 7 （2） . 原式 . 返回 8 应用4 取倒数后应用 4.（1）根据倒数的定义我们知道，若 ，则 ____. （2）计算： . 【解】原式 . 9 （3） _____. 【点拨】由（2）得 ,所以 ,所以 . 10 除法没有分配律，无法简便运算，但可以先交换除 数与被除数的位置，求出原式的倒数. . . 返回 11 应用5 阅读应用 5. 对于两个有理数， ，规定一种新 的运算“”：.例如： , , . 12 （1）请仿照上面的例子计算下列各题： ① ; 【解】 . ② ; . ③ ; . 13 ④ . . 14 （2）通过计算，解答下列问题： ①“”运算是否满足 ？ 因为 ， ， 所以 ， 故“”运算不满足 15 ②当，为何值时，满足 ？ 因为， ， 所以当或时， . 返回 16 $第一章 有理数 专题1 绝对值的意义与非负性 1 类型1 利用绝对值比较两个负数的大小 1.比较下列各组数的大小： （1）与 ; 【解】， . 因为,所以 . 2 （2）与 . ， , . 因为，所以 . 3 两个负数比较大小，先求出这两个负数的绝对值， 再比较所求的两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对 值大的反而小”得出结论. . . . . 返回 4 类型2 利用绝对值的性质求字母的值 2. 若与互为相反数，则 的值为( ) A A. 3 B. C. 0 D. 3或 返回 5 3.已知,，且在数轴上表示的点在表示 的点的 右边，求， 的值. 【解】因为, , 所以, . 因为在数轴上表示的点在表示的点的右边，所以 . 所以,或, , 即, . 返回 6 4.根据 是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： （1）当取何值时， 有最小值？这个最小值是多少？ 【解】当时， 有最小值，这个最小值是0. （2）当取何值时， 有最大值？这个最大值 是多少？ 当时， 有最大值，这个最大值是2 025. 返回 7 类型3 绝对值的几何意义的应用 5. 在解决数学实际问题时，常常用到数形 结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数 的点 与表示数的点的距离， 的几何意义是数轴上表示数 的点与表示数2的点的距离，那么 的最大值 是___. 3 返回 8 类型4 绝对值在实际问题中的应用 6. 有5名学生参加技能大赛，他们在规定的 时间内按要求加工同一种零件.零件质量要求是：零件直径与 标准直径可以有 的误差.其中超过标准长度的用正数表 示，不足标准长度的用负数表示.现将5名学生的加工结果 （单位： ）记录如下： 张琪 赵阳 李嘉 孙磊 周正 9 （1）以上5名同学加工的零件中，谁的不符合标准？ 【解】因为零件直径与标准直径可以有 的误差， 而 ，所以周正同学加工的零件不符合标准. （2）以上5名同学加工的零件中，谁的最好？为什么？ 因为 ， 所以李嘉同学加工的零件直径与标准直径误差最小，所以李 嘉的最好. 返回 10 $第一章 有理数 专题3 加法运算律的应用技巧 1 技巧1 同号结合法 1.计算： . 【解】原式 . 返回 2 技巧2 相反数结合法 2.计算： . 【解】原式 . 如果加数中有和为0的数，可以分别结合进行运算. 返回 3 技巧3 同形结合法 3.计算： . 【解】原式 . 返回 4 技巧4 凑整结合法 4.计算： . 【解】原式 . 如果加数中有几个数结合在一起刚好能凑成整数， 可以先结合，再计算. 返回 5 技巧5 拆项法 5.计算： . 6 【解】原式 . 返回 技巧6 裂项相消法 6.观察下列各式：, , , ，根据规律计算： . 【解】原式 . 8 本题通过裂项巧妙地使相邻两项相互抵消，从而快 速得出结果. 返回 9 技巧7 数形结合法 7. 10 （1）如图①，把一个面积为1的 正方形等分成两个面积为 的长方 形，接着又把其中一个面积为 的 【点拨】由题图①可得 . 长方形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为 的正方形等分成两个面积为的长方形， .如此进行下去， 请根据图形规律计算： ___. （2）请你利用图②，再设计一个能求 的值 的几何图形. 【解】如图①所示. 12 （3）利用上述方法计算: ____. 【点拨】如图②，一个边长为1的正方形纸片，图形①的面 积是正方形纸片面积的 ，图形②的面积是图形①面积的2倍 的，即，图形③的面积是图形②面积的2倍的 ， 即，图形④的面积是图形③面积的2倍的 ，即 13 ，图形⑤的面积是图形④的面积的2倍的 ，即 ，图形⑥的面积是图形⑤面积的2倍的 ，即 ，图形⑦的面积是图形⑥面积的2倍，即 ，所以 图形①②③ ④⑤⑥的面积之和，所以 . 返回 $第一章 有理数 专题2 数轴的常见应用 1 应用1 数轴的折叠问题 1. 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数 和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在 联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画 了一条数轴（如图），然后进行了实践探究： 2 （1）折叠纸条，使表示1的点与表示 的点重合，则表示 的点与表示___的点重合. 5 （2）在数轴上，两点之间的距离为（点在点 的 左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示 的点重合.此时 ，两点也重合，则点 表示的数是_________. 3 （3）定义：， 为数轴上任 意两点，若折叠纸条使点， 重合，折痕与数轴的交点为点，则称点为点和点 的 “叠点”.点，，在数轴上，点 是数轴上最大的负整数点， 点是原点，点在点的右侧且到点 的距离是7.折叠纸条 使点和点重合，则点是点和点的“叠点”.若存在点 在 点与点之间，且其在数轴上对应的数为， .求点 到点 的距离. 4 【解】因为点 是数轴上最大 的负整数点，所以点 表示的 数是 ， 因为点是原点，点在点的右侧且到点 的距离是7，所以 点 表示的数是7， 因为折叠纸条使点和点重合，点是点和点 的“叠点”， 所以点 表示的数是3. 5 因为存在点在点与点 之间，且其 在数轴上对应的数为， ,所以 ，即点 表示的数是2. 所以点到点的距离为 . 返回 应用2 数轴上点的规律问题 2. 综合与实践：一只电子跳蚤从数轴上的 原点处出发，第1次向左跳动1个单位长度，第2次向右跳动2 个单位长度，第3次向左跳动3个单位长度，第4次向右跳动4 个单位长度，第5次向左跳动5个单位长度，第6次向右跳动6 个单位长度，以此类推. 7 （1）第1次跳动的落点位置对应的有理数是____，第2次跳 动的落点位置对应的有理数是___，第2 026次跳动的落点位 置对应的有理数是______. 1 1013 （2）若该电子跳蚤从表示 的点处出发，则第1次跳动的落 点位置对应的有理数是____，第2 026次跳动的落点位置对 应的有理数是______，第____次跳动的落点位置是原点. 1005 16 8 （3）若该电子跳蚤从表示 是正整数)的点处出发，则第 1次跳动的落点位置对应的有理数是_______，第2 026次跳 动的落点位置对应的有理数是__________，第 是正整数) 次跳动的落点位置对应的有理数是_______. 返回 9 应用3 数轴上的点的距离问题 3. 如图，已知点，， 是数轴上的三 点，为原点.点表示的数为3，点与点 之间的距离为2， 点与点 之间的距离为6. 【问题提出】 （1）点表示的数是____，点 表示的数是___. 1 10 【问题探究】 （2）动点，分别同时从点， 处出发，分别以每秒8个 单位长度和4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点 在点 和点之间，且点到点的距离与点到点 的距离相等， 点在点和点之间，且点到点的距离是点到点 的距 离的4倍，当运动时间为时，用含 的式子表示点 ， 对应的数. 11 【解】由题意可得， . 又因为， ， 所以， ， 所以点对应的数为，点对应的数为 . 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，点到点的距离是否与 的大小有 关？若有关，用含的式子表示点到点 的距离；若无关， 请求出点到点 的距离. 13 的长度与 无关. 因为 ， 所以点对应的数为 ， 所以 ， 所以点到点的距离与 的大小无关，为定值8. 返回 应用4 数轴上的动点问题 4.如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动 到达 点，再向右移动到达点，然后再向右移动 到达点 ，数轴上一个单位长度表示 . 15 （1）请你在数轴上标出，，三点的位置，并填空：点 表示的数为___，点表示的数为___，点 表示的数为___. -4 1 4 点，，的位置如图所示. ;1;4 16 （2）把点到点的距离记为，点到点的距离记为 ， 则___，___ . 5 8 （3）若点沿数轴以每秒 的速度匀速向右运动，则当点 运动多少秒时， ？ 17 【解】由题意知，当点在点的左侧时，点 表示的数是1， 则点运动的距离为，此时点 运动的时间为 ； 当点在点的右侧时，点表示的数是7，则点 运动的距离 为，此时点运动的时间为 . 综上所述，当点运动或时， . 返回 18 5. 如图，点，均在数轴上，点 对应的 数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点, 是数轴上的两个动点. （1）求出点 对应的数； 【解】点 对应的数是1. 19 （2）当点到点， 的距离之和是5个单位长度时，求出此 时点 对应的数； . ①当点在点 的左边时， 点对应的数是 ； 20 ②当点在点 的右边时， 点对应的数是 . 故点对应的数是 或1.5. 21 （3）若点,分别从点，出发，均沿数轴向左运动，点 每秒运动2个单位长度，点每秒运动3个单位长度.若点 出 发5秒后点出发，当, 两点相距2个单位长度时，求此时点 , 分别对应的数. 22 ①当点在点 的左边时， （秒）， 所以此时点对应的数是，点 对应的数是 . ②当点在点 的右边时， （秒）， 所以此时点对应的数是，点 对应的数是 . 综上，点，对应的数分别是，或， . 返回 24 $第一章 有理数 专题5 有理数混合运算的常见题型 1 题型1 与有理数的概念有关的运算 1. 若的绝对值是它本身，的相反数是它本身， 的倒数是 它本身，则结果不唯一的是( ) B A. B. C. D. 【点拨】因为的绝对值是它本身，所以.因为 的相反 数是它本身，所以.由的倒数是它本身，得 .因 为，所以，， 都是唯一的.所以结 果不唯一的是 .故选B. 返回 2 2.已知与互为倒数，与互为相反数， 的绝对值为4， 求 的值. 【解】由题意得，， ， 则，， . 当时，原式 ； 当时，原式 . 综上可得，原式的值为3或1. 3 运用相反数、倒数和绝对值的性质及有理数的运算 法则求解，涉及绝对值的问题通常要分类讨论，本题中 的 绝对值为4，容易只考虑 这一种情况，导致漏解. . . 返回 4 题型2 与非负性有关的计算 3. 若与互为相反数，则 的值为( ) A A. B. C. D. 【点拨】因为和 互为相反数，所以 ，所以， ，所 以，，所以 . 返回 5 4.已知，，，则 的值等于_____. 【点拨】因为，，所以， . 因为，所以，异号.当， 时， ；当， 时， .所以 . 返回 6 题型3 与程序有关的运算 5. 下图是一个数值转换机，若输入的 的值 为2，则输出的结果应为___. 0 返回 7 6. 王华在电脑上设计了一个有理数的运算 程序：输入，按键，再输入 ，得到运算: . （1）请按此运算程序求 的值. 【解】根据题意，得 . 8 （2）王华在运用此程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”， 请你猜想他在输入数据时，可能出现了什么情况？并说明理由. 输入数据时，可能出现了或 . 理由：当或 时，原式没有意义，从而屏幕显示“该 程序无法操作”. 返回 9 题型4 与新定义有关的计算 7. 如果一对有理数,使等式 成立，那么这 对有理数,叫作“共生有理数对”，记为 .根据上述定义， 判断下列选项中不是“共生有理数对“的是( ) D A. B. C. D. 10 【点拨】因为， ，符合 ，所以 是“共生有理数对”；因为 ，，符合，所以 是“共生有理数对”；因为， ，符合 ，所以 是“共生有理数对”；因为 ，，不符合 ，所以 不是“共生有理数对”.故选D. 返回 11 8.定义新运算：， （等号右边的运算 为平常的加、减、乘、除）.例如： ， . 若，则称有理数， 为一对“隔一数对”.例如： ，， ，所以2， 3就是一对“隔一数对”. 12 （1）下列各组数是“隔一数对”的是______.（填序号） ，；， ； ， . ①② 13 【点拨】①因为， ，所以 ，则①是“隔一数对”； ②因为， ， 所以 ，则②是“隔一数对”； ③因为， ， 所以 ，则③不是“隔一数对”. 综上，是“隔一数对”的是①②. 14 （2）计算： . 【解】 . 返回 15 题型5 与运算法则有关的混合运算 9. 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 16 题型6 与运算律有关的混合运算 10.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . 17 （3） ； 原式 . 18 （4） . 原式 . 返回 19 题型7 与运算规律有关的混合运算 11.（1）计算：__，___，___， ， _____； （2）可得 _______； （3）利用上述规律计算： . 【解】原式 . 返回 20 题型8 与周期规律有关的计算 12. 观察下列三行数的排列规律： ,4,,16,,64, ;① ,2,,8,,32, ;② 0,6,,18,,66, .③ 21 回答下列问题： （1）第①行的第 个数是什么? 【解】第①行的第个数是 . （2）第②③行与第①行的关系如何? 它们的第 个数分别是 什么? 第②行的数从第2 个数开始分别是第①行相应位置的前一个 数的相反数，其第个数是 ；第③行的数是第①行 相应位置的数加2，其第个数是 . 22 （3）取第①行的第2 025个数,第②行的第2 026个数，第③ 行的第2 027个数相加，和是多少? 第①行的第2 025个数是 ,第②行的第2 026个数是 ，第③行的第2027个数是 ,故 . 返回 23 $