第12讲 容斥原理（知识梳理+例题讲解+考点练习）-六年级奥数培优讲义

第12讲 容斥原理 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解容斥原理的基本概念，能够清晰分辨在何种情况下需要运用容斥原理来解决问题。 2.熟练掌握容斥原理的两种基本公式（包含与排除公式），并能准确应用到具体的数学题目中。 3.通过对容斥原理相关考点的学习和练习，提高分析问题、解决问题的能力，培养逻辑思维，为奥数学习打下坚实基础。 知识梳理 知识点一、容斥原理的概念 1.容斥原理是指先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。 2.例如：有一个班级，喜欢语文的有20人，喜欢数学的有25人，其中既喜欢语文又喜欢数学的有10人，那么班级里喜欢语文或数学的人数就不是20 + 25 = 45人，因为这中间有10人被重复计算了，根据容斥原理，应该是20 + 25 - 10 = 35人。 知识点二、容斥原理的基本公式 1.两个集合的容斥原理公式： A∪B = A + B - A∩B 其中A∪B表示A和B的并集（也就是喜欢语文或数学的总人数），A表示集合A的元素个数（喜欢语文的人数），B表示集合B的元素个数（喜欢数学的人数），A∩B表示A和B的交集（既喜欢语文又喜欢数学的人数）。 2.三个集合的容斥原理公式： A∪B∪C = A + B + C - A∩B - A∩C - B∩C + A∩B∩C 这里A、B、C分别代表三个不同的集合，公式中的各项含义与两个集合公式类似，只是多了三个集合之间相互交集的情况。 知识点三、考点题型 1.简单的两个集合容斥问题 （1）这类题目通常会直接给出两个集合各自的元素个数以及它们的交集元素个数，要求求出并集的元素个数。 （2）例如：学校图书馆有故事书300本，科技书200本，其中既属于故事书又属于科技书（比如科普故事类）的有50本，问图书馆里故事书或科技书一共有多少本？ 根据公式A∪B = A + B - A∩B，这里A = 300（故事书数量），B = 200（科技书数量），A∩B = 50，代入可得：300 + 200 - 50 = 450本。 2.两个集合容斥问题的变形 （1）题目不会直接给出交集的元素个数，而是通过一些条件让学生自己去推算出交集的情况。 （2）例如：一个班级有40名学生，参加语文兴趣小组的有25人，参加数学兴趣小组的有28人，问两个兴趣小组都参加的有多少人？ 我们设两个兴趣小组都参加的有x人，那么根据容斥原理公式A∪B = A + B - A∩B，这里A∪B就是班级总人数40人，A = 25，B = 28，代入公式可得：40 = 25 + 28 - x，解这个方程就能得出x = 13人，即两个兴趣小组都参加的有13人。 3.三个集合容斥问题 （1）这类题目相对复杂一些，涉及到三个不同集合之间的关系。 （2）例如：学校举行运动会，参加田径比赛的有50人，参加球类比赛的有40人，参加游泳比赛的有30人，同时参加田径和球类比赛的有15人，同时参加田径和游泳比赛的有10人，同时参加球类和游泳比赛的有8人，三项比赛都参加的有3人，问参加运动会的总人数有多少人？ 根据三个集合的容斥原理公式A∪B∪C = A + B + C - A∩B - A∩C - B∩C + A∩B∩C，这里A = 50（参加田径比赛人数），B = 40（参加球类比赛人数），C = 30（参加游泳比赛人数），A∩B = 15，A∩C = 10，B∩C = 8，A∩B∩C = 3，代入可得： 50 + 40 + 30 - 15 - 10 - 8 + 3 = 90人，即参加运动会的总人数为90人。 知识点四、解题步骤与思路 1.首先要明确题目中涉及到几个集合，也就是有几种不同类型的情况在进行计数。 2.确定每个集合的元素个数，以及题目中给出的各个集合之间交集的相关信息。 3.根据题目是两个集合还是三个集合的情况，选择合适的容斥原理公式。 4.将已知数据代入公式，通过计算得出所求的结果。如果遇到方程形式的，要正确解方程求出未知数。 例题讲解 一、简单的两个集合容斥问题 【例题1】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有人，参加军棋比赛的有人，有人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？ 【例题2】四（1）班50名同学，喜欢乒乓球的有35名，乒乓球和跳绳都喜欢的有14名，如果每人至少喜欢其中的一项，喜欢跳绳的总共有多少人？ 二、两个集合容斥问题的变形 【例题1】一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人？ 【例题2】四（1）班有30个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有20人。问有多少个同学两题都没有答对？ 三、三个集合容斥问题 【例题1】实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有20幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅？ 【例题2】在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片。它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，1，2，3三部分的面积和为80，3张纸片共同重叠的面积是阴影部分，求阴影部分的面积？ 【例题3】2024年10月11日是九九重阳节，我市举办了一场热热闹闹的老年趣味运动会，幸福社区也派出了一支代表队参加。其中有100位老人参加了冰球，有105位老人参加了运乒乓球，有70位老人参加了放风筝，有80位老人参加了冰球和运乒乓球，有50位老人参加了运乒乓球和放风筝，有40位老人参加了冰球和放风筝，有30位老人三项参加了，这支代表队一共有多少位老人？ 【例题4】如图，甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是4厘米、6厘米、8厘米。乙的一个顶点在甲的中心点上，丙的一个顶点在乙的中心点上，并且甲和丙没有交集。这三个正方形的覆盖面积是多少？ 考点练习 一、简单的两个集合容斥问题 1．学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？ 2．元旦节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有15幅不是五年级的，有16幅不是六年级的，五、六年级参展的画共有11幅，其他年级的画有多少幅？ 3．光名小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品一共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？ 4．四年级二班有48人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有11人，订《小学生优秀作文》的有35人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？ 5．实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有人，参加数学兴趣小组的有人，有人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ 6．某次英语考试由两部分组成，结果全班有人得满分，第一部分有人做对，第二部分有人有错，问两部分都有错的有多少人？ 7．对全班同学调查发现，会游泳的有人，会打篮球的有人。两项都会的有人，两项都不会的有人。这个班一共有多少人？ 8．名学生参加数学和语文考试，其中语文得分分以上的人，数学得分分以上的人，两门都不在分以上的有人。问：两门都在分以上的有多少人？ 9．植树节那天，学校每个年级的学生都去郊外义务植树，其中有30棵不是三年级种的，有20棵不是四年级种的，三、四年级植的树共有10棵，其他年级种的树有多少棵？ 二、两个集合容斥问题的变形 1．三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算，这个班共有多少人？ 2．一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？ 3．“叮咚到家”手机APP上有两个促销活动：①九块九两个沙田柚，②六块六12个土鸡蛋。某公司的员工都参与了这个活动且至少抢到了其中一种商品，其中有一半的员工抢到了两种商品，抢到沙田柚的员工总人数和抢到土鸡蛋的员工总人数相等，都是36人。那么这个公司共有多少名员工？ 4．科技活动小组有人。在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现:制作好一架飞机模型的同学有人，制作好一艘舰艇的同学有人。每个同学都至少完成了一项制作。问两项制作都完成的同学有多少人？ 5．在一次运动会中，甲班参加田赛的有15人，参加径赛的有12人，既参加田赛又参加径赛的有7人，没有参加比赛的有21人。那么甲班一共有多少人？ 6．学校合唱团全部是来自甲、乙、丙三个班的同学，其中来自甲、乙两班的同学共有60人，合唱团中不是甲班的同学有100人，不是乙班的同学有90人。问： （1）合唱团中来自甲、乙两班的同学各有多少人？ （2）合唱团的同学一共有多少人？ 7．某班有45名学生，班主任李老师就想参加数学和航模小组的学生情况进行举手统计。李老师问：“想参加数学小组的同学请举手！”，这时有18人举手；李老师又问：“想参加航模小组的同学请举手！”，这时有19人举手；李老师再问：“两个小组都想参加的同学请举手！”，这时有10人举手。那么，有多少人两个小组都不想参加参加？ 8．一个长方形长厘米，宽厘米，另一个长方形长厘米，宽厘米，它们中间重叠的部分是一个边长厘米的正方形，求这个组合图形的面积。 9．在一次考试中，甲、乙两人考试结果如下：甲答错了全部试题的，乙答错了7道题，甲、乙都答错的题目占全部试题的，则甲、乙两人都答对的题目最少多少道？ 三、三个集合容斥问题 1．某校参加区里的数学、语文、科技三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学807人，语文739人，科技437人；至少参加两科竞赛的：参加数学、语文的有593人，参加数学、科技的有371人，参加语文、科技的有267人；三科都参加的有213人，问：至少参加一科竞赛的有多少人？ 2．夏日的一天，有十个同学去吃冷饮。向服务员交出需要冷饮的统计，数字如下，有6个人要可可，有5个人要咖啡，有5个人要果汁，有3个人既要可可又要果汁，有一个人既要可可、咖啡又要了果汁。求证：其中一定有一个人什么冷饮也没有要。 3．文苑小区有一栋居民楼，每户人家都订了2份不同的报纸，一共订了3种报纸。其中，《××都市报》订了34份，《××晚报》订了30份，《××周报》订了22份。问：有多少户人家同时订了《××都市报》和《××周报》？ 4．某饮品店员工在路上随机采访了200个路人，其中喜欢喝可乐的有120人，喜欢喝奶茶的有140人，喜欢喝水果茶的有160人，既喜欢喝可乐又喜欢喝奶茶的有90人，既喜欢喝奶茶又喜欢喝水果茶的有110人，既喜欢喝可乐又喜欢喝水果茶的有100人，三种都不喜欢喝的有20人。那么，三种都喜欢喝的有多少人？ 5．第七届世界军人运动会将于2019年10月在中国武汉举行。“军运会”相比其他运动会最具特色的比赛项目就是“空军五项”、“军事五项”以及“海军五项”。某军事学院的林教官就这三大项目的了解情况在班上进行调查，当问及“空军五项”时有39人举手表示知道，问及“海军五项”时有36人举手，问及“军事五项”时32人举手；最后调查发现知道“空军五项”和“海军五项”的有28人，知道有“空军五项”和“军事五项”的有27人，知道“海军五项”和“军事五项”的有25人，三大项都不知道的有6人。已知全班共有56人，那么只知道“空军五项”的有几人？ 6．三个面积均为平方厘米的圆纸片放在桌面上（如图），三个纸片共同重叠的面积是平方厘米。三个纸片盖住桌面的总面积是平方厘米。问：图中阴影部分面积之和是多少？ 7．盛夏的一天，有个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有人；可乐、雪碧都要的有人；可乐、橙汁都要的有人；雪碧、橙汁都要的有人；三样都要的只有人，证明其中一定有人这三种饮料都没有要。 8．某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有人，手中有黄旗的共有人，手中有蓝旗的共有人。其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有人。而手中只有红、黄两种小旗的有人，手中只有黄、蓝两种小旗的有人，手中只有红、蓝两种小旗的有人，那么这个班共有多少人？ 9．如图所示，、、分别是面积为、、的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为。若与、与的公共部分的面积分别为、，、、这三张纸片的公共部分为。求与公共部分的面积是多少？ 10．森林里住着100只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜。其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃白菜的小白兔数量的2倍，而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的3倍，它们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 容斥原理 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解容斥原理的基本概念，能够清晰分辨在何种情况下需要运用容斥原理来解决问题。 2.熟练掌握容斥原理的两种基本公式（包含与排除公式），并能准确应用到具体的数学题目中。 3.通过对容斥原理相关考点的学习和练习，提高分析问题、解决问题的能力，培养逻辑思维，为奥数学习打下坚实基础。 知识梳理 知识点一、容斥原理的概念 1.容斥原理是指先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。 2.例如：有一个班级，喜欢语文的有20人，喜欢数学的有25人，其中既喜欢语文又喜欢数学的有10人，那么班级里喜欢语文或数学的人数就不是20 + 25 = 45人，因为这中间有10人被重复计算了，根据容斥原理，应该是20 + 25 - 10 = 35人。 知识点二、容斥原理的基本公式 1.两个集合的容斥原理公式： A∪B = A + B - A∩B 其中A∪B表示A和B的并集（也就是喜欢语文或数学的总人数），A表示集合A的元素个数（喜欢语文的人数），B表示集合B的元素个数（喜欢数学的人数），A∩B表示A和B的交集（既喜欢语文又喜欢数学的人数）。 2.三个集合的容斥原理公式： A∪B∪C = A + B + C - A∩B - A∩C - B∩C + A∩B∩C 这里A、B、C分别代表三个不同的集合，公式中的各项含义与两个集合公式类似，只是多了三个集合之间相互交集的情况。 知识点三、考点题型 1.简单的两个集合容斥问题 （1）这类题目通常会直接给出两个集合各自的元素个数以及它们的交集元素个数，要求求出并集的元素个数。 （2）例如：学校图书馆有故事书300本，科技书200本，其中既属于故事书又属于科技书（比如科普故事类）的有50本，问图书馆里故事书或科技书一共有多少本？ 根据公式A∪B = A + B - A∩B，这里A = 300（故事书数量），B = 200（科技书数量），A∩B = 50，代入可得：300 + 200 - 50 = 450本。 2.两个集合容斥问题的变形 （1）题目不会直接给出交集的元素个数，而是通过一些条件让学生自己去推算出交集的情况。 （2）例如：一个班级有40名学生，参加语文兴趣小组的有25人，参加数学兴趣小组的有28人，问两个兴趣小组都参加的有多少人？ 我们设两个兴趣小组都参加的有x人，那么根据容斥原理公式A∪B = A + B - A∩B，这里A∪B就是班级总人数40人，A = 25，B = 28，代入公式可得：40 = 25 + 28 - x，解这个方程就能得出x = 13人，即两个兴趣小组都参加的有13人。 3.三个集合容斥问题 （1）这类题目相对复杂一些，涉及到三个不同集合之间的关系。 （2）例如：学校举行运动会，参加田径比赛的有50人，参加球类比赛的有40人，参加游泳比赛的有30人，同时参加田径和球类比赛的有15人，同时参加田径和游泳比赛的有10人，同时参加球类和游泳比赛的有8人，三项比赛都参加的有3人，问参加运动会的总人数有多少人？ 根据三个集合的容斥原理公式A∪B∪C = A + B + C - A∩B - A∩C - B∩C + A∩B∩C，这里A = 50（参加田径比赛人数），B = 40（参加球类比赛人数），C = 30（参加游泳比赛人数），A∩B = 15，A∩C = 10，B∩C = 8，A∩B∩C = 3，代入可得： 50 + 40 + 30 - 15 - 10 - 8 + 3 = 90人，即参加运动会的总人数为90人。 知识点四、解题步骤与思路 1.首先要明确题目中涉及到几个集合，也就是有几种不同类型的情况在进行计数。 2.确定每个集合的元素个数，以及题目中给出的各个集合之间交集的相关信息。 3.根据题目是两个集合还是三个集合的情况，选择合适的容斥原理公式。 4.将已知数据代入公式，通过计算得出所求的结果。如果遇到方程形式的，要正确解方程求出未知数。 例题讲解 一、简单的两个集合容斥问题 【例题1】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有人，参加军棋比赛的有人，有人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？ 【答案】人 【分析】如图，A圆表示参加象棋比赛的人，B圆表示参加军棋比赛的人，A与B重合的部分表示同时参加两项比赛的人，两个圆所覆盖的总面积表示这个班参加棋类比赛的人数。 【详解】如图所示： （人） 答：这个班参加棋类比赛的共有42人。 【例题2】四（1）班50名同学，喜欢乒乓球的有35名，乒乓球和跳绳都喜欢的有14名，如果每人至少喜欢其中的一项，喜欢跳绳的总共有多少人？ 【答案】29人 【分析】每人至少喜欢乒乓球和跳绳中的一项，因此根据容斥问题的公式可知：全班总人数＝喜欢乒乓球的人数＋喜欢跳绳的人数－乒乓球和跳绳都喜欢的人数。所以用全班的总人数加上乒乓球和跳绳都喜欢的人数，再减去喜欢乒乓球的人数，即可求出喜欢跳绳的总共有多少人。 【详解】50＋14－35 ＝64－35 ＝29（人） 答：喜欢跳绳的总共有29人。 二、两个集合容斥问题的变形 【例题1】一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人？ 【答案】30人 【分析】根据容斥问题的公式可知：至少会下一种棋的人数＝会下中国象棋的人数＋会下国际象棋的人数－这两种棋都会下的人数。因此用俱乐部的总人数减去这两种棋都不会下的人数，先求出至少会下一种棋的人数，然后根据容斥问题的公式即可求出这两种棋都会下的人数。 【详解】至少会下一种棋的人数：103－12＝91（人） 两种棋都会下的人数：69＋52－91 ＝121－91 ＝30（人） 答：这两种棋都会下的有30人。 【例题2】四（1）班有30个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有20人。问有多少个同学两题都没有答对？ 【答案】2个 【分析】答对第1题和第2题的人次共计48人，减去重叠部分即两题都答对的人次，即答对题目的共计28人，则没有答对题目的就是剩下的2人。 【详解】25＋23－20 ＝48－20 ＝28（人） 30－28＝2（个） 答：有2个同学两题都没有答对。 三、三个集合容斥问题 【例题1】实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有20幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅？ 【答案】6幅 【分析】由题意可知：六年级作品数＋一、二、三、四年级作品数＝28幅；五年级作品数＋一、二、三、四年级作品数＝24幅；五年级作品数＋六年级作品数＝20幅；由此即可求出一、二、三、四年级的作品总数。然后再根据一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅即可转换为和差问题，根据和差问题的公式“较小数＝（和－差）÷2”即可求出一、二年级参展的书法作品共有多少幅。 【详解】一、二、三、四年级的作品总数： （28＋24－20）÷2 ＝（52－20）÷2 ＝32÷2 ＝16（幅） 一、二年级的作品总数： （16－4）÷2 ＝12÷2 ＝6（幅） 答：一、二年级参展的书法作品共有6幅。 【例题2】在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片。它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，1，2，3三部分的面积和为80，3张纸片共同重叠的面积是阴影部分，求阴影部分的面积？ 【答案】38平方厘米 【分析】根据题意和容斥原理可知，从三个圆片的总面积里去掉盖住桌面的总面积以及三部分的面积和，然后除以2（因为是两个重叠在一起，所以要除以2），由此即可求出答案。 【详解】（100×3－144－80）÷2 ＝（300－144－80）÷2 ＝（156－80）÷2 ＝76÷2 ＝38（平方厘米） 答：阴影部分的面积是38平方厘米。 【例题3】2024年10月11日是九九重阳节，我市举办了一场热热闹闹的老年趣味运动会，幸福社区也派出了一支代表队参加。其中有100位老人参加了冰球，有105位老人参加了运乒乓球，有70位老人参加了放风筝，有80位老人参加了冰球和运乒乓球，有50位老人参加了运乒乓球和放风筝，有40位老人参加了冰球和放风筝，有30位老人三项参加了，这支代表队一共有多少位老人？ 【答案】135位 【分析】根据三元素容斥原理的计算公式计算即可。 【详解】100＋105＋70－80－50－40＋30 ＝205－10－90＋30 ＝195－60 ＝135（位） 答：这支代表队一共有135位老人。 【例题4】如图，甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是4厘米、6厘米、8厘米。乙的一个顶点在甲的中心点上，丙的一个顶点在乙的中心点上，并且甲和丙没有交集。这三个正方形的覆盖面积是多少？ 【答案】103平方厘米 【分析】把正方形甲乙分别旋转成何丙同样的位置，不难发现，甲和乙重合的面积为甲的四分之一，乙和丙重合的面积为乙的四分之一。所以这三个正方形覆盖的面积等于三个正方形的面积之和减去重合的两部分的面积，据此即可解答问题。 【详解】4×4＋6×6＋8×8－2×2－3×3 ＝16＋36＋64－4－9 ＝103（平方厘米） 答：这三个正方形的覆盖面积是103平方厘米。 考点练习 一、简单的两个集合容斥问题 1．学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？ 【答案】33人 【分析】学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，因此根据容斥问题的公式可知：文艺组总人数＝会拉手风琴的人数＋会弹电子琴的人数－两种乐器都会演奏的人数。据此即可解答。 【详解】24＋17－8 ＝41－8 ＝33（人） 答：这个文艺组一共有33人。 2．元旦节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有15幅不是五年级的，有16幅不是六年级的，五、六年级参展的画共有11幅，其他年级的画有多少幅？ 【答案】10幅 【分析】根据有15幅不是五年级的可知，六年级＋其他年级＝15幅，同样的道理，五年级＋其他年级＝16幅，两个数据相加，即可得到五六年级加上两个其他年级的幅数，扣除五六年级的11幅，再除以2，即可得到其他年级的幅数。 【详解】15＋16－11 ＝31－11 ＝20（幅） 20÷2＝10（幅） 答：其他年级的画有10幅。 3．光名小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品一共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？ 【答案】18幅 【分析】根据24幅不是五年级的，可知，六年级的幅数＋其他年级的幅数＝24幅。同样的道理，五年级的幅数＋其他年级的幅数＝22幅，两者相加，即可得到五六年级的幅数加上2倍其他年级的幅数，然后扣除五六年级的10幅，再除以2，即可得到答案。 【详解】24＋22－10 ＝46－10 ＝36（幅） 36÷2＝18（幅） 答：其他年级参展的书法作品共有18幅。 4．四年级二班有48人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有11人，订《小学生优秀作文》的有35人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？ 【答案】24人 【分析】先用48减去35求出只订《数学大世界》的人数，然后再加上两种读物都订的11人即可。 【详解】48－35＋11 ＝13＋11 ＝24（人） 答：订《数学大世界》的有24人。 5．实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有人，参加数学兴趣小组的有人，有人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ 【答案】人 【分析】如图，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分 （阴影部分）表示同时参加两个小组的人，两个圆覆盖的总面积表示参加了语文或数学兴趣小组的人数。 【详解】如图所示： （人） 答：这个班有45人参加了语文或数学兴趣小组。 6．某次英语考试由两部分组成，结果全班有人得满分，第一部分有人做对，第二部分有人有错，问两部分都有错的有多少人？ 【答案】人 【分析】如图，长方形表示总人数，左圆表示做对第一部分的人数，右圆表示做对第二部分的人数，重叠部分表示两部分都做对的人数，其余部分表示两部分都做错的人数，其中，重叠部分是12人。 【详解】如图所示： （人） 只做对第一部分的有13人； （人） 两部分都有错的有人； 答：两部分都有错的有6人。 7．对全班同学调查发现，会游泳的有人，会打篮球的有人。两项都会的有人，两项都不会的有人。这个班一共有多少人？ 【答案】人 【分析】如图，用长方形表示全班人数，分别表示会游泳的人数、会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数，中间重叠部分表示两项都会的人数。 【详解】如图所示： （人） 全班人数为：（人） 答：这个班一共有44人。 8．名学生参加数学和语文考试，其中语文得分分以上的人，数学得分分以上的人，两门都不在分以上的有人。问：两门都在分以上的有多少人？ 【答案】人 【分析】如图，用长方形表示这47名学生，A圆表示语文得分95分以上的人数，B圆表示数学得95分以上的人数，A与B重合的部分表示两门都在95分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都不在95分以上的人数。 【详解】如图所示： 由图中可以看出，全体人数是至少一门在分以上的人数与两门都不在分以上的人数之和，则至少一门在分以上的人数为：（人）。根据包含排除法，两门都在分以上的人数为：（人） 答：两门都在95分以上的有10人。 9．植树节那天，学校每个年级的学生都去郊外义务植树，其中有30棵不是三年级种的，有20棵不是四年级种的，三、四年级植的树共有10棵，其他年级种的树有多少棵？ 【答案】20棵 【分析】有30棵不是三年级种的，即其他年级种树的棵数＋四年级种树的棵数＝30棵；有20棵不是四年级种的，即其他年级种树的棵数＋三年级种树的棵数＝20棵；三、四年级植的树共有10棵，即三年级种树的棵数＋四年级种树的棵数＝10棵。因此用第一个算式加上第二个算式，再减去第三个算式，最后再除以2，即可求出其他年级种树的棵数。 【详解】由题意可知： 其他年级种树的棵数＋四年级种树的棵数＝30棵 其他年级种树的棵数＋三年级种树的棵数＝20棵 三年级种树的棵数＋四年级种树的棵数＝10棵 因此其他年级种树：（30＋20－10）÷2 ＝40÷2 ＝20（棵） 答：其他年级种的树有20棵。 二、两个集合容斥问题的变形 1．三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算，这个班共有多少人？ 【答案】56人 【分析】根据容斥原理的公式可知：全班总人数＝参加合唱队的人数＋参加舞蹈队的人数－既参加合唱队又参加舞蹈队的人数＋两队都没有参加的人数。据此即可解决。 【详解】40＋20－14＋10 ＝60－14＋10 ＝46＋10 ＝56（人） 答：这个班共有56人。 2．一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？ 【答案】19人 【分析】根据容斥问题的公式可知：全班总人数＝订阅《小学生数学报》的人数＋订阅《中国少年报》的人数－两种报纸都订阅的人数＋两种报纸都没有订阅的人数。因此用全班的总人数加上两种报纸都订阅的人数，减去订阅《小学生数学报》的人数，再减去订阅《中国少年报》的人数，即可求出两种报纸都没有订阅的有多少人。 【详解】55＋25－32－29 ＝80－32－29 ＝48－29 ＝19（人） 答：两种报纸都没有订阅的有19人。 3．“叮咚到家”手机APP上有两个促销活动：①九块九两个沙田柚，②六块六12个土鸡蛋。某公司的员工都参与了这个活动且至少抢到了其中一种商品，其中有一半的员工抢到了两种商品，抢到沙田柚的员工总人数和抢到土鸡蛋的员工总人数相等，都是36人。那么这个公司共有多少名员工？ 【答案】48名 【分析】设公司共有x名员工，那么抢到两种商品的有x人，根据容斥原理，公司总人数＝抢到柚子的人数＋抢到鸡蛋的人数－两种都抢到的人数，据此解方程求解即可。 【详解】设公司共有x名员工， 可得方程：x＝36×2－x 解得：x＝48 答：公司共有48名员工。 4．科技活动小组有人。在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现:制作好一架飞机模型的同学有人，制作好一艘舰艇的同学有人。每个同学都至少完成了一项制作。问两项制作都完成的同学有多少人？ 【答案】人 【分析】每个同学都至少完成了一项制作，40与32的和大于55，显然有一些学生完成了两项制作，而总人数只有55人，多出来的部分即为完成两项制作的人数。 【详解】如图所示： （人） （人） 答：两项制作都完成的同学有17人。 5．在一次运动会中，甲班参加田赛的有15人，参加径赛的有12人，既参加田赛又参加径赛的有7人，没有参加比赛的有21人。那么甲班一共有多少人？ 【答案】41人 【分析】读题可知，既参加田赛又参加径赛的有7人，这7人在计算至少参加一项比赛的人数时会被重复计算，所以排除重复计算应该减7；最后再加上没有参加比赛的人数得解。 【详解】至少参加一项比赛的人数： 15＋12－7 ＝27－7 ＝20（人） 甲班总人数：20＋21＝41（人） 答：甲班共有41人。 6．学校合唱团全部是来自甲、乙、丙三个班的同学，其中来自甲、乙两班的同学共有60人，合唱团中不是甲班的同学有100人，不是乙班的同学有90人。问： （1）合唱团中来自甲、乙两班的同学各有多少人？ （2）合唱团的同学一共有多少人？ 【答案】（1）甲班25人，乙班35人；（2）125人 【分析】不是甲班的同学有100人，即乙班加丙班合计100人。不是乙班的有90人，即甲班加丙班有90人。两者相加，即得到甲乙两个班加2个丙班合计190人，结合甲乙两班共60人，进而算出丙班的人数，从而得到另外两个班的人数和总人数。 【详解】（1）丙班：（90＋100－60）÷2＝65（人） 甲班：90－65＝25（人） 乙班：60－25＝35（人） 答：甲班有25人，乙班有35人。 （2）合唱团一共100＋25＝125（人） 答：合唱团的同学一共有125人。 7．某班有45名学生，班主任李老师就想参加数学和航模小组的学生情况进行举手统计。李老师问：“想参加数学小组的同学请举手！”，这时有18人举手；李老师又问：“想参加航模小组的同学请举手！”，这时有19人举手；李老师再问：“两个小组都想参加的同学请举手！”，这时有10人举手。那么，有多少人两个小组都不想参加参加？ 【答案】18人 【分析】用参加数学小组的同学人数加上参加航模小组同学的人数，再减去两个小组都想参加的人数，最后用全班的人数减去参加两个小组的人数即可解答。 【详解】18＋19－10＝27（人） 45－27＝18（人） 答：有18人两个小组都不想参加参加。 8．一个长方形长厘米，宽厘米，另一个长方形长厘米，宽厘米，它们中间重叠的部分是一个边长厘米的正方形，求这个组合图形的面积。 【答案】140平方厘米 【分析】两个长方形如图摆放时出现了重叠（见图中的阴影部分），重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了。所以，组合图形的面积＝长方形面积之和－重叠部分。 【详解】组合图形的面积： ＝96＋60－16 ＝140（平方厘米） 答：这个组合图形的面积是140平方厘米 9．在一次考试中，甲、乙两人考试结果如下：甲答错了全部试题的，乙答错了7道题，甲、乙都答错的题目占全部试题的，则甲、乙两人都答对的题目最少多少道？ 【答案】道 【分析】根据容斥原理。甲答错、乙答对的题占全部试题的（），即；那么甲、乙都答对的题目是全部试题的（）减去乙答错的7道题目。可见全部试题越少，甲、乙都答对的题目就越少。则全部试题至少有15道，即可求出甲、乙两人都答对的题目最少有多少道。 【详解】3×5＝15（道） （道） 答：甲、乙两人都答对的题目最少6道。 三、三个集合容斥问题 1．某校参加区里的数学、语文、科技三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学807人，语文739人，科技437人；至少参加两科竞赛的：参加数学、语文的有593人，参加数学、科技的有371人，参加语文、科技的有267人；三科都参加的有213人，问：至少参加一科竞赛的有多少人？ 【答案】965人 【分析】由题分析可得：求至少参加一科竞赛的有多少人即求学生总人数，学生总数＝只参加一科的学生总数＋只参加两科的学生总数＋参加三科的学生总数；只参加一科的学生总数＝至少参加一科的学生总数－只参加两科的学生总数×2－参加三科的学生数×3；只参加两科的学生总数＝至少参加两科的学生总数－参加三科的学生数×3；根据上述分析，求出对应的数据即可。 【详解】只参加两科的学生总人数：593＋267＋371－213×3＝592（人）； 只参加一科的学生总人数：807＋739＋437－592×2－213×3＝160（人）； 学生总人数：592＋160＋213＝965（人），即至少参加一科竞赛的学生965人。 答：至少参加一科竞赛的有965人。 2．夏日的一天，有十个同学去吃冷饮。向服务员交出需要冷饮的统计，数字如下，有6个人要可可，有5个人要咖啡，有5个人要果汁，有3个人既要可可又要果汁，有一个人既要可可、咖啡又要了果汁。求证：其中一定有一个人什么冷饮也没有要。 【答案】吃冷饮的总人数：（6＋5＋5）－（3＋2＋3－1） ＝16－7 ＝9（人） 没有吃冷饮的人数：10－9＝1（人）； 所以一定有1个人什么冷饮也没有要。 【分析】根据题意，先求出吃冷饮的总人数，再根据容斥原理，即可求出没有吃冷饮的人数。 【详解】吃冷饮的总人数：（6＋5＋5）－（3＋2＋3－1）， ＝16－7， ＝9（人）， 没有吃冷饮的人数：10－9＝1（人）； 答：1人没有吃冷饮。 所以一定有1个人什么冷饮也没有要。 3．文苑小区有一栋居民楼，每户人家都订了2份不同的报纸，一共订了3种报纸。其中，《××都市报》订了34份，《××晚报》订了30份，《××周报》订了22份。问：有多少户人家同时订了《××都市报》和《××周报》？ 【答案】13户 【分析】根据题意，一共订了86份报纸，每户人家都订了2份不同的报纸，则就有43户人家。在这43户居民中，有30户订了《××晚报》，剩下的13户居民一定是订了《××都市报》和《××周报》。 【详解】（34＋30＋22）÷2 ＝86÷2 ＝43（户） 43－30＝13（户） 答：有15户人家同时订了《××都市报》和《××周报》 4．某饮品店员工在路上随机采访了200个路人，其中喜欢喝可乐的有120人，喜欢喝奶茶的有140人，喜欢喝水果茶的有160人，既喜欢喝可乐又喜欢喝奶茶的有90人，既喜欢喝奶茶又喜欢喝水果茶的有110人，既喜欢喝可乐又喜欢喝水果茶的有100人，三种都不喜欢喝的有20人。那么，三种都喜欢喝的有多少人？ 【答案】60人 【分析】喜欢可乐的人数＋喜欢奶茶的人数＋喜欢水果茶的人数－喜欢两种饮品的人数＋喜欢三种饮品的人数＝至少喜欢一种饮品的人数；据此进一步分析解答。 【详解】120＋140＋160＝420（人） 90＋110＋100＝300（人） 200－20－（420－300） ＝180－120 ＝60（人） 答：三种都喜欢喝的有60人。 5．第七届世界军人运动会将于2019年10月在中国武汉举行。“军运会”相比其他运动会最具特色的比赛项目就是“空军五项”、“军事五项”以及“海军五项”。某军事学院的林教官就这三大项目的了解情况在班上进行调查，当问及“空军五项”时有39人举手表示知道，问及“海军五项”时有36人举手，问及“军事五项”时32人举手；最后调查发现知道“空军五项”和“海军五项”的有28人，知道有“空军五项”和“军事五项”的有27人，知道“海军五项”和“军事五项”的有25人，三大项都不知道的有6人。已知全班共有56人，那么只知道“空军五项”的有几人？ 【答案】7人 【分析】全班有56人，其中有6人三大项都不知道，则至少知道其中一项的人数＝总人数－三大项都不知道的人数； 根据容斥原理：总人数－（知道某一项人数的总和－质量两项的人数总和），得三项都知道的人数是23人； 只知道“空军五项”的人数＝知道“空军五项”的人数－知道两项其中有一项是“空军五项”的和＋三个项目都知道的人。 【详解】至少知道其中一个大项的人数： 56－6＝50（人） 三个大项都知道的人数： 50－（39＋36＋32－28－27－25） ＝50－（107－80） ＝50－27 ＝23（人） 只知道“空军五项”的人数： 39－28－27＋23 ＝39＋23－28－27 ＝62－55 ＝7（人） 答：只知道“空军五项”的有7人。 6．三个面积均为平方厘米的圆纸片放在桌面上（如图），三个纸片共同重叠的面积是平方厘米。三个纸片盖住桌面的总面积是平方厘米。问：图中阴影部分面积之和是多少？ 【答案】30平方厘米 【分析】三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米计算3次，阴影部分计算2次，三个纸片的面积之和减去阴影部分的面积，再减去2个10平方厘米，得到所覆盖的面积。 【详解】将图中的三个圆标上、、。根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积＝（圆面积圆面积圆面积）－（与重合部分面积与重合部分面积与重合部分面积）＋三个纸片共同重叠的面积，得：（与重合部分面积与重合部分面积与重合部分面积）＋10，得到、、三个圆两两重合面积之和为：平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：阴影部分面积，则阴影部分面积为：（平方厘米）。 答：图中阴影部分面积之和是30平方厘米。 7．盛夏的一天，有个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有人；可乐、雪碧都要的有人；可乐、橙汁都要的有人；雪碧、橙汁都要的有人；三样都要的只有人，证明其中一定有人这三种饮料都没有要。 【答案】见详解 【分析】根据这份需要冷饮的统计表，求出至少要了一种冷饮的人数是9人，那么还有一个人什么也没有要。 【详解】证明： （人） 即至少要了一种饮料的人数为9人； （人） 所以其中有人这三种饮料都没有要。 8．某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有人，手中有黄旗的共有人，手中有蓝旗的共有人。其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有人。而手中只有红、黄两种小旗的有人，手中只有黄、蓝两种小旗的有人，手中只有红、蓝两种小旗的有人，那么这个班共有多少人？ 【答案】人 【分析】如图，用A圆表示手中有红旗的，B圆表示手中有黄旗的，C圆表示手中有蓝旗的；如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，手中有三种颜色小旗的重复计算了二次，也应减去。 【详解】如图所示： （人） 答：这个班共有50人。 9．如图所示，、、分别是面积为、、的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为。若与、与的公共部分的面积分别为、，、、这三张纸片的公共部分为。求与公共部分的面积是多少？ 【答案】6 【分析】三张纸覆盖的总面积是38，可以设A与C公共部分的面积为未知数，表示出覆盖的总面积，解出未知数即可。 【详解】解：设与公共部分的面积为，由包含与排除原理可得： （1）先“包含”：把图形、、的面积相加：，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了次，因此要排除掉。 （2）再“排除”：，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回。 （3）再“包含”：，这就是三张纸片覆盖的面积。 根据上面的分析得：，解得：。 答：A与C公共部分的面积是6。 10．森林里住着100只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜。其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃白菜的小白兔数量的2倍，而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的3倍，它们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？ 【答案】20只 【分析】设爱吃白菜的小白兔有x只，根据题意可知爱吃萝卜的小白兔是2x只，不爱吃萝卜的就是（100－x）只，不爱吃白菜的小白兔就是（100－2x）只，根据不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的3倍这个条件列出方程，解出未知数的值是爱吃白菜的小白兔的只数，进而求出爱吃萝卜的，这两个和减去总数100就是即爱吃白菜又爱吃萝卜的小白兔的只数，据此解答即可。 【详解】设爱吃白菜的小白兔有x只，则爱吃萝卜的小白兔是2x只，由题意可知： 100－x＝3×（100－2x） 100－x＝300－6x 100－x＋x＝300－6x＋x 100＝300－5x 100＋5x＝300－5x＋5x 100＋5x＝300 100＋5x－100＝300－100 5x＝200 5x÷5＝200÷5 x＝40 2×40＝80（只） 40＋80－100＝20（只） 答：它们当中有20只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $